Прародитель Сетки: метрическое поле

Вот цитата Эйнштейна, которую я приберег. В 1920 году он писал:

«Согласно общей теории относительности, пространство немыслимо без эфира; действительно, в таком пространстве не только было бы невозможно распространение света, но и не могли бы существовать масштабы и часы, и не было бы никаких пространственно-временных расстояний в физическом смысле слова».

Эта цитата служит в качестве подходящего представления прародителя всей Сетки — метрического поля.

Давайте начнем с чего-нибудь простого и знакомого — с карты мира. Поскольку карты плоские, в то время как то, что они отображают — поверхность Земли — является (примерно) сферическим, очевидно, карты требуют интерпретации. Существует множество способов создать карту, представляющую геометрию поверхности, которую она описывает. Все используют одну и ту же базовую стратегию. Самое главное — наложить сетку координат для задания локальной геометрии. Если более конкретно, то на каждом маленьком участке карты вы определяете, какое направление соответствует северу, а какое — востоку (юг и запад, разумеется, будут противоположными направлениями). Вы также указываете в каждом направлении, какой интервал на карте соответствует миле — или километру, или световой миллисекунде, или любой другой единице — на Земле.

Например, на картах, основанных на стандартной проекции Меркатора, север соответствует вертикали, а восток — горизонтали. Затем поверхность Земли можно вписать в прямоугольник. «Путешествуя по миру» с запада на восток, вы движетесь по горизонтали от одного края карты к другому вне зависимости от того, следуете вы по экватору или по полярному кругу. Поскольку протяженность экватора гораздо больше, чем протяженность полярного круга, карта на первый взгляд создает искаженное впечатление: полярные области кажутся гораздо большими, чем они есть на самом деле. Однако сетка позволяет вам определить расстояния правильно. В полярных областях вы должны использовать линейки большего размера! (Прямо на полюсах все становится очень странно. Вся верхняя граница карты соответствует одной точке на Земле, а именно Северному полюсу, а вся нижняя граница соответствует Южному полюсу.)

Вся информация, необходимая для восстановления геометрии поверхности Земли на основе карты, содержится в легенде карты[30]. Например, вот как вы можете указать, что карта описывает сферу. Сначала выберите точку на карте. Затем для каждого направления отмерьте фиксированное расстояние r от контрольной точки (следуя легенде) и установите точку. Места на карте, отмеченные точками, соответствуют всем местам на Земле, которые располагаются на расстоянии r от контрольной точки. Соедините точки. В общем случае, если ваша карта построена в проекции Меркатора, фигура, которую вы получите на карте, не будет похожа на круг, несмотря на то что она представляет собой круг на Земле. Тем не менее вы можете использовать эту карту для измерения длины окружности на Земле, которой соответствует данная фигура. И вы обнаружите, что эта длина будет меньше 2?r. (Для экспертов: она будет равна R sin (2?r / R), где R — радиус Земли.) Если карта представляет плоскую поверхность, что может не быть очевидным, если вы используете искаженную сетку, то вы получите ровно 2?r. Вы также можете обнаружить, что длина окружности превышает 2?r. В этом случае вы понимаете, что ваша карта описывает седлообразную поверхность. Сферы, естественно, имеют положительную кривизну, плоские поверхности — нулевую, седлообразные — отрицательную кривизну.

Несмотря на значительное усложнение визуализации, те же идеи применимы и к трехмерному пространству. Вместо координатной сетки для описания геометрии на плоском листе можно рассмотреть координатные сетки, которые заполняют трехмерную область. Такие составные «карты» содержат (в виде слоев) своего рода двумерные карты, которые мы только что обсуждали, а также указания для совмещения этих слоев. Они описывают искривленные трехмерные пространства.

Поэтому вместо того, чтобы работать непосредственно со сложными трехмерными формами, которые (в лучшем случае) крайне сложно визуализировать, мы можем работать в обычном пространстве, используя координатные сетки. Работать с этими картами, не жертвуя какой-либо информацией.

Координатная сетка для описания локальной геометрии в научной литературе называется метрическим полем. Карты учат нас тому, что геометрия поверхностей или искривленных пространств большей размерности эквивалентна сетке, или полю, содержащему инструкции по локальному заданию направлений и измерению расстояний. Лежащее в основе «пространство» карты может представлять собой матрицу из точек или даже массив регистров в компьютере. При правильной координатной сетке, или метрическом поле, любая из этих абстрактных структур может хорошо представлять сложную геометрию. Картографы и мастера компьютерной графики являются экспертами в использовании этих возможностей.

Кроме того, мы можем добавить время. Специальная теория относительности говорит нам, что время для одного наблюдателя является смесью пространства и времени для другого наблюдателя, поэтому кажется естественным обращение с пространством и временем на одних и тех же основаниях. Для этого нам нужен четырехмерный массив. Координатная сетка, или метрическое поле, в каждой точке указывает, какие три направления должны рассматриваться в качестве пространственных направлений — вы можете назвать их «север», «восток» и «вверх», однако в случае создания карты открытого космоса эти названия могут показаться несколько причудливыми[31], — а также стандарты длины в этих направлениях. Она также указывает, что другое направление соответствует времени, и задает правило для перевода длин карты в этом направлении в промежутки времени.

В общей теории относительности Эйнштейн использовал понятие искривленного пространства-времени для создания теории гравитации. Согласно второму закону Ньютона, тела движутся по прямой линии с постоянной скоростью, если только на них не действует какая-то сила. Общая теория относительности модифицирует этот закон, постулируя, что тела движутся по наиболее прямому из возможных путей через пространство-время (по так называемым геодезическим линиям). Когда пространство-время искривлено, даже самый прямой из возможных путей приобретает неровности и изгибы, поскольку ему приходится адаптироваться к изменениям в локальной геометрии. Учитывая все это, тела реагируют на метрическое поле. Эти неровности и изгибы в пространственно-временной траектории тела — выражаясь более прозаично, изменения в его направлении и скорости — в соответствии с общей теорией относительности предоставляют альтернативное и более точное описание эффекта, ранее известного как гравитация.

Мы можем описать общую теорию относительности с помощью любой из двух математически эквивалентных идей: искривленного пространства-времени или метрического поля. Математики, мистики и специалисты в области общей теории относительности, как правило, предпочитают геометрическое описание ввиду его элегантности. Физики, обучавшиеся в эмпирической традиции физики высоких энергий и квантовой теории поля, в основном предпочитают идею метрического поля, поскольку она лучше соответствует тому, как мы (или наши компьютеры) выполняем конкретные вычисления. Что еще более важно, как мы скоро увидим: описание с помощью метрического поля делает теорию гравитации Эйнштейна больше похожей на другие успешные теории фундаментальной физики и, таким образом, облегчает работу над полностью интегрированным описанием всех законов. Как вы, вероятно, уже догадались, я придерживаюсь идеи метрического поля.

Выраженная в терминах метрического поля общая теория относительности напоминает полевую теорию электромагнетизма. В последней электрические и магнитные поля сгибают траектории электрически заряженных тел или тел, содержащих электрические токи. В общей теории относительности метрическое поле изгибает траектории тел, обладающих энергией и импульсом. Другие фундаментальные взаимодействия также напоминают электромагнетизм. В КХД траектории тел, являющихся переносчиками цветного заряда, изгибаются цветовыми глюонными полями; в случае слабого взаимодействия в игру вступают и другие виды заряда и полей; однако во всех случаях глубинная структура уравнений очень схожа.

На этом сходства не заканчиваются. Электрические заряды и токи влияют на силу ближайших электрических и магнитных полей, то есть их среднюю силу без учета квантовых флуктуаций. Это «реакция» полей, соответствующая их «воздействию» на заряженные тела. Аналогичным образом на силу метрического поля влияют все тела, обладающие энергией и импульсом (то есть все известные формы материи). Таким образом, наличие тела А влияет на метрическое поле, которое, в свою очередь, влияет на траекторию другого тела Б. Так общая теория относительности учитывает явление, ранее известное как сила тяжести, с которой одно тело действует на другое. Это оправдывает интуитивное неприятие Ньютоном дальнодействия, несмотря на то что развенчивает его теорию.

Для обеспечения последовательности метрическое поле должно быть квантовым, как и другие. То есть оно должно спонтанно флуктуировать. У нас нет удовлетворительной теории для этих флуктуаций. Мы знаем, что эффекты квантовых флуктуаций в метрическом поле обычно — а судя по нашему существующему опыту, всегда — на практике малы просто потому, что мы получаем очень успешные теории, игнорируя их! Начиная с тонкой биохимии, продолжая необычными опытами на ускорителях и заканчивая эволюцией звезд и первыми моментами после Большого взрыва, мы могли делать точные предсказания и получали их подтверждения, игнорируя при этом возможные квантовые флуктуации в метрическом поле. Кроме того, современная система GPS строит карту в пространстве и времени непосредственно. Она не учитывает квантовую гравитацию, но работает очень хорошо. Экспериментаторы усердно трудились над обнаружением хоть какого-то эффекта, который можно было быть приписать квантовым флуктуациям в метрическом поле, другими словами, — квантовой гравитации. Нобелевские премии и вечная слава ждут тех, кто сделает это открытие. До сих пор этого не произошло[32].

Тем не менее возражение «Это работает на практике, а как насчет теории?» по-прежнему имеет место. Возникающая проблема очень похожа на проблемы кварковой модели, особенно партонной, обсуждаемой в главе 6. Беспокойство по поводу тех теоретических проблем в конечном счете привело к концепции асимптотической свободы и полной, чрезвычайно успешной теории кварков и (недавно предсказанных!) цветных глюонов. Аналогичная задача для квантовой гравитации не решена. Теория суперструн является доблестной попыткой, однако очень многое в ней находится в стадии разработки. В настоящее время она больше похожа на набор подсказок относительно того, как эта теория может выглядеть, чем на конкретную картину мира с конкретными алгоритмами и предсказаниями. Кроме того, она не учитывает основные идеи Сетки. (Для экспертов: полевая теория струн является в лучшем случае неуклюжей.)

В цитате Эйнштейна, приведенной в начале данного раздела, говорилось о том, что пространство-время без метрического поля «немыслимо». Если воспринимать эту фразу буквально, то она, очевидно, ложна, поскольку мыслить его очень легко! Давайте вернемся к нашей карте, например. Если координатная сетка будет удалена или потеряна, карта все равно сможет нам многое рассказать. Она просто точно не скажет нам о форме и размере изображенных на ней вещей. Однако даже без сведений о размере и форме мы имеем то, что называется топологической информацией. Это по-прежнему дает много пищи для размышлений.

Эйнштейн имел в виду, что без метрического поля трудно представить, как будет функционировать физический мир. Свет не будет знать, в какую сторону двигаться или с какой скоростью; линейки и часы не будут знать, что они должны измерять. Уравнения, которые Эйнштейн вывел для света и материалов, из которых вы могли бы изготовить линейки и часы, не могут быть сформулированы без метрического поля.

Верно! Однако в современной физике есть множество вещей, которые трудно себе представить. Мы должны позволить нашим концепциям и уравнениям указывать нам путь. То, что сказал об этом Герц, настолько важно (и так хорошо выражено), что это стоит повторить:

«Трудно отделаться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают своим собственным разумом, что они умнее нас, умнее тех, кто открыл их, и что мы извлекаем из них больше, чем было в них первоначально заложено».

Другими словами, наши уравнения — и в более общем смысле наши концепции — это не только наши произведения, но и наши учителя.

В этом отношении открытие того, что Сетка заполнена несколькими видами материалов, или конденсатами, поднимает очевидный вопрос: является ли метрическое поле конденсатом? Может ли он состоять из чего-то более фундаментального? И этот вопрос поднимает другой: могло ли метрическое поле, вроде кваркового конденсата QQ?, испариться во время возникновения Вселенной, в самые первые моменты после Большого взрыва?

Положительный ответ предоставил бы новый способ решения вопроса, который мучил Августина Блаженного: «Что делал Бог до того, как Он создал мир?» (Подтекст: Чего Он ждал? Не лучше было бы начать пораньше?) Августин Блаженный дал два ответа на эти вопросы.

Первый ответ: перед тем как создать мир, Бог готовил ад для людей, которые задают глупые вопросы.

Второй ответ: пока Бог не сотворил мир, никакого «прошлого» нет. Так что этот вопрос не имеет смысла.

Его первый ответ смешнее, однако второй, подробно прописанный в главе 10 его сочинения «Исповедь», является более интересным. Основной аргумент Августина заключается в том, что прошлое больше не существует, а будущее еще не существует; собственно говоря, есть только настоящее. Однако прошлое в некотором роде существует в сознании в качестве памяти (конечно, как и будущее — в качестве ожидания). Таким образом, существование прошлого зависит от наличия сознания, а в отсутствие сознания не может быть никакого «прежде». До возникновения сознания не было никакого «прежде»!

Современная светская версия вопроса Августина звучит так: «Что случилось до Большого взрыва?» И мы могли бы применить версию его второго ответа, основанную на физике. Не то чтобы сознание необходимо для существования времени — я не думаю, что многие физики согласятся с этим (уравнения физики с этим точно не согласятся). Однако если метрическое поле испаряется, с ним исчезает и стандартное время. А когда не существует никаких часов — не только сложных устройств для хронометража, но любого физического процесса, который мог бы служить для обозначения времени, само время и само понятие «прежде» теряет всякий смысл. Поток времени начинается с конденсации метрического поля.

Может ли метрическое поле измениться каким-либо другим способом (кристаллизоваться?) под давлением, например, вблизи центра черной дыры? (Мы знаем, что под давлением кварки образуют странные конденсаты с такими забавными названиями, как сверхпроводник запертого цветного аромата, которые отличаются от конденсата QQ?.)

Может ли более фундаментальный материал, из которого состоит метрическое поле, быть тем самым материалом, который нам нужен для объединения различных взаимодействий?

Я надеюсь, вы согласитесь, что это отличные вопросы! К сожалению, у нас пока нет достойных ответов на них. (Я работаю над этим…) Однако то, что мы можем формулировать вопросы и всерьез задумываться о возможностях, которые Эйнштейн считал «немыслимыми», является признаком нашего прогресса и возросших амбиций. Теперь у нас есть более совершенные уравнения и богатые концепции, и мы позволяем им вести нас.