1 Поэзия логических идей

1

Поэзия логических идей

Глава, в которой немецкий математик Эмми Нетер открывает связи между законами сохранения и глубинной симметрией природы

Пожалуй, мы можем согласиться, что одна из целей науки состоит в том, чтобы объяснить, из чего состоит мир и почему он таков, каков есть. Для этого она стремится пролить свет на базовые элементы материи и управляющие ею законы природы.

Если мы согласимся с этим, тогда придется признать, что не все «законы» одинаковы. В XVII веке Иоганн Кеплер долго корпел над астрономическими данными, которые добросовестно собрал Тихо Браге, и в конце концов вывел три закона, управляющие движением планет вокруг Солнца. Эти законы очень убедительны, но они не дают более глубокого объяснения, не сообщают причины, почему планеты обращаются вокруг Солнца именно таким образом. Это объяснил закон всемирного тяготения Исаака Ньютона. Закон всемирного тяготения простоял непоколебимо еще 200 лет, прежде чем в конечном итоге его не сменило взаимодействие материи и искривленного пространства-времени в общей теории относительности Эйнштейна.

Итак, что же это за фундаментальные законы? Пожалуй, на этот вопрос ответить не так уж трудно. Большая часть наших знаний о природе окружающего мира основана на нескольких обманчиво простых законах сохранения. Древние греки считали, что вещество не уничтожается. Они были почти правы. Позднее Эйнштейн показал, что вещество можно преобразовать в энергию, а из энергии может родиться вещество.

Вещество (в форме материальной субстанции) не сохраняется, зато сохраняется энергия массы. Как бы мы ни старались, мы не можем ни создать, ни уничтожить энергию. Мы можем только превратить ее из одного вида в другой. Во всех физических взаимодействиях всех мыслимых форм энергия сохраняется.

Также сохраняется и импульс, то есть масса объекта, умноженная на его скорость движения по прямой. На первый взгляд кажется, что это противоречит опыту. На популярном аттракционе тележка с любителями острых ощущений мчится горизонтально по рельсам на высокой скорости[9]. Рельсы закручиваются в мертвую петлю. Тележка с пассажирами взбирается по крутому склону, теряя скорость, прежде чем замедлиться и остановиться. Гравитация тянет ее назад и вниз по рельсам. Тележка набирает скорость и делает мертвую петлю задом наперед, после чего окончательно останавливается. То есть кажется довольно очевидным, что импульс не сохраняется в процессе того, как тележка поднимается по рельсам и останавливается.

Однако не все так очевидно. Когда тележка теряет скорость, остальной мир под ней, с которым она невидимо связана, набирает скорость, таким образом импульс сохраняется.

Также сохраняется и момент импульса, момент вращения тел, который рассчитывается как импульс, умноженный на расстояние до центра вращения. Фигуристка входит во вращение, вытянув в стороны руки и одну ногу.

Когда она прижимает руки и ноги к центру массы, она уменьшает расстояние до центра вращения и вращается быстрее. Это сохранение момента импульса в действии.

Как показывает пример с импульсом, законы сохранения не самоочевидны. Их пытались сформулировать в течение многих веков, но для этого нужно сначала четко представлять себе, о сохранении какой именно величины идет речь. А концепция энергии была как следует сформулирована и понята лишь в XIX веке.

Законы сохранения в их современном виде представляют собой итог многолетних проб и ошибок, экспериментов и теоретических построений. Это фундаментальные законы, но в каком-то смысле и эмпирические – они выводятся из наблюдений и экспериментов, а не из некой глубокой, основополагающей теоретической модели мира. А может быть, есть какой-то более фундаментальный принцип, из которого могло бы автоматически следовать сохранение энергии и импульса?

В 1915 году немецкий математик Амалия Эмми Нетер именно так и подумала.

Нетер родилась в баварском городе Эрлангене в марте 1882 года. Ее отец Макс Нетер преподавал математику в Эрлангенском университете, и в 1900 году Эмми поступила в университет, став одной из двух его студенток женского пола. Как во всех тогдашних учебных заведениях Германии, в университете не поощрялось обучение женщин, и Эмми перед началом занятий приходилось получать разрешение на допуск у преподавателей.

Окончив университет в Эрлангене летом 1903 года, она провела зиму в Геттингенском университете. Там она посещала лекции ведущих математиков Германии, в том числе Давида Гильберта и Феликса Клейна. Потом она вернулась в Эрланген, чтобы работать над диссертацией, и в 1908 году стала бесплатным лектором в университете.

Нетер заинтересовала работа Гильберта, и она опубликовала несколько статей, расширив некоторые его методы абстрактной алгебры. Статьи произвели впечатление на Гильберта и Клейна, и в начале 1915 года ученые предложили принять ее на работу на кафедру в Геттингенском университете.

Однако они встретили упорное сопротивление.

«Что будут думать наши солдаты, когда вернутся в университет и увидят, что им придется слушать поучения женщины?» – спрашивали университетские консерваторы.

«Не понимаю, как пол кандидата может быть доводом против ее принятия в качестве приват-доцента[10], – возразил Гильберт. – В конце концов, мы в университете, а не в бане»[11].

Гильберт настоял на своем, и в апреле 1915 года Нетер переехала в Геттинген.

Вскоре после приезда Нетер сформулировала теорему, которая впоследствии стала одной из самых знаменитых в физике.

Нетер пришла к выводу, что принципы сохранения физических количеств, таких как энергия и импульс, можно проследить до законов, описывающих их в отношении к действию некоторых непрерывных преобразований симметрии. Законы сохранения – это проявления глубинной симметрии природы.

Обычно мы представляем себе симметрию как зеркальное отражение: схожесть между левой и правой стороной, верхней и нижней, передней и задней. Мы называем что-то симметричным, если оно выглядит точно так же по другую сторону от некоего центра, или оси симметрии. В данном случае преобразование симметрии – это акт отражения объекта как бы в зеркале. Если объект неизменен (инвариантен) после такого действия, мы говорим, что он симметричен.

Рис. 5

Обычно мы представляем себе симметрию как зеркальное отражение и называем что-то симметричным, если оно выглядит одинаковым по обе стороны от некоего центра, или оси симметрии. Элизабет Херли наглядно показывает связь между симметрией лица и классическим представлением о красоте. Источник: © Peter Steffen/dpa/Corbis

Например, симметрия лица, по-видимому, очень глубоко вплетена в наше восприятие красоты и привлекательности человека и на подсознательном уровне служит индикатором хорошей генетики. У тех, кто считается красивым, чаще бывает более симметричное лицо, а люди, вообще говоря, склонны спариваться с теми, кого считают красивыми (см. рис. 5)[12].

Такие примеры преобразования симметрии называются дискретными. Для них требуется мгновенно «переключиться» с одной стороны на другую, с левой на правую. В теореме Нетер рассмотрены самые разные виды преобразования симметрии. Они включают длительные, постепенные изменения, например непрерывное вращение по кругу. Совершенно очевидно, что, если повернуть круг на бесконечно малый угол, измеренный из центра, он будет выглядеть неизменившимся. Круг симметричен относительно непрерывного вращения. Квадрат в этом же смысле не симметричен. Однако он вполне симметричен относительно дискретного вращения на 90° (рис. 6).

Рис. 6

Непрерывное преобразование симметрии означает небольшое постепенное изменение непрерывной переменной, например расстояния или угла. (a) Когда мы поворачиваем круг на небольшой угол (?), он представляется неизменным (инвариантным), и мы говорим, что он симметричен относительно подобных преобразований.

(b) Квадрат, напротив, несимметричен в этом смысле. Квадрат симметричен относительно дискретного вращения на 90°

Теорема Нетер соединяет каждый закон сохранения с непрерывным преобразованием симметрии. Она обнаружила, что управляющие энергией законы инвариантны относительно непрерывных изменений, или трансляций во времени. Иными словами, математические отношения, описывающие динамику энергии в физической системе в какой-то момент времени t, будут точно такими же и через бесконечно малый промежуток времени.

Значит, эти законы не меняются со временем, а это есть именно то, что требуется отношениям между физическими свойствами, которые мы хотим поднять на уровень фундаментальных законов. Эти законы одинаковы для вчерашнего, сегодняшнего и завтрашнего дня, что в высшей степени обнадеживает. Если описывающие энергию законы не меняются со временем, тогда энергия должна сохраняться.

Применительно к импульсу Нетер показала, что законы инвариантны к непрерывным трансляциям пространства. Законы, управляющие сохранением импульса, не зависят от положения в пространстве. Они одинаковы здесь, там и везде. Для момента импульса законы инвариантны относительно преобразований вращения, как в вышеописанном примере с кругом. Они одинаковы безотносительно угла направления, измеренного от центра вращения.

Работая над теоремой, Нетер рассуждала примерно так. В физике есть определенные количества, которые, как следует из внимательных наблюдений и экспериментов, сохраняются. Сильно постаравшись, физики вывели законы, управляющие этими количествами. Как оказалось, законы инвариантны определенным непрерывным преобразованиям симметрии. Такая инвариантность означает, что эти количества должны сохраняться.

Эти рассуждения можно перевернуть и наоборот. Предположим, есть физическое количество, которое, как нам кажется, сохраняется, но для которого еще не объяснены законы, управляющие его поведением. Если физическое количество действительно сохраняется, то законы – каковы бы они ни были – должны быть инвариантны некоему непрерывному преобразованию симметрии. Если получится открыть, что это за симметрия, мы уже будем на полпути к открытию законов.

Перевернув рассуждения Нетер, мы избавляемся от необходимости долго гадать и тыкать пальцем в небо. Физики получили подход к формулированию законов, который позволял исключить целые виды возможных математических структур. Тот, кто найдет симметрию, связанную с неким физическим количеством, найдет короткий путь к ответу.

Одно такое физическое количество, которое, казалось, строго сохранялось, но не описывалось еще соответствующим законом сохранения, действительно существовало. Это был электрический заряд.

О феномене статического электричества знали еще философы Древней Греции. Они обнаружили, что можно генерировать электрический заряд и даже искры, если потереть о мех некоторые вещества, например янтарь. У научного исследования электричества долгая и блестящая история, в которой участвовали многие герои. Но только английский физик Майкл Фарадей, работавший в лондонском Королевском институте, соединил множество наблюдений в одно ясное представление о природе электрического заряда. Результаты многочисленных экспериментов неизбежно приводили к выводу, что электрический заряд нельзя ни создать, ни уничтожить ни в одном физическом или химическом преобразовании. Заряд всегда сохраняется.

Уже было открыто множество законов и правил, управляющих электрическим зарядом и его еще непонятной связью с магнетизмом, – это законы Кулона, Гаусса, Ампера, Био – Савара – Лапласа, Фарадея и так далее. В начале 1860-х шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сделал для теории электромагнетизма то, что Ньютон сделал для теории движения планет. Он осуществил смелый теоретический синтез, подобно тому как Фарадей синтезировал данные экспериментов. Красивые уравнения Максвелла в тесном объятии связали электрическое и магнитное поля, создаваемые движущимся электрическим зарядом[13].

Уравнения также продемонстрировали, что все электромагнитное излучение, включая свет, можно описать в виде движения волны со скоростью, которая рассчитывается из известных физических постоянных. Это электрическая постоянная, физическая величина, определяющая способность вакуума передавать или «разрешать» электрическое поле, генерируемое электрическим зарядом, и магнитная постоянная, определяющая проницаемость вакуума для магнитного поля, окружающего движущийся электрический заряд. Когда Максвелл соединил эти постоянные в соответствии со своей новой теорией электромагнитного поля, он получил, что скорость «электромагнитных волн» равна скорости света.

Однако уравнения Максвелла имеют дело с полями, которые генерирует электрический заряд, а не с самим зарядом. Они тесно связаны, но уравнения в принципе не позволяют понять причины сохранения заряда. В свете теоремы Нетер поиск законов, управляющих электрическим зарядом, стал поиском глубинного непрерывного преобразования симметрии, относительно которой законы инвариантны.

Поиск продолжил немецкий математик Герман Вейль.

Вейль родился в 1885 году в Эльмсхорне, городке недалеко от Гамбурга, и получил докторскую степень под руководством Гильберта в Геттингене в 1908 году. Затем он получил должность профессора в Швейцарской высшей технической школе Цюриха, где познакомился с Альбертом Эйнштейном и где его увлекли вопросы математической физики.

Работая над общей теорией относительности в 1915 году, Эйнштейн отказался от всякого понятия абсолютного пространства и времени. Он утверждал, что физика, напротив, должна быть основана исключительно на расстояниях между точками и искривлении пространства-времени в каждой точке. Этот эйнштейновский принцип общей ковариантности и вытекающая из него теория гравитации инварианты произвольным изменениям системы координат. Иными словами, хотя существуют физические законы природы, во Вселенной не существует «природной» системы координат. Мы сами изобретаем системы координат, которые помогают описывать физические явления, но законы не должны зависеть (и не зависят) от этого произвольного выбора.

Есть два способа изменить систему координат. Можно сделать глобальное изменение, которое применяется одинаково ко всем точкам пространства и времени. Пример такого глобального преобразования симметрии – это равномерный сдвиг параллелей и меридианов, которые используют картографы для составления карт земной поверхности. Если изменение одинаково везде и применяется последовательно по всему земному шару, это никак не повлияет на нашу способность дойти из одной точки в другую.

Но изменения бывают и локальными, отличающимися для разных координат в разных точках пространства-времени. Например, в одной части пространства мы могли бы повернуть оси нашей системы координат под небольшим углом и в то же время изменить масштаб. При условии, что это изменение транслировано вплоть до меры различий в положении и времени, оно не влияет на предсказания общей теории относительности. Следовательно, общая ковариантность – это пример инвариантности локального преобразования симметрии.

Вейль долго и упорно размышлял над теоремой Нетер и работал над теорией групп непрерывного преобразования симметрии, называемых группами Ли в честь норвежского математика XIX века Софуса Ли. В 1918 году он пришел к выводу, что законы сохранения связаны с локальными преобразованиями симметрии, которые он назвал общим термином калибровочная симметрия – довольно непонятным, к сожалению. Руководствуясь трудами Эйнштейна, он рассматривал симметрию в отношении расстояния между точками в пространстве-времени, как в примере с поездом, движущимся по рельсам, и неподвижным измерительным прибором.

Вейль нашел, что, обобщив принцип общей ковариантности до калибровочной инвариантности, он мог использовать теорию Эйнштейна как основание для того, чтобы вывести уравнения Максвелла. Казалось, он открыл теорию, которая могла объединить два взаимодействия, известные в то время науке, – электромагнитное и гравитационное. Тогда инвариантность, тождественная законам сохранения, была бы связана с произвольными изменениями «калибровки» полей. Таким образом Вейль надеялся продемонстрировать сохранение энергии, импульса и момента импульса и электрического заряда.

Сначала Вейль относил калибровочную инвариантность за счет самого пространства. Но, как вскоре показал Эйнштейн, это значило, что измеренные длины стержней и показания часов будут зависеть от того, что недавно с ними происходило. Часы, передвинутые на другое место в комнате, уже не смогут верно показывать время. Эйнштейн написал Вейлю и посетовал: «Не считая расхождения с реальностью, [ваша теория] в любом случае есть грандиозное достижение ума»[14].

Вейля беспокоила эта критика, но он считал, что в таких делах можно положиться на интуицию Эйнштейна. Он отказался от своей теории.

Австрийский физик Эрвин Шредингер поступил на кафедру Цюрихского университета через три года, в 1921 году. Всего через несколько месяцев врачи заподозрили у него легочный туберкулез и прописали ему полный покой. Шредингер с женой Анни поселились на вилле на альпийском курорте Ароза, недалеко от модного лыжного курорта Давос, где пробыли девять месяцев.

Пока Анни выхаживала Шредингера, он размышлял о значении калибровочной симметрии Вейля и, в частности, о периодическом калибровочном множителе, который встречался в теории Вейля. В 1913 году датский физик Нильс Бор опубликовал свою модель строения атома, в которой электроны обращаются вокруг ядра без изменения энергии, которую характеризует их квантовое число. Это целое число определяет энергию орбиты, увеличиваясь в линейной последовательности (1, 2, 3, …) от внутренней к внешней орбите. В то время их происхождение полностью покрывала тайна.

Шредингера поразило то, что может существовать связь между периодичностью, которую подразумевал калибровочный множитель Вейля, и периодичностью, которую подразумевали квантованные атомные орбиты Бора. Он проверил несколько возможных форм для калибровочного множителя, в том числе ту, которая содержала комплексное число, полученное умножением обычного числа на мнимое число i – квадратный корень из –1[15]. В статье 1922 года он предположил, что эта связь имеет глубокое физическое значение. Но это были лишь смутные интуитивные догадки. Реальное значение связи будет ускользать от него до тех пор, пока он не изучит докторскую диссертацию французского физика Луи де Бройля 1924 года.

Де Бройль предположил, что, если электромагнитные волны с виду ведут себя, как частицы[16], может быть, частицы, например электроны, могут вести себя как волны. Что бы это ни было, эти «материальные волны» отнюдь нельзя считать похожими на знакомые нам явления, как, например, звуковые волны или волны на поверхности воды. Де Бройль пришел к выводу, что «материальная волна» «представляет собой распространение в пространстве фазы, то есть это «фазовая волна»[17], [18].

Шредингер задумался: как будет выглядеть электрон, если математически описать его как волну? На Рождество 1925 года он снова уехал в Арозу. Его отношения с женой совсем разладились, и потому он решил взять с собой старую подружку из Вены. Еще он взял с собой записи по поводу диссертации де Бройля. К возвращению 8 января 1926 года Шредингер уже открыл волновую механику, теорию, которая описывает электрон как волну и орбиты атомной модели Бора с точки зрения волновой функции электрона.

Теперь уже было можно провести связь. Возьмем пример группы Ли – группу симметрии U(1), называемую унитарной группой преобразований с единственной комплексной переменной. Она включает преобразования симметрии, которые в основном полностью аналогичны преобразованиям типа непрерывного вращения в круге. Но круг изображается на двухмерной плоскости, образованной «настоящими» измерениями, тогда как преобразования группы U(1) подразумевают вращение в двухмерной комплексной плоскости. Она образована двумя «настоящими» измерениями, одно из которых умножено на i.

Есть еще один способ представить эту группу симметрии – с точки зрения непрерывных преобразований фазового угла синусоидальной волны (см. рис. 7). Разные фазовые углы соответствуют разным амплитудам волны в цикле ее пиков и спадов. Калибровочная симметрия Вейля сохраняется, если фазовые изменения волновой функции электрона соответствуют изменениям сопутствующего электромагнитного поля. Сохранение электрического заряда можно проследить до локальной фазовой симметрии волновой функции электрона.

Связь между волновой механикой и калибровочной теорией Вейля стала явной в 1927 году благодаря немецкому теоретику Фрицу Лондону и советскому физику Владимиру Фоку. В 1929 году Вейль переформулировал и расширил свою теорию в контексте квантовой механики.

Рис. 7

Группа симметрии U(1) – это унитарная группа преобразований с единственной комплексной переменной. В комплексной плоскости, образованной одной настоящей и одной мнимой осью, можно указать любое комплексное число на окружности круга, образованного вращением линии, которая проведена из начала к точке под углом ?, который эта линия составляет с настоящей осью. Эта непрерывная симметрия тесно связана с простым волновым движением, в котором фазовый угол равен углу ?

Корпускулярно-волновой дуализм де Бройля подразумевал, что электрон следует рассматривать одновременно и как волну, и как частицу. Но как это может быть? Частицы – это локализованные фрагменты материи, а волны – нелокализованные возмущения среды (представьте себе рябь на пруду от брошенного камня). Частица находится «здесь», волна – «везде».

Одно из физических следствий корпускулярно-волнового дуализма состоит в том, что мы не можем одновременно с точностью установить местоположение и импульс (особенно скорость и направление) квантовой частицы. Подумайте об этом. Если можно с точностью измерить положение волны-частицы, это значит, что она локализована в пространстве и времени. Она «здесь». Для волны это возможно только в том случае, если ее образует сочетание множества волновых форм с разной частотой, так что они складываются и образуют волну, которая крупнее в одной точке пространства и меньше во всех остальных. В таком случае можно установить ее положение, но за счет полной неопределенности частоты волны, так как волна состоит из множества волн с самыми разными частотами.

Однако в гипотезе де Бройля обратная частота волны прямо связана с импульсом частицы[19]. Неопределенность частоты, таким образом, означает неопределенность импульса.

Обратное также верно. Если мы хотим точно знать частоту волны и, следовательно, импульс частицы, нам нужна единственная волна с единственной частотой. Но тогда мы не можем ее локализовать. Волна-частица остается распространенной в пространстве, и мы уже не можем измерить ее точное положение.

Эта неопределенность положения и импульса легла в основу знаменитого принципа неопределенности, открытого немецким физиком Вернером Гейзенбергом в 1927 году. Это прямое следствие дуализма элементарных квантовых объектов, которые ведут себя одновременно и как волна, и как частица.

Вейль вернулся в Геттинген в 1930 году и занял профессорскую должность, освободившуюся после ушедшего на покой Гильберта. Там он работал вместе с Нетер, которая все это время оставалась в Геттингене, за исключением короткого академического отпуска зимой 1928/29 года, проведенного в Московском государственном университете.

В январе 1933 года канцлером Германии стал Адольф Гитлер. Через несколько месяцев национал-социалистское правительство приняло Закон о восстановлении профессионального чиновничества, первый из четырехсот подобных законов. Он давал нацистам юридические основания для того, чтобы запретить евреям занимать должности на государственной службе, в том числе научные в немецких университетах.

Вейль был женат на еврейке и уехал из Германии в США, чтобы вместе с Эйнштейном работать в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат НьюДжерси. Нетер была еврейкой и была уволена из Геттингенского университета. Она так и не стала полноправным профессором. Нетер уехала в Брин-Мор-колледж – гуманитарное учебное заведение в Пенсильвании. Два года спустя она умерла в возрасте 53 лет.

В некрологе, вышедшем в газете «Нью Йорк таймс» вскоре после ее смерти, Эйнштейн писал: «По мнению самых авторитетных математиков из еще живущих, фрейлейн Нетер обладала огромнейшим творческим и математическим гением, который мы видели с тех пор, как женщины стали получать высшее образование. В области алгебры, которой многие века занимались самые одаренные математики, она открыла методы, сыгравшие безмерно важную роль для развития молодого поколения математиков. Чистая математика является в своем роде поэзией логических идей. Человек стремится к самым общим идеям, которые объединяет в простой, логичной и унифицированной форме в самый большой круг формальных отношений. В этом стремлении к логической красоте открываются духовные формулы, необходимые для более глубокого проникновения в законы природы»[20].

Данный текст является ознакомительным фрагментом.