Составление матрицы жёсткости КЭ

Матрица жёсткости связывает перемещения узлов с узловыми силами, как уже говорилось в введении. Размер матрицы жёсткости N определяется количеством узлов и степенью свободы для каждого узла по формуле:

N = n?d

где N – размер матрицы жёсткости;

n – количество узлов в элементе;

d – количество степеней свободы элемента.

Например, для стержневого (ферменного) элемента, имеющего n = 2 узла, который по определению может только растягиваться или сжиматься, количество степеней свободы d = 1. Таким образом, N = n?d = 2?1 = 2. Матрица жёсткости будет иметь вид:

где K – матрица жёсткости;

k₁₁, k₁₂, k₂₁, k₂₂ – элементы матрицы жёсткости.

Для конечных элементов, у которых количество степеней свободы больше единицы удобней представлять матрицу жёсткости поблочно. Например, для конечного элемента, у которого количество узлов n = 2 и количество степеней свободы d = 3матрицу жёсткости удобно представлять в виде:

где K – матрица жёсткости, размером [n?n]

k₁₁, k₁₂, k₂₁, k₂₂ – элементы матрицы жёсткости, которые из себя так же представляют матрицы размером [d?d]:

Такое представление матрицы жёсткости позволит легко и удобно получить матрицу жёсткости всей конструкции.

Матрица жёсткости, обычно, составляется в локальной системе координат этого элемента. Для перевода матрицы жёсткости в глобальную систему координат используется матрица направляющих косинусов по формуле:

K^глоб = ?^T?K??

где K^глоб – матрица жёсткости в глобальной системе координат;

? – матрица направляющих косинусов.

Рассмотрим матрицы жёсткости типовых конечных элементов.