10. Природа математики

«Структура реальности», которую я описывал до сих пор, была структурой физической реальности. Тем не менее я свободно ссылался на такие сущности, которых нет нигде в физическом мире, — абстракции, такие как числа и бесконечные множества компьютерных программ. Да и сами законы физики нельзя отнести к физическим сущностям в том смысле, в каком к ним относятся камни и планеты. Как я уже сказал, «книга природы» Галилея — это всего лишь метафора. И кроме того, существуют фикции виртуальной реальности — несуществующие среды, законы которых отличаются от реальных физических законов. Ещё дальше лежит то, что я назвал CGT-средами, которые невозможно воспроизвести даже в виртуальной реальности. Я говорил, что существует бесконечно много таких сред для каждой среды, которую можно создать. Но что значит сказать, что такие среды «существуют»? Если они не существуют ни в реальности, ни даже в виртуальной реальности, то где же они существуют?

А существуют ли абстрактные нефизические сущности вообще? Являются ли они частью структуры реальности? Меня здесь занимают вовсе не проблемы словоупотребления. Очевидно, что числа, физические законы и т. п. действительно в некотором смысле «существуют», и в некотором — нет. Подлинный вопрос состоит в следующем: как мы должны понимать такие сущности? Какие из них являются всего лишь удобными словесными конструкциями, ссылающимися, в конечном счёте, лишь на обычную физическую реальность? Какие из них — всего лишь преходящие особенности нашей культуры? Какие из них произвольны, как правила тривиальной игры, на которые нужно просто посмотреть? А какие, если такие вообще есть, можно объяснить, только приписав им независимое существование? Всё, что относится к последнему виду, должно быть частью структуры реальности, как она определяется в этой книге, потому что это необходимо понять, чтобы понять всё, что понято.

Это говорит о том, что нам снова следует воспользоваться критерием д-ра Джонсона. Если мы хотим знать, действительно ли существует данная абстракция, мы должны спросить, «даёт ли она ответную реакцию» сложным, автономным образом. Например, математики характеризуют «натуральные числа» 1, 2, 3… точным определением:

• 1 является натуральным числом;

• у каждого натурального числа есть ровно одно следующее число, которое также является натуральным;

• 1 не является следующим для какого-либо натурального числа;

• два натуральных числа, следующие за которыми одинаковы, также одинаковы между собой.

Подобные определения — суть попытки абстрактного выражения интуитивного физического понятия последовательных значений дискретной величины. (Точнее, как я объяснил в предыдущей главе, это понятие на самом деле является квантово-механическим.) Арифметические действия, например, умножение и сложение, а также последующие понятия вроде простых чисел, в этом случае определяют, ссылаясь на «натуральные числа». Но создав абстрактные «натуральные числа» через это определение и поняв их через эту интуицию, мы обнаруживаем, что есть гораздо больше такого, чего мы о них всё ещё не понимаем. Определение простого числа раз и навсегда устанавливает, какие числа являются простыми, а какие не являются. Но понимание того, какие числа являются простыми, — например, как распределены простые числа на очень больших интервалах, как они сгруппированы, насколько и почему они «случайны», — влечёт за собой массу новых озарений и новых объяснений. Фактически оказывается, что сама теория чисел — это целый мир в себе (это часто употребляемый термин). Чтобы глубже понять числа, необходимо определить много новых классов абстрактных сущностей, а также задать многочисленные новые структуры и связи между ними. При этом обнаруживается, что некоторые из этих абстрактных структур связаны с другими интуитивными представлениями, которыми мы уже обладаем, и которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего с числами — такими, например, как симметрия, вращение, континуум, множества, бесконечность и многое другое. Получается, что абстрактные математические сущности, с которыми, как нам кажется, мы уже знакомы, тем не менее могут удивить или разочаровать нас. Они могут неожиданно возникнуть в новых нарядах или масках. Они могут быть необъяснимы, а впоследствии подойти под новое объяснение. Таким образом, они являются сложными и автономными, и, следовательно, по критерию д-ра Джонсона мы должны сделать вывод об их реальности. Поскольку мы не можем понять их ни как часть себя, ни как часть чего-либо ещё, что мы уже понимаем, но можем понять их как независимые сущности, следует сделать вывод, что они являются реальными, независимыми сущностями.

Тем не менее абстрактные сущности неосязаемы. Они не дают ответной физической реакции так, как это делает камень, поэтому эксперимент и наблюдение не могут играть в математике такую же роль, какую они играют в естественных науках. В математике такую роль играет доказательство. Камень д-ра Джонсона оказывал ответное воздействие тем, что от него отскакивала нога. Простые числа оказывают ответное воздействие, когда мы доказываем что-то неожиданное относительно них, особенно, если мы можем пойти дальше и объяснить это. С традиционной точки зрения ключевое различие между доказательством и экспериментом состоит в том, что доказательство никак не ссылается на физический мир. Доказательство можно провести в своём собственном разуме или внутри генератора виртуальной реальности, который имитирует среду с неправильной физикой. При единственном условии — следования правилам математического вывода — мы получим тот же самый ответ, что и любой другой на нашем месте. И вновь, доминирующее представление состоит в том, что, за исключением случая грубых ошибок, если мы что-то доказали, то с абсолютной уверенностью знаем, что это истина.

Математики очень гордятся этой абсолютной уверенностью, а учёные-естественники склонны немного ей завидовать. Дело в том, что в естествознании невозможна полная уверенность в каком-либо утверждении. Как бы хорошо чья-то теория ни объясняла существующие наблюдения, в любой момент кто-то может сделать новое, необъяснимое наблюдение, которое поставит под сомнение всю существующую объяснительную структуру. Хуже того, кто-то может достичь лучшего понимания, которое объясняет не только все существующие наблюдения, но и то, почему предыдущие объяснения казались подходящими, будучи при этом совершенно ошибочными. Галилей, например, обнаружил новое объяснение того издревле известного факта, что земля у нас под ногами находится в состоянии покоя, — причём объяснение, предполагающее движение Земли. Виртуальная реальность — которая может сделать так, что одна среда будет казаться другой — подчёркивает тот факт, что, когда наблюдение выступает как высший арбитр между теориями, не может быть полной уверенности в том, что существующее объяснение, каким бы очевидным оно ни было, хотя бы отдалённо является истиной. Но когда в качестве арбитра выступает доказательство, достижение уверенности считается возможным.

Говорят, что правила логики были впервые сформулированы в надежде на то, что они обеспечат непредвзятый и безошибочный метод разрешения всех споров. Этой надежде не суждено было сбыться. Изучение самой логики открыло, что область действия логической дедукции как средства раскрытия истины серьёзно ограничена. При наличии существенных допущений о мире можно сделать выводы дедуктивно; но эти выводы будут не надёжнее, чем допущения. Единственный тип утверждений, которые логика может доказать, не прибегая к допущениям, — это тавтологии, то есть такие утверждения, как «все планеты являются планетами», которые не содержат ничего нового. В частности, все существенные естественнонаучные вопросы находятся за пределами той области, где можно уладить споры с помощью одной лишь логики. Однако считается, что математика находится в пределах этой области. Таким образом, математики ищут абсолютную, но абстрактную истину, в то время как естественники утешают себя мыслью, что могут обрести реальное и полезное знание физического мира. Но они должны принять, что на это знание не даётся гарантий. Оно всегда является временным и всегда будет подвержено ошибкам. Идея о том, что наука характеризуется «индукцией», методом обоснования, который считается аналогом логической дедукции, но чуть более подверженным ошибкам, — это попытка извлечь всё возможное из этого кажущегося второсортного статуса научного знания. Вместо дедуктивно обоснованной уверенности, возможно, мы удовольствуемся индуктивно обоснованной «почти-уверенностью».

Как я уже говорил, не существует такого метода доказательства, как «индукция». Идея найти путь к «почти-уверенности» в науке — это миф. Каким образом я мог бы «почти-достоверно» доказать, что завтра не опубликуют удивительную новую физическую теорию, опровергающую мои самые неоспоримые допущения относительно реальности? Или то, что я не нахожусь внутри генератора виртуальной реальности? Но всё это вовсе не говорит о том, что научное знание действительно «второсортно». Ибо идея о том, что математика даёт достоверное знание, — это тоже миф.

С древних времён идея о привилегированном статусе математического знания часто ассоциировалась с идеей о том, что некоторые абстрактные сущности не просто являются частью структуры реальности, но даже более реальны, чем физический мир. Пифагор считал, что закономерности в природе есть выражение математических соотношений между натуральными числами. «Числу все вещи подобны»[43] — таков был его девиз. Он не имел это в виду совершенно буквально, однако Платон пошёл ещё дальше и по существу отрицал реальность физического мира вообще. Он считал, что наши кажущиеся ощущения этого мира ничего не стоят или вводят в заблуждение, и доказывал, что физические объекты и явления, которые мы воспринимаем, — всего лишь «тени» или несовершенные копии их идеальных сущностей («форм» или «идей»), существующих в отдельном царстве, которое и есть истинная реальность. В этой области, кроме всего прочего, существуют формы чистых чисел, таких как 1, 2, 3…, и формы математических действий, таких как сложение и умножение. Мы можем воспринять некоторые тени этих форм, когда кладём на стол одно яблоко, потом ещё одно и видим, что на столе два яблока. Однако яблоки выражают «единственность» и «двойственность» (и, раз уж на то пошло, «яблочность») лишь несовершенно. Они не являются совершенно идентичными, а потому в действительности на столе никогда нет двух экземпляров чего-либо. На это можно возразить, что число два представимо также, если положить на стол два различных объекта. Но и такое представление несовершенно, потому что в этом случае мы должны допустить, что на столе также есть клетки, отпавшие от яблок, пыль и воздух.

В отличие от Пифагора, Платон не испытывал особого пристрастия к натуральным числам. Его реальность содержала формы всех понятий. Например, она содержала форму совершенного круга. «Круги», которые мы видим, никогда не являются настоящими кругами. Они не идеально круглые, не идеально плоские; у них есть конечная толщина и т. д. Все они несовершенны.

Затем Платон указал проблему. Принимая во внимание всё это земное несовершенство (и, мог бы добавить он, наш несовершенный сенсорный доступ даже к земным кругам), как вообще мы можем знать то, что мы знаем о реальных, совершенных кругах? Очевидно, что мы обладаем знанием о них, но каким образом? Где Евклид приобрёл знание геометрии, которое выразил в своих знаменитых аксиомах, если у него не было ни подлинных кругов, ни точек, ни прямых? Откуда исходит уверенность в математическом доказательстве, если никто не способен ощутить те абстрактные сущности, на которые оно ссылается? Ответ Платона заключался в том, что знание о таких вещах мы получаем не из этого мира теней и иллюзий, а непосредственно из реального мира форм. Мы обладаем совершенным врождённым знанием того мира, которое, как он считал, забывается при рождении, а затем скрывается под слоями ошибок, вызванных тем, что мы доверяем своим чувствам. Но реальность можно вспомнить, усердно применяя «разум», что даёт затем абсолютную уверенность, которой никогда не обеспечивает опыт.

Интересно, кто-нибудь когда-нибудь верил в эту весьма сомнительную фантазию (включая самого Платона, который всё-таки был очень компетентным философом, считавшим, что публике стоит говорить благородную ложь)? Тем не менее поставленная им проблема — откуда у нас берётся знание абстрактных сущностей, не говоря уж об уверенности в нём, — достаточно реальна, а некоторые элементы предложенного Платоном решения с тех пор стали частью господствующей теории познания. В частности, фактически все математики до сегодняшнего дня без критики принимают основную идею о том, что математическое и естественнонаучное знание проистекает из различных источников и что «особый» источник математики придаёт ей абсолютную достоверность. Сейчас этот источник математики называют математической интуицией, однако он играет ту же самую роль, что и «воспоминания» Платона о царстве форм.

Математики много и мучительно спорили о том, открытия каких в точности видов совершенно надёжного знания можно ожидать от нашей математической интуиции. Другими словами, они согласны, что математическая интуиция — источник абсолютной определённости, но не могут прийти к соглашению относительно того, что она им говорит! Очевидно, что это повод для бесконечных, неразрешимых споров.

Большая часть таких споров неизбежно вращалась вокруг допустимости или недопустимости различных методов доказательства. Одно из разногласий было связано с так называемыми «мнимыми» числами. Мнимые числа — это квадратные корни из отрицательных чисел. Новые теоремы об обычных, «действительных» числах доказывали, обращаясь на промежуточных этапах рассуждения к свойствам мнимых чисел. Например, так были доказаны первые теоремы о распределении простых чисел. Однако некоторые математики возражали против мнимых чисел на том основании, что они нереальны. (Современная англоязычная терминология, в которой действительные числа обозначаются словом real, всё ещё отражает это старое разногласие, хотя сегодня мы считаем, что мнимые числа столь же реальны, как и действительные.) Я полагаю, что учителя в школе говорили этим математикам, что не допускается извлекать квадратный корень из минус единицы, и, поэтому они не понимали, почему кто-то другой может это сделать. Нет сомнения в том, что они называли этот злопыхательский порыв «математической интуицией». Однако другие математики обладали другой интуицией. Они понимали, что такое мнимые числа, и как они согласуются с действительными. Почему, думали они, человек не должен определять новые абстрактные сущности, имеющие любые свойства, какие ему нравятся? Безусловно, единственным законным основанием запретить могла быть только логическая несовместимость требуемых свойств. (Сегодня это, в сущности, является консенсусом, который математик Джон Хортон Конуэй[44] задиристо назвал Освободительным движением математиков.) Как известно, никто не доказал, что система мнимых чисел непротиворечива. Но ведь никто не доказал и того, что обычная арифметика натуральных чисел является непротиворечивой!

Подобные разногласия существовали и в отношении допустимости использования бесконечных чисел, а также множеств, содержащих бесконечно много элементов, и бесконечно малых величин, применяемых в дифференциальном и интегральном исчислении. Давид Гильберт[45], создавший бо?льшую часть математического аппарата, как для общей теории относительности, так и для квантовой теории, заметил, что «математическая литература переполнена бессмыслицами и нелепостями, имеющими свой источник в бесконечности». Некоторые математики, как мы увидим, вовсе отрицали возможность корректных рассуждений о бесконечных сущностях. Несмотря на впечатляющий прогресс чистой математики в XIX веке, он мало что дал для разрешения этих разногласий. Напротив, он только усугублял их и порождал новые. По мере своего усложнения математические рассуждения неизбежно удалялись от повседневной интуиции, что привело к двум важным противоположным эффектам. С одной стороны, математики всё более придирчиво относились к доказательствам, которые, чтобы быть принятыми, должны были удовлетворять всё более жёстким стандартам строгости. Однако, с другой стороны, изобретались более мощные методы доказательства, которые не всегда сводились к уже существующим методам. И из-за этого часто возникали сомнения, является ли какой-то конкретный метод доказательства, несмотря на свою самоочевидность, абсолютно безошибочным.

Таким образом, к 1900 году наступил кризис оснований математики, а именно, оказалось, что этих оснований не было. Но что же произошло с законами чистой логики? Разве не им полагалось разрешать все споры в царстве математики? Прискорбный факт заключался в том, что теперь математические споры, в сущности, и велись о «законах чистой логики». Первым эти законы кодифицировал ещё Аристотель в IV веке до н. э., положив начало тому, что сегодня называют теорией доказательств. Он принял, что доказательство должно состоять из последовательности утверждений, которая начинается с каких-либо посылок и определений, а заканчивается желаемым выводом. Чтобы последовательность утверждений была обоснованным доказательством, каждое утверждение, кроме начальных посылок, должно следовать из предыдущих в соответствии с одним из фиксированного набора шаблонов, называемых силлогизмами. Типичным был следующий силлогизм:

Другими словами, это правило гласило, что если в доказательстве появляется утверждение вида «все А имеют свойство В» (как в данном случае «все люди смертны») и другое утверждение вида «индивидуум X есть А» (как в данном случае «Сократ — человек»), то далее в доказательстве можно обоснованно использовать утверждение «X имеет свойство В» («Сократ смертен»), и в частности, это является обоснованным выводом. Силлогизмы выражали то, что мы назвали бы правилами вывода, то есть правилами, определяющими шаги, разрешённые при доказательстве, такие, что истинность посылок передаётся и заключениям. Точно так же эти правила можно применять для определения, обосновано ли данное доказательство.

Аристотель заявил, что все обоснованные доказательства можно выразить в виде силлогизмов. Но он не доказал это! Проблема же теории доказательства заключалась в том, что лишь очень небольшое число современных математических доказательств представлялось в виде чистой последовательности силлогизмов; более того, большинство из них невозможно было привести к такому виду даже в принципе. Тем не менее математики в большинстве своём не могли заставить себя ограничиваться аристотелевскими принципами, так как некоторые новые доказательства казались столь же самоочевидно корректными, как и шаблоны умозаключений Аристотеля. Математика развивалась. Новые инструменты, такие как математическая логика и теория множеств, позволили связывать математические структуры новыми способами. Благодаря этому появились новые самоочевидные истины, независимые от классических правил вывода, и поэтому классические правила стали самоочевидно неадекватными. Но какие же из новых методов доказательства были по-настоящему безошибочными? Как следовало изменить правила вывода, чтобы они обрели законченность, на которую ошибочно претендовал Аристотель? Как можно было вернуть тот абсолютный авторитет, которым обладали старые правила, если математики не могли прийти к соглашению относительно того, что является самоочевидным, а что бессмысленным?

Тем временем математики продолжали строить свои абстрактные воздушные замки. Для практических целей многие такие построения казались достаточно надёжными. Некоторые из них стали незаменимыми в науке и технике, и в большинстве своём они были связаны между собой красивой и плодотворной объяснительной структурой. Тем не менее никто не мог гарантировать, что вся эта структура или любая существенная её часть не имеет в своей основе логического противоречия, способного превратить её в полную бессмыслицу. В 1902 году Бертран Рассел доказал противоречивость схемы строгого определения теории множеств, которую только что предложил Готлоб Фреге[46]. Это не значило, что больше нельзя было использовать множества в доказательствах. На самом деле совсем немногие математики всерьёз считали, что хоть какой-то из обычных способов использования множеств, арифметики или других ключевых разделов математики может быть некорректным. В результатах Рассела поражало то, что математики считали свой предмет средством получения абсолютной уверенности par excellence через доказательство математических теорем. Сама возможность разногласий относительно обоснованности различных методов доказательства подрывала (как считалось) саму суть их предмета.

Поэтому многие математики почувствовали, что подведение под теорию доказательства, а тем самым и под саму математику, надёжной основы является насущным делом, не терпящим отлагательства. После своих стремительных прорывов они хотели консолидации: раз и навсегда определить, какие виды доказательств являются абсолютно надёжными, а какие — нет. Всё оказавшееся вне зоны надёжности можно было и отбросить, а все попадающее в эту зону стало бы единой основой всей будущей математики.

В этой связи нидерландский математик Лёйтзен Эгбертус Ян Брауэр[47] пропагандировал чрезвычайно консервативную стратегию теории доказательства, известную как интуиционизм, которая и по сей день имеет своих сторонников. Интуиционисты пытаются толковать «интуицию» самым узким возможным образом, сохраняя лишь то, что они считают её неоспоримыми самоочевидными аспектами. Затем они поднимают определённую таким образом математическую интуицию на уровень даже более высокий, чем позволял ей Платон: они ставят её даже выше чистой логики. Саму логику они считают не заслуживающей доверия, за исключением тех случаев, когда её оправдывает прямая математическая интуиция. Например, интуиционисты отрицают, что можно иметь прямое интуитивное понимание какой-либо бесконечной сущности. Поэтому они отрицают существование любых бесконечных множеств, например, множества всех натуральных чисел. Утверждение о том, что «существует бесконечно много натуральных чисел», они сочли бы самоочевидно ложным, а утверждение о том, что «существует больше CGT-сред, чем физически возможных сред», — абсолютно бессмысленным.

Исторически интуиционизм сыграл ценную освободительную роль, как и индуктивизм до него. Он осмелился подвергнуть сомнению то, что считалось совершенно достоверным, и кое-что из этого действительно оказалось ложным. Но в качестве позитивной теории о том, что является или не является корректным математическим доказательством, он не представляет никакой ценности. В действительности интуиционизм — это точное выражение солипсизма в математике. В обоих случаях наблюдается чрезмерная реакция на мысль о том, что мы не можем быть уверены в том, что нам известно о внешнем мире. В обоих случаях предложенное решение состоит в том, чтобы уйти во внутренний мир, который мы якобы знаем непосредственно и, следовательно (?), можем быть уверены, что познали истину. В обоих случаях решение включает отрицание существования — или, по крайней мере, отказ от объяснения — того, что находится вовне. И в обоих случаях этот отказ также делает невозможным объяснение большей части того, что находится внутри предпочитаемой области. Например, если действительно ложно то (как утверждают интуиционисты), что существует бесконечно много натуральных чисел, то мы можем заключить, что должно существовать лишь конечное их количество. Но сколько? И потом, сколько бы их ни было, почему нельзя создать интуицию следующего натурального числа после данного? Интуиционисты оправдываются, говоря, что приведённый мной довод допускает обоснованность обычной логики. В частности, он содержит логический переход: из того факта, что не существует бесконечно много натуральных чисел, делается вывод, что должно существовать какое-то конкретное конечное их количество. Применяемое в данном случае правило вывода называется законом исключённого третьего. Этот закон гласит, что для любого утверждения X (например, «существует бесконечно много натуральных чисел») нет третьей возможности, кроме истинности X и истинности отрицания X («существует конечное множество натуральных чисел»), которая была бы истинной. Интуиционисты хладнокровно отрицают закон исключённого третьего.

Поскольку в разуме большинства людей сам закон исключённого третьего подкреплён мощной интуицией, его отрицание естественным образом вызывает у неинтуиционистов сомнение в том, так ли уж самоочевидна надёжность интуиции интуиционистов. Или, если мы сочтём, что закон исключённого третьего исходит из логической интуиции, он приводит нас к пересмотру вопроса о том, действительно ли математическая интуиция стоит выше логики. И в любом случае, может ли это быть самоочевидным?

Но всё это была критика интуиционизма извне. Это не опровержение: интуиционизм невозможно опровергнуть вообще. Если кто-либо настаивает, что непротиворечивость высказывания для него самоочевидна, то доказать его неправоту невозможно так же, как и если бы он настаивал на том, что существует только он один. Однако, как и в случае с солипсизмом в целом, воистину роковая ошибка интуиционизма открывается не тогда, когда на него нападают, а тогда, когда его принимают всерьёз в качестве объяснения его собственного, произвольно усечённого мира. Интуиционисты верят в реальность конечного множества натуральных чисел 1, 2, 3… и даже числа 10 949 769 651 859. Но интуитивный аргумент, состоящий в том, что, раз у каждого из этих чисел есть следующее, то, они образуют бесконечную последовательность, для интуиционистов не более чем самообман и потому неубедителен. Но разрывая связь между своей версией абстрактных «натуральных чисел» и интуитивным представлением, которое эти числа должны были первоначально формализовать, интуиционисты отказывают себе в праве использовать обычную объяснительную структуру, через которую понимаются натуральные числа. Это создаёт проблему для каждого, кто предпочитает объяснения необъяснённым усложнениям. Вместо того чтобы решить эту проблему, предоставив альтернативную или более глубокую объяснительную структуру для натуральных чисел, интуиционизм делает то же самое, что делала Инквизиция и что делали солипсисты: он ещё дальше уходит от объяснений. Он вводит дальнейшие необъяснённые усложнения (в данном случае — отрицание закона исключённого третьего), единственная цель которых состоит в том, чтобы позволить интуиционистам вести себя так, как если бы объяснения их противников были истинными, но не делая из этого никаких выводов относительно реальности.

Точно так же как солипсизм начинается со стремления упростить пугающе разнообразный и неопределённый мир, но при серьёзном к нему отношении оказывается реализмом, дополненным некоторыми ненужными усложнениями, так и интуиционизм в итоге становится одной из самых контринтуитивных доктрин, когда-либо воспринимавшихся всерьёз.

Давид Гильберт предложил план гораздо более соответствующий здравому смыслу — хотя, в конечном счёте, и обречённый — «раз и навсегда убедиться в надёжности математических методов». План Гильберта основывался на идее непротиворечивости. Он надеялся составить однажды и навсегда полный набор современных правил вывода математических доказательств с определёнными свойствами. Количество таких правил должно было быть конечным. Они должны были быть применимы непосредственно, так, чтобы определение того, удовлетворяет ли им какое-то предполагаемое доказательство, не вызывало бы споров. Желательно, чтобы эти правила были интуитивно самоочевидными, но это не было первостепенным требованием для прагматичного Гильберта. Он был бы удовлетворён, если бы правила лишь умеренно соответствовали интуиции при условии, что он мог бы быть уверен в их непротиворечивости. То есть, если правила определили данное доказательство как корректное, он хотел быть уверен, что они никогда не определят как корректное любое доказательство с противоположным выводом. Но как он мог в этом убедиться? На этот раз непротиворечивость следовало доказать с помощью метода доказательства, который сам подчинялся тем же правилам вывода. Тем самым Гильберт надеялся восстановить полноту и надёжность, присущую аристотелевскому подходу. Он также надеялся, что в соответствии с этими правилами будет в принципе доказуемо любое истинное математическое утверждение и не будет доказуемо никакое ложное утверждение. В 1900 году в ознаменование начала нового века Гильберт опубликовал список проблем, которые, как он надеялся, математики смогут решить в XX веке. Десятая проблема заключалась в нахождении набора правил вывода с вышеуказанными свойствами и доказательстве их непротиворечивости на их же основе.

Гильберту предстояло пережить полное разочарование. Тридцать один год спустя Курт Гёдель произвёл революцию в теории доказательств радикальным отрицательным результатом, от которого до сих пор не оправились математический и физический мир: он доказал, что десятая проблема Гильберта не имеет решения. Во-первых, Гёдель доказал, что любой набор правил вывода, пригодный для корректного обоснования даже доказательств обычной арифметики, никогда не позволит обосновать доказательство своей собственной непротиворечивости. А значит, нечего и надеяться найти доказуемо непротиворечивый набор правил, о котором мечтал Гильберт. Во-вторых, Гёдель доказал, что если какой-то набор правил вывода в некоторой (достаточно обширной) области математики является непротиворечивым (неважно, доказуемо это или нет), то в пределах этой области должны существовать корректные методы доказательства, корректность которых нельзя установить, опираясь на данные правила. Это называется теоремой Гёделя о неполноте. Для доказательства своих теорем Гёдель пользовался замечательным расширением «диагонального аргумента» Кантора, о котором я упоминал в главе 6. Он начал с рассмотрения произвольного непротиворечивого набора правил вывода. Затем он показал, как составить утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих правил. Затем он доказал, что это высказывание является истинным.

Если бы программа Гильберта сработала, это стало бы плохой новостью для той концепции реальности, которую я выдвигаю в этой книге, поскольку устранило бы необходимость понимания при суждении о математических идеях. Кто угодно — или любой неразумный компьютер, — выучив правила вывода, на которые так надеялся Гильберт, смог бы судить о математических утверждениях, как и самый способный математик, не нуждаясь в математическом озарении или понимании и даже не имея самого отдалённого представления о смысле этих утверждений. Стало бы принципиально возможно совершать новые математические открытия, не зная математики вообще, а зная только правила Гильберта. Можно было бы просто проверять все возможные строки букв и математических символов в алфавитном порядке, пока одна из них не прошла бы тест на то, является ли она доказательством или опровержением какого-либо знаменитого недоказанного предположения. В принципе, так можно было бы уладить любой спор в математике, даже не понимая его смысла — даже не зная значения символов, не говоря уж о понимании принципа действия доказательства или того, что оно доказывает, или в чём заключается метод доказательства, или почему на него можно положиться.

Может показаться, что достижение единого стандарта доказательств в математике могло бы, по крайней мере, помочь нам во всеобщем стремлении к объединению — то есть к «углублению» нашего знания, о котором я говорил в главе 1. Однако в действительности всё наоборот. Подобно предсказательной «теории всего» в физике, правила Гильберта почти ничего не сказали бы нам о структуре реальности. Они реализовали бы в рамках математики заветную мечту редукционистов — предсказывать всё (в принципе), но ничего не объяснять. Более того, если бы математика стала редукционистской, то все нежелательные черты, которые, как я показал в главе 1, отсутствуют в структуре человеческого знания, присутствовали бы в математике: математические идеи образовывали бы иерархию, в основе которой лежали бы правила Гильберта. Математические истины, проверка которых, исходя из этих правил, была бы очень сложна, оказались бы объективно менее фундаментальными, чем те, которые можно было бы немедленно проверить с помощью этих правил. Поскольку мог существовать только конечный набор таких фундаментальных истин, со временем математике пришлось бы заниматься всё менее фундаментальными задачами. Математика вполне могла исчерпать себя, будь верна эта зловещая гипотеза. В противном случае она неизбежно распадается на всё более загадочные специализации по мере увеличения сложности «эмерджентных» вопросов, которые вынуждены решать математики, и по мере того, как связи между этими вопросами и основаниями предмета становятся всё более отдалёнными.

Благодаря Гёделю мы знаем, что никогда не будет неизменного метода определения истинности математического утверждения, как не существует и неизменного способа определения истинности научной теории. Не будет никогда и неизменного способа создания нового математического знания. Следовательно, прогресс в математике всегда будет зависеть от творческого подхода. Изобретение новых типов доказательств всегда будет возможным и необходимым делом для математиков. Они будут проверять их с помощью новых аргументов и новых способов объяснения, зависящих от непрерывно растущего понимания используемых при этом абстрактных сущностей. Примером служат теоремы самого Гёделя: чтобы доказать их, ему пришлось изобрести новый метод доказательства. Я сказал, что этот метод был основан на «диагональном аргументе», однако Гёдель по-новому расширил это доказательство. До него так ничего не доказывали; никакие правила вывода, составленные кем-либо, кто никогда не видел метода Гёделя, не обладали бы, вероятно, такой предсказательной силой, чтобы определить его как корректный. Однако его корректность самоочевидна. Откуда исходит эта самоочевидность? Она возникает из понимания Гёделем природы доказательства. Доказательства Гёделя столь же убедительны, как и любые другие математические доказательства, но только для того, кто прежде поймёт сопутствующее им объяснение.

Таким образом, и в чистой математике объяснение играет ту же самую первостепенную роль, какую оно играет в естественных науках. Объяснение и понимание мира — физического мира и мира математических абстракций — в обоих случаях является целью изучения. Доказательства и наблюдения — это всего лишь средства проверки наших объяснений.

Роджер Пенроуз извлёк из результатов Гёделя ещё более глубокий, радикальный и достойный Платона урок. Как и Платона, Пенроуза восхищает способность человеческого разума постигать абстрактные достоверные факты математики. Но в отличие от Платона, Пенроуз не верит в сверхъестественное и принимает как само собой разумеющееся, что мозг — часть естественного мира и имеет доступ только к этому миру. Таким образом, проблема для него встаёт даже острее, чем для Платона: как может нечёткий и ненадёжный мир давать математическую уверенность такой нечёткой и ненадёжной части себя, какой является математик? В особенности Пенроуза удивляет, каким образом нам удаётся почувствовать безошибочность новых корректных форм доказательства, которых, как уверяет Гёдель, бесконечно много.

Пенроуз всё ещё работает над подробным ответом, но заявляет, что само существование неограниченной математической интуиции такого рода фундаментально несовместимо с существующей структурой физики и, в частности, с принципом Тьюринга. Вкратце его доказательство выглядит примерно так. Если принцип Тьюринга является истинным, то можно рассматривать мозг (как и любой другой объект) в качестве компьютера, выполняющего определённую программу. Взаимодействие мозга с окружающей средой складывается из входных и выходных данных. Теперь рассмотрим математика в процессе решения вопроса о том, обоснован или нет недавно предложенный вид доказательства. Принятие такого решения эквивалентно исполнению в мозге математика компьютерной программы проверки доказательства. Такая программа воплощает некий набор правил вывода Гильберта, который, в соответствии с теоремой Гёделя, вероятно, не может быть законченным. Более того, как я уже сказал, Гёдель предложил способ создания и доказательства истинного утверждения, которое эти правила не способны признать доказанным. Следовательно, математик, разум которого, по сути, является компьютером, применяющим эти правила, также никогда не сможет признать это утверждение доказанным. Затем Пенроуз предлагает показать этому самому математику данное утверждение и метод доказательства его истинности по Гёделю. Математик понимает доказательство. Оно всё-таки самоочевидно корректно, поэтому математик, вероятно, сможет увидеть его корректность. Но это бы противоречило теореме Гёделя. Следовательно, где-то в рассуждении должно быть ложное допущение, и Пенроуз считает, что этим ложным допущением является принцип Тьюринга.

Большинство специалистов по информатике несогласны с Пенроузом, что слабое звено в этом рассуждении — это принцип Тьюринга. Они бы сказали, что математик из этого рассуждения на самом деле не сможет признать гёделевское утверждение доказанным. Может показаться странным, почему математик вдруг не сможет понять самоочевидное доказательство. Но взгляните на следующее утверждение:

Дэвид Дойч не может непротиворечиво признать, что данное утверждение является истинным.

Я стараюсь изо всех сил, но не могу непротиворечиво заключить, что оно истинно. Поскольку, если бы я сделал это, я бы пришёл к выводу о том, что я не могу составить суждение о его истинности, и вступил бы в противоречие с самим собой. Однако вы ведь видите, что оно истинно, не так ли? Это демонстрирует, по крайней мере, возможность того, что утверждение будет недоступно пониманию для одного человека, но самоочевидно истинным для любого другого.

Так или иначе, Пенроуз надеется на новую фундаментальную теорию физики, которая заменит как квантовую теорию, так и общую теорию относительности. Она давала бы новые проверяемые предсказания, хотя, безусловно, согласовывалась бы и с квантовой теорией, и с теорией относительности во всех существующих наблюдениях. (Для этих двух теорий неизвестно экспериментальных контрпримеров.) Однако мир Пенроуза по своей сути сильно отличается от того, что описывает существующая физика. Фундаментальной структурой реальности в нём является то, что мы называем миром математических абстракций. В этом отношении Пенроуз, реальность которого включает все математические абстракции, но, вероятно, не все абстракции (вроде чести и справедливости), находится где-то между Платоном и Пифагором. То, что мы называем физическим миром, является для него вполне реальным (ещё одно отличие от Платона), но каким-то образом это является частью, или эмерджентной формой, самой математики. Более того, в его мире не существует универсальности; в частности, не существует машины, способной воссоздать все возможные мыслительные процессы людей. Однако мир (в особенности, конечно, его математическое основание) всё ещё остаётся постижимым. Его постижимость гарантирована не универсальностью вычислений, а явлением, достаточно новым для физики (хотя и не для Платона): математические сущности напрямую взаимодействуют с человеческим мозгом через физические процессы, которые ещё предстоит открыть. Таким образом, мозг, по Пенроузу, не занимается математикой, ссылаясь единственно на то, что мы сейчас называем физическим миром. Он имеет прямой доступ к реальности математических форм Платона и там может постигать математические истины (за исключением грубых ошибок) с абсолютной уверенностью.

Часто предполагают, что мозг может быть квантовым компьютером и что его интуиция, сознание и способности к решению задач могут зависеть от квантовых вычислений. Это может быть так, но у меня нет ни данных, ни убедительных аргументов в пользу этого. Я ставлю на то, что мозг, если его рассматривать как компьютер, является классическим компьютером. Но это вопрос, независимый от идей Пенроуза. Он не утверждает, что мозг — это новый вид универсального компьютера, который отличается от универсального квантового компьютера тем, что имеет больший репертуар вычислений, которые делает возможными новая, постквантовая физика. Он выступает в пользу новой физики, которая не будет поддерживать универсальность вычислений, так что по его новой теории вообще невозможно будет истолковать некоторые действия мозга как вычисления.

Должен признаться, для меня такая теория непостижима. Однако фундаментальные открытия всегда трудно представить себе до того, как они произойдут. Естественно, трудно оценить теорию Пенроуза, прежде чем он сформулирует её полностью. Если теория со свойствами, на которые он надеется, в конце концов вытеснит квантовую теорию, или общую теорию относительности, или и ту и другую, будь то через экспериментальные проверки или предоставив более глубокий уровень объяснения, то каждый разумный человек захочет её принять. И тогда нам предстоит увлекательный путь постижения нового мировоззрения, к принятию которого будет вынуждать нас объяснительная структура этой теории. Вероятно, такой взгляд на мир оказался бы весьма отличным от представленного мной в этой книге. Однако, если бы даже так всё и случилось, я всё равно не могу понять, каким образом удовлетворялась бы первоначальная мотивация этой теории — желание объяснить нашу способность понимать новые математические доказательства. Всё равно останется тот факт, что на протяжении всей истории вплоть до наших дней великие математики обладали различными конфликтующими интуитивными представлениями относительно корректности различных методов доказательства. Поэтому, даже если истинно то, что абсолютная физико-математическая реальность поставляет свои истины прямо в наш мозг, порождая интуитивные математические представления, математики не всегда способны отличить эти интуитивные представления от других, ошибочных интуиций и идей. К сожалению, нет ни колокольчика, который звонит, ни фонарика, который вспыхивает, когда мы понимаем действительно корректное доказательство. Порой мы можем ощутить такую вспышку в момент, когда хочется крикнуть «Эврика!» — и тем не менее ошибиться. И даже если теория предсказывает, что существует некий, не замеченный ранее физический индикатор, сопровождающий истинную интуицию (сейчас это становится в высшей степени неправдоподобно), мы бы определённо нашли его полезным, но это всё равно не было бы равносильно доказательству того, что этот индикатор работает. Ничто не способно доказать, что однажды ещё более совершенная физическая теория не вытеснит пенроузовскую и не покажет, что предполагаемый индикатор всё-таки не был надёжным и что существует лучший индикатор. Таким образом, даже если мы сделаем все возможные скидки предложению Пенроуза, если мы вообразим, что оно истинно, и взглянем на мир с его позиций, это всё равно не поможет нам объяснить предполагаемую уверенность в знании, которое мы приобретаем, занимаясь математикой.

Я отразил лишь общий смысл аргументов Пенроуза и его оппонентов. Читатель поймёт, что, в сущности, я на стороне его оппонентов. Однако даже если признать, что основанное на гёделевских идеях рассуждение Пенроуза не доказывает то, что оно претендует доказать, а предполагаемая им новая физическая теория вряд ли объяснит то, что она нацелена объяснить, тем не менее Пенроуз прав в том, что любое мировоззрение, основанное на существующей концепции научного рационализма, создаёт проблему для общепризнанных оснований математики (или, как сказал бы Пенроуз, наоборот). Это древняя проблема, которую поднял ещё Платон, проблема, которая, как указывает Пенроуз, обостряется в контексте как теоремы Гёделя, так и принципа Тьюринга. Состоит она в следующем: если реальность состоит из физики и понимается с помощью естественнонаучных методов, то откуда возникает математическая уверенность? В то время как большинство математиков и специалистов по информатике считают уверенность в математической интуиции чем-то само собой разумеющимся и не воспринимают всерьёз проблему примирения этого факта с научным мировоззрением, Пенроуз этой проблемой озабочен и предлагает решение. Его предложение предполагает постижимость мира, отвергает сверхъестественное, признаёт важность творчества для математики, приписывает объективную реальность как физическому миру, так и абстрактным сущностям, и включает объединение основ математики и физики. Во всех этих отношениях я на его стороне.

Поскольку попытки Брауэра, Гильберта, Пенроуза и всех остальных принять вызов Платона, как представляется, не принесли успеха, стоит снова взглянуть на предполагаемое ниспровержение Платоном идеи о том, что математическую истину можно получить с помощью естественнонаучных методов.

Прежде всего, Платон говорит нам, что, поскольку мы имеем доступ только (скажем) к несовершенным кругам, значит, через них мы не сможем получить знание о совершенных кругах. Но почему именно это невозможно? Точно так же можно было бы сказать, что мы не можем открыть законы движения планет, потому что у нас нет доступа к реальным планетам, а есть доступ только к их изображениям. (Инквизиция это и говорила, и я объяснил, почему она ошибалась.) Также можно было бы сказать, что невозможно построить точные станки, потому что первый такой станок пришлось бы строить с помощью неточных станков. Пользуясь преимуществами ретроспективного взгляда, можно заметить, что такая критика вызвана очень грубым — напоминающим индуктивизм — изображением устройства науки, что вряд ли можно считать удивительным, поскольку Платон жил задолго до появления того, что мы могли бы признать наукой. Если, скажем, единственный способ узнать что-либо о кругах из опыта заключается в том, чтобы исследовать тысячи физических кругов, а потом из собранных данных попытаться сделать какой-то вывод об их абстрактных евклидовых партнёрах, то Платон прав. Но если мы создадим гипотезу о том, что реальные круги в строго определённом смысле похожи на абстрактные, и окажемся правы, то мы вполне можем узнать нечто об абстрактных кругах, глядя на реальные. В геометрии Евклида часто используют рисунки для формулировки геометрической задачи или её решения. В таком методе описания существует возможность ошибки, если несовершенство кругов на рисунке оставит ложное впечатление — например, если кажется, что два круга касаются друг друга, хотя на самом деле этого не происходит. Но, поняв отношение между реальными и совершенными кругами, можно аккуратно исключить все подобные ошибки. А не понимая этого отношения, вообще практически невозможно понять геометрию Евклида.

Надёжность знания о совершенном круге, которое можно получить из изображения круга, полностью зависит от точности гипотезы о том, что эти круги сходны между собой в определённых аспектах. Такая гипотеза в отношении физического объекта (рисунка) эквивалентна физической теории, и она не может быть известна с полной уверенностью. Но этот факт не отменяет (как утверждал Платон) возможность изучения совершенных кругов на основе опыта; он лишь делает невозможной полную уверенность. Это не должно тревожить никого из тех, кто ищет не уверенности, а объяснения.

Геометрию Евклида можно абстрактно сформулировать вообще без рисунков. Но способ, которым цифры, буквы и математические символы используются в символьном доказательстве, даёт ничуть не большую уверенность, чем рисунок, и по той же самой причине. Символы — это тоже физические объекты (скажем, чернильные пятна на бумаге), которые обозначают абстрактные объекты. И опять мы полностью полагаемся на гипотезу о том, что физическое поведение символов соответствует поведению обозначаемых ими абстракций. Следовательно, надёжность того, что мы узнаём, манипулируя этими символами, полностью зависит от точности наших теорий об их физическом поведении и о поведении наших рук, глаз и т. д., с помощью которых мы манипулируем этими символами и наблюдаем за ними. Хитроумные чернила, из-за которых случайный символ изменил свой внешний вид, когда мы за ним не следили, — скажем, в результате высокотехнологического розыгрыша с применением дистанционного управления, — могут вскоре ввести нас в заблуждение относительно того, что мы знаем «уверенно».

Теперь давайте повторно исследуем ещё одно допущение Платона: допущение о том, что у нас нет доступа к совершенству в физическом мире. Возможно, он прав в том, что мы не найдём идеальной чести или справедливости, и он безусловно прав в том, что мы не найдём законы физики или множество всех натуральных чисел. Но мы можем найти совершенную руку в бридже или совершенный ход в данной шахматной позиции. Можно сказать и так: мы можем найти физические объекты или процессы, которые полностью воспроизводят свойства заданных абстракций. Мы можем научиться игре в шахматы как с помощью реальных шахмат, так и с помощью шахматного набора совершенной формы. Тот факт, что у коня сколото одно ухо, не делает мат, который он ставит, менее окончательным.

А раз так, то совершенный евклидов круг можно сделать доступным для наших чувств. Платон не осознавал этого, потому что он не знал о виртуальной реальности. Не составит особого труда запрограммировать генераторы виртуальной реальности, которые обсуждались в главе 5, на воспроизведение правил геометрии Евклида, так что пользователь сможет испытать взаимодействие с совершенным кругом. Не имея толщины, круг будет невидимым, если мы не модифицируем также законы оптики, для этого мы могли бы заставить круг светиться, чтобы пользователь знал, где он находится. (Пуристы, возможно, предпочли бы обойтись без этого декорирования.) Мы можем сделать этот круг твёрдым и непроницаемым, чтобы пользователь мог проверить его свойства с помощью твёрдых, непроницаемых инструментов и средств измерения. Пусть виртуальные штангенциркули имеют идеально острую кромку, так что они могли бы точно измерить нулевую толщину. Пользователю можно позволить «рисовать» новые круги или другие геометрические фигуры в соответствии с правилами геометрии Евклида. Размеры инструментов и самого пользователя можно регулировать по желанию, чтобы обеспечить проверку предсказаний геометрических теорем в любом масштабе, сколь угодно малом. В каждом случае воспроизводимый круг будет реагировать точно так же, как предписано аксиомами Евклида. Так что на основе современной науки мы должны сделать вывод, что в этом отношении Платон представлял всё с точностью до наоборот. Мы можем воспринимать совершенные круги в физической реальности (т. е. в виртуальной реальности); но мы никогда не воспримем их в царстве форм, поскольку, если и можно сказать, что такое царство существует, мы никак его не воспринимаем.

Занятно, но идея Платона о том, что физическая реальность состоит из несовершенных копий абстракций, сегодня кажется чрезмерно асимметричной позицией. Как и Платон, мы по-прежнему изучаем абстракции ради их самих. Однако в постгалилеевской науке и в теории виртуальной реальности мы также рассматриваем абстракции как средство понимания реальных или искусственных физических сущностей, и в этом контексте мы считаем само собой разумеющимся, что абстракции почти всегда являются приближениями к истинной физической ситуации. Таким образом, несмотря на то, что Платон считал земные круги, нарисованные на песке, приближениями к истинным, математическим кругам, современный физик посчитал бы математический круг плохим приближением истинной формы планетарных орбит, атомов и других физических объектов.

Учитывая, что всегда будет существовать возможность выхода из строя генератора виртуальной реальности или его пользовательского интерфейса, можно ли действительно говорить о том, что евклидов круг воспроизведён в виртуальной реальности в совершенстве в соответствии с нормами математической строгости? Можно. Никто не утверждает, что сама математика свободна от такого рода неопределённостей. Математики могут ошибиться в вычислении, исказить аксиомы, сделать опечатки при изложении своей собственной работы и т. д. Однако можно утверждать, что, за исключением грубых ошибок, их выводы совершенно надёжны. Точно так же генератор виртуальной реальности, работая должным образом в соответствии со своими техническими характеристиками, воссоздаёт в совершенстве идеальный евклидов круг.

Сходным образом можно было бы возразить, что мы никогда не сможем точно сказать, как поведёт себя генератор виртуальной реальности под управлением данной программы, потому что это зависит от функционирования машины и, в конечном счёте, от законов физики. Поскольку невозможно с полной уверенностью знать законы физики, нельзя и достоверно знать, что машина безупречно воспроизводит геометрию Евклида. Но опять-таки никто не отрицает, что непредвиденные физические явления — станут ли они следствием неизвестных законов физики или просто заболевания мозга или хитроумных чернил — могут сбить математика с правильного пути. Но если законы физики находятся в соответствующих отношениях (а мы полагаем так), то генератор виртуальной реальности может в совершенстве делать свою работу, несмотря на то что у нас не будет в этом полной уверенности. Здесь следует проявить внимательность, чтобы не перепутать два вопроса: можем ли мы знать, что машина виртуальной реальности воссоздаёт совершенный круг? И действительно ли она воссоздаёт его? Мы не можем знать об этом с уверенностью, но это ни на йоту не уменьшает совершенство круга, который фактически воссоздаёт машина. Я очень скоро вернусь к этому важному различию — между совершенным знанием (достоверностью) относительно какой-либо сущности, и «совершенством» самой сущности.

Допустим, что мы намеренно модифицируем программу геометрии Евклида так, что генератор виртуальной реальности по-прежнему будет воссоздавать круги достаточно хорошо, но всё же не совершенно. Разве мы не смогли бы узнать ничего о совершенных кругах, воспринимая эту несовершенную картину? Это полностью зависело бы от того, знаем ли мы, в каких отношениях изменена программа, или нет. Если бы мы это знали, то могли бы с уверенностью решить (за исключением грубых ошибок и т. д.), какие аспекты ощущений, полученных нами внутри машины, представляют совершенные круги точно, а какие неточно. И в этом случае знание, которое мы там приобрели, было бы столь же надёжным, как и любое знание, приобретённое с использованием правильной программы.

Воображая себе круги, мы осуществляем воспроизведение почти такого же рода в виртуальной реальности в собственном мозге. Причина того, почему этот способ размышления об идеальных кругах не бесполезен, состоит в том, что мы можем создать точные теории о том, какими свойствами совершенных кругов обладают воображаемые нами круги, а какими нет.

Используя совершенное воспроизведение в виртуальной реальности, мы могли бы увидеть шесть идентичных кругов, которые касаются кромки седьмого идентичного им круга в плоскости, не перекрывая друг друга. Это впечатление при подобных обстоятельствах было бы эквивалентно точному доказательству возможности такой ситуации, поскольку геометрические свойства воссозданных форм были бы абсолютно идентичны геометрическим свойствам абстрактных форм. Но такой вид «практического» взаимодействия с совершенными формами не способен дать всестороннее знание геометрии Евклида. Большая часть интересных теорем относится не к одной геометрической форме, а к бесконечным классам геометрических форм. Например, сумма углов любого евклидова треугольника равна 180°. Мы можем измерить конкретные треугольники с идеальной точностью в виртуальной реальности, но даже в виртуальной реальности нельзя измерить все треугольники, а, значит, и проверить теорему.

Как же её проверить? Мы её доказываем. Традиционно доказательство определяют как последовательность утверждений, удовлетворяющих самоочевидным правилам вывода, но чему физически эквивалентен процесс доказательства? Чтобы доказать утверждение сразу о бесконечно большом количестве треугольников, мы исследуем определённые физические объекты (в данном случае символы), которые обладают общими свойствами со всем классом треугольников. Например, когда при надлежащих обстоятельствах мы наблюдаем символы «?АВС = ?DEF» (т. е. «треугольник АВС конгруэнтен треугольнику DEF»), мы делаем вывод, что все треугольники из некоторого класса, который мы каким-то образом определили, всегда имеют ту же самую форму, что и соответствующие им треугольники из другого класса, определённого иначе. «Надлежащие обстоятельства», которые придают этому заключению статус доказательства, заключаются, говоря языком физики, в том, что символы появляются на странице под другими символами (часть из которых выражает аксиомы геометрии Евклида), и порядок появления символов соответствует определённым правилам, а именно — правилам вывода.

Но какими правилами вывода нам следует пользоваться? Это всё равно что спросить, как следует запрограммировать генератор виртуальной реальности для воспроизведения мира евклидовой геометрии. Ответ в том, что нужно использовать те правила вывода, которые, в соответствии с нашим наилучшим пониманием, заставят наши символы вести себя в соответствующих отношениях как абстрактные сущности, которые они обозначают. Как нам удостовериться, что они ведут себя именно так? Это невозможно. Предположим, что некоторые критики возражают против наших правил вывода, считая, что наши символы будут вести себя отлично от абстрактных сущностей. Мы не можем ни взывать к авторитету Аристотеля или Платона, ни доказать, что наши правила вывода безошибочны (в отличие от теоремы Гёделя, это привело бы к бесконечному регрессу, ибо сначала нам пришлось бы доказать обоснованность самого используемого нами метода доказательства). Не можем мы и надменно сказать критикам, что у них что-то не в порядке с интуицией, лишь опираясь на нашу интуицию, которая говорит, что символы будут копировать абстрактные сущности в совершенстве. Всё, что мы можем сделать, — это объяснить. Следует объяснить, почему мы думаем, что при определённых обстоятельствах символы будут вести себя желаемым образом в соответствии с предложенными нами правилами. А критики могут объяснить, почему они предпочитают теорию, конкурирующую с нашей. Несогласие относительно двух таких теорий — это отчасти расхождение во мнениях относительно наблюдаемого поведения физических объектов. С такого рода расхождениями можно работать обычными научными методами. Иногда противоречия легко разрешимы, а иногда — нет. Другой причиной подобного расхождения может стать концептуальный конфликт относительно природы самих абстрактных сущностей. И вновь дело за конкурирующими объяснениями, на этот раз объяснениями не физических объектов, а абстракций. Либо мы придём к общему пониманию со своими критиками, либо согласимся, что говорим о двух различных абстрактных объектах, либо вообще не придём к согласию. Нет никаких гарантий. Таким образом, в противоположность традиционному убеждению, споры в математике не всегда можно разрешить с помощью чисто процедурных средств.

На первый взгляд традиционное символьное доказательство кажется радикально отличным от «практического» доказательства в виртуальной реальности. Но теперь мы видим, что они соотносятся друг с другом так же, как вычисления с физическими экспериментами. Любой физический эксперимент можно рассматривать как вычисление, и любое вычисление есть физический эксперимент. В обоих видах доказательства физическими сущностями (независимо от того, находятся они в виртуальной реальности или нет) манипулируют в соответствии с правилами. В обоих случаях физические сущности представляют интересующие нас абстрактные сущности. И в обоих случаях надёжность доказательства зависит от истинности теории о том, что физические и абстрактные сущности действительно имеют соответствующие общие свойства.

Из приведённого рассуждения также видно, что доказательство — это физический процесс. В действительности доказательство — это разновидность вычисления. «Доказать» утверждение — значит осуществить вычисление, которое, будучи выполненным правильно, устанавливает истинность высказывания. Используя слово «доказательство» для обозначения объекта, например, текста, написанного чернилами на бумаге, мы имеем в виду, что этот объект можно использовать в качестве программы для воссоздания вычисления соответствующего вида.

Следовательно, ни математические теоремы, ни процесс математического доказательства, ни опыт математической интуиции не дают нам полной уверенности, и ничто её не даёт. Наше математическое знание, так же как и наше научное знание, может быть глубоким и широким, может быть утончённым и поразительным по своей объяснительной силе, может быть принятым без разногласий; но оно не может быть абсолютно достоверным. Никто не может гарантировать, что в доказательстве, которое ранее считалось корректным, однажды не обнаружат глубокое недоразумение, казавшееся естественным из-за ранее несомненного «самоочевидного» допущения о физическом мире, об абстрактном мире или о том, как взаимосвязаны некоторые физические и абстрактные сущности.

Именно такое ошибочное, самоочевидное допущение стало причиной, по которой саму геометрию ошибочно классифицировали как раздел математики в течение двух тысячелетий, приблизительно с 300 года до н. э., когда Евклид написал свои «Начала», и до XIX века (а в большинстве словарей и школьных учебников — и по сей день). Геометрия Евклида сформировала часть интуиции любого математика. Со временем, однако, некоторые математики начали сомневаться в самоочевидности одной из аксиом Евклида (так называемой «аксиомы о параллельных»). Сначала они не сомневались в истинности этой аксиомы. Говорят, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс был первым, кто подверг её практической проверке. Аксиома о параллельных необходима при доказательстве того, что сумма углов треугольника составляет 180°. Легенда гласит, что в совершенной секретности (из-за боязни быть осмеянным) Гаусс разместил своих ассистентов с фонарями и теодолитами на вершинах трёх холмов — вершин самого большого треугольника, который он мог легко измерить. Он не обнаружил никаких отклонений от предсказаний Евклида, однако теперь мы знаем, что это произошло потому, что его инструменты были недостаточно чувствительны. (С геометрической точки зрения окрестности Земли — довольно скучное место.) Общая теория относительности Эйнштейна включала новую теорию геометрии, которая противоречила геометрии Евклида и была доказана экспериментально. Сумма углов реального треугольника в действительности не обязательно составляет 180°: истинная сумма зависит от гравитационного поля в пределах этого треугольника.

Очень похожая неверная классификация была вызвана фундаментальной ошибкой, которую математики допускали с античных времён относительно самой природы своего предмета, а именно, что математическое знание является более надёжным, чем какая-либо другая форма знания. Сделав эту ошибку, уже невозможно не классифицировать теорию доказательств как часть математики, поскольку математическая теорема не может быть надёжной, если ненадёжна сама теория, подтверждающая метод её доказательства. Но как мы только что видели, теория доказательств не является разделом математики — она является естественнонаучной дисциплиной. Доказательства не абстрактны. Не существует абстрактного доказательства чего-либо, так же как не существует абстрактного расчёта или вычисления чего-либо. Конечно, можно определить класс абстрактных сущностей и назвать их «доказательствами», но эти «доказательства» не могут подтвердить математические утверждения, потому что их невозможно увидеть. Они могут убедить кого-либо в истинности утверждения не более чем абстрактный генератор виртуальной реальности, которого физически не существует, может убедить людей, что они находятся в другой среде, или абстрактный компьютер может разложить на множители число. Математическая «теория доказательств» не имела бы никакого отношения к тому, какие математические истины можно или нельзя доказать в действительности, точно так же как теория абстрактных «вычислений» не имеет никакого отношения к тому, что математики — или кто-то ещё — могут или не могут вычислить в реальности, если не существует отдельной эмпирической причины считать, что абстрактные «вычисления» в этой теории похожи на реальные вычисления. Вычисления, включая и те особые вычисления, которые признаются доказательствами, — суть физические процессы. Теория доказательств говорит о том, как обеспечить, чтобы эти процессы правильно имитировали абстрактные сущности, которые они должны имитировать.

Теоремы Гёделя были превозносимы как «первые новые теоремы чистой логики за две тысячи лет». Но это не так: теоремы Гёделя говорят о том, что можно, а что нельзя доказать, а доказательство — это физический процесс. Ничто в теории доказательства не является делом чистой логики. Новый способ, с помощью которого Гёдель смог доказать общие утверждения о доказательствах, зависит от определённых допущений о том, какие физические процессы могут или не могут представлять абстрактный факт таким образом, чтобы наблюдатель имел возможность обнаружить его и убедиться в нём. Гёдель вычленил такие допущения, превратив их в явное и очевидное обоснование своих выводов. Его результаты самоочевидным образом подтверждались не потому, что были «чисто логическими», а потому, что математики находили эти допущения самоочевидными.

Одно из сделанных Гёделем допущений было традиционным: доказательство может иметь только конечное число шагов. Интуитивное обоснование этого допущения состоит в том, что мы конечные существа и никогда не смогли бы мысленно охватить в буквальном смысле бесконечное число утверждений. Кстати, именно эта интуиция стала причиной беспокойства многих математиков, когда в 1976 году Кеннет Эппел и Вольфганг Хакен использовали компьютер для доказательства знаменитой «гипотезы четырёх красок» (о том, что, используя всего четыре разных цвета, можно раскрасить любую карту, нарисованную на плоскости, так, чтобы никакие две соседние области не были одного цвета). Их программа потратила сотни часов машинного времени, и это означало, что этапы доказательства, будь оно записано на бумаге, не смог бы прочитать ни один человек за много жизней, не говоря уже о том, чтобы признать его самоочевидным. «Следует ли верить на слово компьютеру, утверждающему, что гипотеза четырёх цветов доказана?» — задавались вопросом скептики, хотя им и в голову никогда не приходило составить каталог всех импульсов всех нейронов собственного мозга в процессе принятия относительно «простого» доказательства.

Такое беспокойство может показаться ещё более обоснованным в применении к гипотетическому решению с бесконечным числом шагов. Но что такое «шаг» и что такое «бесконечный»? В V веке до н. э. Зенон Элейский на основе похожих интуитивных соображений пришёл к выводу, что Ахиллес никогда не обгонит черепаху, если у черепахи было преимущество на старте. Ведь к тому времени, когда Ахиллес достигнет места, где черепаха находится сейчас, она немного продвинется вперёд. К тому времени, когда он достигнет этой новой точки, она продвинется ещё чуть-чуть и так до бесконечности. Таким образом, чтобы догнать черепаху, Ахиллесу потребуется выполнить бесконечное число шагов, которое он, будучи конечным существом, якобы выполнить не сможет. Но то, что способен сделать Ахиллес, невозможно обнаружить с помощью чистой логики. Это полностью зависит от того, что ему позволяют сделать действующие законы физики. И если эти законы говорят, что он обгонит черепаху, то он её обгонит. В соответствии с классической физикой для того, чтобы сравняться с черепахой, требуется бесконечное количество шагов вида «переход на текущее место нахождения черепахи». В этом смысле данная операция является вычислительно бесконечной. Если это построение рассматривать как доказательство того, что одна абстрактная величина станет больше другой при выполнении данного набора действий, то это будет доказательство с бесконечным количеством шагов. Однако соответствующие законы обозначают это доказательство как физически конечный процесс — и только это имеет значение.

Интуиция Гёделя относительно шагов и конечности, насколько нам известно, действительно учитывает некоторые физические ограничения, накладываемые на процесс доказательства. Квантовая теория требует дискретных этапов, и ни один из известных способов взаимодействия физических объектов не позволил бы сделать бесконечное количество шагов, прежде чем получить измеримый результат. (Возможно, однако, такое, что за всю историю Вселенной будет совершено бесконечное количество шагов — я объясню это в главе 14.) Классическая физика, окажись она истинной (что исключено), не согласовывалась бы с такого рода интуициями. Например, непрерывное движение классических систем позволило бы осуществлять «аналоговое» вычисление, которое не является пошаговым и репертуар которого существенно отличается от универсальной машины Тьюринга. Известны некоторые примеры хитрых классических законов, в случае действия которых бесконечный объём вычислений (бесконечный как по стандартам машины Тьюринга, так и квантового компьютера) можно было бы выполнить физически конечными методами. Безусловно, классическая физика несовместима с результатами бесчисленных экспериментов, поэтому размышления о том, какими могли бы быть «действительные» классические законы физики, носят искусственный, чисто спекулятивный характер; однако эти примеры показывают, что никто не может доказать, независимо от знания физики, что доказательство должно состоять из конечного числа шагов. Эти же соображения применимы к интуиции о том, что должно быть конечное количество правил вывода, и что они должны быть «применимы непосредственно». Ни одно из этих требований не имеет смысла в теории: это физические требования. Гильберт в своём влиятельном эссе «О бесконечном» (On the Infinite) ехидно высмеивал идею о том, что требование «конечного числа шагов» является существенным. Однако вышеуказанный аргумент показывает, что он ошибался: это требование существенно, и оно вытекает только из его собственной и других математиков физической интуиции.

По крайней мере одно из интуитивных представлений Гёделя о доказательствах оказалось ошибочным; к счастью, это никак не влияет на доказательства его теорем. Он унаследовал его в неизменной форме из предыстории греческой математики, и оно не вызывало сомнений ни у одного поколения математиков до тех пор, пока в 1980-х годах открытия в области квантовой теории вычислений не доказали его ложность. Это представление заключается в том, что доказательство — это определённый тип объекта, а именно, последовательность утверждений, которая подчиняется правилам вывода. Я уже говорил о том, что доказательство лучше рассматривать не как объект, а как процесс, разновидность вычислений. Однако в классической теории доказательств или вычислений фундаментальной разницы между ними нет по следующей причине. Если можем осуществить процесс доказательства, то, прикладывая лишь немного дополнительных усилий, можно вести запись всего важного, что происходит во время этого процесса. Эта запись, будучи физическим объектом, составит доказательство в смысле последовательности утверждений. И наоборот, если бы у нас была такая запись, мы могли бы прочитать её, проверить, удовлетворяет ли она правилам вывода, и в ходе этого процесса мы докажем наше заключение. Другими словами, в классическом случае переход между процессом доказательства и объектом доказательства — это всегда легкорешаемая задача.

Теперь давайте рассмотрим некоторое математическое вычисление, которое является трудным для всех классических компьютеров, но предположим, что квантовый компьютер легко может выполнить это вычисление, задействовав интерференцию между, скажем, 10⁵⁰⁰ вселенными. Чтобы сделать тезис более чётким, пусть вычисление будет таким, что ответ после его получения (в отличие от результата разложения на множители) невозможно проверить с помощью легкоосуществимых вычислений. Процесс программирования квантового компьютера для выполнения вычислений такого рода, запуск программы и получение результата составляет доказательство того, что математическое вычисление даёт именно этот конкретный результат.

Но в этом случае не существует способа записать всё, что произошло в процессе доказательства, потому что большая часть всего этого протекала в других вселенных, а измерение состояния вычисления изменило бы интерференционные свойства и тем самым нарушило бы корректность доказательства. Таким образом, создание старомодного объекта доказательства оказывается невозможным; более того, во Вселенной, как мы её знаем, и близко нет такого количества материала, чтобы создать подобный объект, поскольку в этом доказательстве больше шагов, чем существует атомов в известной Вселенной. Этот пример показывает, что возможность квантовых вычислений делает эти два понятия доказательства не эквивалентными. Интуиция доказательства как объекта не охватывает все способы, с помощью которых можно доказать математическое утверждение в реальности.

И вновь мы видим неадекватность традиционного математического метода достижения уверенности попытками устранения из нашей интуиции всех возможных источников неопределённости и ошибок, пока не останется одна только самоочевидная истина. Именно так поступал Гёдель. Именно так поступали Чёрч, Пост и особенно Тьюринг, когда пытались интуитивно постичь свои универсальные модели вычисления. Тьюринг надеялся, что его модель с абстрактной бумажной лентой настолько проста, настолько открыта и хорошо определена, что не зависит ни от каких допущений относительно физики, которые можно было бы в принципе опровергнуть, и, следовательно, она может стать фундаментом абстрактной теории вычислений, независимой от лежащей в её основе физики. «Он считал, — как однажды сказал Фейнман, — что он понял бумагу». Но он ошибался. Реальная, квантово-механическая бумага очень сильно отличается от абстрактного материала, используемого машиной Тьюринга. Машина Тьюринга является всецело классической, она не принимает во внимание возможность того, что в различных вселенных на бумаге могут быть написаны различные символы, и что они могут интерферировать друг с другом. Безусловно, искать интерференцию между различными состояниями бумажной ленты непрактично. Но дело в том, что интуиция Тьюринга, из-за того, что в ней содержались ложные допущения из классической физики, заставила его абстрагироваться от некоторых вычислительных свойств его гипотетической машины — тех самых свойств, которые он намеревался сохранить. Именно поэтому результирующая модель вычисления оказалась неполной.

Различные ошибки, которые математики во все времена допускали в том, что касается доказательств и их надёжности, вполне естественны. Настоящее обсуждение должно сформировать ожидание того, что современная точка зрения тоже не будет вечной. Но уверенность, с которой математики держались за эти недоразумения, а также их неспособность признать саму возможность ошибки во всём этом — следствие, на мой взгляд, древней и широко распространённой путаницы между методами математики и её предметом. Сейчас я это поясню. В отличие от отношений между физическими сущностями, отношения между абстрактными сущностями не зависят от каких бы то ни было непредвиденных фактов и законов физики. Они полностью и объективно определяются автономными свойствами самих абстрактных сущностей. Математика, изучающая эти отношения и свойства, таким образом, изучает абсолютно необходимые истины. Другими словами, истины, изучаемые математикой, являются абсолютно надёжными. Но это не значит, что наше знание этих необходимых истин само по себе является надёжным и методы математики придают необходимую истинность своим выводам. Как-никак, математика изучает ещё и ложные утверждения и парадоксы. И это не означает, что выводы из подобного изучения непременно являются ложными или парадоксальными.

Необходимая истина — это всего лишь предмет математики, а не награда, которую мы получаем за занятия математикой. Математическая уверенность не является и не может являться целью математики. Её целью является даже не математическая истина, надёжная или какая-нибудь ещё. Её целью является и должно являться математическое объяснение.

Почему же тогда математика работает так, как она работает? Почему она ведёт к выводам, которые, несмотря на отсутствие надёжности, можно принимать и без проблем применять в течение тысячелетий? Причина в том, что некоторая часть нашего знания физического мира столь же надёжна и непротиворечива. А когда мы понимаем физический мир достаточно хорошо, мы также понимаем, какие физические объекты имеют общие свойства с абстрактными. Но, в принципе, надёжность нашего знания математики остаётся зависимой от нашего знания физической реальности. Корректность каждого математического доказательства полностью зависит от того, правы ли мы относительно законов, управляющих поведением некоторых физических объектов, будь то генераторы виртуальной реальности, чернила и бумага или наш собственный мозг.

Таким образом, математическая интуиция — это вид физической интуиции. Физическая интуиция — это набор эмпирических правил (часть из которых, возможно, врождённые, а большинство — развившиеся в детстве) о том, как ведёт себя физический мир. Например, у нас есть интуитивное представление о существовании физических объектов и того, что эти объекты обладают определёнными свойствами: формой, цветом, массой и положением в пространстве, и некоторые из этих свойств существуют, даже когда за этими объектами не наблюдают. Другое такое представление заключается в том, что существует физическая переменная — время, — по отношению к которой свойства изменяются, но тем не менее объекты способны сохранять свою идентичность с течением времени. Ещё одно заключается в том, что объекты взаимодействуют, и это взаимодействие может изменить некоторые их свойства. Математическая интуиция относится к тому способу, которым физический мир может демонстрировать свойства абстрактных сущностей. Одним из таких интуитивных представлений является абстрактный закон или, по крайней мере, объяснение, лежащее в основе поведения объектов. Интуитивное представление о том, что пространство допускает замкнутые поверхности, отделяющие «внутреннюю часть» от «наружной части», можно уточнить, преобразовав её в математическую интуицию множества, разделяющего всё на члены и не-члены этого множества. Однако дальнейшее уточнение математиками (начиная с опровержения Расселом теории множеств Фреге) показало, что это представление перестаёт быть точным, когда рассматриваемое множество содержит «слишком много» членов (слишком большую степень бесконечности членов).

Даже если бы хоть какая-то физическая или математическая интуиция была врождённой, это не придавало бы ей какого-то особого авторитета. Врождённую интуицию невозможно считать суррогатом «воспоминаний» Платона о мире форм, поскольку общеизвестно, что многие интуитивные представления, которые случайно развились у людей в процессе эволюции, просто ложны. Например, человеческий глаз и управляющее им «программное обеспечение» неявным образом воплощают ложную теорию о том, что жёлтый свет состоит из смеси красного и зелёного света (в смысле, что жёлтый свет даёт нам точно такое же ощущение, как и смесь красного и зелёного света). В реальности все три типа света имеют разные частоты и не могут быть созданы посредством смешивания света других частот. Тот факт, что смесь красного и зелёного света кажется нам жёлтым светом, не имеет ничего общего со свойствами света, но связан со свойствами наших глаз. Это результат компромисса, имевшего место на каком-то древнем этапе эволюции наших далёких предков. Конечно, возможно (хотя я в это не верю), что геометрия Евклида или логика Аристотеля каким-то образом встроены в структуру нашего мозга, как считал философ Иммануил Кант. Но из этого логически не следует их истинность. Даже если представить ещё более невероятный случай, что у нас есть врождённые интуитивные представления, от которых мы не в состоянии избавиться, такая интуиция всё равно не будет необходимой истиной.

Таким образом, ткань реальности имеет более однородную структуру, чем это могло бы быть, окажись математическое знание надёжно верифицируемым, а, значит, иерархическим, как считалось традиционно. Математические сущности являются частью структуры реальности, поскольку они сложны и автономны. Создаваемая ими реальность некоторым образом похожа на царство абстракций, которое рисуют Платон и Пенроуз: будучи по определению неощутимыми, они объективно существуют и имеют свойства, независимые от законов физики. Однако именно физика позволяет нам приобрести знание об этом царстве. И она накладывает строгие ограничения. Если в физической реальности постижимо всё, то постижимые математические истины составляют бесконечно малое меньшинство тех, которые в точности соответствуют каким-то физическим истинам — вроде того факта, что при определённых манипуляциях определёнными символами, записанными чернилами на бумаге, появятся другие определённые символы. Иначе говоря, это и есть те истины, которые можно представить в виртуальной реальности. У нас нет другого выбора, кроме как принять то, что непостижимые математические сущности тоже реальны, так как они возникают неустранимым образом в наших объяснениях постижимых сущностей.

Существуют физические объекты, например, пальцы, компьютеры и мозг, поведение которых может моделировать поведение определённых абстрактных объектов. Тем самым структура физической реальности открывает нам окно в мир абстракций. Это очень узкое окно, оно предоставляет только ограниченный обзор. Некоторые из структур, которые мы видим из него, например, натуральные числа или правила вывода классической логики, кажутся важными или «фундаментальными» для абстрактного мира, так же как глубокие законы природы фундаментальны для физического мира. Но эта видимость может ввести в заблуждение, поскольку в действительности мы видим только то, что некоторые абстрактные структуры фундаментальны по отношению к нашему пониманию абстракций. У нас нет никакой причины считать, что эти структуры объективно важны в абстрактном мире. Просто некоторые абстрактные сущности ближе, чем другие, и их проще увидеть из нашего окна.