6. Распределение натуральных чисел по разбиениям поверхностей концентрических сфер

Трёхмерное пространство Вселенной однородно, изотропно и едино во всех уголках телескопической и микроскопической досягаемости. Сферы в реальном трёхмерном пространстве определяются только радиусами. Любые другие их геометрические характеристики определяются их радиусами. Например, площади поверхностей сфер пропорциональны квадратам радиусов. Отношение поверхностей концентрических сфер равно квадрату отношения их радиусов из одного центра.

Представляет интерес распределение разбиения поверхностей концентрических сфер «в единицах» некоторой эталонной (стандартной) сферы.

Рассмотрим бесконечное трёхмерное пространство. У такого пространства нет определённого центра, поскольку с любой точки оно бесконечно. Возьмём любую точку пространства. С этой точки сформируем некоторую сферу радиуса R с поверхностью:

S = 4?R² (17)

Перепишем (17) в тождественной форме:

S = 2(2?R²), (18)

которая отражает лишь то обстоятельство, что сфера составлена из двух равных полусфер, разделённых экваториальной окружностью. Зафиксируем факт существования некоторой эталонной (стандартной) полусферы радиуса Rst нормировкой её на единицу:

2? R_st² = 1 (19)

Размерность 1 может быть произвольной, пусть, будет фемтометр (фм) – 10–15 м.

Тогда

R_st = 1/?(2?) фм (20)

На самом деле размерность здесь не важна, и R_st может быть относительным, т. е. «безразмерным». Примем величину R_st эталонной, стандартной.

Из произвольной точки бесконечного пространства сформируем концентрические сферы, последовательно окаймляющие предыдущие, начиная с первой сферы, и состоящие из пар полусфер. В уравнениях левую и правую части можно умножать на произвольное число, сохраняя равенство. Первую сферу сформируем радиусом в произведение 0?2 на Rst:

0 ? ?2 Rst = 0 ? ?2 [1/?(2?)] (21)

Вторую сферу, концентрически окаймляющую первую сферу (21), сформируем радиусом в произведение 1 ? ?2 на Rst:

1 ? ?2 Rst = 1 ? ?2 [1/?(2?)] (22)

Третью сферу, концентрически окаймляющую вторую сферу (22), сформируем радиусом в произведение 2 ? ?2 на Rst:

2 ? ?2 Rst = 2 ? ?2 [1/?(2?)] (23)

Четвёртую сферу, концентрически окаймляющую третью сферу (23), сформируем радиусом в произведение 3 ? ?2 на Rst:

3 ? ?2 Rst = 3 ? ?2 [1/?(2?)] (24)

Пятую сферу, концентрически окаймляющую четвёртую сферу (24), сформируем радиусом в произведение 4 ? ?2 на Rst:

4 ? ?2 Rst = 4 ? ?2 [1/?(2?)] (25)

Шестую сферу, концентрически окаймляющую пятую сферу (25), сформируем радиусом в произведение 5 ? ?2 на Rst:

5 ? ?2 Rst = 5 ? ?2 [1/?(2?)] (26)

Таким образом, концентрические сферы состоят из пар полусфер радиусов (21) – (26). Соотношение (18) для полученных сфер можно переписать как:

Sn = 2 [2? (n ?2 Rst)2], (25)

где n = 0,1, 2, 3, 4, 5. Конечно, n может быть больше 5, но здесь ограничимся на этом числе натурального ряда n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, ?.

Видно, что радиусы концентрических сфер (25) составляют ряд чисел:

0 ? ?2; 1?2; 2?2; 3?2; 4?2, 5?2 (26)

кратных стандартному радиусу R_st. Поверхности сфер составляют соответственно: 0; 4; 16; 36; 64; 100 равных поверхностей стандартной полусферы, т. е. стандартная сфера разделена на две полусферы, и шесть концентрических сфер разделены соответственно на: 0,4,16, 36, 64, 100 стандартных полусфер.

Получилось Квадратное распределение натуральных чисел.

Каждый член ряда чисел: 0, 4, 16, 36, 64, 100 можно разбить на 2 равные части в последовательности: 2(0; 2; 8; 18; 32; 50). Последовательность этих равных частей представляет последовательность сдвоенностей – Диад. Каждая Диада, очевидно, состоит из двух монад последовательности: 0; 2; 8; 18; 32; 50.

Получилось Диадное распределение натуральных чисел.

Непрерывное и сплошное трёхмерное пространство не может быть полностью заполнено шарами сколь угодно малых объёмов. Между плотно прилегающими шарами всегда имеется «пустое» пространство. Поэтому для общности рассмотрим разбиение поверхностей концентрических кубов. Плотно прилегающими одинаковыми кубами произвольных объёмов заполняется всё трехмерное пространство без промежутков между кубами.