Снова кризис!..

Дифференциальное и интегральное исчисления — исчисления бесконечно малых — явились не только крупным достижением математики, но и важнейшим этапом в развитии всего естествознания и человеческой мысли вообще.

От абстрактных рассуждений о бесконечном древнегреческих философов человек перешел к практическим операциям с бесконечностями.

При этом характерно, что разработка нового математического метода была вызвана к жизни потребностями развивающихся физических наук, в первую очередь механики. Другими словами, этот скачок был обусловлен не только внутренней логикой развития самой математической науки, но прежде всего общим уровнем развития естествознания.

Если раньше решение тех или иных научных задач носило вполне очевидный, наглядный характер, то теперь впервые для этой цели стали использоваться величины, которые не только нельзя было представить себе непосредственно, по и природа которых отличалась явной неопределенностью и даже противоречивостью.

Дело в том, что теоретические основания исчисления бесконечно малых и Ньютоном и школой Лейбница были разработаны недостаточно четко. Далеко не безупречными были и руководящие идеи.

В частности, и у Ньютона и у Лейбница в одних и тех же вычислениях бесконечно малые принимались то за действительные величины, то за величины, равные нулю, которые затем просто-напросто отбрасывались. Считалось также, что прибавление бесконечно малого не изменяет конечного слагаемого.

Однако в то же время большинство математиков рассматривало бесконечно малое как наименьшее значение убывающей величины (то есть как актуально бесконечно малое). Но такое наименьшее значение должно быть заведомо больше нуля, следовательно, его отбрасывание — операция явно незаконная.

Создалась довольно странная ситуация: применение неясных по природе и внутренне противоречивых бесконечно малых величин каким-то образом приводило к правильным результатам. Такое положение вещей производило впечатление чего-то загадочного, таинственного, граничило с мистикой.

Математики того времени, писал Карл Маркс, «…сами верили в таинственный характер новооткрытого исчисления, которое давало правильные (и притом в геометрическом применении прямо поразительные) результаты математически положительно неправильным путем. Таким образом, сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их стороны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециалистов и необходимые для прокладывания пути новому»[7].

Невольно напрашивается вопрос: что же такое анализ бесконечно малых — точная наука или приближенный метод?

Сам Лейбниц считал, что его метод дает точные результаты, обосновывая это следующим образом: то, что несравненно меньше, бесполезно принимать в расчет но сравнению с тем, что несравненно больше него; так, частица магнитной жидкости, проходящая через стекло, не сравнима с песчинкой, песчинка с земным шаром, а этот последний с небесной твердью…

Подобные аргументы, основанные на аналогиях, не слишком убедительны.

В 1734 году появился ядовитейший трактат Дж. Беркли под необычно длинным и претенциозным названием «Аналист, или Рассуждение, обращенное к неверующему математику, в котором рассматривается, более ли ясно пли более очевидно выводятся предмет, принципы и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры».

Беркли, исходя из своего принципа «существовать — значит быть воспринимаемым», беззастенчиво потешался над бесконечно малыми, называя их «тенями усопших величин».

Такой вещи, как тысячная часть дюйма, существовать не может, утверждал Беркли, тем более не могут существовать бесконечно малые величины. Ведь ни то, ни другое мы не можем воспринять. А потому, как бы ни был полезен ньютоновский метод математического анализа, заключал Беркли, это всего лишь ловкая сноровка, искусство или, скорее, ухищрение.

Любопытно, что с аналогичной ситуацией столкнулась и современная теоретическая физика. Ей приходится иметь дело с бесконечностями, которые, казалось бы, не имеют реального физического смысла. Однако операции с этими величинами приводят к результатам, которые прекрасно подтверждаются на опыте.

В наше время, после великой революции в физике на рубеже XIX и XX столетий, когда квантовая механика принесла с собой вероятностное понимание окружающей действительности и ученые перестали требовать от научных теорий окончательных и однозначных ответов на любые вопросы, такое положение дел представляется довольно естественным и не очень-то смущает. Хотя, разумеется, и современные физики не оставляют настойчивых попыток выяснить природу загадочных бесконечностей.

Но в те времена, когда набирала силу и утверждалась ньютоновская классическая физика с ее чисто механистическими представлениями о природе всех мировых процессов и непоколебимой уверенностью в абсолютной предопределенности всех без исключения явлений, противоречивый характер бесконечно малых величин привел к очередному кризису основ математики, сравнимому с тем, который возник в древности в связи с апориями Зенона.

Преодолеть этот кризис долгое время не удавалось.

В 1784 году Берлинская академия наук, президентом которой был знаменитый математик Лагранж, даже объявила конкурс на тему «о строгой и ясной теории того, что в математике называют бесконечным».

Предлагалось показать, «каким образом из противоречивых посылок получаются столь многочисленные истинные положения, и предложить вместо понятия бесконечности другое, отчетливое и достоверное понятие, однако чтобы вычисления не стали затруднительными или долгими».

Однако и эта попытка не принесла особого успеха.

Выход из второго кризиса оснований математики был найден в теории пределов. С точки зрения этой теории, бесконечно малая — это переменная величина, предел которой равен нулю.

А если говорить строго, величина называется бесконечно малой, если, начиная с какого-то момента, ее численные значения сделаются и будут оставаться меньше наперед заданного сколь угодно малого положительного числа.

Таким образом, бесконечно малые стали рассматриваться как процесс, то есть не как актуальная, а как потенциальная бесконечность.

С появлением математического анализа идея бесконечности начинает играть все большую и большую роль, постепенно выдвигаясь на самый передний план. Не случайно выдающийся немецкий математик XIX столетия Д. Гильберт называл математический анализ «единой симфонией бесконечного».

С тех пор вся математика оказалась настолько тесно связанной с понятием бесконечности, что многие исследователи даже определяют ее как «науку о бесконечном».

Оценивая роль бесконечности в математике с позиций науки второй половины текущего столетия, известные ученые А. Френкель и И. Бар-Хиллел, например, пишут, что «для математики — в отличие почти от всех других наук — это понятие является настолько жизненно необходимым, что огромное большинство математических фактов, не имеющих отношения к бесконечности, едва ли не тривиально».