Роль вынужденного излучения в теории дисперсии света

Роль вынужденного излучения в теории дисперсии света

Используя результаты Эйнштейна, физики-теоретики смогли построить квантовые теории рассеяния света и дисперсии.

Как мы уже говорили о преломлении света призмой, лучи света, которые относятся к различному цвету, отклоняются на разные углы, что связано с разной скоростью их распространения. Для описания этого явления, удобно ввести величину, которая называется показателем преломления и представляет отношение между скоростью света в вакууме к скорости света в среде. Используя эту величину, закон преломления можно выразить, говоря, что синус угла падения, деленный на синус угла преломления, равен отношению показателя преломления второй среды к показателю преломления входной среды.

Рис. 23. Явление дисперсии. На рисунке показано изменение показателя преломления прозрачного стекла в зависимости от длины волны, выраженной в нанометрах (1нм = 10^—9 м)

Явление зависимости скорости распространения света (т.е. показатель преломления) от длины волны называется дисперсией света (рис. 23). Причина, почему свет разного цвета распространяется в одной и той же среде с разными скоростями, была открыта благодаря исследованию того, как электроны в атомах испускают свет. Простейшей моделью может быть система, в которой электрон в атоме совершает регулярные движения вперед и назад, подобно маятнику часов. Такое движение называется в физике периодическим. Во время своего движения электрон испытывает ускорение и, поэтому, согласно уравнениям Максвелла, должен испускать излучение. Все это можно представить простой моделью, в которой электрон упруго связан с атомом, как если бы он был связан пружиной (гармонический осциллятор). Эта модель уже использовалась для описания испускания излучения черным телом. Теперь она используется для объяснения испускания и поглощения электромагнитного излучения веществом.

Чтобы объяснить, почему атом может испускать многие частоты, можно предположить, что он состоит из многих осцилляторов, способных испускать или поглощать определенные частоты, и что именно они и обнаруживаются на эксперименте. На основе такого подхода П. Друде, В. Фойхт (1850— 1919) и позднее X. А. Лоренц разработали теорию дисперсии, которая была в хорошем согласии с экспериментом и давала удовлетворительное объяснение дисперсии и поглощения света. Изучая математически отклик осцилляторов на электрическое поле волны, можно вывести показатель преломления и его зависимость от длины волны. Получается интересный результат, показывающий, что на тех длинах волн, которые далеки от тех, на которых атом поглощает, показатель преломления равен единице, т.е. свет распространяется с той же скоростью, что и в вакууме, и среда не оказывает на него влияния. Однако когда длина волны приближается к той, на которой атом может поглощать, показатель преломления уменьшается (когда поглощение увеличивается) и после достижения минимума снова начинает увеличиваться до единицы на длине волны, на которой атом поглощает (но мы не можем выявить это, поскольку весь свет поглощается). Далее, когда длина волны продолжает увеличиваться, показатель преломление растет, достигает максимума, а затем возвращается к единице в области далекой от поглощения. Это именно то, что и наблюдается на эксперименте. Поведение показателя преломления между минимумом и максимумом очень трудно для измерений, так как это область сильного поглощения. Она указывается как аномальная дисперсия, поскольку в этой области показатель преломления увеличивается при увеличении длины волны, вместо того, чтобы уменьшаться (нормальная дисперсия).

Классические уравнения, получаемые при расчетах, были в очень хорошем согласии с экспериментом и давали удовлетворительную интерпретацию дисперсии и поглощения. Однако когда теория Бора стационарных состояний отвергла классическую теорию упруго связанных электронов, эти формулы, несмотря на их de facto правильность, полностью потеряли свое теоретическое оправдание. Первые попытки сформулировать теорию дисперсии в терминах квантово-механических концепций, предпринятые П. Дебаем (1881—1958), А. Зоммерфельдом (1868—1951) и Ч. Дэвиссоном (1881 — 1958), оказались неудовлетворительными главным образом из-за того, что теперь в рамках новой модели атома, при приложении электрического поля световой волны, колебания совершались только, когда электрон возмущался со своей стационарной орбиты. В этом случае он начинал колебаться вокруг положения равновесия с частотой, которая, очевидно, очень отличается от той, что соответствует переходу с одной орбиты на другую.

Первый корректный шаг к квантово-механической интерпретации дисперсии был сделан Ладенбургом. Рудольф Вальтер Ладенбург играет важную роль в нашей истории. Как мы увидим, он очень близко подошел к открытию усиления за счет вынужденного излучения, которое является основой работы лазеров.

Ладенбург родился в Киле (Германия) 6 июня 1882 г. и скончался в Принстоне (Нью Джерси, США) 3 апреля 1952 г. Он был младшим из трех сыновей известного химика Альберта Ладенбурга. Учился в школе г. Бреслау, где его отец, автор ряда важных работ по органической химии, был профессором химии в местном университете. В 1902 г. Ладенбург отправился в Мюнхен, и в 1906 г. защитил диссертацию по вязкости под руководством Рентгена. С 1906 по 1924 г. в университете Бреслау он был сначала доцентом, а потом профессором. За это время он проводил исследования фотоэлектрического эффекта и подтвердил, что энергия фотоэлектрона не зависит от интенсивности света, но пропорциональна его частоте.

В 1911 г. он женился и тремя годами позже поступил на службу в армию, в 1914—1918 гг. выполнял исследования по использованию звуковых сигналов для обнаружения целей (сонар). В 1924 г. он поступил в Институт Кайзера Вильгельма в Берлине по приглашению директора Ф. Габера (1868—1934), нобелевского лауреата по химии (1918 г.). В этом престижном институте, где также работал Эйнштейн, он оставался до 1931 г. в должности руководителя физического отдела, после чего перешел в Принстон на кафедру физики приемником Карла Комптона (1887—1954) брата Артура.

После Первой мировой войны Ладенбург искал способ связать постулаты Бора об излучении и поглощении света атомами с моделью гармонических осцилляторов. Хотя он не сделал ясных упоминаний этого, он предположил, что когда атом возмущается, электрон не колеблется вокруг своей орбиты, как следовало бы ожидать из классических концепций, но падает на нижний уровень в согласии с моделью Бора, и этот процесс можно описать классически, как если бы электрон был бы маленьким гармоническим осциллятором, который колеблется как раз с частотой перехода.

Введение коэффициентов Эйнштейна поглощения, спонтанного и вынужденного излучения позволило ему предложить теорию, способную объяснить оптические свойства вещества. Он начал в 1921 г. с вывода выражения, которое позволило ему найти для каждого атома, сколько электронов участвует в оптическом явлении (это число он назвал числом дисперсных электронов), используя коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения. Он получил это число, вычисляя энергию, которая излучается и поглощается набором атомов, находящихся в тепловом равновесии с излучением. При этом использовалась модель осциллятора, с одной стороны, и квантовая теория Бора — с другой. Согласно принципу соответствия Бора, результат этих двух расчетов, хотя и совершенно различных, должен был быть тем же самым. Итак, путем уравнения этих результатов, было найдено соотношение между числом электронов, которые участвуют в поглощении и излучении, и коэффициентом Эйнштейна, который описывает спонтанное излучение атомов. Число электронов, участвующих в этих процессах, можно определить из экспериментальных измерений излучения, поглощения, аномальной дисперсии и др. Тем самым можно определить вероятность, с какой происходят эти переходы. Ладенбург использовал этот результат для измерений, которые он выполнил с водородом и натрием в 1921-1923 гг.

В 1923 г. он вместе с Ф. Райхе (1883—1963) вывел соотношение, которое связывает показатель преломления на данной длине волны с коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения. Однако эта формула оказалась неполной, так как она не включала эффект вынужденного излучения. Он был учтен введением соответствующего члена Крамерсом и Гейзенбергом. Фундаментальный шаг был сделан в 1924 г. Крамерсом, который модифицировал формулу, полученную Ладенбургом, и показал, что необходимо ввести некоторый член для точного учета спонтанного излучения.

Хендрик Антон Крамере родился 17 декабря 1894 г. в Роттердаме в семье врача. Он обучался в Лейденском университете под руководством П. Эренфеста (1880—1933), который с 1912 г. занял место Лоренца. В 1916 г. Крамере отправился в Копенгаген, для работы с Нильсом Бором. Когда в 1920 г. открылся Институт Теоретической Физики Бора, Крамере был сперва ассистентом, а затем в 1924 г. лектором. В 1926 г. он принял должность заведующего кафедрой теоретической физики в Утрехте, а в 1934 г. вернулся в Лейден как приемник Эренфеста, который в сентябре 1933 г. покончил жизнь самоубийством. С 1936 г. вплоть до своей смерти 24 апреля 1952 г. Крамере преподавал в Лейдене, и посетил ряд стран, включая США.

В Копенгагене Крамере работал над проблемой дисперсии. В 1924 г. он написал выражение, которое вынужденное излучение было принято во внимание. Основной идеей его работы было то, что дисперсию не следует вычислять, рассматривая реальную орбиту электрона, классически взаимодействующего с электромагнитной волной. Вместо этого атом заменяется набором гипотетических осцилляторов, чьи частоты соответствуют скачкам между стационарными состояниями модели Бора. Таким образом, каждый осциллятор соответствует одному из возможных атомных переходов. Набор этих фиктивных (виртуальных) осцилляторов был назван Альфредом Ланде (1888—1975) «виртуальным оркестром». Таким образом, этот виртуальный оркестр является формальной заменой для излучения и, тем самым, неявно становится представлением самого квантового излучателя.

Разумеется, при этом возможно иметь положительные члены, которые соответствуют переходу из состояния с низшей энергии в состояние с высшей энергией, который характеризуется поглощением фотона, и отрицательные члены, которые соответствуют обратному переходу с высшего на низшее состояние, с испусканием фотона. Отрицательный вклад добавляет к дисперсии то, что мы укажем как «отрицательная дисперсия», из-за излучающих осцилляторов, и аналогичен отрицательному поглощению, представляемому коэффициентом Эйнштейна для вынужденного излучения. Т.е., как писал Крамере в своей работе в 1925 г.: «Световые волны на этой частоте, проходя через большое число атомов в рассматриваемом состоянии, будут увеличиваться в интенсивности».

Используя весьма изощренную спектроскопическую технику, Ладенбург и его сотрудники изучили эффект отрицательной дисперсии в 1926 и 1930 гг. В одном из этих исследований, выполненных в сотрудничестве с Г. Копферманом (1895—1963), Ладенбург исследовал дисперсию газа неона вблизи его красных линий испускания. Неон возбуждался в стеклянной трубке электрическим разрядом, примерно так, как это делается сейчас в рекламных устройствах. Была измерена дисперсия как функция интенсивности от величины тока разряда. Они обнаружили, что при увеличении тока выше некоторого значения, дисперсия уменьшается (т.е. падает разница от показателя преломления, равного единице). Убедительно наблюдалось, что эффект отрицательной дисперсии можно объяснить уменьшением дисперсии, поскольку увеличивалось число атомов в высшем состоянии. Эти эксперименты явились первым экспериментальным доказательством существования отрицательных членов в уравнении дисперсии. Если бы эти измерения были бы продолжены систематически, усиление за счет вынужденного излучения, вероятно, могло бы быть получено в то время.

Другие исследователи изучали эффекты вынужденного излучения. Одним из них был Дж. ван Флек (1899—1980), один из наиболее выдающихся американских физиков-теоретиков среди основателей современной теории твердого тела и, в частности, магнетизма. Он получил свою докторскую степень в Гарварде в 1922 г. за первую в Америке диссертацию по квантовой механике, и в 1977 г. получил вместе с Н. Ф. Мотом и П. В. Андерсоном Нобелевскую премию за «квантово-механическое описание магнитных свойств вещества». Другим был американец Р. Толмен (1881—1948) — специалист по теории относительности и статистической механики, который открыл эффект, демонстрирующий существование свободных электронов в металлах. Они наблюдали, что вынужденное излучение, названное ван Флеком «индуцированным излучением» может привести к отрицательному поглощению, и Толмен писал, что «...молекулы, находящиеся в верхнем состоянии, могут возвратиться в нижнее квантовое состояние таким образом, что первоначальный пучок усиливается за счет «отрицательного поглощения». После столь ясной основы для изобретения лазера Толмен сказал, что в экспериментах по поглощению, которые обычно выполняются, величиной отрицательного поглощения можно пренебречь.

Причина, почему ученые считали, что явления, связанные с вынужденным излучением, не дают существенных экспериментальных эффектов, заключается в тех следствиях, которые получаются при использовании закона Максвелла-Больцмана (выведенного в конце 19 столетия), который устанавливает вероятность нахождения при равновесии системы, обладающей определенной энергией. Этот закон, используемый в нашем случае для набора атомов, находящихся в термическом равновесии, в основном или в возбужденном состоянии, утверждает, что число атомов в возбужденном состоянии всегда много меньше числа атомов, находящихся в основном состоянии. В природе все физические системы находятся в тепловом равновесии или очень мало отличаются от него и быстро в него возвращаются. Поэтому в случае атомов, следует ожидать, что число возбужденных атомов всегда будет малым по сравнению с атомами, находящимися в основном состоянии. Тем самым разумно полагать, что эффект вынужденного излучения, который требует наличия возбужденных атомов, будет очень мал.

Позднее, в 1940 г., российский ученый В. А. Фабрикант в своей докторской диссертации показал, что если число молекул в возбужденном состоянии могло быть больше, чем число молекул в основном состоянии, то могло бы быть усиление излучения. Однако эта диссертация не была опубликована и, кажется, не имела последствий даже в России. Его предположение стало известным только тогда, когда после изобретения мазера Фабрикант получил российский патент.

В конце концов в 1947 г. У. Лэмб (г. р. 1913) и Р. Ризерфорд (г. р. 1912) захотели проверить точность предсказания Поля Дирака об энергетических уровнях и спектральных линиях водорода. Предсказание Дирака утверждало, что атом водорода имеет два возможных состояния с равными энергиями. В знаменитом эксперименте, сделанном при изучении разряда в водороде, эти исследователи обнаружили, что имеется маленькое различие между этими энергетическими уровнями. Этот «лэмбовский сдвиг» показал, что нужна ревизия теории взаимодействия электрона с электромагнитным излучением. За этот результат Лэмб в 1955 г. получил Нобелевскую премию по физике, которую он разделил с Поликарпом Куршем. В приложении к своей работе, опубликованной в 1950 г., Лэмб и Ризерфорд, обсуждая результаты, указали, что в их эксперименте могли быть осуществлены условия достижения инверсной населенности (т.е. больше возбужденных атомов, чем атомов, находящихся в основном состоянии). Однако они заключили, что их расчеты были слишком оптимистичны, и они не предприняли усилий для дальнейших проверок. Позднее Лэмб писал, что в то время концепция отрицательного поглощения и ранние исследования были новыми для них и что в любом случае их интересы были принципиально устремлены на изучение тех вещей, которые принесли ему Нобелевскую премию. По этой причине они не исследовали тщательно аспекты проблемы, связанной с вынужденным излучением.