Глава 14 РАБОТА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ (II)

Глава 14

РАБОТА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ (II)

§1. Работа

§2. Движение при наложенных связях

§3. Консерватив­ные силы

§4. Неконсерватив­ные силы

§5. Потенциалы и поля

§ 1. Работа

В предыдущей главе мы ввели много новых понятий и идей, играющих важную роль в физике. Идеи эти столь важны, что, пожалуй, стоит посвятить целую главу внимательному ознакомлению с ними. Мы не будем здесь повторять «доказательства» и красивые приемы, поз­воляющие просто получать важные результаты, а вместо этого сосредоточим наше внимание на обсуждении самих идей.

Штудируя любой вопрос технического харак­тера, для понимания которого нужна математика, мы всегда сталкиваемся с необходимо­стью понять и отложить в памяти массу фактов и идей, объединенных определенными связями, Существование этих связей можно «доказать или «показать». Ничего не стоит спутать само доказательство с тем соотношением, которое оно устанавливает. Конечно, куда важнее вы­учить и запомнить не доказательство, а само соотношение. Тогда уж в любом случае мы смо­жем сказать: «Легко показать, что...» то-то и то-то верно, а то и действительно показать это, Приводимые доказательства почти всегда со­стряпаны, сфабрикованы с таким расчетом чтобы, во-первых, их легко было воспроизвести мелом на доске или пером на бумаге и, во-вто­рых, чтобы они выглядели поглаже. В итоге доказательство выглядит обманчиво просто, хотя, быть может, на самом деле автор много часов искал разные пути расчета, пока не нашел самый изящный — тот, который приводит к ре­зультату за кратчайшее время! Глядя на вывод формулы, надо вспоминать не этот вывод, а скорее сам факт, что то-то и то-то можно доказать. Конечно, если доказательство требует особых математических выкладок или «трюков», никогда прежде не виденных, то надо обратить внимание... впрочем, не на сами трюки, а на их идею.

Ни одно из доказательств, приведенных в этом курсе, автор не запомнил с тех времен, когда сам учил физику. Наоборот, он просто вспоминает, что то-то является верным, и, пытаясь пояснить, как это доказывается, сам придумывает доказатель­ство в тот момент, когда оно необходимо. И всякий, кто дейст­вительно изучил предмет, должен быть в состоянии поступать так же, не запоминая доказательств. Вот почему в этой главе мы будем избегать вывода различных положений, сделанных ранее, а просто будем подводить итоги.

Первая идея, которую нужно будет переварить,— это то, что работа производится силой. Физический термин «работа» ничего общего не имеет с общежитейским ее смыслом...

Физическая работа выражается в виде ?F·ds, или «кон­турный интеграл от F по ds «скалярно»; последнее означает, что если сила направлена, скажем, в одну сторону, а тело, на ко­торое сила действует, перемещается в другую сторону, то ра­боту совершает только составляющая силы в направлении пере­мещения. Если бы, например, сила была постоянна, а смеще­ние произошло на конечный отрезок Ds, то работа, выполнен­ная постоянной силой на этом пути, была бы равна произведе­нию составляющей силы вдоль Ds на Ds. Правило гласит: «ра­бота есть сила на путь», но подразумевается лишь составляющая силы в направлении перемещения, умноженная на Ds, или, что одно и то же, составляющая перемещения в направлении силы, умноженная на F.

Очевидно, что сила, направленная под прямым углом к перемещению, никакой работы не произведет.

Если, далее, вектор смещения Ds разложить на составляю­щие, т. е. если истинное смещение есть Ds и мы хотим считать, что оно состоит из составляющих смещения Dx; в направлении х, Dy в направлении у и Dz в направлении z, то вся произве­денная работа перемещения тела из одного места в другое может быть рассчитана по трем частям: отдельно работа смещения вдоль х, вдоль у и вдоль z. Работа перемещения вдоль х тре­бует знания только соответствующей составляющей силы F_{xи т. д., так что работа равна FxDx+FyDy+FzDz. Когда сила не постоянна, а движение запутанное, криволинейное, то нуж­но разбить путь на множество малых Ds, сложить работы переноса тела вдоль каждого Ds и перейти к пределу при Ds, стремящемся к нулю. В этом смысл понятия «контурный интеграл».}

Все, что мы только что сказали, содержится в формуле W=?F·ds. Но одно дело назвать эту формулу прекрасной, и

совсем другое — понять ее смысл и ее следствия.

Смысл слова «работа» в физике настолько отличается от того, что подразумевают под этим словом в обычных обстоятель­ствах, что надо тщательно проследить это различие. Например, по точному смыслу физического определения работы, если вы держите в руках двухпудовую гирю, вы не совершаете никакой работы. Вас бросает в пот, ваши руки дрожат, вы дышите тя­жело, как будто взбежали по лестнице, а работы вы не совер­шаете. Когда вы взбегаете по лестнице, то считается, что вы совершаете работу; когда вы сбегаете по лестнице вниз, то, сог­ласно физике, мир производит работу над вами, а вот когда вы держите предмет, стоя неподвижно, никакой работы не произ­водится. Физическое определение работы отличается от физио­логического по причинам, которые мы сейчас кратко изложим.

Когда вы держите груз, вы, конечно, выполняете «физиоло­гическую» работу. Отчего вас бросает в пот? Почему для такого занятия вам необходимо хорошо питаться? Почему все механиз­мы внутри вас работают в полную силу, когда вы подставили спину под груз? Ведь можно на этот груз не тратить никаких усилий, стоит лишь положить его на стол, и стол спокойно и мирно, не нуждаясь ни в какой энергии, будет держать себе тот же груз на той же высоте! Физиология дает примерно следующее объяснение. У человека и у других животных есть два рода мышц. Одни, называемые поперечнополосатыми, или скелетными, контролируются нашей волей; таковы, на­пример, мышцы рук. Другие мышцы называются гладкими (например, мышцы внутренностей или у моллюсков большой замыкающий мускул, который закрывает створки). Гладкие мышцы работают очень медленно, но способны «оцепенеть»; это значит, что если, скажем, моллюску нужно удержать свои створки в определенном положении, то он их удержит, какая бы сила на них ни нажимала. Многие часы способен он без устали держать створки под нагрузкой, подобно столу, на который положен груз; мышца «застывает» в определенном положении, молекулы ее как бы схватываются друг с другом, не совершая никакой работы, не требуя от моллюска никаких усилий. Нам же нужны непрерывные усилия, чтобы удержать вес. Это объясняется просто устройством поперечнополосатых мышц. Когда нервный импульс достигает мышечного волокна, оно несколько сокращается и затем опять расслабляется; когда мы держим груз, то в мышцу сплошным и обильным потоком текут нервные импульсы, множество волокон сокращается, пока дру­гие отдыхают. Это даже можно увидеть: когда рука устает держать тяжесть, она начинает дрожать. Происходит это потому, что поток импульсов нерегулярен и уставшие мышцы не успевают вовремя на них ответить. Почему же мышцы собраны по такой неудачной схеме? Неизвестно почему, но природа не сумела создать быстродействующих гладких мышц. А куда удобнее было бы поднимать грузы именно гладкими мышцами: они способны замирать на месте, они могут цепенеть и для этого не нужно было бы совершать никакой работы и не нужна никакая энергия. Правда, у этих мышц есть один недостаток: они очень медленно работают.

Но вернемся к физике и зададим еще один вопрос: зачем нам подсчитывать выполненную работу? Ответ: потому что это интересно и полезно. Потому что работа, которую про­изводит над частицей равнодействующая всех приложенных к ней сил, в точности равна изменению кинетической энергии этой частицы. Если тело толкнуть, оно наберет скорость, и D(v²)=2/m(F·Ds).

§ 2. Движение при наложенных связях

Силы и работа обладают еще одним интересным свойством. Пусть имеется некоторый уклон, какая-то криволинейная ко­лея, по которой частица должна двигаться без трения. Или имеется маятник — груз на ниточке; нить маятника вынуждает груз двигаться по кругу вокруг точки подвеса. Намотав нить на колышек, можно в качании менять точку подвеса, так что траектория груза будет складываться из двух окружностей разного радиуса. Все это примеры так называемых неподвижных связей без трения.

В движении с неподвижными связями без трения эти связи не производят никакой работы, потому что реакции связей всег­да прилагаются к телу под прямым углом к самим связям; так обстоит дело и с реакцией колеи и с натяжением нити.

Силы, возникающие при движении частицы вниз по склону под действием тяжести, весьма и весьма запутаны: здесь и ре­акции связи, и сила тяжести, и т. п. И все же, если основы­вать свои расчеты движения лишь на сохранении энергии и на учете только силы тяжести, получается правильный резуль­тат. Это выглядит довольно странно, потому что это не совсем правильно; надо было бы пользоваться равнодействующей силой. Тем не менее работа, произведенная только силой тя­жести, оказывается равной изменению кинетической энергии, потому что работа сил связей равна нулю (фиг. 14.1).

Фиг. 14.1. Силы, действующие на тело, скользящее без трения.

Важное свойство сил, о котором мы говорили, состоит в том, что если силу можно разбить на две или несколько «частей», то работа, выполняемая самой силой при движении по некоторой кривой, равна сумме работ, произведенных каждой «частью» силы. Если мы представляем силу в виде векторной суммы не­скольких сил (силы тяжести, реакции связей и т. д., или x-составляющих всех сил плюс y-составляющие и т.д., или еще как-нибудь), то работа всей силы равна сумме работ тех частей, на которые мы ее разделили.

§ 3. Консервативные силы

В природе существуют силы, скажем сила тяжести, обла­дающие замечательным свойством — «консервативностью» (ни­каких политических идей, ничего двусмысленного в этом поня­тии нет). Когда мы подсчитываем, какую работу выполняет сила, двигая тело от одной точки к другой, то вообще работа зависит от траектории; но в особых случаях эта зависи­мость пропадает. Если работа не зависит от траектории, мы говорим, что сила консервативна. Иными словами, если ин­теграл от произведения силы на приращения смещений между точками 1 и 2 (фиг. 14.2) один раз вычислен вдоль кривой А, а другой — вдоль кривой В, и оба раза получается одинаковое количество джоулей, и если это выполнено для любой кривой, соединяющей эту пару точек, и если это же справедливо для любой пары точек, то говорят, что сила консервативна. В таких обстоятельствах интеграл работы между точками 1 и 2 можно легко подсчитать и дать для него формулу. А в других случаях это не так просто: нужно задавать еще форму кривой; но когда работа не зависит от кривой, то, ясное дело, остается только зависимость от положений точек 1 и 2.

Чтобы доказать это, рассмотрим фиг. 14.2.

Фиг. 14.2. Возможные пути, соединяющие две точки в поле сил.

Фиксируем про­извольную точку Р. Криволинейный интеграл работы на участ­ке (1,2) можно вычислить, разбив его на две части: работу на участке (1, Р) и работу на участке (Р, 2), потому что сейчас у нас всюду консервативные силы, и по какому пути ни пойти, значение работы одно и то же. Работа перемещения из точки Р в любую точку пространства является функцией положения конечной точки. Она зависит и от Р, но мы во всем дальнейшем анализе точку Р закрепим, так что работа перемещения тела от точки Р к точке 2 будет некоторой функцией положения точ­ки 2. Она зависит от того, где находится точка 2; если перемес­тить тело в другую точку, ответ будет другой.

Обозначим эту функцию положения через -U(x, у, z); же­лая отметить, что речь идет именно о точке 2 с координатами x₂, y₂, z₂, мы будем просто писать U(2), сокращая обозначение U(х_г, у₂, z₂). Работу перемещения из точки 1 в точку Р можно написать, обратив направление интегрирования (переменив знаки всех ds). Другими словами, работа на участке (1,Р) равна работе на участке (P,1) со знаком минус:

Значит, работа на участке (Р,1) есть -U(1), а на участке (Р,2) есть -U(2). Поэтому интеграл от 1 до 2 равен -U(2) плюс [-U1) назад], т. е. + U(1)-U(2):

Величина U(1)-U(2) называется изменением потенциальной энергии, a U можно назвать потенциальной энергией. Мы бу­дем говорит, что когда предмет находится в положении 2, то он обладает потенциальной энергией U(2), а в положении 1 — потенциальной энергией U(1). Когда он находится в по­ложении Р, его потенциальная энергия равна нулю. Если бы вместо Р взять любую другую точку Q, то оказалось бы (это предоставляется доказать вам самим), что потенциальная энер­гия всех точек изменилась бы только на постоянную добавку. Так как сохранение энергии зависит только от изменений ее, то эта добавочная постоянная никакого значения не имеет. Вот поэтому точка Р произвольна.

Итак, у нас имеются два утверждения: 1) работа, выполняе­мая силой, равна изменению кинетической энергии системы, но 2) математически для консервативных сил выполненная ра­бота равна минус изменению функции U, называемой потен­циальной энергией. Как следствие этих утверждений возникает еще одно: если действуют только консервативные силы, сумма потенциальной U и кинетической Т энергий остается постоян­ной:

T+U=const. (14.2)

Рассмотрим формулу потенциальной энергии для ряда слу­чаев. Если поле тяготения однородно, если мы не поднимаемся до высот, сравнимых с радиусом Земли, то сила постоянна и направлена вертикально, а работа равна просто произведению силы на расстояние по вертикали. Стало быть,

U(z)=mgz, (14.3)

и за точку Р с нулевой потенциальной энергией можно принять любую точку на поверхности z=0. Но можно также говорить, что потенциальная энергия равна mg(z-6), если нам так уж этого хочется! Все результаты в нашем анализе останутся теми же, кроме того что потенциальная энергия на поверхности z=0 будет равна -mg6. Разницы никакой, ведь в расчет надо принимать только разности потенциальных энергий.

Энергия, необходимая для сжатия пружины на расстояние х от точки равновесия, равна

U(x)=¹/₂kx² (14.4)

и нуль потенциальной энергии приходится на точку х=0, т. е. на равновесное состояние пружины. И здесь тоже мы можем до­бавить любую константу.

Потенциальная энергия тяготения точечных масс Mи m на расстоянии rдруг от друга равна

U(r)=-GMm/r. (14.5)

Константа здесь выбрана так, чтобы потенциал исчезал на бесконечности. Конечно, эту же формулу можно применить и к электрическим зарядам, поскольку закон один и тот же:

U(r)=q₁q₂/4pe₀r. (14.6)

Давайте теперь поработаем с одной из этих формул, по­смотрим, поняли ли мы их смысл.

Вопрос: С какой скоростью должна отправиться ракета с Земли, чтобы покинуть ее?

Ответ: Сумма кинетической и потенциальной энергий должна быть постоянной; покинуть Землю — значит удалиться от нее на миллионы километров; если у ракеты только-только хватает сил, чтобы покинуть Землю, то надо предположить, что там, вдалеке, ее скорость будет равна нулю и что на бесконечности она будет едва-едва двигаться. Пусть а — радиус Земли, а M— ее масса. Кинетическая плюс потенциальная энергии первона­чально были равны ^l/₂ mv² -GmM/a. В конце движения эти обе энергии должны сравняться. Кинетическую энергию в конце движения мы считаем нулевой, потому что тело еле движется (почти с нулевой скоростью), а потенциальная энергия равна величине GmM, деленной на бесконечность, т. е. опять нулевая. Значит, с одной стороны стоит разность двух нулей; поэтому квадрат скорости должен быть равен 2GM/a. Но GM/a² это как раз то, что называют ускорением силы тяжести g. Итак,

v²=2ga.

С какой скоростью должен двигаться искусственный спут­ник, чтобы не падать на Землю? Мы когда-то решали эту зада­чу и получили v²=GM/a. Значит, чтобы покинуть Землю, нужна скорость, в Ц2 большая, чем скорость вращения спутника вокруг Земли. Иными словами, чтобы улететь с Земли, нужно вдвое больше энергии (энергия пропорциональна квадрату ско­рости), чем чтобы облететь вокруг нее. Поэтому исторически сначала были совершены облеты искусственных спутников вокруг Земли, для чего понадобились скорости около 7,8 км/сек. И только потом космические корабли были заброшены в миро­вое пространство; для этого потребовалось уже вдвое больше энергии, т. е. скорости около 11,2 км/сек.

Продолжим теперь наш обзор характеристик потенциальной энергии. Давайте рассмотрим взаимодействие двух молекул или двух атомов, например двух атомов кислорода. Когда они находятся далеко друг от друга, они притягиваются с силой, обратно пропорциональной седьмой степени расстояния, а при тесном сближении они сильно отталкиваются. Проинтегри­ровав минус седьмую степень расстояния, чтобы получить ра­боту, мы увидим, что потенциальная энергия U (функция рас­стояния между атомами кислорода) изменяется как минус шес­тая степень расстояния (на больших расстояниях).

Если мы чертим некую кривую потенциальной энергии U(r) (фиг. 14.3), то при больших r она выглядит как r^-6, а при до­статочно малых r достигает минимума.

Фиг. 14.3. Потенциальная энер­гия взаимодействия двух атомов как функция расстояния между ними.

Минимум потенциальной энергии в точке r=d означает, что если мы сдвинемся от нее на малое расстояние, на очень малое расстояние, то произве­денная работа, равная изменению потенциальной энергии на этом промежутке, почти равна нулю, потому что на донышке кривой энергия почти не меняется. Значит, в этой точке сила равна нулю, и это есть точка равновесия. Условие равновесия можно высказать и иначе: для удаления из точки равновесия в любую сторону нужно затратить работу. Когда два атома кислорода расположены так, что никакой энергии из их силы взаимодейст­вия больше выжать нельзя, то они находятся в наинизшем энер­гетическом состоянии и промежуток между ними равен d. Так выглядит молекула кислорода, когда она не нагрета. При нагре­вании атомы колеблются и расходятся; их можно и совсем раз­вести, но для этого нужно определенное количество работы или энергии, равное разности потенциальных энергий в точках r=d и r=Ґ. При попытке сблизить атомы энергия быстро воз­растает вследствие их взаимного отталкивания.

Почему мы говорим о потенциальной энергии? Потому что идея силы не очень пригодна для квантовой механики, там более естественна идея энергии. Когда мы рассматриваем более сложные взаимодействия: ядерного вещества, молекул и т. д., то, хотя понятия силы и скорости «рассасываются» и исчезают, оказывается, что понятие энергии все же остается. Поэтому в книгах по квантовой механике мы находим кривые потенциаль­ной энергии, но очень редко увидим график силы взаимодей­ствия двух молекул, потому что те, кто изучает эти явления, больше уже привыкли думать об энергии, чем о силе.

Заметим еще, что, когда на тело одновременно действуют несколько консервативных сил, потенциальная энергия тела есть сумма потенциальных энергий от каждой силы. Это то, что мы утверждали и раньше, потому что, когда сила представляется векторной суммой сил, работа, производимая ею, равна сумме работ, производимых отдельными силами; поэтому ее можно представить как изменения потенциальных энергий от каждой силы по отдельности. Значит, общая потенциальная энергия равна сумме всех частей.

Мы можем обобщить это на случай системы многих тел, как, например, Юпитера, Сатурна, Урана и т. д. или атомов кислоро­да, азота, углерода и т. д., взаимодействующих друг с другом попарно, причем силы взаимодействия каждой пары консерва­тивны. В таких условиях кинетическая энергия всей системы есть просто сумма кинетических энергий всех отдельных атомов, или планет, или частиц, а потенциальная энергия системы есть сумма потенциальных энергий взаимодействия отдельных пар, рассчитанных в предположении, что других частиц нет. (На самом деле для молекулярных сил это неверно, и формула полу­чается несколько сложнее; для ньютонова тяготения это опре­деленно справедливо, а для молекулярных сил годится лишь как приближение. Можно, конечно, говорить о потенциальной энергии молекулярных сил, но она иногда оказывается более сложной функцией положений атомов, чем простая сумма по­парных взаимодействий.) Поэтому потенциальная энергия в частном случае тяготения представляется суммой по всем парам i и j членов — Gm_im_j/r_ij [как было показано в уравнении (13.14)]. Уравнение (13.14) выражает математически следующее предложение: общая потенциальная плюс общая кинетическая энергии не меняются со временем. Пусть себе различные планеты вращаются, обращаются и покачиваются, все равно если под­считать общую потенциальную и общую кинетическую энергии, то окажется, что их сумма всегда остается постоянной.

§ 4. Неконсервативные силы

Мы потратили немало времени, обсуждая свойства консер­вативных сил. Что же мы теперь скажем о неконсервативных силах? Мы хотим разобраться в этом вопросе более подробно, чем это обыкновенно делают, и показать, что неконсервативных сил не бывает! Оказывается, все основные силы природы, по-видимому, консервативны. Не подумайте, что это следствие из законов Ньютона. На самом деле, насколько представлял себе это сам Ньютон, силы могут быть неконсервативными, как, например, трение, которое кажется неконсервативным. Упот­ребляя слово «кажется», мы проводим современную точку зре­ния, которая доказывает, что все глубинные силы, все силы взаи­модействия между частицами на самом фундаментальном уровне суть силы консервативные.

Когда мы, например, анализируем систему наподобие боль­шого шарового звездного скопления (фотографию такого скоп­ления мы показывали) с тысячами взаимодействующих звезд, то формула для общей потенциальной энергии состоит просто из суммы слагаемых, каждое из которых выражает взаимодействие какой-то пары звезд; точно так же и кинетическая энергия есть сумма кинетических энергий всех отдельных звезд. Но шаровое скопление как целое движется и в пространстве, и окажись мы от него так далеко, что не смогли бы различать от­дельных деталей, мы бы приняли его за единый предмет. Если бы при этом к нему были приложены какие-то силы, то часть из них могла бы двигать его как целое и мы бы увидели, как центр этого тела движется. С другой стороны, прочие силы могли бы, если так можно выразиться, «тратиться» на повышение по­тенциальной или кинетической энергии «частиц» внутри «тела». Положим, например, что действие этих сил привело бы к расши­рению всего скопления и увеличению скоростей «частиц». Общая энергия «тела» на самом деле сохранялась бы. Но, глядя издалека нашими слабыми глазами, не различающими беспоря­дочных внутренних движений, мы бы видели только кинети­ческую энергию всего тела и нам бы казалось, что энергия не сохраняется, хотя все дело было бы в том, что мы не различаем деталей. Оказывается, что это всегда так: общая энергия Вселенной, кинетическая плюс потенциальная, если как следует посмотреть, всегда постоянна.

Изучая тончайшие свойства вещества на атомном уровне, не всегда легко разделить общую энергию на две части, потен­циальную и кинетическую, и не всегда такое разделение необ­ходимо. Во всяком случае, оно возможно почти всегда, так что давайте говорить, что оно всегда возможно и что потенциальная плюс кинетическая энергии мира постоянны. Итак, общая по­тенциальная плюс кинетическая энергии внутри целого мира постоянны, и если «мир» — это изолированный кусок вещества, то энергия его постоянна, если только нет внешних сил. Но, как мы видели, часть кинетической и потенциальной энергий предмета может быть внутренней (например, внутренние молекулярные движения), внутренней в том смысле, что мы ее не замечаем. Мы знаем, что в стакане воды все колеблется, все части беспрерывно движутся, так что внутри имеется определенная кинетическая энергия, на которую мы обычно никакого внимания не обраща­ем. Мы не замечаем движения атомов, рождающего теплоту, и поэтому не называем его кинетической энергией, но основа тепла — все-таки кинетическая энергия. Точно так же и внутрен­няя потенциальная энергия может, например, иметь форму химической энергии: когда мы сжигаем бензин, выделяется энер­гия, потому что потенциальные энергии атомов при новом их размещении оказываются ниже, чем при прежнем расположе­нии. Строго говоря, теплоту нельзя считать чисто кинетической энергией, в нее входит и часть потенциальной энергии; то же относится и к химической энергии, так что лучше объединить их и говорить, что общая кинетическая и потенциальная энергии внутри тела — это частично тепло, частично химическая энер­гия и т. д. Во всяком случае, все эти различные формы внутрен­ней энергии иногда рассматривают как «потерянную» энергию в том смысле, как сказано выше; когда мы изучим термодинами­ку, нам все это станет яснее.

В качестве другого примера возьмем трение. Неверно, что кинетическая энергия в результате трения исчезает; это не­верно, хотя скользящее тело и впрямь останавливается и кажется, что кинетическая энергия пропала. Но она не про­падает, ибо атомы внутри тела начинают двигаться с большим запасом кинетической энергии; хоть мы этого и не можем уви­деть, но можно догадаться об этом по повышению температуры. Конечно, если не обращать внимания на тепловую энергию, то теорема о сохранении энергии покажется неправильной.

Еще в одном случае может показаться, что энергия не сохраняется: когда мы изучаем часть всей системы. Вполне естественно, что если что-то взаимодействует с чем-то внешним и мы пренебрегаем этим взаимодействием, то теорема о сохра­нении энергии будет выглядеть неверной.

В классической физике в потенциальную энергию включались только тяготение и электричество, но теперь у нас есть и атом­ная энергия и многое другое. В классической теории, например, свет — это особая форма энергии, но можно, если нам этого хочется, представить себе энергию света как кинетическую энергию фотонов, и тогда наша формула (14.2) опять окажется справедливой.

§ 5. Потенциалы и поля

Теперь обратимся к некоторым идеям, связанным с потен­циальной энергией и с понятием поля. Пусть два больших тела А и В притягивают к себе третье малое тело с суммарной силой F. Мы уже отмечали в гл. 12, что сила притяжения частицы может быть представлена как произведение ее массы mна век­тор С, зависящий лишь от положения частицы:

F = mC.

Тяготение можно анализировать, считая, что в каждом месте пространства имеется вектор С, который «действует» на массу, помещенную в это место, но который присутствует там безот­носительно к тому, поместили ли мы туда массу или нет. Вектор С имеет три составляющие, и каждая из них является функцией от (х, y, z) — функцией положения в пространстве. Такую вещь мы называем полем и говорим, что тела А и В создают поле, т. е. «делают» вектор С. Когда тело помещено в поле, то сила дей­ствия на это тело равна его массе, умноженной на величину вектора поля в той точке, куда тело попало.

С потенциальной энергией можно сделать то же самое. Так как потенциальная энергия, интеграл от (Сила)·(ds), может быть записана в виде массы m, умноженной на интеграл от (Поле)·(ds) — это простое изменение масштаба, — то потен­циальную энергию U(x, у, z) тела, расположенного в точке (х, у, z), можно записать как произведение mна другую функ­цию. Назовем ее потенциалом y.. Интеграл ?C·ds равен

-y, подобно тому как ?F·ds=-U; они отличаются только

масштабом:

U= -?F·ds=-m?C·ds=my. (14.7)

Зная в каждой точке пространства эту функцию y (х, y, z), можно немедленно вычислить потенциальную энергию тела в любой точке, а именно U(x, у, z) — my (х, у, z). Теперь, как видите, это стало делом пустяковым. Но на самом деле это от­нюдь не пустяк, потому что иногда намного приятнее описать поле, задав распределение потенциала во всем пространстве, чем задавать С. Вместо трех сложных компонент векторной функции проще задать скалярную функцию y. Кроме того, когда поле создается многими массами, величину y рассчиты­вать легче, чем три компоненты С: потенциалы—скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлениях сил. А поле С, как мы сейчас увидим, легко восстановить, зная y. Пусть у нас есть точечные массы m₁, m₂,... в точках 1, 2..., и мы хотим знать потенциал yв некоторой произвольной точке Р. Тогда он оказывается простой суммой потенциалов отдельных масс в точке Р:

Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4.

Фиг. 14.4. Потенциал тяготею­щего сферического слоя радиусом а.

Потенциал отрицателен, ра­вен нулю на бесконечности, падает как 1/r, пока r не станет рав­ным а, и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен —Gm/r (т— масса слоя), что полностью сов­падает с потенциалом точки с массой т, помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным —Gm/a и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет: если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы дви­гаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняе­мая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что ра­бота передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий ин­теграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова, значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил.

В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности поля, когда потенциальная энергия известна.

Пусть потенциальная энергия тела в точке (х, у, z) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить x-компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у- и z-компоненты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние Dx, то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы x-компоненте силы, умноженной на Dx (если Dx достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой:

DW=-DU=F_xDx. (14.9)

Мы просто применили формулу ?F·ds=-DU для очень

малых расстояний. Теперь разделим на Dx и обнаружим, что сила равна

F_x=-DU/Dx. (14.10)

Конечно, это не совсем точно. На самом деле нам нужно перейти в (14.10) к пределу при Dx, стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых Dx. Мы узнаем в правой части (14.10) производную U по х и хотим написать -dUldx. Но U зависит и от х, и от у, и от z, и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рас­считано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень ос­торожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напо­минает, что только х считается изменяющимся, а у и z — нет. Вместо d они просто пишут «6 навыворот», или д. (По-моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать с д, а не с d; d всегда хочется сократить, а вот на д как-то рука не поднимается!) Итак, они пишут dU/dx, а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительными, они ставят за дх скобку с маленькими у, z внизу (dU/dx)_yz, что означает: «Продифференцируй U по х, считая у и z по­стоянными». Но мы чаще всего не будем отмечать, что осталось постоянным, из контекста это всегда можно понять. Но зато всегда будем писать д вместо d как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной, т. е. производ­ной, для вычисления которой меняют часть переменных, х.

Итак, мы обнаруживаем, что сила в направлении х равна минус частной производной U по х:

F_x=-дU/дx (14.11)

Точно так же и сила в направлении у получается дифференци­рованием U по у при постоянных х и z, а третья составляющая силы опять-таки есть производная по z при х и у постоянных:

В этом и состоит способ получать силу из потенциальной энер­гии. Поле получается из потенциала в точности так же:

Заметим, кстати, что существует и другое обозначение (впро­чем, пока оно нам не понадобится). Так как С есть вектор с компонентами х, у, z, то символы д/дх, д/ду, d/dz, дающие х-, у-, z-компоненты поля, чем-то напоминают векторы. Матема­тики изобрели знаменитый символ С, или grad, называемый «градиентом»; это не величина, а оператор, он делает из скаляра вектор. У него есть три составляющие: x-компонента этого grad есть д/дх, y-компонента — д/ду, а z-компонента— d/dz, и мы можем позабавиться, переписав наши формулы в виде

Глядя на С; мы мгновенно узнаем, что наши уравнения вектор­ные; но на самом деле уравнение (14.14) означает в точности то же, что и (14.11) и (14.12); просто это другой способ записи. Не желая писать каждый раз три уравнения, мы пишем одно лишь СU.

Еще один пример полей и потенциалов связан с электри­чеством. В этом случае сила, действующая на неподвижное тело, равна заряду, умноженному на поле: F = qЕ. (В x-составляющую силы входят, вообще говоря, и члены, которые зависят от маг­нитного поля. Но из уравнения (12.10) легко увидеть, что сила, действующая на частицу со стороны магнитных полей, всегда направлена поперек поля и поперек ее скорости. Благодаря этому свойству магнетизм не производит никакой работы над движущимся зарядом, потому что сила перпендикулярна пере­мещению. Значит, вычисляя кинетическую энергию в электри­ческом и магнитном полях, можно пренебречь вкладом магнит­ного поля, так как оно не изменяет кинетической энергии.) По­ложим, что имеется только электрическое поле. Тогда мы можем рассчитать энергию или произведенную работу точно таким же способом, как и для тяготения: вычислить величину j, равную минус интегралу от Е·ds от произвольной фиксированной точки Р до точки, в которой вычисляется потенциал; тогда потенци­альная энергия в электрическом поле равна просто произведе­нию заряда на эту величину j:

j(r) = -E·ds,

U=qj.

В качестве примера рассмотрим две параллельные метал­лические пластины с поверхностным зарядом ±s (на единицу площади) каждая. Такая штука называется плоским конден­сатором. Мы уж убедились раньше, что снаружи пластин сила равна нулю, а между ними существует постоянное электрическое поле. Оно направлено от плюса к минусу и равно s/e₀ (фиг. 14.5).

Фиг. 14.5. Поле между параллель­ными пластинами.

Мы хотим знать, какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд от одной пластины к другой. Работа равна интегралу от (Сила.)·(ds). Его можно записать как произведение заряда на значение потенциала на пластине 1 минус та же величина на пластине 2:

W=?F·ds= q(j₁-j₂).

Интеграл здесь легко вычислить, так как сила постоянна, и если обозначить толщину конденсатора d, то интеграл равен

Разница в потенциалах Dj= sd/e₀называется напряжением и j измеряют в вольтах. Когда мы говорим, что пара пластин заряжена до определенного напряжения, мы хотим этим сказать, что разность электрических потенциалов двух пластин равна стольким-то вольтам. У конденсатора, сделанного из двух параллельных пластин с поверхностным зарядом ±s, напряжение (или разность потенциалов этой пары пластин) равно sd/e₀.