Видение Пифагора, единицы измерения Планка

Предположим, у вас есть друг в галактике Андромеды, с которым вы можете связаться только с помощью текстовых сообщений. Как вы передадите ему основные данные о себе — ваш рост, вес и возраст? У вашего друга нет доступа к земным линейкам, весам или часам, поэтому вы не можете просто сказать: «Мой рост равен стольким-то сантиметрам, мой вес составляет столько-то килограммов, и мне столько-то лет». Вам нужны универсальные единицы измерения.

В 1899 и 1900 годах Макс Планк принимал активное участие в исследованиях, которые положили начало квантовой теории. Эти исследования достигли своей кульминации в декабре 1900 года, когда Планк ввел свою знаменитую постоянную h, которая применяется в используемых нами сегодня фундаментальных уравнениях квантовой механики. Незадолго до этого он выступил с обращением к Прусской Королевской академии наук в Берлине, в котором, по сути, поставил вышеописанный вопрос. (Хотя он и не сформулировал его в терминах обмена текстовыми сообщениями.) Он назвал его вызовом, связанным с определением абсолютных величин. В проводимом исследовании Планка интересовало не то, что он мог раскрыть секреты атома, свергнуть классическую логику или пошатнуть основы физики. Все это произошло гораздо позже и с участием других людей. Планка интересовал способ решения проблемы абсолютных величин.

Проблема абсолютных величин может казаться академической, однако она также была близка сердцу философов, мистиков и философски настроенных ученых-мистиков. Манифест постклассической физики XX (и XXI) века был выпущен задолго до Планка, примерно в 600 году до н. э., когда Пифагор Самосский поделился удивительным видением. Изучая звуки, издаваемые струнными щипковыми инструментами, Пифагор обнаружил, что человеческое восприятие гармонии связано с числовыми соотношениями. Он исследовал струны, изготовленные из одного и того же материала, имеющие одинаковую толщину и натяжение, но разную длину. В этих условиях он обнаружил, что звуки воспринимаются как гармоничные именно тогда, когда соотношение длин струн может быть выражено небольшими целыми числами. Например, соотношение длин 2:1 соответствует октаве, 3:2 — квинте, а 4:3 — кварте. Видение Пифагора выражается максимой «все вещи суть числа».

Оглядываясь так далеко в прошлое, трудно быть уверенными в том, что именно имел в виду Пифагор. Вероятно, отчасти его видение представляло собой форму атомизма, основанную на идее о возможности создания форм из чисел. Сегодняшняя терминология квадратов и кубов чисел происходит от этой идеи о создании форм. Наше построение «все из бита» более чем подтверждает идею о том, что «некоторые важные вещи суть числа». В любом случае понимаемое в буквальном смысле изречение Пифагора, безусловно, заходит слишком далеко. Абстрактные числа, например 3, не имеют длины, массы или продолжительности во времени. Сами по себе числа не могут служить физическими единицами измерения — из них нельзя создать линейки, весы или часы.

Планковская проблема абсолютных величин сосредоточена именно на этом вопросе. В наш цифровой век мы привыкли к идее о том, что информация, как она представляется в текстовых сообщениях, может быть закодирована с помощью последовательности чисел (нулей и единиц). Таким образом, Планк, по сути, спрашивал, являются ли числа достаточными если не для построения, то по крайней мере для описания всех физически значимых аспектов материального тела, другими словами, «всего», что о нем можно сказать? То есть можем ли мы передать меры длины, массы и времени, используя только числа?

Планк отметил, что, хотя андромедиане не имеют доступа к нашим линейкам, весам или часам, у них есть доступ к нашим физическим законам, которые соответствуют законам, действующим у них. В частности, они могли бы измерить три универсальные константы:

с — скорость света;

G — гравитационную постоянную Ньютона. В теории Ньютона она представляет собой меру силы гравитации. В законе тяготения Ньютона сила тяготения между телами с массами m₁, m₂, разделенными расстоянием r, равна Gm₁m₂ / r²;

h — постоянную Планка.

(На самом деле Планк использовал величину, несколько отличную от современной константы h, которую он на тот момент еще не вывел.)

Из этих трех величин путем деления и возведения в степень можно получить единицы длины, массы и времени. Их называют планковскими единицами. Вот они.

L_P — планковская длина. Алгебраически выражается так:

M_P — планковская масса. Алгебраически выражается так:

T_P — планковское время. Алгебраически выражается так:

Очевидно, величины Планка не очень удобны для повседневного использования. Длина и время смехотворно малы даже для субатомной физики. Длина Планка, например, составляет 1/100 000 000 000 000 000 000 (10^–20) размера протона. Масса Планка, равная 22 микрограммам, является не столь непрактичной. Дозировка витаминов, например, часто измеряется в микрограммах. Таким образом, вы можете пойти в магазин здорового питания и поискать там таблетки с планковской массой витамина B₁₂. Тем не менее для фундаментальной физики масса Планка является смехотворно большой: она примерно соответствует массе 10 000 000 000 000 000 000 (10¹⁹) протонов.

Несмотря на непрактичность этих единиц измерения, Планк гордился тем, что они основаны на величинах, которые присутствуют (предположительно) в универсальных физических законах. По его словам, эти единицы являются абсолютными. Вы можете использовать их для решения проблемы передачи в текстовом сообщении своих жизненно важных данных своему другу из галактики Андромеды. Вы просто выражаете свою длину, массу и продолжительность во времени (то есть возраст) в виде — больших! — множителей соответствующих планковских единиц.

На протяжении XX века, по мере развития физики, построения Планка приобретали все большую важность. Физики пришли к пониманию того, что каждая из величин c, G, h играет роль коэффициента преобразования, необходимого для реализации глубокой физической концепции.

• Специальная теория относительности постулирует операции симметрии (преобразования Лоренца), которые смешивают пространство и время. Однако пространство и время измеряются с помощью различных единиц, поэтому для того, чтобы эта концепция имела смысл, необходим коэффициент преобразования, на роль которого подходит с. Умножая время на с, мы получаем длину.

• Квантовая теория постулирует обратное отношение между длиной волны и импульсом, а также между частотой и энергией как аспектами волнового дуализма; однако эти пары величин измеряются с помощью различных единиц, и в качестве коэффициента преобразования необходимо ввести h.

• Общая теория относительности постулирует, что кривизна пространства-времени индуцируется плотностью энергии-импульса, однако кривизна и плотность энергии измеряются с помощью различных единиц, и в качестве коэффициента преобразования необходимо ввести G.

В рамках этого круга идей величины c, h, G обретают величественный статус. Они помогают реализации глубоких физических принципов, которые без них не имели бы смысла.