30. Вывод закона преломления света на основе волнового принципа

Закон преломления света можно вывести, исходя из предположения о том, что свет движется по пути наименьшего времени, как было описано в техническом замечании 28. Но его также можно вывести и на основе волновой теории света. По мнению Гюйгенса, свет – это колебания какой-то среды, которая может либо быть заполнена прозрачной материей, либо представляться нам пустотой. Фронт возмущения этой среды являет собой прямую линию, которая движется вперед в направлении своего перпендикуляра со скоростью, характерной для среды, в которой он распространяется.

Рис. 23. Преломление световой волны. И снова горизонтальная линия обозначает границу раздела двух прозрачных сред, в которых свет движется с разными скоростями. Отрезки с поперечными штрихами обозначают фронт волны в разные момены времени – когда передний край фронта волны входит в контакт с границей и когда задний край теряет контакт с границей. Прямые линии со стрелками указывают траектории перемещения переднего и заднего края волнового фронта.

Рассмотрим сегмент такого фронта возмущения длиной L в среде 1, который движется по направлению к границе со средой 2. Допустим, что направление его движения, совпадающее с перпендикуляром к фронту волны, образует с нормалью (перпендикуляром) к этой границе угол i. Когда передний край фронта касается границы раздела сред в точке A, задний его край B еще находится на некотором расстоянии (измеряемом вдоль направления движения волны) от границы, равном L tg i (см. рис. 23). Это значит, что теперь задняя граница фронта волны достигнет пограничной точки D через промежуток времени, равный L tg i/v₁, где v₁ – скорость распространения возмущения в среде 1. В течение того же времени передний край фронта возмущения будет перемещаться в среде 2 под углом r от перпендикуляра к границе раздела сред к точке C, которая расположена на расстоянии v₂L tg i/v₁, где v₂ – скорость распространения возмущения в среде 2. Когда он пройдет этот путь, волновой фронт, расположенный под прямым углом к направлению своего движения в среде 2, протянется между точками C и D, образуя таким образом прямоугольный треугольник с вершинами A, С и D, в котором угол при вершине C прямой.

Катет AC длиной v₂L tg i/v₁ – противолежащий углу r в этом треугольнике. Его гипотенуза – отрезок AD, имеющий длину L/cos i (см. рис. 23). Отсюда:

Вспомнив, что tg i = sin i/cos i, замечаем, что множители cos i и L сокращаются, оставляя:

Или, если выразить это иначе,

что и является формулой закона преломления света.

То, что волновая теория света, как доказал Гюйгенс, описывает явление преломления так же, как и принцип наименьшего времени следования, описанный Ферма, вовсе не случайно. Можно показать, что даже в том случае, когда волна движется сквозь неоднородную среду, в которой скорость светового луча плавно меняется в различных направлениях, а не резко на границе раздела сред, из волновой теории Гюйгенса следует, что луч между двумя точками всегда будет следовать по пути наименьшего времени.