Глава 2 ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ

Глава 2

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ

§ 1.Бозе-частицы и ферми-частицы

§ 2.Состояния с двумя бозе-частицами

§ 3.Состояния с n бозе-частицами

§ 4.Излучение и поглощение фотонов

§ 5.Спектр абсолютно черного тела

§ 6.Жидкий гелий

§ 7.Принцип запрета

Повторить: гл. 41 (вып. 4) «Броуновское движение» (об излучении абсолютно черного тела гл. 42 (вып 4 «Применения кинетической теории»

§ 1. Бозе-частицы и ферми-частицы

В предыдущей главе мы начали рассматри­вать особые правила, по которым происходит с интерференция в процессах с двумя тождественными частицами. Тождественными мы счи­таем такие частицы, которые, подобно электро­нам, никак невозможно отличить друг от друга. Если в процессе имеются две тождественные частицы, то замена той, которая повернула к счетчику, на другую — это неотличаемая альтернатива, которая, как и во всех случаях неотличимых альтернатив, интерферирует с первоначальным случаем, когда обмена не было. Амплитудой события тогда служит сумма двух интерферирующих амплитуд, и существенно, что в одних случаях интерференция происходит в фазе, а в других — в противофазе.

Представим, что сталкиваются две частицы а и b и частица а рассеивается в направлении 1, а частица b — в направлении 2 (фиг. 2.1, а).

Фиг. 2.1. При рассеянии двух тождественных частиц процессы а и б неразличимы.

Пусть f(q) будет амплитуда этого процесса; тогда вероятность Р1наблюдения подобного события пропорциональна |f(q)|2. Конечно, могло случиться, что частица b рассеялась в счетчик 1, а частица а направилась в счетчик 2 (фиг. 2.1, б). Если считать, что никаких спе­циальных направлений, определяемых спином или чем-то подобным, в опыте нет, то вероят­ность Р2 этого события можно просто записать в виде | f(p-q)|2, потому что этот процесс попросту эквивалентен первому процессу, в котором счетчик 1 поставили под углом (я — 6). И вам могло бы показаться, что амплитуда вто­рого процесса равна просто f(p-q). Но это не обязательно так, потому что в ней мог стоять произвольный фазовый множитель. Иначе говоря, амплитуда могла бы быть такой:

Ведь и такая амплитуда все еще приводит к вероятности Р2, равной |f(p-q)|2.

Посмотрим теперь, что случается, если частицы a и b оказы­ваются идентичными. Тогда два разных процесса, показанных на двух частях фиг. 2.1, уже нельзя друг от друга отличить. Существует амплитуда того, что а или b попадает в счетчик 1, тогда как оставшаяся частица попадает в счетчик 2. Эта амплитуда есть сумма амплитуд двух процессов, показанных на фиг. 2.1.

Если первую мы обозначим f(q), то вторая будет и теперь уже фазовый множитель очень важен, потому что мы собираемся складывать амплитуды. Предположим, что мы обязаны умножать амплитуду на некий фазовый множитель всякий раз, когда две частицы обмениваются ролями. Если они еще раз обменяются ими, то множитель появится еще раз. Но при этом мы снова возвратимся к первому процессу. Фазовый множитель, взятый дважды, должен вернуть нас к тому, с чего мы начали,— его квадрат должен быть равен единице. Есть только две возможности:

равно либо +1, либо -1. Обмен при­водит ко вкладу в амплитуду с тем же знаком или ко вкладу с противоположным знаком. И оба случая встречаются в природе, каждый для своего класса частиц. Частицы, интерферирующие с положительным знаком, называются бозе-частицами, а те, которые интерферируют с отрицательным знаком, именуются ферми-частицами. Ферми-частицы — это электрон, мюон, оба нейтрино, нуклоны и барионы. Стало быть, амплитуда рассеяния тождественных частиц имеет вид для бозе-частиц:

(Амплитуда процесса)+(Амплитуда обмена); (2.1) для ферми-частиц:

(Амплитуда процесса)-(Амплитуда обмена). (2.2)

Для частиц со спином (скажем, электронов) возникает добавочное усложнение. Нужно указывать не только местопо­ложение частиц, но и направление их спинов. Только в том случае, когда частицы идентичны и их спиновые состояния тоже идентичны, только тогда при обмене частицами амплитуды ин­терферируют. А если вас интересует рассеяние неполяризован­ных пучков, являющихся смесью различных спиновых состоя­ний, то нужны еще выкладки и сверх этого.

Интересная проблема возникает при наличии двух или больше тесно связанных частиц. К примеру, в a-частице сидят четыре частицы: два нейтрона и два протона. И когда рассеи­ваются две a-частицы, может представиться несколько возмож­ностей. Может случиться, что при рассеянии обнаружится ко­нечная амплитуда того, что один из нейтронов перескочит от одной a-частицы к другой, а нейтрон из другой a-частицы пе­рейдет к первой, так что две a-частицы после рассеяния оказы­ваются не первоначальными частицами — произошел обмен парой нейтронов (фиг. 2.2).

Фиг. 2.2. Рассеяние двух a-частиц.

а —- обе частицы сохраняют свою индивидуальность; б — во время рассеяния происходит обмен нейтроном.

Амплитуда рассеяния с обменом парой нейтронов будет интерферировать с амплитудой рассея­ния без такого обмена, и интерференция должна иметь знак минус, потому что состоялся обмен ферми-частицами. С другой стороны, если относительная энергия двух a-частиц так мала, что они находятся сравнительно далеко друг от друга (скажем, из-за кулоновского отталкивания) и вероятность обмена лю­быми внутренними частицами оказывается незначительной, в этом случае a-частицу можно считать простейшим объектом, не задумываясь о деталях ее внутреннего строения. В этих условиях в амплитуду рассеяния войдут только два члена. Либо обмена вовсе нет, либо при рассеянии происходит обмен всеми четырьмя нуклонами. Поскольку и протоны, и нейтроны в a-частице — это ферми-частицы, обмен любой парой меняет знак амплитуды рассеяния. Пока внутри a-частиц нет никаких изменений, обмен двумя a-частицами означает то же самое, что обмен четырьмя парами ферми-частиц. Каждая пара меняет знак, и в итоге амплитуды складываются со знаком плюс. Так что a-частица ведет себя как бозе-частица.

Значит, правило состоит в том, что сложные объекты в тех обстоятельствах, когда их можно считать неделимыми объекта­ми, ведут себя как бозе- или ферми-частицы, смотря но тому, содержится ли в них четное или нечетное число ферми-частиц.

Все элементарные ферми-частицы, о которых мы упоминали (такие, как электрон, протон, нейтрон и т. д.), обладают спином j=1/2. Если несколько таких ферми-частиц образует сложный объект, общий их спин может быть либо целым, либо полуцелым. К примеру, у самого распространенного изотопа гелия Не4, в ко­тором два протона и два нейтрона, спин равен нулю, а у Li7, в котором протонов три, а нейтронов четыре, спин равен 3/2. Позже мы выучим правила сложения моментов количества движения, а пока просто заметим, что всякий сложный объект с полуцелым спином имитирует ферми-частицу, тогда как всякий сложный объект с целым спином имитирует бозе-частицу.

Интересно, отчего так получается? Отчего частицы с полу­целым спином суть ферми-частицы, чьи амплитуды складывают­ся со знаком минус, а частицы с целым спином суть бозе-частицы, чьи амплитуды складываются с положительным знаком? Мы просим прощения за то, что неспособны элементарно объяснить вам это. Но объяснение существует, его нашел Паули, основываясь на сложных доводах квантовой теории поля и тео­рии относительности. Он показал, что эти факты с необходи­мостью связаны друг с другом; но мы не в состоянии найти спо­соб воспроизвести его аргументы на элементарном уровне. Это, видимо, одно из немногих мест в физике, когда правило формулируется очень просто, хотя столь же простого объясне­ния ему не найдено. Объяснение коренится глубоко в реляти­вистской квантовой механике. По-видимому, это означает, что мы до конца не понимаем лежащего в его основе принципа. Будем считать его пока одним из законов Вселенной.

§ 2. Состояния с двумя бозе-частицами

Теперь мы хотели бы обсудить интересное следствие из пра­вила сложения для бозе-частиц. Оно касается поведения этих частиц, когда их не одна, а несколько. Начнем с рассмотрения случая рассеяния двух бозе-частиц на двух различных рассеивателях. Нас интересуют не детали механизма рассеяния, а лишь одно: что происходит с рассеянными частицами. Пусть перед нами случай, показанный на фиг. 2.3.

Фиг. 2.3. Двойное рассеяние в близ­кие конечные состояния.

Частица а, рас­сеявшись, оказалась в состоянии 1. Под состоянием мы подра­зумеваем данное направление и энергию или какие-нибудь другие заданные условия. Частица b рассеялась в состояние 2.Предположим, что состояния 1 и 2 почти одинаковы. (На са­мом же деле мы хотели бы получить амплитуду того, что две частицы рассеялись в одном и том же направлении или в одно и то же состояние, но лучше будет; если мы сперва подумаем над тем, что произойдет, если состояния будут почти одинако­выми, а затем выведем отсюда, что бывает при их полном сов­падении.)

Пусть у нас была бы только частица а; тогда у нее была бы определенная амплитуда рас­сеяния в направлении 1, скажем <1|а>. А частица b сама по себе обладала бы амплитудой <2|b> того, что приземление произойдет в направлении 2. Если частицы не тождественны, то амплитуда того, что в одно и то же время произойдут оба рассеяния, равна попросту произведению

<1|а><2|b>. Вероятность же такого события тогда равна

|<l|a><2|b>|2 что также равняется

|<1|а>|2|<2|b>|2. Чтобы сократить запись, мы иногда будем полагать

<1|а>=а1, <2|b>=b2.

Тогда вероятность двойного рассеяния есть

|a1|2|b2|2.

Могло бы также случиться, что частица b рассеялась в на­правлении 1, а частица а —в направлении 2. Амплитуда та­кого процесса была бы равна

<2|а><1|b>, а вероятность такого события равна

|<2|а><1|b>|2=|a2|2|b1|2.

Представим себе теперь, что имеется пара крошечных счет­чиков, которые ловят рассеянные частицы. Вероятность Р2 того, что они засекут сразу обе частицы, равна просто

P2=|a1|2|b2|2+|a2|2|b1|2. (2.3)

Положим теперь, что направления 1 и 2 очень близки. Бу­дем считать, что а с изменением направления меняется плавно, тогда а1и а2 при сближении направлений 1 и 2 должны приближаться друг к другу. При достаточном сближении амплитуды а1и а2 сравняются, и можно будет положить а1=а2 и обозна­чить каждую из них просто а; точно так же мы положим и b1=b2=b. Тогда получим

Р2=2|а|2|b|2. (2.4)

Теперь, однако, предположим, что а и b — тождественные бозе-частицы. Тогда процесс перехода а в состояние 1, а b в состояние 2 нельзя будет отличить от обменного процесса, в ко­тором b переходит в 2, а а — в 1. В этом случае амплитуды двух различных процессов могут интерферировать. Полная амплиту­да того, что в каждом из счетчиков появится по частице, равна

<1| а><2|b>+<2|а><1|b>, (2.5)

и вероятность того, что ими будет зарегистрирована пара, дается квадратом модуля этой амплитуды:

Р2= |а1b2+a2b1|2=4|a|2|b|2(2.6)

Б итоге выясняется, что вдвое более вероятно обнаружить две идентичные бозе-частицы, рассеянные в одно и то же состоя­ние, по сравнению с расчетом, проводимым в предположении, что частицы различны.

Хотя мы считали, что частицы наблюдаются двумя разными счетчиками,— это несущественно. В этом можно убедиться следующим образом. Вообразим себе, что оба направления 1 и 2 привели бы частицы в один и тот же маленький счетчик, кото­рый находится на каком-то расстоянии. Мы определим направ­ление 1, говоря, что оно смотрит в элемент поверхности dS1 счетчика. Направление же 2 смотрит в элемент поверхности dS2счетчика. (Считается, что счетчик представляет собой по­верхность, поперечную к линии рассеяния.) Теперь уже нельзя говорить о вероятности того, что частица направится точно в каком-то направлении или в определенную точку пространства. Это невозможно — шанс зарегистрировать любое фиксирован­ное направление равен нулю. Если уж нам хочется точности, то нужно так определить наши амплитуды, чтобы они давали ве­роятность попадания на единицу площади счетчика. Пусть у нас была бы только одна частица я; она бы имела определенную амплитуду рассеяния в направлении 1. Пусть<1|а>=a1 определяется как амплитуда того, что а рассеется в единицу площади счетчика, расположенного в направлении 1. Иными словами, мы выбираем масштаб а1и говорим, что она «нормирована» так, что вероятность того, что а рассеется в элемент площади dS1равна

Если вся площадь нашего счетчика DS и мы заставим dS1странст­вовать по этой площади, то полная вероятность того, что ча­стица а рассеется в счетчик, будет

Как и прежде, мы хотим считать счетчик настолько малым, что амплитуда а1на его поверхности не очень меняется; зна­чит, а1будет постоянным числом, и мы обозначим его через а. Тогда вероятность того, что частица а рассеялась куда-то в счетчик, равна

Таким же способом мы придем к выводу, что частица b (когда она одна) рассеивается в элемент площади dS2с ве­роятностью

(Мы говорим dS2, а не dS1в расчете на то, что позже ча­стицам а и b будет разрешено двигаться в разных направле­ниях.) Опять положим b2 равным постоянной амплитуде b; тогда вероятность того, что частица b будет зарегистрирована счетчиком, равна

Когда же имеются две частицы, то вероятность рассеяния а в dS1и b в dS2будет

Если нам нужна вероятность того, что обе частицы (и а, и b) попали в счетчик, мы должны будем проинтегрировать dS1 и dS2по всей площади DS; получится

Заметим, кстати, что это равно просто ра·рbвточности так, как если бы мы предположили, что частицы а и b действуют независимо друг от друга.

Однако, когда две частицы тождественны, имеются две не­различимые возможности для каждой пары элементов поверх­ности dS1и dS2. Частица а, попадающая в dS2, и частица b, по­падающая в dS1, неотличимы от а в dS1и от b в dS2, так что амплитуды этих процессов будут интерферировать. (Когда у нас были две различные частицы, то, хотя мы на самом деле не заботились о том, какая из них куда попадает в счетчике, мы все же в принципе могли это узнать; так что интерференции не было. А для тождественных частиц мы и в принципе не можем этого сделать.) Мы должны тогда написать, что вероятность того, что пара частиц очутится в dS1и dS2, есть

Однако сейчас, интегрируя по поверхности счетчика, нужно быть осторожным. Пустив dS1и dS2 странствовать по всей пло­щади DS, мы бы сосчитали каждую часть площади дважды, поскольку в (2.13) входит все, что может случиться с каждой парой элементов поверхности dS1и dS2. Но интеграл можно все равно подсчитать, если учесть двукратный счет, разделив результат пополам. Тогда мы получим, что Р2для тождествен­ных бозе-частиц есть

И опять это ровно вдвое больше того, что мы получили в (2.12) для различимых частиц.

Если вообразить на мгновение, что мы откуда-то знали, что канал b уже послал свою частицу в своем направлении, то мож­но сказать, что вероятность того, что вторая частица направит­ся в ту же сторону, вдвое больше того, чего можно было бы ожи­дать, если бы мы посчитали это событие независимым. Таково уж свойство бозе-частиц. что если есть одна частица в каких-то условиях, то вероятность поставить в те же условия вторую вдвое больше, чем если бы первой там не было. Этот факт часто формулируют так: если уже имеется одна бозе-частица в данном состоянии, то амплитуда того, что туда же, ей на голову, можно будет поместить вторую, в Ц2 раз больше, чем если бы первой там не было. (Это неподходящий способ формулировать резуль­тат с той физической точки зрения, какую мы избрали, но, если это правило последовательно применять, оно все же приводит к верному результату.)

§ 3. Состояния с n бозе-частицами

Распространим наш результат на тот случай, когда имеются n частиц. Вообразим случай, изображенный на фиг. 2.4.

Фиг. 2.4. Рассеяние n частиц в близкие конечные состояния.

Есть n частиц а, b, с, . . . , которые рассеиваются в направлениях 1, 2, 3, . . . , п. Все n направлений смотрят в небольшой счет­чик, который стоит где-то поодаль. Как и в предыдущем параг­рафе, выберем нормировку всех амплитуд так, чтобы вероятность того, что каждая частица, действуя по отдельности, попадет в элемент поверхности dS счет­чика, была равна

|< >|2dS.

Сперва предположим, что частицы все различимы, тогда вероятность того, что n частиц будут одновременно зарегистрированы в n разных элементах поверхности, будет равна

Опять примем, что амплитуды не зависят от того, где в счет­чике расположен элемент dS (он считается малым), и обозна­чим их .просто а, b, с, .... Вероятность (2.15) обратится в

Прогоняя каждый элемент dS по всей поверхности DS счет­чика, получаем, что Рn(разные) — вероятность одновременно зарегистрировать n разных частиц — равна

Это просто произведение вероятностей попаданий в счетчик каждой из частиц по отдельности. Все они действуют незави­симо — вероятность попасть для одной из них не зависит от того, сколько других туда попало.

Теперь предположим, что все эти частицы — идентичные бозе-частицы. Для каждой совокупности направлений 1, 2, 3, ... существует много неразличимых возможностей. Если бы, ска­жем, частиц было только три, появились бы следующие воз­можности:

Возникает шесть различных комбинаций. А если частиц n, то будет n!разных, хотя и не отличимых друг от друга, комбина­ций; их амплитуды положено складывать. Вероятность того, что n частиц будут зарегистрированы в n элементах поверхности, тогда будет равна

? a1b2c3 …+ a1b3c2 … + и т. д. +?2 dS1 dS2 dS3... dSn. (2.18)

И снова мы предположим, что все направления столь близки друг к другу, что можно будет положить а12= . . . . . . n=а и то же сделать с b, с, . . . ; вероятность (2.18) обратится в

|n!abc ... |2dS1dS2 ... dSn. (2.19)

Когда каждый элемент dS прогоняют по площади DS счет­чика, то всякое мыслимое произведение элементов поверхности считается n!раз; учтем это, разделив на n!, и получим

или

Сравнивая это с (2.17), видим, что вероятность совместного счета n бозе-частиц в n!раз больше, чем получилось бы в пред­положении, что все частицы различимы. Все это можно подыто­жить так:

Итак, вероятность в случае бозе-частиц в n!раз больше, чем вы получили бы, считая, что частицы действовали независимо. Мы лучше поймем, что это значит, если спросим: чему равна вероятность того, что бозе-частица перейдет в некоторое состоя­ние, в котором уже находятся n других частиц? Обозначим добавленную частицу буквой w. Если всего, включая w, имеется (n+1) частиц, то (2.20) обращается в

Это можно записать так:

или

Этот результат можно истолковать следующим образом. Число |w|2DS — это вероятность заполучить в счетчик части­цу w, если никаких других частиц нет; Рn(бозе) — это шанс того, что там уже есть n других бозе-частиц. Значит, (2.23) говорит нам, что когда у нас уже есть n других идентичных друг другу бозе-частиц, то вероятность того, что еще одна частица придет в то же состояние, усиливается в (n+1) раз. Вероят­ность получить еще один бозон там, где уже есть их n штук, в (n+1) раз больше той, какая была бы, если бы там раньше ни­чего не было. Наличие других частиц увеличивает вероятность заполучить еще одну.

§ 4. Излучение и поглощение фотонов

Повсюду в наших рассуждениях шла речь о процессе, по­хожем на рассеяние a-частиц. Но это необязательно; можно было бы говорить и о создании частиц, например об излучении света. При излучении света «создается» фотон. В этом случае уже не нужны на фиг. 2.4 входящие линии; можно просто счи­тать, что есть n атомов а, b, с, . . . , излучающих свет (фиг. 2.5).

Фиг. 2.5. Образование n фотонов в близких состояниях.

Значит, наш результат можно сформулировать и так: вероятность того, что атом излучит фотон в некотором конечном состоянии, увеличивается в (n+1) раз, если в этом состоянии уже есть n фотонов.

Многим больше нравится высказывать этот результат иначе; они говорят, что амплитуда испускания фотона увеличи­вается в Ц(п+1) раз, если уже имеется в наличии n фотонов. Разумеется, это просто другой способ сказать то же самое, если только иметь в виду, что эту амплитуду для получения вероят­ности надо просто возвести в квадрат.

В квантовой механике справедливо в общем случае утвержде­ние о том, что амплитуда получения состояния cиз любого другого состояния j комплексно сопряжена амплитуде получе­ния j из c

Мы разберемся в этом чуть позже, а пока просто предположим, что на самом деле это так. Тогда этим можно воспользоваться, чтобы понять, как фотоны рассеиваются или поглощаются из данного состояния. Мы знаем, что амплитуда того, что фотон прибавится к какому-то состоянию, скажем к i, вкотором уже находится n фотонов, равна

где а=<i|а> — амплитуда, когда нет других фотонов. Если воспользоваться формулой (2.24), то амплитуда обратного перехода — от (n+1) фотонов к n фотонам — равна

Но обычно говорят иначе; людям не нравится думать о пере­ходе от (n+1) к n, они всегда предпочитают исходить из того, что имелось n фотонов. Поэтому говорят, что амплитуда погло­щения фотона, если имеется n других, иными словами, перехода от n к (n-1), равна

<n-1|n>=Цna*. (2.27)

Это, разумеется, просто та же самая формула (2.26). Но тогда возникает новая забота — помнить, когда пишется Цn и когда Ц(n+1). Запомнить это можно так: множитель всегда равен корню квадратному из наибольшего числа имевшихся в нали­чии фотонов, все равно — до реакции или после. Уравнения (2.25) и (2.26) свидетельствуют о том, что закон на самом деле симметричен; несимметрично он выглядит лишь тогда, когда его записывают в виде (2.27).

Из этих новых правил проистекает множество физических следствий; мы хотим привести одно из них, касающееся испус­кания света. Представим случай, когда фотоны находятся в ящике,— можете вообразить, что ящик имеет зеркальные стен­ки. Пусть в этом ящике в одном и том же состоянии (с одними и теми же частотой, поляризацией и направлением) имеется n фо­тонов, так что их нельзя друг от друга отличить, и пусть в ящике имеется атом, который может испустить еще один фотон в таком же состоянии. Тогда вероятность того, что он испустит фотон, равна

(п+1)|a|2, (2.28)

а вероятность того, что он фотон поглотит, равна

n|а|2, (2.29)

где |а|2 — вероятность того, что он испустил бы фотон, если бы не было этих n фотонов. Мы уже говорили об этих правилах немного по-иному в гл. 42 (вып. 4). Выражение (2.29) утверждает, что вероятность того, что атом поглотит фотон и совершит переход в состояние с более высокой энергией, пропорциональ­на интенсивности света, освещающего его. Но, как впервые указал Эйнштейн, скорость, с которой атом переходит в более низкое энергетическое состояние, состоит из двух частей. Есть вероятность |а|2 того, что он совершит самопроизвольный переход, и есть вероятность вынужденного перехода n|а|2, пропорциональная интенсивности света, т. е. числу имеющихся фотонов. Далее, как заметил Эйнштейн, коэффициенты погло­щения и вынужденного испускания равны между собой и свя­заны с вероятностью самопроизвольного испускания. Здесь же мы выяснили, что если интенсивность света измеряется ко­личеством имеющихся фотонов (вместо того, чтобы пользоваться энергией в единице объема или в секунду), то коэффициенты поглощения, вынужденного испускания и самопроизвольного испускания все равны друг другу. В этом смысл соотношения между коэффициентами А и В, выведенного Эйнштейном [см. гл. 42 (вып. 4), соотношение (42.18)].

§ 5. Спектр абсолютно черного тела

Мы хотим теперь использовать наши правила для бозе-частиц, чтобы еще раз получить спектр излучения абсолютно черного тела [см. гл. 42 (вып. 4)]. Мы сделаем это, подсчитав, сколько фотонов содержится в ящике, если излучение нахо­дится в тепловом равновесии с атомами в ящике. Допустим, что каждой световой частоте со соответствует определенное количество N атомов с двумя энергетическими состояниями, отличающимися на энергию DЕ =hw (фиг. 2.6).

Фиг. 2.6. Излучение и поглощение фотона с частотой w.

Состояние с меньшей энергией мы назовем «основным», с большей — «возбужденным». Пусть Nосни Nвозб — средние числа атомов в основном и возбужденном состояниях; тогда для теплового равновесия при температуре Т из статистической механики следует

Каждый атом в основном состоянии может поглотить фотон и перейти в возбужденное состояние, и каждый атом в возбу­жденном состоянии может испустить фотон и перейти в основное состояние. При равновесии скорости этих двух процессов должны быть равны. Скорости пропорциональны вероятности событий и количеству имеющихся атомов. Пусть n — среднее число фотонов, находящихся в данном состоянии с частотой w. Тогда скорость поглощения из этого состояния есть Nocнn|а|2, а скорость испускания в это состояние есть Nвозб(n+1)|а|2, Приравнивая друг другу эти две скорости, мы получаем

Сопоставляя это с (2.30), имеем

Отсюда найдем

Это и есть среднее число фотонов в любом состоянии с частотой w при тепловом равновесии в полости. Поскольку энергия каждого фотона hw, то энергия фотонов в данном состоянии

есть nhw, или

Кстати говоря, мы уже получали подобное выражение в другой связи [см. гл. 41 (вып. 4), формула (41.15)]. Вспомните, что для гармонического осциллятора (скажем, грузика на пружинке) квантовомеханические уровни энергии находятся друг от друга на равных расстояниях hw, как показано на фиг. 2.7.

Фиг. 2.7. Уровни энергии гармонического осциллятора.

 

Обозначив энергию n-го уровня через nhw. мы получили, что средняя энергия такого осциллятора также давалась выражением (2.33). А сейчас это выражение было выведено для фо­тонов путем подсчета их числа и привело к тому же результату. Перед вами — одно из чудес квантовой механики. Если начать с рассмотрения таких состояний или таких условий для бозе-частиц, когда они друг с другом не взаимодействуют (мы ведь предположили, что фотоны не взаимодействуют друг с другом), а за­тем считать, что в эти состояния могут быть помещены нуль, или одна, или две и т. д. до n частиц, то оказывается, что эта система ведет себя во всех квантовомеханических отношениях в точности, как гармонический осциллятор. Таким осциллято­ром считается динамическая система наподобие грузика на пружинке или стоячей волны в резонансной полости. Вот по­чему можно представлять электромагнитное поле фотонными частицами. С одной точки зрения можно анализировать электро­магнитное поле в ящике или полости в терминах множества гармонических осцилляторов, рассматривая каждый тип коле­баний, согласно квантовой механике, как гармонический ос­циллятор. С другой, отличной точки зрения ту же физику можно анализировать в терминах тождественных бозе-частиц. И итоги обоих способов рассуждений всегда точно совпадают. Невоз­можно установить, следует ли на самом деле электромагнитное поле описывать в виде квантуемого гармонического осциллято­ра или же задавать количество фотонов в каждом состоянии. Оба взгляда на вещи оказываются математически тождествен­ными. В будущем мы сможем с равным правом говорить либо о числе фотонов в некотором состоянии в ящике, либо о номере уровня энергии, связанного с некоторым типом колебаний электромагнитного поля. Это два способа говорить об одном и том же. То же относится и к фотонам в пустом пространстве. Они эквивалентны колебаниям полости, стенки которой отошли на бесконечность.

Мы подсчитали среднюю энергию произвольного частного типа колебаний в ящике при температуре T; чтобы получить закон излучения абсолютно черного тела, остается узнать толь­ко одно: сколько типов колебаний бывает при каждой энергии. (Мы предполагаем, что для каждого типа колебаний найдутся такие атомы в ящике — или в его стенках,— у которых есть Уровни энергии, способные приводить к излучению этого типа колебаний, так что каждый тип может прийти в тепловое равно­весие.) Закон излучения абсолютно черного тела обычно форму­лируют, указывая, сколько энергии в единице объема уносится светом в малом интервале частот от со до w+Dw. Так что нам нужно знать, сколько типов колебаний с частотой в интервале Dw имеется в ящике. Хотя вопрос этот то и дело возни­кает в квантовой механике, это все же чисто классический во­прос, касающийся стоячих волн.

Ответ мы получим только для прямоугольного ящика. Для произвольного ящика выходит то же, только выкладки куда сложней. Нас еще будет интересовать ящик, размеры которого намного больше длины световых волн. В этом случае типов колебаний будет мириады и мириады; в каждом малом интер­вале частот Dw их окажется очень много, так что можно будет говорить об их «среднем числе» в каждом интервале Dw при частоте to. Начнем с того, что спросим себя, сколько типов колебаний бывает в одномерном случае — у волн в натянутой струне. Вы знаете, что каждый тип колебаний — это синусоида, кривая, обращающаяся на обоих концах в нуль; иначе говоря, на всей длине линии (фиг. 2.8) должно укладываться целое число полуволн.

Фиг. 2.8. Типы стоячих волн на отрезке.

Мы предпочитаем пользоваться волновым числом k=2p/l; обозначая волновое число j-го типа колебаний через kj, получаем

где j — целое. Промежуток dk между последовательными ти­пами равен

Нам удобно выбрать столь большое kL, что в малом интервале Dk; оказывается множество типов колебаний.

Обозначив число типов колебаний в интервале Dk через , имеем

Физики-теоретики, занимающиеся квантовой механикой, обычно предпочитают говорить, что типов колебаний вдвое меньше; они пишут

И вот почему. Им обычно больше нравится мыслить на языке бегущих волн — идущих направо (с k положительными) и идущих налево (с k отрицательными). Но «тип колебаний», или «собственное колебание»,— это стоячая волна, т. е. сумма двух волн, бегущих каждая в своем направлении. Иными словами, они считают, что каждая стоячая волна включает два различ­ных фотонных «состояния». Поэтому если предпочесть под подразумевать число фотонных состояний с данным k (где теперь уже k может быть и положительным, и отрицательным), то тогда окажется вдвое меньше. (Все интегралы теперь нужно будет брать от k=-Ґ до k =+Ґ, и общее число состояний вплоть до любого заданного абсолютного значения k получится таким, как надо.) Конечно, стоячие волны мы тогда не сможем хорошо описывать, но подсчет типов колебаний бу­дет идти согласованно.

Теперь наши результаты мы обобщим на три измерения. Стоячая волна в прямоугольном ящике должна обладать целым числом полуволн вдоль каждой оси. Случай двух измерений дан на фиг. 2.9.

Фиг. 2.9. Типы стоячих волн в двух измерениях.

Каждое направление и частота волны описываются вектором волнового числа k. Его х-, у- и z-компоненты должны удовлетворять уравнениям типа (2.34). Стало быть, мы имеем

Число типов колебаний с kxв интервале Dkx, как и прежде, равно

то же и с Dky, и с Dkz. Если обозначить через (k) число таких типов колебаний, в которых векторное волновое число k обладает х-компонентой в интервале от kxдо kx+Dkx, у-компонентой в интервале от kyдо ky+Dky и z-компонентой в интервале от kzдо. kz +Dkz, то

Произведение Lx Ly Lzэто объем V ящика. Итак, мы пришли к важному результату, что для высоких частот (длин волн, меньших, чем габариты полости) число мод (типов колебаний) в полости пропорционально ее объему V и «объему в k-пространстве» DkхDkyDkz. Этот результат то и дело появляется то в од­ной, то в другой задаче, и его стоит запомнить:

Хоть мы этого и не доказали, результат не зависит от формы

ящика.

Теперь мы применим этот результат для того, чтобы найти число фотонных мод для фотонов с частотами в интервале Dw. Нас интересует всего-навсего энергия разных собственных ко­лебаний, а не направления самих волн. Мы хотим знать число собственных колебаний в данном интервале частот. В вакууме величина k связана с частотой формулой

|k| =w/c. (2.39)

Значит, в интервал частот Dw попадают все моды, отвечающие векторам k, величина которых меняется от k до k+Dk незави­симо от направления. «Объем в k-пространстве» между k и k+Dk — это сферический слой, объем которого равен

4pk2Dk.

Количество собственных колебаний (мод) тогда равно

Однако раз нас интересуют частоты, то надо подставить k=w/c, и мы получаем

Но здесь возникает одно усложнение. Если мы говорим о собственных колебаниях электромагнитной волны, то каж­дому данному волновому вектору k может соответствовать любая из двух поляризаций (перпендикулярных друг другу). Поскольку эти собственные колебания независимы, то нужно (для света) удвоить их число. И мы имеем

Мы показали уже [см. (2.33)], что каждое собственное коле­бание (мода, тип колебаний, «состояние») обладает в среднем

энергией

Умножая это на число собственных колебаний, мы полу­чаем энергию DЕ. которой обладают собственные колебания лежащие в интервале Dw

Это и есть закон для спектра частот излучения абсолютно черного тела, найденный нами уже однажды в гл. 41 (вып. 4). Спектр этот вычерчен на фиг. 2.10.

Фиг. 2.10. Спектр частот излучения в полости при тепловом равновесии (спектр «абсолютно чер­ного тела»).

На оси ординат отложена величина

отличающаяся от dE/dw постоянным множителем

Вы теперь видите, что ответ зависит от того факта, что фотоны являются бозе-частицами — частица­ми, имеющими тенденцию собираться всем вместе в одном и том же состоянии (амплитуда такого поведения велика). Бы помните, что именно Планк, изучавший спектр абсолютно чер­ного тела (который представлял загадку для классической фи­зики) и открывший формулу (2.43), положил тем самым начало квантовой механике.

§ 6. Жидкий гелий

Жидкий гелий при низких температурах обладает рядом странных свойств, на подробное описание которых у нас, к со­жалению, не хватает времени. Многие из них просто связаны с тем, что атом гелия — это бозе-частица. Одно из этих свойств— жидкий гелий течет без какого бы то ни было вязкого сопротив­ления. Это в действительности та самая «сухая» вода, о которой мы говорили в одной из прежних глав (при условии, что ско­рости достаточно низки). Причина здесь вот в чем. Чтобы жи­дкость обладала вязкостью, в ней должны быть внутренние поте­ри энергии; надо, чтобы одна из частей жидкости могла двигаться не так, как оставшаяся жидкость. Это означает, что должна быть возможность выбивать некоторые атомы в состояния, отличные от тех, в которых пребывают другие атомы. Но при достаточно низких температурах, когда тепловое движение становится очень слабым, все атомы стремятся попасть в одни и те же ус­ловия. Так, если некоторые из них движутся в одну сторону, то и все атомы пытаются двигаться все вместе таким же образом. Это своего рода жесткость по отношению к движению, и такое движение трудно разбить на неправильные турбулентные части, как это было бы, скажем, с независимыми частицами. Итак, в жидкости бозе-частиц есть сильное стремление к тому, чтобы все атомы перешли в одно состояние,— стремление, представ­ляемое множителем Ц(n+1), полученным нами ранее. (А в бутылке жидкого гелия n, конечно, очень большое число!) Это движение не происходит при высоких температурах, потому что тогда тепловой энергии хватает на то, чтобы перевести разные атомы во всевозможные различные высшие состояния. Но при достаточном понижении температуры внезапно насту­пает момент, когда все атомы гелия стремятся оказаться в одном и том же состоянии. Гелий становится сверхтекучим. Кстати, это явление возникает лишь у изотопа гелия с атомным весом 4. Отдельные атомы изотопа гелия с атомным весом 3 суть ферми-частицы, и жидкость здесь самая обычная. Поскольку сверх­текучесть бывает лишь у Не4, то со всей очевидностью этот эффект квантовомеханический, вызываемый бозевской приро­дой a-частицы.

§ 7. Принцип запрета

Ферми-частицы ведут себя совершенно иначе. Посмотрим, что произойдет, если мы попытаемся поместить две ферми-частицы в одно и то же состояние. Вернемся к нашему первона­чальному примеру и поинтересуемся амплитудой того, что две идентичные ферми-частицы рассеются в почти одинаковом на­правлении. Амплитуда того, что частица а пойдет в направ­лении 1, а частица b — в направлении 2, есть

<1|a>.<2|b>,

тогда как амплитуда того, что направления вылетающих частиц обменяются местами, такова:

<2|а><1|b>.

Раз мы имеем дело с ферми-частицами, то амплитуда процесса является разностью этих двух амплитуд:

<1|а><2|b>-<2|а><1|b>. (2.44)

Следует сказать, что под «направлением 1» мы подразумеваем, что частица обладает не только определенным направлением, но и заданным направлением своего спина, а «направление 2» почти совпадает с направлением 1 и отвечает тому же направ­лению спина. Тогда <1|а> и <2|а> будут примерно равны. (Этого могло бы и не быть, если бы состояния 1 и 2 вылетающих частиц не обладали одинаковым спином, потому что тогда по каким-то причинам могло бы оказаться, что амплитуда зависит от направления спина.) Если теперь позволить направлениям 1 и 2 сблизиться друг с другом, то полная амплитуда в уравне­нии (2.44) станет равной нулю. Для ферми-частиц результат много проще, чем для бозе-частиц. Просто абсолютно невоз­можно, чтобы две ферми-частицы, например два электрона, оказались в одинаковом состоянии. Вы никогда не обнаружите два электрона в одинаковом положении и со спинами, направленными в одну сторону. Двум электронам невозможно иметь один и тот же импульс и одно и то же направление спина. Если они оказываются в одном и том же месте или в одном и том же состоянии движения, то единственное, что им остается,— это завертеться навстречу друг другу.

Каковы следствия этого? Имеется множество замечатель­ных эффектов, проистекающих из того факта, что две ферми-частицы не могут попасть в одно и то же состояние. На самом деле почти все особенности материального мира зависят от этого изумительного факта. Все разнообразие, представленное в периодической таблице элементов, в основе своей является следствием только этого правила.

Конечно, мы не можем сказать, на что был бы похож мир, если бы это правило — и только оно одно — изменилось; ведь оно является частью всей структуры квантовой механики, и невозможно сказать, что бы еще изменилось, если бы правило, касающееся ферми-частиц, стало бы другим. Но все же попро­буем представить себе, что случилось бы, если бы переменилось только это правило. Во-первых, можно показать, что каждый атом остался бы более или менее неизменным. Начнем с атома водорода. Он заметно не изменился бы. Протон ядра был бы окружен сферически симметричным электронным облаком (фиг. 2.11, а).

Фиг. 2.11. Так могли бы выглядеть атомы, если бы электроны вели себя как бозе-частицы.

Как мы уже писали в гл. 38 (вып. 3), хоть элект­рон и притягивается к центру, принцип неопределенности тре­бует, чтобы было равновесие между концентрацией в простран­стве и концентрацией по импульсу. Равновесие означает, что распределение электронов должно характеризоваться опреде­ленной энергией и протяженностью, определяющими характе­ристические размеры атома водорода.

Пусть теперь имеется ядро с двумя единицами заряда, на­пример ядро гелия. Это ядро будет притягивать два электрона, и, будь они бозе-частицами, они бы, если не считать их электри­ческого отталкивания, сплотились близ ядра как можно тесней. Атом гелия выглядел бы так, как на фиг. 2.11, б. Точно так же и атом лития, у которого ядро заряжено трехкратно, обладал бы электронным распределением, похожим на то, что изобра­жено на фиг. 2.11, в. Каждый атом выглядел бы более или ме­нее, как раньше: круглый шарик, все электроны в котором си­дят близ ядра; не было бы никаких выделенных направлений и никаких сложностей.

Но из-за того, что электроны — это ферми-частицы, дейст­вительное положение вещей совершенно иное. Для атома водорода оно в общем-то не меня­ется. Единственное отличие в том, что у электрона есть спин (показан на фиг. 2.12, а стрелочкой).

Фиг. 2.12. Атомные конфигурации, для настоящих, фермиевского типа электронов со спином. 1/2.

В слу­чае же атома гелия мы уже не сможем посадить один из элект­ронов на другой. Впрочем, пого­дите, это верно лишь тогда, когда их спины направлены одинаково. Но если они разведут свои спины врозь, то они уже будут вправе занять одно и то же место. Так что атом гелия тоже не очень-то изме­нится. Он будет выглядеть так, как показано на фиг. 2.12, б. А вот для лития положение вещей совер­шенно изменится. Куда сможем мы пристроить третий электрон? Его нельзя посадить прямо на первые два, потому что оба направления спина заняты. (Вы помните, что и у электрона, и у любой частицы со спином 1/2 имеются лишь два допустимых направления спина.) Третий электрон не сможет приблизиться к месту, оккупированному двумя другими, он обязан занять особое положение в каком-то ином состоянии, намного дальше от ядра (фиг. 2.12, в). (Мы здесь говорим обо всем довольно грубо, потому что на са­мом-то деле все три электрона тождественны, а раз мы не можем в действительности разобраться, кто из них кто, то наш рисунок верен только в общих чертах.)

Теперь мы уже начинаем понимать, отчего у разных атомов бывают разные химические свойства. Из-за того, что третий электрон в литии намного дальше, он связан несравненно сла­бее. Увести один электрон у лития куда легче, чем у гелия. (Опыт говорит, что для ионизации гелия нужно 25 в, а для ио­низации лития лишь 5 в.) Это отражается на валентности атома лития. Свойства валентности, касающиеся направлений, свя­заны с волновой картиной внешнего электрона, но мы не будем сейчас входить в подробности. Становится понятной важность так называемого принципа запрета, утверждающего, что ни­какие два электрона не могут оказаться в точности в одном и том же состоянии (включая спин).

Принцип запрета несет также ответственность за крупно­масштабную стабильность вещества. Мы раньше уже объясняли, что отдельные атомы вещества не обваливаются благодаря прин­ципу неопределенности, тогда можно понять, почему не бывает так, чтобы два атома водорода прижались друг к другу сколь угодно тесно, почему все протоны не могут сойтись вплотную, образовав вокруг себя электронную тучу. Ответ, конечно, состоит в том, что поскольку в одном месте может находиться не более двух электронов с противоположными спинами, то атомы водорода вынуждены держаться поодаль друг от друга. Так что крупномасштабная стабильность вещества на самом деле есть следствие того, что электроны — это ферми-частицы. Конечно, если у двух атомов спины внешних электронов на­правлены в противоположные стороны, то они могут оказаться вплотную друг к другу. Именно так и возникает химическая связь. Оказывается, что два рядом стоящих атома обладают меньшей энергией, если между ними стоит электрон. Это своего рода электрическое притяжение двух положительных ядер к электрону между ними. Можно поместить пару электронов — коль скоро их спины противоположны — примерно посредине между двумя ядрами, и так возникает самая сильная из химических связей. Более сильной связи не бывает, потому что принцип запрета не позволит, чтобы в пространстве между атомами оказалось больше двух электронов. Считается, что молекула водорода выглядит примерно так, как изображено на фиг. 2.13.

Фиг. 2.13. Молекула водорода.

Хочется сказать еще об одном следствии из принципа за­прета. Вы помните, что если оба электрона в атоме гелия хотят оказаться поближе к ядру, то их спины обязательно должны смотреть навстречу друг другу. Допустим теперь, что нам бы захотелось расположить поблизости друг от друга два электро­на с одним и тем же спином, скажем, приложив столь фантасти­чески сильное магнитное поле, что спины выстроились бы в одну сторону. Но тогда два электрона не смогут занять одного положения в пространстве. Один из них вынужден будет занять другую геометрическую позицию (фиг. 2.14).

фиг. 2.14. Гелий с одним электроном в высшем энергетическом состоянии.

Более удаленный от ядра электрон будет обладать меньшей энергией связи. Поэ­тому энергия всего атома станет чуть выше. Иными словами, если два спина противоположны, то это приводит к намного более сильному взаимному притяжению.

Стало быть, существует взаимодействие, стремящееся рас­положить спины навстречу друг другу, когда электроны сбли­жаются. Если два электрона пытаются попасть в одно и то же место, то спины стремятся выстроиться навстречу друг другу. Эта кажущаяся сила, стремящаяся ориентировать спины в разные стороны, намного мощнее слабеньких сил, действующих между магнитными моментами двух электронов. Вы помните, что, когда мы толковали о ферромагнетизме, возникала загадка, отчего это электроны в разных атомах имеют столь сильную тенденцию выстраиваться параллельно. Хотя здесь еще нет количественного объяснения, но уже можно поверить в следую­щий процесс: электроны, окружающие один из атомов, взаимо­действуют при помощи принципа запрета с внешними элек­тронами, которые высвободились и бродят по кристаллу. Это взаимодействие заставляет спины свободных электронов и внутренних электронов принимать противоположные на­правления. Но свободные электроны и внутриатомные электро­ны могут выстроиться противоположно лишь при условии, что у всех внутренних электронов спины направлены одинаково (фиг. 2.15).

Фиг. 2.I5. Вероятный механизм, действующий в ферромагнитном кристалле. Спины электронов проводимости устанавливаются антипараллельно спинам неспаренных внутренних электронов.

Кажется весьма вероятным, что именно влияние принципа запрета, действующего косвенно через свободные электроны, кладет начало большим выстраивающим силам, от­ветственным за ферромагнетизм.

Упомянем еще один пример влияния принципа запрета. Мы уже говорили ранее, что ядерные силы, действующие между нейтроном и протоном, между протоном и протоном и между нейт­роном и нейтроном, одинаковы. Почему же так получается, что протон с нейтроном могут пристать друг к другу, образовав ядро дейтерия, а вот ядер просто с двумя протонами или просто с двумя нейтронами не существует? Действительно, дейтрон связан энергией около 2,2 Мэв, а соответствующей связи между парой протонов, которая бы создала изотоп гелия с атом­ным весом 2, не существует. Таких ядер не бывает. Комбина­ция двух протонов не дает связанного состояния.