Глава 49 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Глава 49

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Отражение волн

§ 2. Волны в огра­ниченном пространстве и собственные частоты

§ 3. Двумерные собственные колебания

§ 4. Связанные маятники

§ 5. Линейные системы

§ 1. Отражение волн

В этой главе мы рассмотрим ряд замеча­тельных явлений, возникающих в результате «заключения» волны в некоторую ограничен­ную область. Сначала нам придется устано­вить несколько частных фактов, относящихся, например, к колебанию струны, а затем, обоб­щив эти факты, мы придем, по-видимому, к наиболее далеко идущему принципу математи­ческой физики.

Первый пример волн в ограниченном про­странстве — это волны в пространстве, огра­ниченном с одной стороны. Давайте возьмем простой случай одномерной волны на струне. Можно было бы рассмотреть плоскую звуко­вую волну в пространстве, ограниченном с одной стороны стенкой, или какие-то другие примеры той же природы, но для наших тепе­решних целей вполне достаточно простой струны. Предположим, что один конец струны закреплен, ну, например, вмурован в «абсо­лютно жесткую» стенку. Математически это можно описать, указав, что перемещение струны у в точке x=0 должно быть нулем, ибо конец струны не может двигаться. Далее, если бы в этом деле не участвовала стенка, то, как мы знаем, общее решение, описывающее движение струны, можно было бы представить в виде суммы двух функций F(x-ct) и G(x+ct), причем первая описывает волну, бегущую по струне в одну сторону, а вторая — в другую, так что

y=F(x-ct)+G(x+ct) (49.1)

будет общим решением для любой струны. Но нам, помимо этого, нужно еще удовлетворить условию неподвижности одного конца. Если в уравнении (49.1) мы положим х=0 и посмотрим, какие будут у в любой момент t, то получим y=F(-ct)+G(+ct). Но эта сумма должна быть нулем в любой момент времени, а это означает, что функция G(+ct) должна быть равна -F(-ct). Другими словами, функция G от некоторой величины должна быть равна функ­ции -F от той же величины со знаком минус. Подставляя снова полученный результат в уравнение (49.1), находим ре­шение поставленной задачи:

y=F(x-ct)-F(-x-ct). (49.2)

Ясно, что это выражение всегда даст y=0, если х поло­жить равным нулю.

На фиг. 49.1 представлена волна, идущая в отрицательном x-направлении вблизи точки х=0, и гипотетическая волна, идущая в противоположном направлении с обратным знаком и с другой стороны от начала координат.

Фиг. 49.1. Отражение от стенки как суперпозиция двух бегущих волн.

Я сказал «гипотетиче­ская», потому что с другой стороны, конечно, никакой колеб­лющейся струны нет. Истинное же движение струны должно рассматриваться как сумма этих двух волн в области положи­тельных х. Достигнув начала координат, они в точке х=0 полностью уничтожат друг друга, а затем вторая (отраженная) волна, идущая, разумеется, в противоположном направлении, окажется единственной волной в области положительных х. Эти результаты эквивалентны следующему утверждению: волна, достигнув защемленного конца струны, отражается от него с изменением знака. Такое отражение всегда можно понять, если представить себе, как нечто дошедшее до конца струны вылетит затем из-за стены «вверх ногами». Короче говоря, если мы предположим, что струна бесконечна и что, где бы ни находилась волна, бегущая в одном направлении, всегда существует симметричная ей относительно точки х=0 другая волна, бегущая в противоположном направлении, то в самой точке х=0 никакого перемещения не будет, а поэтому безразлично, защемлена ли струна в этом месте или нет.

Следующий наш пример — отражение периодической вол­ны. Предположим, что волна, описываемая функцией F(x-ct), представляет собой синусоидальную волну, которая затем от­ражается. Тогда отраженная волна -F(-х-ct) тоже будет синусоидальной волной той же частоты, но пойдет она в про­тивоположном направлении. Эту ситуацию проще всего опи­сать с помощью комплексных функций

F(x-ct)=eiw(t-x/c) и F(-х-ct)=eiwa(t+x/c).

Нетрудно убедиться, что если подставить их в выражение (49.2) и положить х=0, то в любой момент времени t переме­щение будет равно нулю и, следовательно, необходимое условие окажется выполненным. Воспользовавшись теперь свойством экспоненты, можно записать результат в более простом виде:

y=eiwt(e-iwx/c-eiwx/c)=-2ieiwtsin(wx/c). (49.3)

Мы получили нечто новое и интересное. Из этого решения ясно, что если мы посмотрим на любую точку х нашей струны, то увидим, что она осциллирует с частотой w. Совершенно неважно, где находится эта точка, все равно частота будет той же самой! Однако на струне есть такие места (где sin (wx/c)=0), которые вообще не перемещаются. Более того, если в любой момент времени t сделать моментальный снимок колеблющейся струны, то на фотографии получится синусоидальная волна, но величина ее амплитуды будет зависеть от времени t. Из выражения (49.3) можно видеть, что длина одного цикла сину­соидальной волны равна длине какой-либо из волн;

l=2pc/w. (49.4)

Неподвижные точки удовлетворяют условию sin(wx/c)=0, которое означает, что wx/c=0, p, 2p, ..., np, ... . Эти точки на­зываются узлами. Каждая точка между двумя соседними узлами движется синусоидально вверх и вниз, но способ ее движения остается фиксированным в пространстве. Это основная харак­теристика того, что называется собственным колебанием, гармоникой или модой. Если движение обладает тем свой­ством, что каждая точка предмета движется строго синусои­дально и все точки движутся с одинаковой частотой (хотя одни, может быть, больше, а другие меньше), то мы имеем дело с собственным колебанием.

§ 2. Волны в ограниченном пространстве и собственные частоты

Перейдем к обсуждению следующей интересной задачи. Что произойдет, если струну закрепить с двух концов, скажем в точках x=0 и x=L? Давайте начнем с идеи отражения волны, с некоего горба, движущегося в одном направлении. С тече­нием времени этот горб подойдет к одному концу струны и в конце концов превратится в небольшой всплеск, поскольку здесь он складывается с перевернутым ответным горбом, идущим с другой стороны. Наконец первый горб совсем исчезнет, а в обратном направлении побежит другой, «ответный» горб, и весь процесс повторится уже на другом конце. Как видите, задача решается совсем просто, впрочем здесь возникает интересный вопрос: можно ли в этом случае получить синусоидальную вол­ну (только что описанное решение периодично, но, разумеется, не синусоидально периодично). Давайте попытаемся «вставить» в нашу струну синусоидально периодическую волну. Если один конец струны закреплен, то мы знаем, что должно полу­читься нечто похожее на наше предыдущее решение (49.3). Но то же самое должно получиться и у второго конца, ведь он тоже закреплен. Поэтому единственная возможность полу­чить периодическое синусоидальное движение—это взять волну, которая в точности укладывается на длине струны. В против­ном случае мы не получим собственной частоты, с которой струна могла бы продолжать свои колебания. Короче говоря, если по струне пустить синусоидальную волну, которая в точности укладывается на ее длине, то она сохраняет свою идеальную синусообразную форму и будет гармонически колебаться с не­которой частотой.

Математически мы можем задать форму волны в виде функ­ции sinkx, где k=w/c, как и в уравнениях (49.3) и (49.4). Эта функция обращается в нуль при х=0, однако то же условие должно выполняться и на другом конце струны. Дело в том, что k уже не будет произвольным, как в случае полуограниченной струны. Оба конца могут быть закреплены при одном-единственном условии, что sinkL=0. Но чтобы синус был равен нулю, его угол должен быть кратен целому числу p, например 0, p, 2p и т. д. Поэтому уравнение

kL=np (49.5)

в зависимости от того целого числа, которое мы подставим в него, дает полный набор различных чисел k. При этом каждому числу k соответствует частота w, которая по формуле (49.3) равна просто

w=kc=npc/L. (49.6)

Итак, мы нашли, что синусоидальные колебания струны могут происходить только с некоторыми определенными часто­тами. Это — наиболее важная характеристика волн в ограни­ченной области. Сколь бы сложна ни была система, всегда ока­зывается, что в ней могут быть чисто синусоидальные колеба­ния, но частота их определяется свойствами данной системы и природой ее границ. В случае струны возможно множество раз­личных частот, каждой из которых соответствует определенное собственное колебание — движение, синусоидально повторяющее самое себя.

На фиг. 49.2 показаны первые три собственные гармоники нашей струны.

Фиг. 49.2. Первые три гар­моники колеблющейся струны.

Длина волны l первой из них равна 2L. В этом легко убедиться, продолжив волну до точки x=2L и получив полный цикл синусоидальной волны. Угловая частота w равна в общем случае 2pc, деленному на длину волны К, а поскольку сейчас у нас l=2L, то частота будет равна pс/b, что согласуется с формулой (49.6) при n=1. Обозначим эту частоту через w1 Следующая собственная гармоника напоми­нает бантик из двух петель с узлом посредине. Ее длина просто равна L. Соответствующая величина k, а следовательно, и ча­стота w должны быть вдвое большими, т. е частота равна 2w1. Частота третьей собственной гармоники оказывается рав­ной Зw1 и т. д. Таким образом, различные собственные гармо­ники кратны целому числу низшей частоты w1 т. е. w1, 2w1, Зw1 и т. д.

Вернемся теперь к общему движению струны. Оказывается, что любое возможное движение можно рассматривать как одно­временное действие некоторого числа собственных колебаний. На самом деле для описания наиболее общего движения долж­но быть одновременно возбуждено бесконечное число собствен­ных гармоник. Чтобы получить некоторое представление о том, что происходит при таком сложении, давайте посмотрим, что получится при одновременном колебании двух первых соб­ственных гармоник. Пусть первая из них колеблется так, как это показано в ряде схематических чертежей фиг. 49.3, где изображены отклонения струны через равные промежутки вре­мени на протяжении полуцикла низшей частоты.

Предположим теперь, что одновременно с первой собствен­ной гармоникой работает и вторая. Последовательные положе­ния струны при возбуждении этой собственной гармоники показаны тоже на фиг. 49.3 пунктирной линией. По отношению к первой гармонике они сдвинуты по фазе на 90°. Это означает, что в начальный момент никакого отклонения не было, но ско­рости двух половинок струны направлены в противоположные стороны. Вспомним теперь общий принцип линейных систем: если взять любые два решения, то сумма их тоже будет реше­нием. Поэтому перемещения, полученные сложением двух ре­шений, показанных на фиг. 49.3, будут третьим возможным ре­шением

Фиг. 49.3. Две гармоники, напоминающие при сложе­нии бегущую волну.

На этом же рисунке показан и результат сложения, который начинает напоминать горб, пробегающий взад и вперед по струне от одного конца до другого, хотя с помощью только двух собственных гармоник нельзя построить доста­точно хорошей картины такого движения; их нужно гораздо больше. Этот результат представляет на самом деле частный случай основного принципа линейных систем, который гла­сит:

Любое движение можно рассматривать как составленное из различных собственных гармоник, взятых с надлежащими ам­плитудами и фазами.

Значение этого принципа обусловлено тем фактом, что каж­дое собственное колебание — очень простая вещь — это просто синусоидальное движение во времени. По правде говоря, даже общее движение струны — еще не самая сложная вещь; суще­ствует движение куда более сложное, скажем такое, как виб­рация крыльев самолета. Тем не менее даже у крыльев само­лета можно обнаружить некие собственные кручения с опре­деленными частотами. А если так, то полное движение можно рассматривать как суперпозицию гармонических колебаний (за исключением тех случаев, когда вибрация настолько велика, что система уже не может рассматриваться как линейная).

§ 3. Двумерные собственные колебания

Сейчас мы перейдем к рассмотрению очень интересного поведения собственных гармоник в двумерных колебаниях. До сих пор мы говорили только об одномерных колебаниях: натянутой струне или звуковых волнах в трубе. В конце концов мы должны добраться до трех измерений, но сначала давайте остановимся на более легком этапе — этапе двумерных колеба­ний. Возьмем для большей определенности прямоугольный ре­зиновый барабан, перепонка которого закреплена по краям так, что на прямоугольном крае барабана она перемещаться не может. Пусть размеры прямоугольника будут

равны а и 6, как это показано на фиг. 49.4.

Фиг. 49.4. Колебание прямо­угольной пластинки.

Прежде всего, каковы ха­рактеристики возможного движения? Можно начать с того же, с чего мы начали, когда рассматривали пример со стру­ной. Если бы никакого закрепления не было вовсе, то можно было бы ожидать появления волн, бегущих в некото­ром направлении, например синусоидальной волны, опи­сываемой функцией ехр(iwt) ехр[-i(kчx)+i(kyy)], направле­ние движения которой зависит от относительной величины чисел kxи ky. А как теперь сделать узел на оси х, т. е. при y=0? Используя ту же идею, что и для одномерной струны, можно добавить волну, описываемую комплексной функцией

-exp(iwt)ехр[-i(kxx)-i(kyy)].

Суперпозиция этих волн в результате дает нулевое переме­щение при y=0 независимо от того, каковы будут значения х и t. (Хотя эти функции будут определены и для отрицательных значений у там, где никакого барабана нет и колебаться не­чему, но на это можно не обращать никакого внимания. Ведь нам хотелось устранить перемещение при у=0, и мы добились этого.) Вторую функцию в этом случае можно рассматривать как отраженную волну.

Однако нам нужно получить узел не только на линии y=0, но и на линии у=b. Как же это сделать? Решение такой задачи связано с некоторыми вещами, которыми мы занимались при изучении отражения света от кристалла. Волны, гасящие друг друга при y=0, могут сделать то же самое и при у=b, только когда 2b sin 0 равно целому числу длин волн l, (q — угол, пока­занный на фиг. 49.4):

ml=2bsinq, m=0, 1, 2, .... (49.7)

Точно таким же образом, т.е. сложением еще двух функций [-exp(iwt)]exp[i(kxx)+ i(kyy)] и [+exp(ict)}exp[i(kxx)-i(kyy)], каждая из которых представляет отражение другой от линии х=0, можно устроить узел и на оси у. Условие того, что линия х=а будет тоже узловой, получается так же, как и условие при у=b, т. е. 2acosq должно быть равно целому числу длин волн:

nl = 2acosq. (49.8)

Тогда окончательный результат таков: волны, «заключенные» в ящике, имеют вид стоячей волны, т. е. образуют какие-то определенные собственные гармоники.

Таким образом, если мы хотим иметь дело с собственными гармониками, то должны удовлетворить двум написанным выше условиям. Для начала давайте найдем длину волны. Ис­ключив из уравнений (49.7) и (49.8) угол q, можно выразить длину волны через a, b, n и т. Легче всего это сделать так: сначала разделить обе части уравнений соответственно на 2b и 2a, а затем возвести их в квадрат и сложить. В результате мы получим уравнение

sin2q+cos2q =1=(nl/2a)2+(ml/2b)2,

которое легко разрешить относительно l:

Итак, мы определили длину волны через два целых числа, а по длине волны мы немедленно получаем частоту w, ибо, как известно, частота равна 2pc, деленной на длину волны.

Этот результат настолько важен и интересен, что необхо­димо теперь получить его строго математически без использо­вания аналогий с отражением. Давайте представим колебание в виде суперпозиции четырех волн, подобранных таким обра­зом, чтобы все четыре линии x=0, х=а, y=0 и у=b были узло­выми. Потребуем еще, чтобы все эти волны имели одинаковую частоту, т. е. чтобы результирующее движение представляло собственное колебание. Из главы об отражении света мы уже знаем, что функция exp(iwt)exp[-i(kxx)+i(kyy)] опи­сывает волну, идущую в направлении, указанном на фиг. 49.4. По-прежнему остается справедливым уравнение (49.6), т. е. k =w/c, с той разницей, что теперь

k2=k2x+k2y. (49.10)

Из рисунка ясно, что kx=kcosq, a ky=ksinq.

Таким образом, наше выражение для перемещения прямо­угольной перепонки барабана (назовем это перемещение j запишется в виде

Хотя выглядит это довольно неприглядно, сумма таких экспо­нент, в сущности, не так уж громоздка. Их можно свернуть в синусы, так что перемещение, как оказывается, приобретает вид

Другими словами, получились знакомые синусоидальные колебания, форма которых тоже синусоидальна как в направ­лении оси х, так и в направлении оси у. Граничные условия при x= 0 и y=0 удовлетворяются автоматически. Однако мы хо­тим, кроме того, чтобы j обращалось в нуль при х=а и у=b. Для этого мы должны наложить два дополнительных условия, а именно kxa и kxb должны быть равны целому числу p (эти це­лые числа могут быть разными для kxa и kyb!). Но поскольку, как мы видели, kx=kcosq и ky=ksinq, то отсюда немедленно получаются уравнения (49.7) и (49.8), а из них следует оконча­тельный результат (49.9).

Возьмем теперь для примера прямоугольник, ширина ко­торого вдвое больше высоты. Если положить а=2b и восполь­зоваться уравнениями (49.4) и (49.9), то можно вычислить ча­стоты всех гармоник

В табл. 49.1 перечислено несколько простых гармоник и ка­чественно показана их форма.

Таблица 49.1 · ПРОСТЫЕ ГАРМОНИКИ И ИХ ФОРМА

Следует отметить наиболее важную особенность этого част­ного случая — частоты не кратны ни друг другу, ни какому-то другому числу. Представление о том, что собственные частоты гармонически связаны друг с другом, в общем случае неверно. Оно неверно ни для системы размерности, большей единицы, ни даже для одномерной системы, более сложной, чем однород­ная и равномерно натянутая струна. Простейшим примером может служить подвешенная цепочка, натяжение которой вверху меньше, чем внизу. Если возбудить в такой цепочке гармонические колебания, то возникнут собственные гармо­ники с различными частотами, однако частоты не будут просто кратными какому-то числу, да и сама форма гармоник больше не будет синусоидальной.

Еще причудливей оказываются гармоники более сложных систем. Человеческий рот, например, представляет собой по­лость, расположенную над голосовыми связками. Движением языка и губ можно создать либо трубу с открытым концом, либо трубу с закрытым концом, причем диаметры и формы этой трубы будут раз личными. В общем это страшно сложный резона­тор, но тем не менее все же резонатор. При разговоре мы с помощью голосовых связок создаем какой-то тон. Тон этот довольно сложен, в него входит множество звуков, но благо­даря различным резонансным частотам полость рта еще больше модифицирует его. Певец, например, может петь различные гласные: «а», «о», «у» и еще другие с той же самой высотой, но звучат они по-разному, ибо различные гармоники по-разному резонируют в этой полости. Огромную роль резонансных ча­стот полости в образовании голосовых звуков можно проде­монстрировать на очень простом опыте. Как известно, скорость звука обратно пропорциональна квадратному корню из плот­ности, поэтому для разных газов она различна. Если вместо воздуха мы используем гелий, плотность которого меньше, то скорость звука в нем окажется больше и все резонансные ча­стоты полости будут больше. Следовательно, если бы мы могли перед тем, как начать говорить, наполнить наши легкие ге­лием, то, хотя голосовые связки по-прежнему колебались бы с той же частотой, характер нашего голоса резко изменился бы.

§ 4. Связанные маятники

Напоследок необходимо подчеркнуть, что гармоники возни­кают не только в сложных непрерывных системах, но и в очень простых механических системах. Хорошим примером этого служит рассмотренная в предыдущей главе система двух свя­занных маятников. Там мы показали, что общее движение этой системы можно рассматривать как суперпозицию двух типов гармонических движений с различными частотами, так что даже такую систему можно рассматривать с точки зрения собствен­ных гармоник. В струне возбуждается бесконечное число соб­ственных гармоник, у двумерной поверхности их тоже беско­нечно много. В каком-то смысле здесь получается даже двойная бесконечность (если бы мы только знали, как работать с бесконечностями!). Но в простом механическом устройстве, обла­дающем только двумя степенями свободы и требующем для своего описания лишь двух переменных, возбуждаются всего две гар­моники.

Попробуем найти математически эти две гармоники для слу­чая, когда длины маятников одинаковы. Пусть отклонение одного маятника будет х, а другого — y, как это показано на фиг. 49.5.

Фиг. 49.5. Два связанных маят­ника.

При отсутствии пружины сила тяжести, действующая на первый маятник, пропорциональна его отклонению. Если бы здесь не было пружины, то для одного маятника появилась бы некоторая собственная частота w0, а уравнение движения в этом случае приобрело бы вид

m(d2x/dt2)=-mw20x. (49.13)

Второй маятник при отсутствии пружины качался бы точно так же, как и первый. Однако при наличии пружины в допол­нение к восстанавливающей силе, возникающей в результате гравитации, появляется еще добавочная сила от пружины, ко­торая стремится «стянуть» маятники. Эта сила зависит от пре­вышения отклонения х над отклонением у и пропорциональна их разности, т. е. она равна некоторой постоянной, зависящей только от геометрии, умноженной на (х-у). Та же сила, но в обратном направлении действует на второй маятник. Поэтому уравнения движения, которые мы должны решить, будут сле­дующими:

Чтобы найти движение, при котором оба маятника колеблются с одинаковой частотой, мы должны определить, насколько отклоняется каждый из них. Другими словами, маятник А и маятник В будут колебаться с одинаковой частотой и с ка­кими-то амплитудами А и B, отношение которых фиксировано. Давайте проверим, насколько подходит такое решение:

x=Aeiwt, у=Веiwt. (49.15)

Если подставить его в уравнения (49.14) и собрать подобные члены, то получим

При выводе этих уравнений мы сократили общий множитель еiwtи разделили все на m.

Теперь мы видим, что получились два уравнения для, каза­лось бы, двух неизвестных. Однако на самом деле здесь не два неизвестных, ибо общие масштабы движения нельзя найти из этих уравнений. Они могут дать нам только отношение А к В, причем оба уравнения должны дать одинаковую величину. Тре­бование согласованности уравнений друг с другом накладывает требование на частоту: она должна быть какой-то очень спе­циальной.

Но найти частоту в этом частном случае довольно легко. Если перемножить оба уравнения, то мы получим

В обеих сторонах можно сократить произведение АВ, за исклю­чением тех случаев, когда либо А, либо В равно нулю, что означает отсутствие движения вообще. Но если движение есть, то должны быть равны между собой и другие сомножи­тели, что приводит к квадратному уравнению. В результате получаются две возможные частоты:

w21=w20 и w22=w20+2k/m. (49.18)

Более того, если подставить эти значения частот снова в уравне­ния (49.16), то для первой частоты мы получим А=В, т. е. пружина вообще не будет растягиваться и оба маятника колеб­лются с частотой w0, как если бы пружины вообще не было. В другом решении, когда А =-В, пружина увеличивает вос­станавливающую силу и частота возрастает. Более интересен случай, когда маятники имеют различные длины. Анализ это­го случая, который очень похож на то, что мы недавно проде­лали, рекомендуем в качестве упражнения провести самим читателям.

§ 5. Линейные системы

Давайте теперь подытожим рассмотренные выше идеи, которые все являются аспектами, по-видимому, наиболее об­щего и удивительного принципа математической физики. Если у нас есть линейная система, характеристики которой не за­висят от времени, то движение ее, вообще говоря, не обязано быть каким-то особенно простым. На самом деле оно может быть чрезвычайно сложным, однако существуют такие особые дви­жения (обычно их целый ряд), при которых форма колебания синусоидально зависит от времени. Для колеблющихся систем, о которых сейчас шла речь, мы обычно получали мнимую эк­споненту, но вместо того, чтобы сказать «экспоненциально», я предпочел сказать «синусоидально». Однако если стремиться к большей общности, то нужно говорить о каких-то особых движениях, очень специальной формы, изменяющихся экспо­ненциально со временем. Наиболее общее движение систем всегда можно представить в виде суперпозиции движений, включающих каждую из различных экспонент.

Есть смысл подчеркнуть еще раз специально для случая синусоидального движения: линейная система не обязательно должна двигаться чисто синусоидально, т. е. с одной опреде­ленной частотой, но как бы она ни двигалась, это движение можно представить в виде суперпозиции чисто синусоидаль­ных колебаний. Частота каждого из этих колебаний, как и форма волны, зависит от свойств системы. Общее движение любой такой системы характеризуется заданием амплитуды и фазы каждой из гармоник при их сложении. Можно сказать это и по-другому: колебание любой линейной системы эквива­лентно набору гармонических независимых осцилляторов, ча­стоты которых соответствуют частотам собственных гармоник данной системы.

Эту главу мы закончим замечанием о связи гармоник с квантовой механикой. Колеблющимися объектами и величи­нами, которые изменяются со временем в квантовой механике, являются амплитуды вероятности, которые определяют ве­роятности обнаружения электрона или системы электронов в данном месте. Эта амплитуда может изменяться в пространстве и времени и удовлетворяет линейному уравнению. Но при пе­реходе к квантовой механике происходит переименование. То, что мы называли частотой амплитуды вероятности, переходит в энергию в ее классическом смысле. Поэтому установленный выше принцип можно перевести на язык квантовой механики, заменив слово частота словом энергия. Получится примерно так: квантовомеханическая система, например атом, не обя­зательно обладает определенной энергией, точно так же, как простая механическая система не обязательно имеет определенную частоту, но каково бы ни было поведение системы, его всегда можно представить в виде суперпозиции состояний с определенной энергией. Энергия каждого состояния, как и форма амплитуды, которая дает вероятность нахождения ча­стицы в различных местах, определяется свойствами атома. Общее движение может быть описано заданием амплитуд каж­дого из различных энергетических состояний. Именно здесь кроется причина возникновения энергетических уровней в квантовой механике. Поскольку квантовая механика все описывает в виде волн, то при некоторых обстоятельствах, когда электрон не обладает достаточной энергией, чтобы бесповоротно оторваться от протона, он представляет собой просто волну в ограниченном пространстве. Поэтому, так же как и для огра­ниченной струны, при решении волнового уравнения в кванто­вой механике в подобном случае возникают определенные ди­скретные частоты. В квантовомеханической интерпретации это будут определенные энергии. Следовательно, квантовомеханическая система, вследствие того что она описывается с по­мощью волн, может иметь определенные состояния с фиксиро­ванной энергией; примером могут служить дискретные энерге­тические уровни атомов.

 

 

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Похожие главы из других книг:

НУЛЕВЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Из книги автора

НУЛЕВЫЕ КОЛЕБАНИЯ Вначале о термине «нулевые колебания». Речь идет о тех колебаниях атомов кристаллической решетки, которые происходят и тогда, когда температура кристалла становится равной нулю. Они происходят и при иной, более высокой температуре, одновременно с


4. Тайна света: колебания в пятом измерении

Из книги автора

4. Тайна света: колебания в пятом измерении Если она [относительность], как я предвижу, будет подтверждена, его следует считать Коперником XX в. Макс Планк об Альберте Эйнштейне История жизни Альберта Эйнштейна выглядит как длинная череда неудач и разочарований. Его мать


Глава 3

Из книги автора

Глава 3 Великое открытиеС самого момента открытия Эрстедом влияния электрического тока на магнитную стрелку исследователей стала преследовать мысль: «А нельзя ли решить и обратную задачу: превратить магнетизм в электричество?» Во Франции над этой задачей ломали голову


Глава 1

Из книги автора

Глава 1 На подступах к ГОЭЛРОПредприятия Сименса и Гальске, о которых шла речь в книге почтенного профессора Артура Вильке, были разбросаны по разным городам. Но самый большой Электротехнический завод в России (до 150 служащих) находился на Васильевском острове в


Глава 2

Из книги автора

Глава 2 Время свершенийСегодня много говорят о получении энергии с помощью Солнца, ветра, морских волн, об извлечении энергии из недр, за счет использования внутреннего тепла Земли, о приручении морских приливов и о выведении электростанций за пределы атмосферы. Но пока…


12. Механические колебания

Из книги автора

12. Механические колебания Повторяющиеся движения (или изменения состояния) называют колебаниями (переменный электрический ток, явление маятника, работа сердца и т. п.). Различают:1) свободные, или собственные, колебания – такие колебания, которые происходят в отсутствие


V. Колебания

Из книги автора

V. Колебания Равновесие В некоторых случаях равновесие очень трудно поддержать – попробуйте пройтись по натянутому канату. В то же время никто не награждает аплодисментами сидящего в кресле-качалке. А ведь он тоже поддерживает свое равновесие.В чем же разница в этих


Простые колебания

Из книги автора

Простые колебания Если толкнуть шарик, лежащий в углублении, он начнет двигаться в гору, постепенно теряя кинетическую энергию. Когда она будет потеряна полностью, произойдет мгновенная остановка и начнется движение вниз. Теперь уже потенциальная энергия будет


Более сложные колебания

Из книги автора

Более сложные колебания То, что говорилось до сих пор, относится к колебаниям вблизи положения равновесия, происходящим под действием возвращающей силы, величина которой прямо пропорциональна смещению точки от положения равновесия. Такие колебания происходят по закону


Звуковые колебания

Из книги автора

Звуковые колебания Мы уже сообщили читателю много сведений о колебаниях. Как колеблется маятник, шарик на пружинке, каковы закономерности колебания струны – этим вопросам была посвящена пятая глава книги. Мы не говорили о том, что происходит в воздухе или другой среде,


Глава 14

Из книги автора

Глава 14 Незаметно махнув рукой Тому, Тристам занял свое обычное место в последнем ряду. Миртиль бросила беглый взгляд на его руку: вчерашний ожог зажил. Джерри, сидевший рядом с Томом, был вне себя от ярости. Опять этот Тристам дешево отделался! Безобразие! Давно пора


Глава 11

Из книги автора

Глава 11 Наутро, как только мальчики проснулись, полицейские повели их вниз, в подземный ход. К счастью, в тесном тоннеле, по которому пришлось продвигаться гуськом, было чисто и сухо.— Долго еще? — спросил Тристам, когда они прошли метров десять.— Тс-с! — шепнул


Глава 12

Из книги автора

Глава 12 Тристам толкнул дверь и остановился у порога. Прямо перед ним была лестница, которая шла на второй этаж; несколько ступенек вели вниз, к запертой на засов двери подвала. Слева была кухня, справа — большая гостиная, залитая ярким утренним светом.— Входи, Тристам


Глава 13

Из книги автора

Глава 13 Когда в гостиную вошел Том, Тристам сидел на диване. Он повесил мамин кулон себе на шею, заправив кристалл под свитер, и смотрел на портрет Миртиль, лежавший перед ним на низеньком столике. Глаза Тристама блестели, как будто он только что плакал.— Ну и тип! —


Колебания черных дыр

Из книги автора

Колебания черных дыр В 1971 году Билл Пресс, мой студент в Калтехе, обнаружил, что черные дыры могут вибрировать на особых резонансных частотах, подобно тому как это происходит со скрипичной струной.Если правильно ущипнуть струну, она издаст чистый тон – звуковую


Резонансные колебания Гаргантюа

Из книги автора

Резонансные колебания Гаргантюа На рис. 18.1 – первая страница данных, собранных Ромилли. Каждая строчка чисел на этой странице относится к одной из резонансных частот колебаний Гаргантюа. Рис. 18.1. Первая страница данных, подготовленных Янгом и Циммерманом, чтобы