Определение второе

Другое классическое определение эллипса таково, что это множество точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) постоянна. Для эллипса, описываемого уравнением (1), эти две точки расположены в координатах х = ±ea, y = 0, где e – эксцентриситет, определяемый тождеством (3). Пара расстояний от этих двух точек до произвольной точки на линии эллипса, координаты x и y которой удовлетворяют уравнению (1), выражается таким образом:

Так что их сумма действительно является постоянной величиной:

Это можно рассматривать как обобщение классического определения окружности как множества точек, отстоящих на постоянное расстояние от фиксированной точки.

Поскольку оба фокуса эллипса полностью симметричны, средние расстояния r₊ и r_? до точек на эллипсе (при равном весе усреднения для любого сегмента заданной длины, взятого на линии эллипса) от двух фокусов должны быть равны: r₊ = r_?, и значит, из равенства (5) получаем:

Это же число является средним между самым большим и самым малым расстоянием от точек на эллипсе до любого из фокусов: