7.5. Эллипс рассеяния в плоскости цели. Оценка вероятности столкновения

7.5. Эллипс рассеяния в плоскости цели. Оценка вероятности столкновения

Только один виртуальный астероид пересекает плоскость цели в момент, когда Земля находится у одного конца кратчайшего отрезка между орбитами. Другие виртуальные астероиды, движущиеся вдоль номинальной траектории, пересекают плоскость цели раньше или позже, чем это нужно для достижения минимального расстояния между орбитами, и соответствующие точки пересечения имеют различные значения координаты ?. Очевидно, что  есть расстояние, на котором виртуальный астероид пересекает плоскость цели от центра Земли. В то же время это есть минимальное расстояние от Земли, на котором он проходит мимо нее в данном сближении. Это следует из того, что его геоцентрическая скорость нормальна к геоцентрическому радиусу.

Таким образом, цепочка виртуальных астероидов, вытянувшихся вдоль номинальной орбиты, проектируется на плоскость цели в прямую, параллельную оси ?, причем виртуальный астероид, соответствующий центру доверительного эллипсоида в начальную эпоху t₀, пересекает плоскость цели в точке, расположенной, вообще говоря, выше или ниже оси ?. Область вокруг этой точки на плоскости ? — ? является отображением области возможных начальных условий движения на плоскость цели. Поскольку мы с самого начала предположили линейный характер задачи, можно утверждать, что область начальных значений, ограниченная в эпоху t₀ доверительным эллипсоидом, отобразится на плоскость ? — ? в часть плоскости, ограниченную эллипсом с центром в точке, соответствующей центру доверительного эллипсоида. Задача сводится к тому, чтобы найти координаты центра эллипса на плоскости ? — ? и его полуоси и оценить расположение эллипса рассеяния относительно образа Земли на этой плоскости.

В линейном приближении эта задача решается достаточно просто. В общем виде ход решения задачи можно описать следующим образом.

Координаты точки ?, ? на плоскости цели (см. формулу (7.10)) являются функциями F₁ и F₂ параметров орбиты (элементов или координат и скоростей в начальную эпоху), что в векторном виде можно записать как

L = F(E),

где L — двумерный вектор с компонентами ?, ?, а E — вектор параметров орбиты.

В рамках линейного приближения матрица ковариации D вектора L связана с матрицей ковариации вектора E известным соотношением [Эльясберг, 1976]:

D = ?²(?F?E)Q^-1(?F?E)^T, (7.12)

где ?F/?E — частные производные F по параметрам E. Величины ? и Q^-1 известны, поскольку они являются соответственно средней квадратичной погрешностью наблюдений, использованных при определении орбиты тела, и обратной матрицей нормальной системы уравнений (см. раздел 7.1).

Компоненты вектора L и частные производные в момент t (изохронные производные) находятся численным интегрированием уравнений движения в прямоугольных координатах с последующим преобразованием их в координаты ?, ?, ? и численным интегрированием уравнений, определяющих значения производных (так называемых уравнений в вариациях) при заданных начальных условиях движения. Таким образом, на момент сближения астероида, соответствующего номинальному решению, с Землей (или со сферой ее действия) оказываются известными координаты центра эллипса в плоскости цели и его полуоси, определяемые как

где D_ii — диагональные элементы матрицы ковариации D, a₁ = a_? — длина малой полуоси эллипса рассеяния, a₂ = a_? — длина большой полуоси. Заметим, что формула (7.13) определяет полуоси эллипса, соответствующие области неопределенности начальных условий внутри эллипсоида равных плотностей вероятности. Чтобы получить полуоси доверительного эллипса на плоскости цели, надо a_? и a_? умножить на 3.

Возможны следующие три случая взаимного расположения Земли и эллипса на плоскости цели: а) эллипс расположен на некотором расстоянии от окружности с радиусом, равным радиусу Земли (радиусу захвата Земли, если вычисления доверительного эллипса производятся на границе сферы действия Земли) (рис. 7.3 а), что практически исключает возможность столкновения астероида с Землей;

б) кружок с радиусом, равным радиусу Земли (или радиусу захвата), находится внутри эллипса (рис. 7.3 б). Вероятность столкновения может быть рассчитана исходя из отношения площади кружка к площади, ограниченной эллипсом. Для повышения точности прогноза можно учесть неодинаковую вероятность попадания виртуальных астероидов в различные точки области, ограниченной эллипсом;

^{Рис. 7.3. Возможные взаимные расположения эллипсов рассеяния и Земли в плоскости цели}

в) площадь, ограниченная эллипсом, частично покрывает Землю (рис. 7.3 в). Этот случай практически не отличается от предыдущего. Вероятность столкновения рассчитывается с учетом отношения перекрывающейся области ко всей площади, ограниченной эллипсом.

Более подробно расчет вероятности столкновения здесь не рассматривается, так как во всех случаях, когда возникает реальная угроза столкновения, следует предпринять дополнительные исследования, учитывающие возможный нелинейный характер задачи.

Нелинейный характер задача может иметь по многим причинам. Доверительный эллипсоид уже в эпоху t₀ может недостаточно хорошо описывать область возможных начальных условий, поскольку само распределение ошибок наблюдений может не подчиняться закону Гаусса. Чем дальше от эпохи t₀, тем больше нарастает нелинейность, и применение формулы (7.8) становится незаконным. Проекция доверительного эллипсоида на плоскость цели в момент t сближения с Землей, отдаленный от t₀ на десятилетия, вытягивается в очень узкую область, которая к тому же искривляется в соответствии с кривизной земной орбиты. По всем этим причинам линейный анализ задачи становится неадекватным и требуется применение более тонких методов анализа. К настоящему времени предложено два таких метода: метод Монте-Карло и метод линии вариации.

Метод Монте-Карло, или метод статистических испытаний, в применении к данной задаче означает прямое использование вероятностной интерпретации метода наименьших квадратов. Поскольку процесс уточнения орбиты по МНК доставляет, как принято говорить, наиболее вероятное решение, окруженное областью других возможных решений, то можно выбрать в этой области случайным образом большое число виртуальных астероидов и следить со всей возможной точностью за их движением в течение некоторого времени, пока они не столкнутся с Землей или не пролетят мимо нее. Тогда отношение числа столкнувшихся виртуальных астероидов к их общему количеству можно рассматривать как вероятность столкновения с Землей астероида, орбита которого доподлинно неизвестна. Этот метод замечателен своей простотой, универсальной применимостью и правильным учетом нелинейности задачи. При его практическом использовании важно учитывать корреляционные зависимости между разыгрываемыми значениями параметров орбиты, но это реализуется достаточно просто [Железнов, 2009]. К сожалению, метод является чрезвычайно трудоемким. Действительно, чем менее вероятное событие требуется оценить, тем большее количество начальных условий движения следует испытать. Пусть, например, при испытании 10⁶ случайно выбранных начальных условий в пяти случаях было зафиксировано столкновение с Землей. Тогда можно утверждать, что вероятность столкновения близка к 0,000005. Но если проведена только тысяча испытаний, которые не дали ни одного попадания, тогда можно лишь сказать, что вероятность столкновения, по-видимому, меньше 0,001. Поскольку на практике приходится искать опасные сближения с Землей на интервалах в несколько десятков лет и вероятность столкновения при этом имеет, как правило, порядок 10^-4 и менее, то требуется несколько дней работы компьютера для получения надежного результата в отношении только одного астероида [Milani et al., 2000].

Метод Монте-Карло основывается на выборе случайных точек во всем шестимерном пространстве возможных начальных условий и на их последующем испытании. Имеется также возможность выбора точек в каком-нибудь подпространстве, относительно которого можно предполагать, что берущие в нем начало решения достаточно хорошо отражают поведение решений во всей доверительной области. В качестве такого подпространства можно, например, использовать линию вариации, вдоль которой номинальное решение определяется с наибольшей погрешностью. В доверительном эллипсоиде линия вариации совпадает с направлением наиболее вытянутой оси, как правило, большой полуоси его орбиты. В методе линии вариации виртуальные астероиды берутся со значениями пяти элементов, соответствующими номинальному решению, в то время как шестой элемент (среднее движение или большая полуось) варьируется с постоянным шагом в пределах ±3? (или в иных пределах). Как и в методе Монте-Карло, движение виртуальных астероидов прослеживается на всем исследуемом интервале, в особенности при их сближениях с Землей. Поскольку при этом точки пересечения виртуальных астероидов с плоскостью цели представляют наборы, зависящие только от одного параметра, то достаточно просто (путем интерполяции или методом Ньютона нахождения корней функции) определяются значения среднего движения (большой полуоси), при которых реализуется максимальное сближение виртуального астероида с Землей.

Хотя этот метод является эффективным средством анализа сближений, нельзя быть уверенным, что при этом будут найдены все возможные столкновения, например те, которые соответствуют точкам доверительного эллипсоида, расположенным далеко от линии вариации. Соответствующие им точки на плоскости цели, если имеет место сильно выраженная нелинейность задачи, могут оказаться на значительном удалении от точек, отвечающих линии вариации, и часть из них может при этом вести к столкновениям. Метод Монте-Карло должен, в принципе, обнаруживать подобные случаи. Поэтому оба метода должны дополнять друг друга и использоваться для взаимного контроля.