§ 3. Волны в диэлектрике
Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электромагнитные волны могут существовать в диэлектрическом веществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах, нет. Таким образом, мы возьмем ?=-?·Р и j=?P/?t. При этом уравнения Максвелла примут такой вид:
Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:
Используя затем векторное тождество
и подставляя выражение для ??B из (32.19б), получаем
Используя уравнение (32.19а) для ?·Е, находим
Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь получили, что даламбертиан Е равен двум членам, содержащим поляризацию Р.
Однако Р зависит от Е, поэтому уравнение (32.20) все еще допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е. Р всегда будет иметь то же направление, что и Е. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси z. Электрическое поле при этом будет изменяться как еi(?t-kz). Предположим также, что волна поляризована в направлении оси х, т. е. что электрическое поле имеет только x-компоненту. Все это записывается следующим образом:
Вы знаете, что любая функция от (z-vt) представляет волну, бегущую со скоростью v. Показатель экспоненты в выражении (32.21) можно переписать в виде
так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая скорость которой равна
В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления n определялся нами из формулы
С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид
Таким образом, показатель n можно определить, если мы найдем ту величину k, которая необходима, чтобы выражение (32.21) удовлетворяло соответствующим уравнениям поля, и затем воспользуемся соотношением
В изотропном материале поляризация будет иметь только x-компоненту; кроме того, Р не изменяется с изменением координаты х, поэтому ?·P=0 и мы сразу же избавляемся от первого члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем наш диэлектрик «линейным», поэтому Рх будет изменяться как еi?t и ?2Px/?t2=-?2Px. Лапласиан же в уравнении (32.20) превращается просто в ?2Ex/?z2=-k2Еx, так что в результате получаем
Теперь на минуту предположим, что раз Е изменяется синусоидально, то Р можно считать пропорциональной Е, как в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположению и обсудим его.) Таким образом, пишем
При этом Ех выпадает из уравнения (32.23), и мы находим
Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом k, задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравнениям поля. Использование же выражения (32.22) для показателя n дает
Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для показателя преломления газа (гл. 31, вып. 3). Там мы нашли уравнение (31.19), которое тогда имело вид
Формула (32.25) после подстановки ? из (32.6) дает
Что здесь нового? Во-первых, появился новый член i??, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилляторах. Во-вторых, слева вместо n теперь стоит n2 и, кроме того, отсутствует дополнительный множитель 1/2. Но заметьте, что если значение N достаточно мало, так что n близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что n2 равен единице плюс некое малое число, т. е. n2=1+?. При этом условии мы можем написать, что n=?(1+?)?1+?/2, и оба выражения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш новый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.
Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Во-первых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поляризованное поле, действующее на каждый из атомов, — это поле Ех. Однако такое предположение неверно, поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с Ех. Аналогичную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно, помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом, представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увеличивается по сравнению со средним полем Е на величину Р/3?0. (Не забудьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для изотропного материала, а также в случае кубического кристалла.)
Те же рассуждения верны и для электрического поля в волне, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении
Именно это локальное поле следует использовать вместо Е в (32.8), т. е. это выражение должно быть переписано следующим образом:
Подставляя теперь Елок из формулы (32.28), находим
или
Иными словами, Р для плотного материала все еще пропорциональна Е (для синусоидального поля). Однако константа пропорциональности будет уже ?0N?/[1-(N/3)], а не ?0N?, как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):
Более удобно переписать это в виде
который алгебраически эквивалентен прежнему. Это и есть известная формула Клаузиуса — Моссотти.
В плотном материале возникает и другое усложнение. Поскольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимодействуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцилляции изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций размазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень большим. Таким образом, все ?0 и ? твердого вещества будут другими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять ?, по крайней мере приближенно, уравнением (32.7), так что
Наконец, последнее усложнение. Если плотный материал представляет собой смесь нескольких компонент, то каждая из них дает свой вклад в поляризацию. Полная ? будет суммой вкладов различных компонент смеси [за исключением неточности приближения локального поля в упорядоченных кристаллах, т. е. выражения (32.28) — эффекты, которые мы обсуждали при разборе сегнетоэлектриков]. Обозначая через Nj число атомов каждой компоненты в единице объема, мы должны заменить формулу (32.32) следующей:
где каждая ?j будет определяться выражением типа (32.7). Выражение (32.34) завершает нашу теорию показателя преломления. Величина 3(n2-1)/(n2+2) задается комплексной функцией частоты, каковой является средняя атомная поляризуемость ?(?). Точное вычисление ?(?) (т. е. нахождение fk, ?k и ?0k) для плотного вещества — одна из труднейших задач квантовой механики. Это было сделано только для нескольких особенно простых веществ.