Обратно, к принципу неопределенности Гейзенберга

Такова вкратце история введения постоянной Планка. Но для наших целей важнее всего отметить, что постоянная Планка – это единица «действия», то есть та же величина, которая говорит нам, насколько нужно повернуть часы. Современное значение постоянной Планка равно 6,626 ? 10–34 кг·м?/с, что является крошечной величиной по меркам повседневности. Это и служит причиной того, почему мы не замечаем в повседневной жизни ее всепроникающего действия.

Вспомните, что мы писали о действии, соответствующем прыжку частицы из одной точки в другую: оно равно массе частицы, умноженной на квадрат расстояния, на которое совершен прыжок, и деленной на временной интервал, в течение которого этот прыжок происходит. Измеряется оно в кг·м?/с, как и постоянная Планка, так что если мы просто разделим действие на постоянную Планка, то все единицы сократятся и получится чистое число. Согласно Фейнману, это чистое число и есть та самая величина, на которую мы должны перевести стрелку, соответствующую частице, которая прыгает с одного места на другое. Например, если число равно 1, это значит один полный оборот, а если ?, то пол-оборота, и т. д. В символической форме точная величина, на которую мы должны перевести стрелку часов для расчета вероятности прыжка частицы на расстояние x за время t, равна mx? / (2ht).

Заметьте: в формуле появляется дробь ?. Вы можете либо принять на веру, что она необходима для достижения соответствия экспериментальным данным, либо заметить, что она возникает из самого определения действия[12]. Оба варианта прекрасно подойдут. Сейчас, когда мы знаем значение постоянной Планка, можно точно вычислить величину поворота стрелки часов и коснуться вопроса, который чуть раньше оставили без ответа. А именно: что такое прыжок на расстояние «10»?

Посмотрим, что наша теория говорит о маленьком по повседневным нормам объекте – о песчинке. Теория квантовой механики, которую мы разработали, предполагает, что, если поместить песчинку в какую-то точку, позднее она может оказаться в любом другом месте Вселенной. Но очевидно, что с настоящими песчинками так не происходит. Мы уже видели способ выхода из этой потенциальной проблемы, потому что если интерференция между циферблатами, соответствующими песчинке, перепрыгивающей из множества изначальных точек, достаточна, то при сложении циферблатов они все отменяют друг друга, и песчинка остается на месте.

Первый вопрос, на который нужно ответить, звучит так: сколько раз будут повернуты стрелки часов, если мы переместим частицу с массой песчинки на расстояние, например, 0,001 мм за одну секунду? Мы не сможем увидеть такое небольшое расстояние невооруженным глазом, но для атомного мира оно все еще велико. Вычислить это довольно просто самостоятельно, заменив числа в правиле хода часов Фейнмана[13]. Ответом будет где-то триллион полных оборотов стрелки. Только представьте себе масштабы сопутствующей интерференции.

В результате песчинка остается на своем месте, и практически нет шансов, что она перепрыгнет на существенное расстояние, хотя для получения этого вывода мы реально учитывали возможность того, что она может тайно выпрыгнуть куда-то в другую точку Вселенной.

И этот результат очень важен. Если вы сами подставили числа в формулу, то уже понимаете, почему это так: дело в ничтожной величине постоянной Планка. Если записать ее полностью, получится 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 662 6 кг·м?/с.

Если разделить почти любое привычное нам число на это, получится множество оборотов стрелок и огромная интерференция, так что все экзотические перемещения нашей песчинки по Вселенной отменят друг друга, и эту путешественницу через пространство мы будем воспринимать лишь как скучную пылинку, неподвижно лежащую на пляже.

Мы, разумеется, особенно интересуемся теми случаями, когда циферблаты не отменяют друг друга. Как мы уже видели, это происходит, если стрелка проходит не более одного оборота. В этом случае неконтролируемой интерференции не будет. Посмотрим, что это значит с количественной точки зрения.

Возвращаемся к группе циферблатов, заново нарисовав ее на рис. 4.4, но на этот раз вместо работы с точными числами будем рассуждать более абстрактно. Предположим, что область, в которой расположена группа циферблатов, имеет размер ?x, а расстояние до ближайшей точки области от точки Х равно x. В этом случае размер области ?x соответствует неопределенности нашего знания о начальном положении частицы; она стартует откуда-то из области размера ?x. Начиная с точки 1, которая находится в исходной области и ближе всего к точке Х, мы должны поворачивать часы соответственно прыжку из этой точки в точку Х на величину

Рис. 4.4. Он изображает то же самое, что и рис. 4.3, с тем исключением, что нет ограничения конкретной величиной размера группы циферблатов или расстоянием до точки X

Теперь перейдем к самой удаленной точке – точке 3. Когда мы переносим циферблат из этой точки в точку Х, стрелка поворачивается на большую величину, а именно

Теперь мы можем точно сформулировать условие, при котором циферблаты, прибывающие в точку Х из всех точек исходного поля, не аннулировали бы друг друга: разница между циферблатами, прибывшими из точек 1 и 3, должна быть меньше одного полного оборота, то есть

W₃ ? W₁ < один оборот.

Если записать это полностью, мы получим

Рассмотрим конкретный случай, в котором размер области ?x будет много меньше расстояния x. Это значит, что мы исследуем условия, при которых частица совершит скачок значительно больший, чем диаметр ее исходной области. В этом случае условие, при котором циферблаты не отменяют друг друга, выводится непосредственно из предыдущего неравенства и выглядит как

Если вы немного знаете математику, то поймете, как это получается – с помощью перемножения членов в скобках и пренебрежения той частью, которая включает в себя (?x)?. Это можно сделать, потому что по условиям ?x по сравнению с x – величина очень малая, а малая величина в квадрате – это очень малая величина.

Это уравнение заключает в себе условие, при котором циферблаты в точке Х не отменяют друг друга. Мы знаем, что если циферблаты не аннулируются взаимно в определенной точке, то существуют хорошие шансы обнаружить в этой точке частицу. Итак, мы выяснили, что если частица изначально расположена внутри области размером ?x, то через время t существуют хорошие шансы найти ее на значительном расстоянии x от поля, если неравенство выше будет выполнено. Более того, это расстояние увеличивается со временем, потому что в формуле мы на время t делим. Иными словами, чем больше времени проходит, тем выше вероятность нахождения частицы довольно далеко от ее исходного положения. Тут мы начинаем подозревать, что частица все-таки двигается. Заметьте также, что шансы нахождения частицы вдалеке от исходной точки увеличиваются, если ?x уменьшается – то есть если неопределенность исходного положения частицы становится меньше. Иными словами, чем более точно мы улавливаем частицу, тем быстрее она удаляется от исходного положения. Теперь это уже очень напоминает принцип неопределенности Гейзенберга.

Напоследок давайте немного переформулируем наше неравенство. Заметьте: чтобы частица проделала путь из любой точки исходной области до точки Х за время t, она должна пройти расстояние x. Если вы действительно зарегистрировали частицу в точке X, то, разумеется, пришли к выводу, что частица передвигалась со скоростью x / t. Кроме того, напомним, что масса, умноженная на скорость частицы, есть ее импульс, поэтому величина mx / t – это измеренный нами импульс частицы. Теперь можно продвинуться еще дальше и вновь упростить неравенство, записав

где p – импульс. Можно переформулировать уравнение так, что оно примет вид

p?x < h,

и это действительно заслуживает дальнейшего обсуждения, потому что данное уравнение уже очень сильно напоминает принцип неопределенности Гейзенберга.

Итак, наши математические расчеты пока окончены, и, если вы не очень пристально следили за ними, вам следует ухватить нить рассуждений с этого момента.

Если начать с частицы, находящейся внутри связной области размером ?x, то, как мы установили, с течением времени она может оказаться где угодно внутри более крупной области размером x.

Эта ситуация показана на рис. 4.5. Точнее говоря, это значит, что, если бы мы искали частицу в начальный момент, были бы шансы найти ее где-то во внутренней области. Если бы мы не стали проводить измерения, а решили подождать, высоки были бы шансы найти ее где-то во внешней, более крупной связной области. Это значит, что частица могла перейти из точки внутри малой начальной области в точку внутри более крупной. Однако она не обязана была двигаться, так что до сих пор есть вероятность нахождения ее в меньшей области ?x. Но вполне возможно, что измерения покажут, что частица дошла как раз до края большой области[14]. Если бы этот предельный случай был реализован при измерении, то мы заключили бы, что частица движется с импульсом, который задается только что выведенным нами уравнением (если вы не следовали за нашими математическими рассуждениями, просто примите это на веру), то есть p = h / ?x.

Рис. 4.5. Небольшая область со временем растет, в то время как изначально локализованная там частица с течением времени делокализуется

Теперь можем опять начать сначала и вернуть все в исходное положение. Частица опять окажется в малой области размера ?x. После измерения мы, вероятно, найдем частицу в какой-то другой точке внутри более крупной области, до границы, и таким образом придем к выводу, что ее импульс меньше предельного значения.

Если мы представим, что вновь и вновь повторяем этот эксперимент, измеряя импульс частицы, которая первоначально находится внутри небольшой области размером ?x, мы обычно будем получать при измерении множество значений p где-то между нулем и предельным значением h / ?x. Фраза «если проделать этот эксперимент несколько раз, то можно предсказать, что измеренный импульс окажется в пределах между нулем и h / ?x» значит, что «импульс частицы имеет неопределенность h / ?x». Как и в случае с неопределенностью положения, физики ввели для неопределенности этого рода символ ?p и пишут, что ?p?x ~ h. Значок ~ обозначает, что произведение неопределенностей положения и импульса примерно равно постоянной Планка – оно может быть или немного больше, или немного меньше. Немного углубившись в математику, можно сделать это уравнение еще более точным. Результат будет зависеть от подробностей расположения первоначальной группы циферблатов, но не стоит тратить на него слишком много сил и времени, потому что уже сделанного достаточно, чтобы понять основные идеи.

Утверждение, что неопределенность положения частицы, умноженная на неопределенность ее импульса (приблизительно), равна постоянной Планка – возможно, самая известная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга. Эта формулировка гласит: если мы знаем, что частица находится в какой-то исходный момент времени в какой-то области, то измерение положения частицы в какой-то более поздний момент времени покажет, что частица движется с импульсом, значение которого нельзя предсказать точнее, чем «нечто между нулем и h / ?x». Иными словами, если мы будем все больше и больше сужать начальную область нахождения частицы, она будет стремиться отпрыгнуть от этой области все дальше. Это настолько важно, что заслуживает третьего варианта формулировки: чем точнее вы знаете положение частицы в какой-то момент, тем хуже будете знать скорость ее движения и, соответственно, ту точку, в которой она окажется позже.

Эта формулировка принципа неопределенности как раз и принадлежит Гейзенбергу. Она лежит в основе квантовой теории, но тут мы должны четко заявить, что сам по себе принцип вовсе не является неопределенным. Это утверждение о нашей неспособности точного отслеживания частицы, и здесь не больше места для квантового волшебства, чем в ньютоновой физике. На последних нескольких страницах мы вывели принцип неопределенности Гейзенберга из фундаментальных правил квантовой физики, которые соответствуют правилам хода часов, сложения и вычитания циферблатов. И действительно, его происхождение кроется в нашем допущении, что частица через мгновение после измерения ее положения может оказаться в любом другом месте Вселенной. Диковатость нашего первого предположения, что частица может оказаться в совершенно произвольном месте Вселенной, была приручена с помощью неконтролируемой квантовой интерференции, и принцип неопределенности – это в каком-то смысле все, что осталось от исходной анархии.

Прежде чем двинуться дальше, мы должны сказать еще нечто очень важное об интерпретации принципа неопределенности. Не следует впадать в заблуждение, думая, что частица находится в каком-то конкретном единственном месте и что распространение исходных циферблатов отражает лишь ограниченность нашего понимания. Если мы считаем, что не можем правильно вывести принцип неопределенности, потому что не можем признать необходимость рассматривать все циферблаты из всех точек внутри исходной области, можно перемещать их по очереди в отдаленную точку Х и потом складывать. Именно делая это, мы и получили наш результат, то есть нам пришлось предположить, что частица прибывает в Х через суперпозицию многих возможных маршрутов.

Принципом Гейзенберга мы чуть позже воспользуемся для иллюстрации некоторых примеров из реального мира. Сейчас же достаточно и того, что нам удалось вывести один из ключевых результатов квантовой теории, не пользуясь ничем другим, кроме простых манипуляций с воображаемыми циферблатами.

Подставим в уравнения несколько цифр, чтобы добиться лучшего понимания предмета. Сколько нужно ждать возникновения существенной вероятности, что песчинка выпрыгнет из спичечного коробка? Предположим, что спичечный коробок имеет стенки длиной 3 см, а песчинка весит 1 мкг. Напомним, что условие для появления существенной вероятности перемещения песчинки на заданное расстояние определяется неравенством

где ?x – размер коробка. Теперь подсчитаем, каким должно быть время t, если мы хотим, чтобы песчинка покрыла расстояние x = 4 см, что уверенно превосходит размеры спичечного коробка. С помощью очень несложной алгебры находим, что

после чего подставляем числа и обнаруживаем, что t должно быть больше, чем примерно 1021 секунд. Это около 6 ? 1013 лет, то есть в 1000 раз больше возраста Вселенной. Так что, вероятно, этого не случится. Квантовая механика – странная штука, но не настолько странная, чтобы песчинка сама по себе выпрыгивала из спичечного коробка.

Завершая эту главу и переходя к следующей, сделаем еще одно, последнее наблюдение. Наш вывод принципа неопределенности основывался на конфигурации часов, показанной на рис. 4.4. Если говорить точнее, то мы установили исходную группу часов так, чтобы все стрелки были одинаковой длины и показывали одно и то же время. Это соответствует частице, находящейся в начальном состоянии покоя в определенной области пространства, – как, например, песчинка в спичечной коробке. Хотя мы выяснили, что частица, скорее всего, не будет пребывать в покое, мы также обнаружили, что для больших объектов – а для квантового мира песчинка действительно очень велика – это движение совершенно незаметно. Таким образом, какое-то движение в нашей теории есть, но это движение неощутимо для достаточно больших объектов. Похоже, мы упускаем из виду что-то важное, потому что крупные предметы на самом-то деле движутся, а квантовая теория, как мы помним, – это теория и малых, и больших объектов. Теперь мы должны обратиться к новой проблеме: как объяснить движение?