Глава 12 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ

Глава 12

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ

§1. Одинаковые уравнения— одинаковые решения

§2.Поток тепла; точечный источ­ник вблизи бесконечной плоской границы

§3. Натянутая мембрана

§4. Диффузия нейтронов; сфе­рически-симмет­ричный источник в однородной среде

§5. Безвихревое течение жидкости; обтекание шара

§6. Освещение; равномерное осве­щение плоскости

§7. «Фундаменталь­ное единство» природы

§ 1. Одинаковые уравнения — одинаковые решения

Вся информация о физическом мире, при­обретенная со времени зарождения научного прогресса, поистине огромна, и кажется почти невероятным, чтобы кто-то овладел заметной частью ее. Но фактически физик вполне может постичь общие свойства физического мира, не становясь специалистом в какой-то узкой об­ласти. Тому есть три причины. Первая. Суще­ствуют великие принципы, применимые к лю­бым явлениям, такие, как закон сохранения энергии и момента количества движения. Глу­бокое понимание этих принципов позволяет сразу постичь очень многие вещи. Вторая. Оказывается, что многие сложные явления, как, например, сжатие твердых тел, в основном обусловливаются электрическими и квантовомеханическими силами, так что, поняв основ­ные законы электричества и квантовой меха­ники, имеется возможность понять многие явления, возникающие в сложных условиях. Третья. Имеется замечательнейшее совпадение: Уравнения для самых разных физических усло­вий часто имеют в точности одинаковый вид. Использованные символы, конечно, могут быть разными — вместо одной буквы стоит другая, но математическая форма уравнений одна и та же. Это значит, что, изучив одну область, мы сразу получаем множество прямых и точных сведений о решениях уравнений для другой области.

Мы закончили электростатику и скоро пе­рейдем к изучению магнетизма и электродина­мики. Но прежде хотелось бы показать, что, изучив электростатику, мы одновременно узна­ли о многих других явлениях. Мы увидим, что уравнения электростатики фигурируют и в ряде других областей физики. Путем прямого переноса решений (одинаковые матема­тические уравнения должны, конечно, иметь одинаковые ре­шения) можно решать задачи из других областей с той же легкостью (или с таким же трудом), как и в электростатике. Уравнения электростатики, как мы знаем, такие:

(12.1)

(12.2}

(Мы пишем уравнения электростатики в присутствии диэлект­риков, чтобы учесть общий случай.) То же физическое содер­жание может быть выражено в другой математической форме:

(12.3)

(12.4)

И вот суть дела заключается в том, что существует множество физических проблем, для которых математические уравнения имеют точно такой же вид. Сюда входит потенциал (j), градиент которого, умноженный на скалярную функцию (x), имеет ди­вергенцию, равную другой скалярной функции (-r/e0).

Все, что нам известно из электростатики, можно немедленно перенести на другой объект, и наоборот. (Принцип, конечно, работает в обе стороны: если известны какие-то характеристики другого объекта, то можно использовать эти сведения в соот­ветствующей задаче по электростатике.) Мы рассмотрим ряд примеров из разных областей, когда имеются уравнения такого вида.

§ 2. Поток тепла; точечный источник вблизи бесконечной плоской границы

Ранее мы уже обсуждали (гл. 3, § 4) поток тепла. Вообразите кусок какого-то материала, необязательно однородного (в раз­ных местах может быть разное вещество), в котором темпера­тура меняется от точки к точке. Как следствие этих температур­ных изменений возникает поток тепла, который можно обозна­чить вектором h. Он представляет собой количество тепловой энергии, которое проходит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку. Дивергенция h есть скорость ухода тепла из данного места в расчете на единицу объема:

С·h = Скорость ухода тепла на единицу объема.

(Мы могли, конечно, записать уравнение в интегральном виде, как мы поступали в электродинамике с законом Гаусса, тогда оно выражало бы тот факт, что поток через поверхность равен скорости изменения тепловой энергии внутри материала. Мы не будем больше переводить уравнения из дифференциальной формы в интегральную и обратно, это делается точно так же, как в электростатике.)

Скорость, с которой тепло поглощается или рождается в разных местах, конечно, зависит от условий задачи. Предпо­ложим, например, что источник тепла находится внутри мате­риала (возможно, радиоактивный источник или сопротивление, через которое пропускают ток). Обозначим через s тепловую энергию, производимую этим источником в единице объема за 1 сек. Кроме того, могут возникнуть потери (или, наоборот, дополнительное рождение) тепловой энергии за счет перехода в другие виды внутренней энергии в данном объеме. Если и — внутренняя энергия в единице объема, то —du/dt будет тоже играть роль «источника» тепловой энергии. Итак, имеем

(12.5)

Мы не собираемся здесь обсуждать полное уравнение, ве­личины в котором изменяются со временем, потому что мы про­водим аналогию с электростатикой, где ничто не зависит от вре­мени. Мы рассмотрим только задачи с постоянным потоком тепла, в которых постоянные источники создают состояние равновесия. В таких случаях

(12.6)

Нужно иметь, конечно, еще одно уравнение, которое описы­вает, как поток течет в разных местах. Во многих веществах поток тепла примерно пропорционален скорости изменения температуры с положением: чем больше разность температур, тем больше поток тепла. Мы знаем, что вектор потока тепла пропорционален градиенту температуры. Константа пропор­циональности К, зависящая от свойств материала, называется коэффициентом теплопроводности

(12.7)

Если свойства материала меняются от точки к точке, то К=К (х, у, z) и есть функция положения. [Уравнение (12.7) не столь фундаментально, как (12.5), выражающее сохранение тепловой энергии, потому что оно зависит от характерных свойств вещества.] Подставляя теперь уравнение (12.7) в (12.6), получаем

(12.8)

что в точности совпадает по форме с (12.4). Задачи с постоянным потоком тепла и задачи электростатики одинаковы. Вектор потока тепла h соответствует Е, а тем­пература Т соответствует j.

Фиг. 12.1. Поток тепла в случае цилиндрической симметрии (а) и соответствующая задача из элек­тричества (б).

Мы уже отмечали, что точечный тепловой источник создает поле температур, меняющееся, как 1/r, и поток тепла, меняющийся, как 1/r2. Это есть не более чем простой перенос утвержде­ний электростатики, что точечный заряд дает потенциал, меняющийся, как 1/r, и электрическое поле, меня­ющееся, как 1/r2. Вообще мы можем решать статистические тепловые за­дачи с той же степенью легкости, как и задачи электростатики.

Рассмотрим простой пример. Пусть имеется цилиндр с ра­диусом а при температуре T1? поддерживающейся за счет гене­рации тепла в цилиндре. (Это может быть, скажем, проволока, по которой течет ток, или трубка с конденсацией пара внутри цилиндра.) Цилиндр покрыт концентрической обшивкой из изолирующего материала с теплопроводностью К. Пусть внеш­ний радиус изоляции равен b, а в наружном пространстве под­держивается температура T2(фиг. 12. 1, а). Нам нужно опреде­лить скорость потери тепла проволокой или паропроводом (все равно чем), проходящим по центру цилиндра. Пусть полное количество тепла, теряемого на длине трубы L, равно G, его-то мы и хотим найти.

Как надо решать такую задачу? У нас есть дифференциаль­ные уравнения, но поскольку они такие же, как в электроста­тике, то математическое решение их нам уже известно. Анало­гичная задача электростатики относится к проводнику радиу­сом а при потенциале j1, отделенном от другого проводника радиусом bпри потенциале j2, с концентрическим слоем ди­электрика между ними (фиг. 12.1, б). Далее, поскольку поток тепла h соответствует электрическому полю Е, то наша искомая величина G соответствует потоку электрического поля от единичной длины (другими словами, электрическому заряду на единице длины, деленному на e0). Мы решали электростати­ческую задачу с помощью закона Гаусса. Нашу задачу о потоке тепла будем решать таким же способом.

Из симметрии задачи мы видим, что h зависит только от расстояния до центра. Поэтому мы окружим трубку гауссовой поверхностью — цилиндром длиной L и радиусом r. С помощью закона Гаусса мы выводим, что поток тепла h, умноженный на площадь поверхности 2prL, должен быть равен полному количеству тепла, рождаемому внутри, т. е. тому, что мы назвали G:

(12.9)

Поток тепла пропорционален градиенту температуры

или в данном случае величина h равна

 

Вместе с (12.9) это дает

(12.10)

Интегрируя от r=а до r=b, получаем

(12.11)

Разрешая отнсительно G, находим

(12.12)

Этот результат в точности соответствует формуле для заряда цилиндрического конденсатора:

Задачи одинаковые и имеют одинаковые решения. Зная электро­статику, мы тем самым знаем, сколько тепла теряет изолирован­ная труба.

Рассмотрим еще один пример. Пусть мы хотим узнать поток тепла в окрестности точечного источника, расположенного неглубоко под поверхностью земли или же вблизи поверхности большого металлического предмета. В качестве локализованно­го источника тепла может быть и атомная бомба, которая взор­валась под землей и представляет собой мощный источник тепла, или же небольшой источник радиоактивности внутри железного блока — возможностей очень много.

Рассмотрим идеализированную задачу о точечном источнике тепла, мощность которого G, на расстоянии а под поверхностью бесконечной однородной среды с коэффициентом теплопровод­ности К. Теплопроводностью воздуха над поверхностью среды мы пренебрежем. Мы хотим определить распределение темпе­ратуры на поверхности среды. Насколько горячо будет прямо над источником и в разных местах на поверхности?

Как же решить эту задачу? Она похожа на задачу по электро­статике, в которой имеются два материала с разной диэлектри­ческой проницаемостью xпо обе стороны от разделяющей их границы. Здесь что-то есть! Возможно, это похоже на точечный заряд вблизи границы между диэлектриком и проводником или что-нибудь вроде этого. Посмотрим, что происходит вблизи границы. Физическое условие состоит в том, что нормальная составляющая h на поверхности равна нулю, поскольку мы предположили, что потока из блока нет. Мы должны задать вопрос: в какой электростатической задаче возникает условие, что нормальная компонента электрического поля Е (представ­ляющая собой аналог h) равна нулю у поверхности? Нет такой!

Это один из тех случаев, к которым следует относиться с осторожностью. По физическим причинам могут быть опре­деленные ограничения тех математических условий, которые возникают в каком-либо случае. Поэтому если мы проанализи­ровали дифференциальное уравнение только для некоторых ограниченных примеров, то вполне можем упустить ряд реше­ний, возникающих в других физических условиях. Например, нет материала, обладающего диэлектрической проницаемостью, равной нулю, а теплопроводность вакуума равна нулю. Поэтому нет электростатического аналога идеального теплоизолятора. Мы можем, однако, попытаться использовать те же методы. Попробуем вообразить, что произошло бы, если бы диэлектри­ческая проницаемость была равна нулю. (Разумеется, в реаль­ных условиях диэлектрическая проницаемость никогда не обра­щается в нуль. Но может представиться случай, когда вещество имеет очень большую диэлектрическую проницаемость, так что диэлектрической проницаемостью воздуха вне среды можно пренебречь.)

Как же найти электрическое поле, у которого нет составляю­щей, перпендикулярной к поверхности? Иначе говоря, такое поле, которое всюду касательно к поверхности? Вы заметите, что эта задача обратна задаче о точечном заряде вблизи прово­дящей плоскости. Там нам нужно было поле, перпендикулярное

к поверхности, потому что проводник всюду находился при одном и том же значении потенциала.

В задаче об электрическом поле мы придумали решение, вообразив за проводящей плоскостью точечный заряд. Можно воспользоваться снова этой же идеей. Попытаемся выбрать такое «изображение» источника, которое автоматически обраща­ло бы в нуль нормальную компоненту поля вблизи поверхности. Решение показано на фиг. 12.2. Электрическое изображение источника с тем же знаком и той же величины, находящееся на расстоянии а над поверхностью, дает поле, горизонтальное повсюду у поверхности. Нормальные компоненты от обоих ис­точников взаимно уничтожаются.

Итак, наша задача о потоке тепла решена. Температура во всем пространстве одинакова по непосредственной аналогии с потенциалом от двух одинаковых точечных зарядов. Темпера­тура Т на расстоянии rот одного точечного источника G в бес­конечной среде равна

(12.13)

(Это, конечно, полностью аналогично j= q/4pe0r.) Температура точечного источника и, кроме того, его изображения равна

(12.14)

Эта формула дает нам температуру всюду внутри блока. Несколько изотермических поверхностей приведено на фиг. 12.2.

Показаны также линии h, ко­торые можно получить из вы­ражения h =-КСТ.

В самом начале мы инте­ресовались распределением температуры на поверхности. Для точки на поверхности находящейся на расстоянии р от оси, r1=r2=Ц (р2 + а2),

Фиг. 12.2. Поток тепла и изотерма у точечного источника тепла, расположенного на расстоя­нии а под поверхностью тела с хорошей теплопроводностью. Вне тела показано мнимое изображение источника.

сле­довательно,

(12.15)

Эта функция также изображена на фиг. 12.2. Естественно, что температура прямо над источником выше, чем вдали от него. Такого рода задачи часто приходится решать геофизикам. Теперь мы видим, что это те же самые задачи, которые мы ре­шали в электричестве.

§ 3. Натянутая мембрана

Рассмотрим теперь совсем другую область физики, в которой тем не менее мы придем снова к точно таким же уравнениям. Возьмем тонкую резиновую пленку — мембрану, натянутую на большую горизонтальную раму (наподобие кожи на бараба­не). Нажмем на мембрану в одном месте вверх, а в другом — вниз (фиг. 12.3). Сможем ли мы описать форму поверхности? Покажем, как можно решить эту задачу, когда отклонения мембраны не очень велики.

В пленке действуют силы, потому что она натянута. Если сделать в каком-нибудь месте пленки небольшой разрез, то два края разреза разойдутся (фиг. 12.4). Следовательно, в пленке имеется поверхностное натяжение, аналогичное одномерному натяжению растянутой веревки. Определим величину поверх­ностного натяжения t как силу на единицу длины, которая как раз удержала бы вместе две стороны разреза (см. фиг. 12.4).

Предположим теперь, что мы смотрим на вертикальное по­перечное сечение мембраны. Оно будет иметь вид некоторой кривой, похожей на изображенную на фиг. 12.5. Пусть и — вертикальное смещение мембраны от ее нормального положения, а х и у — координаты в горизонтальной плоскости

Фиг. 12.3. Тонкая резино­вая пленка, натянутая на цилиндр (нечто вроде ба­рабана).

Какой формы будет поверх­ность, если пленку приподнять в точке A и опустить в точке В?

Фиг. 12.4. Поверхностное натяжение t натянутой, резиновой пленки есть сила отнесенная к единице дли­ны и направленная перпен­дикулярно линии разреза.

(Приведенное сечение параллельно оси х.)

Возьмем небольшой кусочек поверхности длиной Dx; и ши­риной Dу. На него действуют силы вследствие поверхностного натяжения вдоль каждого края. Сила на стороне 1 (см. фиг. 12.5) будет равна t1Dy и направлена по касательной к поверхности, т. е. под углом q1 к горизонтали. Вдоль стороны 2 сила будет равна t2Dy и направлена к поверхности под углом q2. (Подобные силы будут и на двух других сторонах кусочка, но мы пока забудем о них.) Результирующая сила от сторон 1 и 2, дей­ствующая на кусочек вверх, равна

Мы ограничимся рассмотрением малых искажений мембраны, т. е. малых изгибов и наклонов: тогда мы сможем заменить sinq на tgq и записать как дu/дx. Сила при этих условиях дается выражением

Величина в скобках может быть с тем же успехом записана (для малых Dx:) как

Фиг. 12.5. Поперечное сечение изогнутой пленки.

Тогда

Имеется и другой вклад в DF от сил на двух других сторо­нах; полный вклад, очевидно, равен

(12.16)

Искривления диафрагмы вызваны внешними силами. Пусть / означает направленную вверх силу на единичную площадку пленки (своего рода «давление»), возникающую от внешних сил. Если мембрана находится в равновесии (статический случай), то сила эта должна уравновешиваться только что вычисленной внутренней силой [уравнение (12.16)]. Иначе говоря,

Уравнение (12.16) тогда может быть записано в виде

(12.17)

где под знаком Смы теперь подразумеваем, конечно, двух­мерный оператор градиента (д/дх, д/ду). У нас есть дифферен­циальное уравнение, связывающее u(х, у) с приложенными си­лами f(x, у) и поверхностным натяжением пленки t(x, у), которое, вообще говоря, может меняться от места к месту. (Деформации трехмерного упругого тела тоже подчиняются таким уравнениям, но мы ограничимся двухмерным случаем.) Нас будет интересовать только случай, когда натяжение t постоянно по всей пленке. Тогда вместо (12.17) мы можем запи­сать

(12.18)

Снова мы получили такое же уравнение, как в электроста­тике! Но на сей раз оно относится к двум измерениям. Сме­щение u соответствует j, а f/t соответствует r/e0. Поэтому тот труд, который мы потратили на бесконечные заряженные плос­кости, или параллельные провода большой длины, или заряжен­ные цилиндры, пригодится для натянутой мембраны.

Предположим, мы подтягиваем мембрану в каких-то точках на определенную высоту, т. е. фиксируем величину и в ряде точек. В электрическом случае это аналогично заданию определенного потенциала в соответствующих местах. На­пример, мы можем устроить положительный «потенциал», если подопрем мембрану предметом, который имеет такое же сечение, как и соответствующий цилиндрический проводник. Если, скажем, мы подопрем мембрану круглым стержнем, поверхность примет форму, изображенную на фиг. 12.6.

Фиг. 12.6. Поперечное сечение натянутой рези­новой пленки, подпертой круглым стержнем.

Функция u(х, у) та же, что и потенциал j(х, у) от очень длинного заряженного стержня.

Высота и имеет такой же вид, как электростатический потенциал j заряженного цилиндрического стержня. Она спадает, как ln(1/r). (Наклон поверхности, который соответствует электри­ческому полю Е, спадает, как 1/r.)

Натянутую резиновую пленку часто использовали для ре­шения сложных электрических задач экспериментальным путем. Аналогия используется в обратную сторону! Для подъема мембраны на высоту, соответствующую потенциалам всего набора электродов, подставляют разные стержни и полоски. Затем измерения высоты дают электрический потенциал в электростатической задаче. Аналогия проводится даже еще дальше. Если на мембране поместить маленькие шарики, то их движение примерно схоже с движением электронов в соответ­ствующем электрическом поле. Таким способом можно воочию проследить за движением «электронов» по их траекториям. Этот метод был использован для проектирования сложной системы многих фотоумножительных трубок (таких, например, какие используются в сцинтилляционном счетчике или для управления передними фарами в автомашине кадиллак). Метод используется и до сих пор, но его точность не очень велика. Для более точных расчетов лучше находить поле чис­ленным путем с помощью больших электронных вычислитель­ных машин.

§ 4. Диффузия нейтронов; сферически-симметричный источник в однородной среде

Приведем еще один пример, дающий уравнение того же вида, но на сей раз относящееся к диффузии. В гл. 43 (вып. 4) мы рассмотрели диффузию ионов в однородном газе и диффузию одного газа сквозь другой. Теперь возьмем другой пример — диффузию нейтронов в материале типа графита. Мы выбрали графит (разновидность чистого углерода), потому что углерод не поглощает медленных нейтронов. Нейтроны путешествуют в нем свободно. Они проходят по прямой в среднем несколько сантиметров, прежде чем рассеются ядром и отклонятся в сто­рону. Так что если у нас есть большой кусок графита толщи­ной в несколько метров, то нейтроны, находившиеся сначала в одном месте, будут переходить в другие места.

Фиг. 12.7. Нейтроны рождаются однородно внутри сферы радиуса а в большом графитовом блоке и диффундируют наружу. Плотность нейтронов N получена как функция r, расстояния от центра источника.

Справа показана электростатическая аналогия: однородно заряженная сфе­ра, причем N соответствует j, а J соответствует Е.

Мы опишем их усредненное поведение, т. е. их средний поток.

Пусть N(x, у, z)DV — число нейтронов в элементе объема DV в точке (х, у, г). Движение нейтронов приводит к тому, что одни покидают DV, а другие попадают в него. Если в одной области оказывается нейтронов больше, чем в соседней, то от­туда их будет переходить во вторую область больше, чем наобо­рот; в результате возникнет поток. Повторяя доказательства, приведенные в гл. 43 (вып. 4), можно описать поток вектором потока J. Его компонента Jxесть результирующее число ней­тронов, проходящих в единицу времени через единичную пло­щадку, перпендикулярную оси х. Мы получим тогда

(12.19)

где коэффициент диффузии D дается в терминах средней ско­рости v и средней длины свободного пробега l между столкно­вениями:

Векторное уравнение для J имеет вид

(12.20)

Скорость, с которой нейтроны проходят через некоторый элемент поверхности da, равна J·nda (где n, как обычно,— единичный вектор нормали). Результирующий поток из эле­мента объема тогда равен (пользуясь обычным гауссовым доказательством) С·JdV. Этот поток приводил бы к уменьше­нию числа нейтронов в DV, если нейтроны не генерируются внутри DV (с помощью какой-нибудь ядерной реакции). Если в объеме присутствуют источники, производящие S нейтронов в единицу времени в единице объема, то результирующий поток из DV будет равен [S-(dNIdt)]DV. Тогда получаем

(12.21)

Комбинируя (12.21) и (12.20), получаем уравнение диффузии нейтронов

(12.22)

В статическом случае, когда dN/dt=0, мы снова имеем урав­нение (12.4)! Мы можем воспользоваться нашими знаниями в электростатике для решения задач по диффузии нейтронов. Давайте же решим какую-нибудь задачу. (Пожалуй, вы недо­умеваете: зачем решать новую задачу, если мы уже решили все задачи в электростатике? На этот раз мы можем решить быстрее именно потому, что электростатические задачи дей­ствительно уже решены!)

Пусть имеется блок материала, в котором нейтроны (ска­жем, за счет деления урана) рождаются равномерно в сфери­ческой области радиусом а (фиг. 12.7). Мы хотели бы узнать, чему равна плотность нейтронов повсюду? Насколько однород­на плотность нейтронов в области, где они рождаются? Чему равно отношение нейтронной плотности в центре к нейтронной плотности на поверхности области рождения? Ответы найти легко. Плотность нейтронов в источнике S0стоит вместо плот­ности зарядов r, поэтому наша задача такая же, как задача об однородно заряженной сфере. Найти N—все равно, что найти потенциал j. Мы уже нашли поля внутри и вне однородно заряженной сферы; для получения потенциала мы можем их проинтегрировать. Вне сферы потенциал равен Q/4pe0r, где полный заряд Q дается отношением 4pа3r/3. Следовательно,

(12.23)

Для внутренних точек вклад в поле дают только заряды Q(r), находящиеся внутри сферы радиусом r; Q(r) =4pг3r/3, следовательно,

(12.24)

Поле растет линейно с r. Интегрируя Е, получаем j:

На расстоянии радиуса а jвнешн должен совпадать с jвнутр) поэтому постоянная должна быть равна rа2/2e0. (Мы предпола­гаем, что потенциал j равен нулю на больших расстояниях от источника, а это для нейтронов будет отвечать обращению .N в нуль.) Следовательно,

(12.25)

Теперь мы сразу же найдем плотность нейтронов в на­шей диффузионной задаче

(12.26)

и

(12.27)

На фиг. 12.7 представлена зависимость N от r.

Чему же теперь равно отношение плотности в центре к плотности на краю? В центре (r=0) оно пропорционально За2/2, а на краю (r=а) пропорционально 2а2/2; поэтому отно­шение плотностей равно 3/2. Однородный источник не дает однородной плотности нейтронов. Как видите, наши познания в электростатике дают хорошую затравку для изучения физики ядерных реакторов.

Диффузия играет большую роль во многих физических об­стоятельствах. Движение ионов через жидкость или электро­нов через полупроводник подчиняется все тому же уравнению. Мы снова и снова приходим к одним и тем же уравнениям.

§ 5. Безвихревое течение жидкости; обтекание шара

Рассмотрим теперь пример, по существу, не такой уж хоро­ший, потому что уравнения, которые мы будем использовать, на самом деле не описывают новый объект полностью, а отве­чают лишь некоторым идеализированным условиям. Это задача о течении воды. Когда мы разбирали случай натянутой плен­ки, то наши уравнения представляли приближение, справед­ливое лишь для малых отклонений. При рассмотрении течения воды мы прибегнем к приближению другого рода; мы должны принять ограничения, которые, вообще говоря, к обычной воде неприменимы. Мы разберем только случай постоянного тече­ния несжимаемой, невязкой, лишенной завихрений жидкости. Потом мы опишем течение, задав ему скорость v(r) как функцию положения г. Если движение постоянно (единственный случай, для которого имеется электростатическая аналогия), v не за­висит от времени. Если r — плотность жидкости, то rv — масса жидкости, проходящая в единицу времени через единичную площадку. Из закона сохранения вещества дивергенция pv, вообще говоря, равна изменению со временем массы вещества в единице объема. Мы предположим, что процессы непрерыв­ного рождения или уничтожения вещества отсутствуют. Сохра­нение вещества требует тогда, чтобы С·rv=0. (В правой части должно было бы стоять, вообще говоря, —dr/dt, но поскольку наша жидкость несжимаема, то r меняться не может.) Так как r повсюду одинаково, то его можно вынести, и наше уравнение запишется просто

С·v=0.

Чудесно! Снова получилась электростатика (без зарядов); уравнение совсем похоже на С·E=0. Ну не совсем! В электро­статике не просто С·E=0. Есть два уравнения. Одно уравне­ние еще не дает нам всего; нужно дополнительное уравнение. Чтобы получилось совпадение с электростатикой, у нас rot от v должен был бы равняться нулю. Но для настоящих жид­костей это вообще не так. В большинстве их обычно возникают вихри. Следовательно, мы ограничиваемся случаем, когда циркуляция жидкости отсутствует. Такое течение часто назы­вают безвихревым. Как бы то ни было, принимая наши пред­положения, можно представить себе течение жидкости, ана­логичное электростатике. Итак, мы берем

С·v=0 (12.28)

и

СXv = 0. (12.29)

Мы хотим подчеркнуть, что условия, при которых течение жидкости подчиняется этим уравнениям, встречаются весьма нечасто, но все-таки бывают. Это должны быть случаи, когда поверхностным натяжением, сжимаемостью и вязкостью можно пренебречь и когда течение можно считать безвихревым. Эти условия выполняются столь редко для обычной воды, что мате­матик Джон фон Нейман сказал по поводу тех, кто анализи­рует уравнения (12.28) и (12.29), что они изучают «сухую воду»!

| (Мы возвратимся к задаче о течении жидкости более подробно

в вып. 7, гл. 40 и 41.)

Поскольку СXv=0, то скорость «сухой воды» можно написать в виде градиента от некоторого потенциала

v=-Сj. (12.30)

Каков физический смысл y? Особо полезного смысла нет. Скорость можно записать в виде градиента потенциала просто потому, что течение безвихревое. По аналогии с электростати­кой y называется потенциалом скоростей, но он не связан с потенциальной энергией так, как это получается для j. Поскольку дивергенция v равна нулю, то

(12.31)

Потенциал скоростей y подчиняется тому же дифференциаль­ному уравнению, что и электростатический потенциал в пустом пространстве (r=0).

Давайте выберем какую-нибудь задачу о безвихревом те­чении и посмотрим, сможем ли мы решить ее изученными ме­тодами. Рассмотрим задачу о шаре, падающем в жидкости. Если он движется слишком медленно, то силы вязкости, кото­рыми мы пренебрегали, будут существенны. Если он движется слишком быстро, то следом за ним будут идти маленькие вихри (турбулентность) и возникнет некоторая циркуляция воды. Но если шар движется и не чересчур быстро, и не чересчур медленно, то течение воды будет более или менее отвечать нашим предположениям, и мы сможем описать движение воды нашими простыми уравнениями.

Удобно описывать процесс в системе координат, скреплен­ной с шаром. В этой системе координат мы задаем вопрос: как течет вода около неподвижного шара, если на больших расстояниях течение однородно? Иначе говоря, если вдали от шара течение всюду одина­ково? Течение вблизи шара будет иметь вид, показан­ный линиями потока на фиг. 12.8. Эти линии, всег­да параллельные v, соответ­ствуют линиям напряженностей электрического поля.

Фиг. 12.8. Поле скоростей без­вихревого обтекания сферы жидко­стью.

Мы хотим получить количественное описание поля скоростей, т. е. выражение для скорости в любой точке Р.

Можно найти скорость как градиент от y), поэтому сначала определим потенциал. Мы хотим найти потенциал, который удовлетворял бы всюду (12.31) при следующих двух условиях: 1) течение отсутствует в сферической области за поверхностью шара; 2) течение постоянно на больших рас­стояниях. Чтобы выполнялось первое ограничение, компонен­та v, перпендикулярная поверхности шара, должна обращаться в нуль. Это значит, что dy/dr=0 при r=а. Для выполнения второго ограничения нужно иметь dy/dz=v0всюду, где r>>а.Строго говоря, нет ни одной электростатической задачи, кото­рая в точности соответствовала бы нашей задаче. Она факти­чески соответствует сфере с нулевой диэлектрической прони­цаемостью, помещенной в однородное электрическое поле. Если бы мы имели решение задачи для сферы с диэлектриче­ской проницаемостью x, то, положив x=0, немедленно решили бы нашу задачу.

Мы раньше не разобрали такую электростатическую за­дачу во всех подробностях; давайте сделаем это сейчас. (Мы могли бы сразу решить задачу о жидкости с v и y, но будем пользоваться Е и j, потому что привыкли к ним.)

Задача ставится так: найти такое решение уравнения С2j=0, чтобы Е=-Сj равнялось постоянной, скажем Е0, для больших r и, кроме того, чтобы радиальная компонента Е была равна нулю при r=а. Иначе говоря,

(12.32)

Наша задача включает новый тип граничных условий — когда дj/дr постоянно, а не тот, когда потенциал j постоянен на поверхности. Это немножко другое условие. Получить ответ сразу нелегко. Прежде всего без шара j был бы равен —E0z.Тогда Е было бы направлено по z и имело бы всюду постоянную величину Е0. Мы уже исследовали случай диэлектрического шара, поляризация внутри которого однородна, и нашли, что поле внутри поляризованного шара однородно, а вне его оно совпадает с полем точечного диполя, расположенного в центре шара. Давайте напишем, что искомое решение есть суперпо­зиция однородного поля плюс поле диполя. Потенциал диполя (см. гл. 6) есть pz/4pe0r3. Итак, мы предполагаем, что

(12.33)

Поскольку поле диполя спадает, как 1/r3, то на больших рас­стояниях мы как раз имеем поле Е0. Наше предположение автоматически удовлетворяет сформулированному выше второму условию (стр. 249). Но что нам взять в качестве силы диполя p? Для ответа мы должны использовать другое условие [урав­нение (12.32)]. Мы должны продифференцировать j по r, но, разумеется, это нужно сделать при постоянном угле q, поэтому удобнее выразить сначала j через r и q, а не через z и r. По­скольку z=rcosq, то

(12.34)

Радиальная составляющая Е есть

(12.35)

Она должна быть равна нулю при r=а для всех q. Это будет выполнено, если

(12.36)

Заметьте хорошенько, что если бы оба члена в уравнении (12.35) зависели бы от q по-разному, то мы не смогли бы вы­брать р так, чтобы (12.35) обращалось в нуль при r=а для всех углов. Тот факт, что это получилось, означает, что мы были мудры, написав уравнение (12.33). Конечно, когда мы догадывались, мы заглядывали вперед; мы знали, что понадо­бится еще один член, который бы, во-первых, удовлетворял С2j=0 (любое действительное поле удовлетворяет этому), во-вторых, зависел от cosq и, в-третьих, спадал бы к нулю при больших r. Поле диполя — единственное, которое удовлет­воряет всем трем требованиям.

С помощью (12.36) наш потенциал приобретает вид

(12.37)

Решение задачи о течении жидкости может быть записано просто:

(12.38)

Отсюда прямо находится v. Больше мы не будем заниматься этим вопросом.

§ 6. Освещение; равномерное освещение плоскости

В этом параграфе мы обратимся к совсем другой физической проблеме — мы ведь хотим показать большое разнообразие воз­можностей. На этот раз мы проделаем кое-что, что приведет нас к интегралу того же сорта, что мы нашли в электростатике.

Фиг. 12.9. Освещенность In поверхности равна энергии излучения, падающей в единицу времени на единичную пло­щадку поверхности.

(Если перед нами стоит математическая задача, приводящая к некоторому интегралу, а интеграл этот уже знаком нам по другой задаче, то кое-что о его свойствах нам известно.) Возь­мем пример из техники освещения. Пусть на расстоянии а над плоскостью имеется какой-то источник света. Как будет освещаться поверхность? Чему равна энергия излучения, падающая на единичную площадку поверхности за единицу времени (фиг. 12.9)? Мы предполагаем, что источник сфери­чески-симметричный, так что свет излучается одинаково во всех направлениях. Тогда количество излученной энергии, проходящее через единичную площадку, перпендикулярную потоку света, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Очевидно, что интенсивность света в направлении нормали дается такой же формулой, что и электрическое поле от точечного источника. Если световые лучи падают на поверх­ность под углом 6 к нормали, то /, энергия, падающая на еди­ничную площадку поверхности, уменьшается в cos 9 раз, потому что та же энергия падает на площадь в I/cos 9 раз большую. Если мы назовем силу нашего источника S, тогда In, освещен­ность поверхности, равна

(12.39)

где er — единичный вектор в направлении от источника, а n — единичная нормаль к поверхности. Освещенность In соот­ветствует нормальной компоненте электрического поля от точечного источника с зарядом 4pe0S. Учитывая это, мы видим, что для любого распределения источников света можно найти ответ, решая соответствующую задачу электростатики. Мы вы­числяем вертикальную компоненту электрического поля на плоскости от распределения зарядов точно таким же образом, как для источников света.

Рассмотрим такой пример. Нам необходимо для какого-то эксперимента устроить так, чтобы стол освещался равномерно. Мы располагаем длинными трубками флуоресцентных ламп, излучающих равномерно по всей своей длине. Наш стол можно осветить, разместив флуоресцентные трубки правильными ря­дами на потолке, который находится на высоте z над столом. Чему должно быть равно наибольшее расстояние bот трубки до трубки, если мы хотим, чтобы поверхностное освещение было равномерным с точностью до одной тысячной? Ответ: 1) найдите электрическое поле от набора равномерно заряжен­ных проводов с промежутком между ними, равным b; 2) под­считайте вертикальную компоненту электрического поля; 3) определите, чему должно быть равно b, чтобы волнистость поля была не больше одной тысячной.

В гл. 7 мы видели, что электрическое поле от ряда заряжен­ных проводов может быть представлено в виде суммы членов, каждый из которых дает синусоидальное изменение поля с периодом b/n, где n — целое число. Амплитуда любого из этих членов дается уравнением (7.44):

Нам нужно взять только случай n=1, раз мы хотим получить поле в точках, не слишком близких к проводам. Чтобы полу­чить полное решение, нам еще нужно определить коэффициенты Аn, которые мы пока не нашли (хотя они находятся прямым вычислением). Поскольку нам нужно знать только A1то можно оценить его величину, считая ее равной средней величине поля. Экспоненциальный множитель тогда дает нам сразу относительную амплитуду изменений. Если мы хотим, чтобы этот множитель был равен 10-3, то bоказывается равным 0,91 z. Если промежуток между лампами сделать равным 3/4 рас­стояния до потолка, экспоненциальный множитель тогда бу­дет равен 1/4000, и мы имеем фактор надежности 4, так что мы можем быть вполне уверены, что освещение будет постоян­ным с точностью до одной тысячной. (Точное вычисление пока­зывает, что A1в действительности в два раза больше среднего поля, так что точный ответ будет b=0,8 z.)

Немного неожи­данно, что для столь равномерного освещения допустимый промежуток между трубками оказался таким большим.

§ 7. «Фундаментальное единство» природы

В этой главе мы хотели показать, что, изучая электростати­ку, вы одновременно учитесь ориентироваться во многих во­просах физики и что, помня об этом, можно выучить почти всю физику за несколько лет.

Но в конце, естественно, напрашивается вопрос: почему уравнения для разных явлений столь похожи? Мы могли бы сказать: «В этом проявляется фундаментальное единство при­роды». Но что это значит? Что могло бы означать такое заяв­ление? Это могло бы просто означать, что уравнения для раз­ных явлений похожи; но тогда, конечно, мы не дали никакого объяснения. «Фундаментальное единство» могло бы означать, что все сделано из одного и того же материала, а потому под­чиняется одним и тем же уравнениям. Звучит как неплохое объяснение, но давайте поразмыслим. Электростатический потенциал, диффузия нейтронов, поток тепла — неужели мы действительно имеем дело с одним и тем же материалом? Мо­жем ли мы, в самом деле, представить себе, что электростатиче­ский потенциал физически идентичен температуре или плот­ности частиц? Наверняка j не совсем то же самое, что тепловая энергия частиц. Смещение мембраны явно не похоже на темпе­ратуру. С какой же стати тогда здесь проявляется «фундамен­тальное единство»?

Более пристальный взгляд на физику разных вопросов по­казывает, что уравнения на самом деле не идентичны. Уравне­ние, найденное нами для диффузии нейтронов, всего лишь приближение, которое оказывается хорошим, если интересую­щее нас расстояние велико по сравнению с длиной свободного пробега. Если бы мы пригляделись повнимательнее, то увидели бы, как движутся отдельные нейтроны. Разумеется, движение одного нейтрона и гладкие изменения, которые мы получаем при решении дифференциального уравнения, вещи разные. Диф­ференциальное уравнение — это приближение, потому что мы сочли, что нейтроны гладко распределены в пространстве.

Может быть, в этом и состоит разгадка? Может быть, общее всем явлениям есть пространство, те рамки, в которые вложена физика? Пока все меняется в пространстве достаточно плавно, важными факторами, входящими в рассмотрение, будут ско­рости изменения величин в зависимости от положения в про­странстве. Вот почему у нас всегда получается уравнение с градиентом. Производные должны появляться в виде градиента или дивергенции; законы физики не зависят от направления, поэтому они должны выражаться в виде векторов. Уравнения электростатики — это простейшие векторные уравнения, вклю­чающие только пространственные производные величин, кото­рые можно вообще записать. Любая другая простая проблема— или упрощение сложной проблемы — должна быть похожа на электростатику. Общим для всех наших задач является то, что они связаны с пространством, и то, что мы имитируем по-настоящему сложные явления простым дифференциальным уравнением.

Отсюда возникает еще один интересный вопрос. А не спра­ведливо ли это утверждение и для уравнений электростатики? Может быть, и они годятся только как сглаженная имитация на самом деле гораздо более сложного микромира? И реальный мир состоит из маленьких Х-онов, которые можно различить только на чрезвычайно малых расстояниях? А проводя наши измерения, мы всегда наблюдаем все в таком грубом масштабе, что не можем увидеть эти маленькие Х-оны, вот почему мы и приходим к дифференциальным уравнениям?

Наша современная наиболее полная теория электродинамики действительно обнаруживает трудности на очень малых рас­стояниях. Поэтому в принципе возможно, что эти уравнения представляют собой сглаженные версии чего-то: Они оказы­ваются правильными на расстояниях вплоть до 10-14 см, но за­тем они начинают выглядеть неправильными. Возможно, что существует пока еще не открытый «механизм» и что детали внут­реннего сложного устройства скрыты в уравнениях, имеющих гладкий вид, как это получается в «гладкой» диффузии нейтро­нов. Но никто еще не сумел сформулировать успешной теории, которая бы работала таким образом.

Как это ни странно, оказывается (по причинам, в которых мы еще не разобрались), что комбинация релятивизма и кван­товой механики, насколько мы их знаем, по-видимому, запре­щает придумывание уравнений, фундаментально отличных от уравнения (12.4) и в то же время свободных от противоречий. Заметьте: не из-за расхождений с экспериментом, а от внутренних противоречий. Таких, как, скажем, предсказание, что сум­ма вероятностей всех возможных исходов станет не равной единице или что энергии оказываются комплексными числами, или еще какой-нибудь чепухи. Никто еще не создал теории электричества, в которой С2j=-r/e0 понималось бы как сгла­женное приближение к более глубокому механизму и которая не приводила бы, в конечном счете к какому-либо абсурду. Но надо сказать, что правильно также и то, что предположение о справедливости С2j=-r/e0 для любых как угодно малых расстояний тоже приводит к дикому абсурду (электрическая энергия электрона бесконечна) — абсурду, от которого никто еще не сумел избавиться.

* Поскольку мы говорим о некогерентных источниках, интенсивности, которых всегда складываются линейно, то электрические заряды в аналогичной задаче всегда будут иметь одинаковые знаки. Следует учесть, что наша аналогия применяется только к световой энергии, падающей на поверхность непрозрачной плоскости, поэтому мы должны включить в интеграл лишь источники, излучающие над поверхностью (конечно, не те, которые расположены под поверхностью!).