Бессмертные парадоксы

Как мы уже отмечали в начале этой книги, понятие бесконечного — одно из самых парадоксальных понятий, с которым когда-либо встречался человек.

Бесконечное противоречит повседневному жизненному опыту, противоречит очевидности, противоречит привычному здравому смыслу.

И только тот исследователь может достичь успеха в изучении бесконечности, который обладает способностью парадоксально мыслить, преодолевать гипноз привычных представлений, подниматься над обыденным здравым смыслом.

Опыт истории науки убедительно свидетельствует о том, что человек в своих научных исследованиях и в жизни следует одним и тем же принципам. Любой человек всегда остается самим собой, чем бы он ни занимался.

У древнегреческих мыслителей сходство между научными рассуждениями и обыденным мышлением обнаруживается с особенной отчетливостью. Не случайно многие античные философы и в жизни поступали вопреки общепринятому, вопреки утвердившемуся повседневному здравому смыслу. И, видимо, не случайно именно те мыслители, которые обнаруживали особую склонность к парадоксальному мышлению, отличались оригинальным отношен нем к жизни и необычным поведением, добивались наиболее значительных успехов в развитии философских представлений об окружающем мире, в том числе и в изучении бесконечности.

Яркий пример тому Эмпедокл (около 490 г. — 430 г. до н. э.) — один из выдающихся мыслителей древности. Он жил в Сицилии, пользовался величайшим уважением своих соотечественников и при желании мог бы запять высокое положение. Ему даже предлагали царский венец, но Эмпедокл, не раздумывая, отказался от столь заманчивой перспективы. И в то же время он вполне благосклонно относился к тому, чтобы его считали божеством.

Эмпедокл яростно обличал роскошь, но сам разгуливал в дорогих одеждах с золотой повязкой на голове.

А когда мудрецу наскучила жизнь, он рассчитался с ней весьма оригинальным способом — прыгнул в кратер вулкана Этна.

Судя по всему столь странный поступок Эмпедокла непосредственно вытекал из его философского учения, согласно которому ничто в мире не возникает из ничего и ничто не пропадает бесследно, а следовательно, мир бесконечен во времени.

Этот сицилийский мудрец писал:

Но и другое тебе я поведаю: в мире сем тленном

Нет никакого рожденья, как нет и губительной смерти.

Есть лишь смешенье одно с размешеньем того, что смешалось,

Что и зовут неразумно рождением темные люди.

Глупые! Как близорука их мысль, коль они полагают,

Будто действительно раньше не бывшее может возникнуть,

Иль умереть и разрушиться может совсем то, что было.

Ибо из вовсе не бывшего сущее стать не способно…

Но, пожалуй, самым большим оригиналом среди всех древнегреческих философов был Зенон Элейский (около 490 г. — 430 г. до н. э.), приемный сын и любимый ученик выдающегося мыслителя Парменида (конец VI века — V век до н. э.), человек, которому суждено было заложить подлинно научный фундамент исследования бесконечного.

Этому в немалой степени способствовало и доведенное у древних греков едва ли не до совершенства искусство спора. В публичных дискуссиях и состязаниях ораторов, где победа определялась прежде всего авторитетом логических доказательств и способностью убедить присутствующих, родилось и было отточено острое оружие: умение доказать свою правоту путем столкновения противоречивых доводов и посылок. Соперники изобретали впечатляющие аргументы, рассыпали перлы остроумия, старались подловить своего противника, заманить в ловушку, поставить его в безвыходное положение. Судьи тут же определяли победителя.

Да и сама греческая философия развивалась в условиях постоянных споров, острой полемики различных философских школ и направлений.

В отличие от Востока, где громадную, определяющую роль играла сила традиций и где мыслители и философы выступали в роли непогрешимых пророков, вещающих непререкаемые истины, греки выше всего ценили разум и были твердо убеждены в том, что все в мире может быть понято и исследовано с помощью чисто логических рассуждений и доказательств.

Благодаря этому греческие философы чувствовали себя во многом независимыми от предвзятых представлений об окружающем мире. Мысль их парила свободно и не страшилась даже таких утверждений, которые на первый взгляд могли показаться абсурдными.

Этот полет смелой мысли, а также приобретенная в бесчисленных спорах и диспутах привычка к парадоксальным рассуждениям и заключениям несомненно сыграли первостепенную роль в поразительных достижениях древнегреческой науки, в особенности математики, и, в частности, в изучении бесконечности.

За долгие годы занятий философией Зенон выработал в себе блестящую способность опровергать противника и посредством возражений ставить его в затруднительное положение, научился рассматривать один и тот же предмет с противоположных сторон.

— Без всестороннего и обстоятельного разыскания невозможно уразуметь истину, — говорил он.

Зенон обладал не только выдающимся умом, но и, пожалуй, лучше, чем кто бы то ни было, умел мыслить парадоксально — многие его рассуждения и заключения оказывались неожиданными даже для самых выдающихся мудрецов.

Эта удивительная способность к парадоксальным выводам и привела Зенона к его знаменитым апориям — одному из самых поразительных достижений человеческой мысли.

Во времена Зенона в древнегреческой математике и философии со всей остротой встал вопрос о свойствах пространства и времени, теснейшим образом связанный с представлениями о конечном и бесконечном. Вопрос ставился так: можно ли и до каких пор осуществлять процесс делимости тела, пространства и времени? Завершится ли когда-либо такой процесс или он будет продолжаться беспредельно?

Одна из первых концепций бесконечности была выдвинута выдающимся философом-материалистом Анаксагором (около 500 г. — 428 г. до н. э.), известным своей непримиримой борьбой с мистикой и религией.

Началом всего сущего Анаксагор считал «гомеомерии» — бесконечное число элементов материи. Их сочетания дают все многообразие вещей.

Процесс деления тела бесконечен, утверждал он, и потому нет смысла говорить о его конечном результате. Следовательно, не существует наименьших неделимых частиц. Число частиц, из которых состоит данная вещь, всегда можно увеличить.

«И в малом ведь нет наименьшего, по всегда есть меньшее. Ибо бытие не может разрешиться в небытие, но и в отношении к большому есть большее. И оно равно малому по количеству. Сама же по себе каждая вещь и велика и мала».

Следовательно, бесконечное существует в обе стороны. Это была первая математическая формулировка понятия бесконечно большого и бесконечно малого как возможности увеличения сверх любой заданной величины и возможности неограниченного деления.

Но если пространственные элементы и промежутки времени можно делить без конца, то пространство и время непрерывны.

Наряду с концепцией Анаксагора существовала и другая, противоположная концепция, одним из родоначальников которой был Демокрит (около 460 г. — 370 г. до н. э.), — учение о «неделимых», мельчайших частях линий, поверхностей и тел. Демокрит признавал бесконечность Вселенной и числа атомов во Вселенной. Но считал, что тело нельзя делить бесконечно, а лишь до неделимых атомов. С помощью этой теории Демокриту удалось решить несколько очень трудных математических задач — например, найти выражение для объема пирамиды.

Но поскольку в распоряжении древних греков не было никаких экспериментальных фактов, по которым можно было бы судить о действительных свойствах реального пространства и реального времени, споры между сторонниками Анаксагора и Демокрита были в то время довольно беспредметными.

Величайшая заслуга Зенона состоит в том, что он впервые показал: и та и другая концепция ведут к глубоким противоречиям и парадоксам.

Парадокс — утверждение, которое непосредственно вытекает из привычных представлений или существующих научных теорий, но тем не менее вступает в противоречие о ними самими.

Именно такие парадоксальные следствия учения о бесконечной делимости пространства и обнаружил Зенон…Быстроногий Ахиллес хочет догнать медленно ползущую черепаху. Но пока он пробежит разделяющее их расстояние, черепаха тоже проползет немного вперед. И Ахиллесу придется теперь преодолевать это дополнительное расстояние. Но пока он сделает ото, черепаха вновь уйдет вперед — и так до бесконечности. Значит, несмотря на то, что Ахиллес передвигается намного быстрее черепахи, он все равно никогда не может ее догнать. Или, другими словами, будет догонять ее бесконечно длительное время.

Этим парадоксом Зенон показал, что предположение о бесконечной делимости пространства приводит к противоречию с реальным фактом движения.

Вместе с этой апорией Зенон сформулировал и еще одну — под названием «Дихотомия». Если черепаха после сигнала к старту не сдвинется с места, Ахиллес все равно ее не догонит. Ведь прежде чем преодолеть все расстояние, он должен преодолеть его четверть. И так далее… И поскольку процесс деления пополам никогда не может окончиться, Ахиллес вообще не сдвинется с места.

Отсюда следовало, что в природе нет и не может быть никакого движения.

Парадоксы Зенона привели древнегреческих мыслителей в настоящее смятение. Однако все попытки каким-либо способом их опровергнуть заканчивались неудачей.

До нас дошел рассказ о том, как философ Диоген, когда его познакомили с апориями Зенона, ни слова не говоря, поднялся с места и начал расхаживать взад и вперед.

Много веков спустя остроумию Диогена отдал должное Александр Сергеевич Пушкин:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить…

Казалось бы, апории Зенона тем самым были опровергнуты с помощью самого могущественного аргумента — опыта.

Однако проблема была, гораздо сложнее, чем это может показаться на первый взгляд.

Не спасло положения и атомистическое учение Демокрита, не допускающее бесконечного делания. Правда, существование «неделимых» устраняло парадокс Ахиллесу и черепахи. Как только в процессе деления мы дошли бы до «неделимых», все стало бы на свои места — Ахиллес догнал бы черепаху.

Однако в двух других апориях Зенон показал, что и предположение о существовании неделимых элементов пространства и времени также исключает возможность движения. Одна из этих апорий называется «Стрела».

…Стрела выпущена из лука. Если стрела летит — это значит, что она последовательно проходит точку за точкой своего пути. Что значит: проходит через точку? Значит, находится в ней какое-то время, то есть пребывает в состоянии покоя. Следовательно, движение стрелы есть совокупность состояний покоя. Следовательно, движение есть покой.

Таким образом, получалось, что обе противоположные концепции — и бесконечной делимости (то есть непрерывности) пространства и времени и существования неделимых элементов (то есть дискретности пространства и времени) — в равной степени ведут в тупик.

А вскоре обнаружилось к тому же, что метод «неделимых» Демокрита сталкивается и с другими непреодолимыми трудностями. Если атом имеет конечную величину, то разве можно утверждать, что конечная величина, какая бы она ни была, не может быть вновь разделена?

Возник, например, и такой вопрос: как разделить круг пополам? Если существуют «неделимые», то центр круга будет принадлежать только одной половине.

Окончательную катастрофу учение Демокрита потерпело тогда, когда были обнаружены несоизмеримые отрезки. Если есть наименьшие «неделимые», то, очевидно, любой отрезок должен состоять из целого их числа. Но оказалось, что между стороной квадрата и его диагональю нет никакой общей меры. То есть не существует такого отрезка, который укладывался бы на диагонали квадрата и его стороне целое число раз.

Результатом всех этих потрясений было то, что и бесконечность и неделимые оказались изгнанными из математики. К слишком сложным противоречиям, сложным даже для изощренных в логических спорах умов греческих мыслителей, вело применение этих понятий.

Бесконечность стали всячески обходить, прибегая для этого ко всевозможным логическим ухищрениям.

Когда Эвклиду, например, потребовалось сформулировать свою знаменитую теорему о множестве простых чисел, он вышел из затруднения следующим образом; «простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел».

И все же математики оказались в затруднительном положении — они тем самым лишились возможности вычислять площади и объемы. Надо было найти новый способ решения этой задачи без помощи бесконечности.

Такой способ — метод черпков — был разработан Евдоксом и Архимедом. Впоследствии, в XVII веке, он получил название метода исчерпывания.

В основе метода черпков лежала аксиома Евдокса— Архимеда: если из какой-либо величины отнять ее половину (или больше), а затем с каждым остатком поступать так же, то через конечное число шагов можно получить величину меньше любой заданной.

Однако и метод черпков, увы, обладал весьма существенным недостатком. Его можно было применять только в тех случаях, когда уже было известно, что именно требуется доказать. А для этого надо было воспользоваться «неделимыми» Демокрита…

Апории Зенона обнаружили и еще одну трудность. В ту пору в древнегреческой математике было распространено представление о том, что конечная величина есть совокупность бесконечного множества непротяженных точек. В частности, такой концепции, видимо, придерживались ранние пифагорейцы. Частями беспредельного для них были не материальные атомы, а геометрические точки.

Но если тело представлено бесконечной совокупностью неделимых точек, не имеющих измерений, то их сумма равна нулю. А это значит, что тело, имеющее измерение, лишено измерения.

Если же неделимые точки имеют измерение, то тело конечной величины оказывается бесконечно большим.