Спектры объема и площади

Возьмем любую область пространства, например комнату, в которой вы читаете эту книгу, если вы находитесь в комнате. Насколько велика эта комната? Размер комнатного пространства измеряется его объемом. Объем – это геометрическая величина, которая зависит от геометрии пространства, но геометрия пространства – как показал Эйнштейн и рассказывал я в главе 3 – это гравитационное поле. Объем, таким образом, – это свойство гравитационного поля, выражающее, сколько гравитационного поля находится между стенами вашей комнаты. Но гравитационное поле – это физическая величина, которая, как любая другая, подчиняется законам квантовой механики. В частности, как любая физическая величина, объем не может принимать произвольные значения, но только некоторые определенные, как я описывал в главе 4. Список всех возможных значений, если вы помните, называется спектром. А значит, должен существовать спектр объема (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Спектр объема: объем правильного тетраэдра, который физически может существовать, численно ограничен. Наименьший (внизу) – это самый маленький существующий объем

Дирак дал нам формулу, по которой вычисляется спектр любой переменной. Это вычисление требует времени: сначала – чтобы задать его, а затем – выполнить, и это довольно тяжелая работа. Эти расчеты были выполнены в середине 1990-х годов, и, как и ожидалось (Фейнман любил говорить, что мы ничего не должны считать, не зная заранее результат), спектр объема является дискретным, то есть объем может состоять только из дискретных пакетов. Это чем-то похоже на энергию электромагнитного поля, которое тоже складывается из дискретных пакетов – фотонов.

Узлы нашего графа представляют эти дискретные пакеты объема и, как и в случае с фотонами, могут иметь лишь определенные размеры, которые можно вычислить, используя общее квантовое уравнение Дирака[95]. Каждый узел n в графе имеет свой собственный объем v_n, равный одному из значений в спектре объема. Узлы – это элементарные кванты, из которых состоит физическое пространство. Каждый узел графа – это квантовая частица в пространстве. Структура, которая при этом получается, изображена на рис. 6.3.

Ребро – это отдельная квантовая фарадеева линия. Теперь мы понимаем, что они представляют собой: если считать два узла двумя крошечными областями пространства, то они будут отделены друг от друга крошечной поверхностью. Размер этой поверхности – это ее площадь. Это вторая величина после объема, характеризующая квантовую паутину пространства, – площадь, ассоциированная с каждой линией[96].

Рис. 6.3. Слева изображен граф, образованный узлами, которые соединены ребрами. Справа – зернистое пространство, которое представлено этим графом. Ребра обозначают смежные частицы, разделенные поверхностями

Эта площадь, как и объем, – физическая переменная, и она имеет спектр, который можно рассчитать, используя уравнение Дирака[97]. Площадь не является непрерывной величиной, она тоже зерниста. Не существует такой вещи, как произвольно малая площадь.

Пространство кажется нам непрерывным только потому, что мы не способны воспринимать чрезвычайно малый масштаб отдельных квантов пространства. Точно так же, когда мы вблизи рассматриваем ткань футболки, то видим, что она состоит из тонких переплетающихся нитей.

Когда мы говорим, что объем комнаты составляет, например, 100 кубических метров, мы на самом деле подсчитываем зерна пространства – кванты гравитационного поля, – которые в ней содержатся. Для комнаты их количество выражается стозначным числом. Когда мы говорим, что площадь этой страницы – 200 квадратных сантиметров, мы в действительности считаем число ребер паутины (или петель), пересекающих страницу. Для страницы этой книги число квантов площади выражается примерно семидесятизначным числом.

Идея, что измерение длины, площади и объема – это вопрос подсчета их отдельных элементов, была предложена в XIX веке самим Риманом. Математик, который разработал теорию непрерывных искривленных математических пространств, уже понимал, что дискретное физическое пространство, в конечном счете, более разумная идея, чем непрерывное.

Подводя итоги, можно сказать, что петлевая квантовая гравитация, или петлевая теория, объединяет общую теорию относительности с квантовой механикой довольно консервативным образом, поскольку она не вводит никаких других гипотез, кроме тех, которые содержатся в самих этих теориях, записанных в такой форме, чтобы они были совместимы. Однако выводы оказываются поистине радикальными.

Общая теория относительности говорит, что пространство – это нечто динамическое, подобно электромагнитному полю: огромный подвижный моллюск, внутрь которого мы все погружены, растягивающийся и изгибающийся. Квантовая механика утверждает, что любое поле такого рода состоит из квантов, иными словами, оно имеет тонкую зернистую структуру. Отсюда следует, что физическое пространство, будучи полем, тоже состоит из квантов. Такая же зернистая структура, характерная для других квантовых полей, присуща и квантовому гравитационному полю, а значит, и пространству. Мы ожидаем, что пространство будет зернистым. Мы ожидаем, что существуют кванты гравитации, так же как есть кванты света, кванты электромагнитного поля и частицы, служащие квантами квантовых полей. Но поскольку пространство является гравитационным полем, кванты гравитационного поля – это кванты пространства, его зернистые составляющие.

Главное предсказание петлевой теории состоит, таким образом, в том, что пространство не является континуумом, его нельзя делить до бесконечности, оно состоит из «атомов пространства», которые в миллиарды миллиардов раз меньше самого маленького из атомных ядер.

Петлевая теория описывает эту атомарную, или зернистую, квантовую структуру пространства в точной математической форме, полученной путем применения общих уравнений квантовой механики, выведенных Дираком, к эйнштейновскому гравитационному полю.

В частности, петлевая теория говорит, что объем (например, объем некоторого куба) не может быть сколь угодно малым. Существует минимальный объем. Не может существовать области пространства меньше этого минимального объема. Существует минимальный квантовый объем – элементарный атом пространства.