Появление римановой геометрии

Появление римановой геометрии

Риман восставал против мнимой математической точности греческой геометрии, фундамент которой, как он обнаружил, покоится на зыбучих песках интуиции и здравого смысла, а не на твердой почве логики.

Согласно Евклиду, у точки вообще нет измерения. У линии одно измерение — длина. У плоскости — два: длина и ширина. У тела — три: длина, ширина и высота. На этом все и заканчивается. Нет ничего, что имело бы четыре измерения. Эти утверждения эхом повторял философ Аристотель, вероятно, первым в мире категорически заявивший, что четвертое пространственное измерение невозможно. В трактате «О небе» он писал: «Величина, делимая в одном измерении, есть линия, в двух — плоскость, в трех — тело, и, кроме них, нет никакой другой величины, так как три суть все». Более того, в 150 г. н. э. астроном Птолемей из Александрии пошел дальше Аристотеля и в своем труде «О расстояниях» предложил первое оригинальное «доказательство» невозможности четвертого измерения.

Сначала, предлагал он, проведем три взаимно перпендикулярные линии. Например, угол куба представляет собой три линии, перпендикулярные друг другу. Затем попробуем провести четвертую линию, перпендикулярную остальным трем. Как бы мы ни старались, утверждает Птолемей, провести четвертый перпендикуляр невозможно. По мнению Птолемея, четвертую перпендикулярную линию «нельзя измерить и определить». Таким образом, четвертое измерение невозможно.

В действительности же Птолемей доказал невозможность визуализировать четвертое измерение с помощью нашего трехмерного мозга (сегодня нам уже известно немало объектов математики, которые нельзя представить, однако их существование можно доказать). Птолемей мог бы войти в историю как человек, противостоявший двум великим идеям в науке: гелиоцентрической Солнечной системе и четвертому измерению.

За прошедшие с тех пор века появлялось немало математиков, с пеной у рта отвергавших четвертое измерение. В 1685 г. Джон Уоллис (Валлис) высказывался против этой концепции, называя ее «Чудовищем в мире природы, еще менее возможным, чем химера или кентавр… Длина, ширина и высота исчерпывают пространство. Никакому воображению не под силу представить четвертое пространственное измерение помимо этих трех»[11]. В течение нескольких тысяч лет математики повторяли эту роковую ошибку: что четвертое измерение не существует по той причине, что мы не в состоянии вообразить его себе.