Определение третье

Данное Аполлонием Пергским исходное определение эллипса таково: это коническое сечение, которое получается, если рассечь конус плоскостью, наклоненной к оси конуса. Выражаясь современным математическим языком, конус с ориентированной вертикально осью – это трехмерное множество точек, удовлетворяющее такому условию: радиусы круговых поперечных сечений конуса пропорциональны расстоянию, отложенному по вертикали:

где u и y – расстояния, отложенные вдоль двух взаимно перпендикулярных горизонтальных направлений, z – расстояние вдоль вертикальной оси, а ? – положительный коэффициент, определяющий форму конуса (по какой причине мы обозначили первую горизонтальную координату u, а не x, вы скоро поймете). Вершиной этого конуса является точка, в которой u = y = 0, а также z = 0. Плоскость, которая рассекает конус под углом, можно определить как множество точек, удовлетворяющих следующему равенству:

где ? и ? – еще два коэффициента, которые определяют, соответственно, угол наклона и высоту расположения плоскости (координаты мы определяем таким образом, что плоскость оказывается параллельной оси y). Совмещая равенства (8) и (9), получаем:

или, что то же самое,

Можно видеть, что это определение эквивалентно равенству (1), если мы определим входящие в него величины как

Обратите внимание, что отсюда e = ??, и это значит, что эксцентриситет зависит от формы конуса и от наклона секущей его плоскости, но не от высоты, на которой располагается эта плоскость.