МЕХАНИКА ГЕРЦА
МЕХАНИКА ГЕРЦА
В XVII в. трудами Галилея и Ньютона были заложены принципиальные основы классической механики.
В XVIII и XIX вв. Эйлер, Даламбер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Остроградский, исходя из этих основ, построили великолепное здание аналитической механики и разработали ее мощные математические методы.
Казалось, что механика — этот «рай математических наук», как назвал ее Леонардо да Винчи, — достигла высокой степени совершенства и своей завершенности. Но завершенность эта была лишь кажущейся, ибо в самих основных понятиях и законах механики заключались многочисленные трудности, которые были только временно отодвинуты, а отнюдь не разрешены мощным прогрессом аналитической механики.
Еще до коренного пересмотра физического содержания основных принципов классической механики, осуществленного теорией относительности и квантовой теорией, появился ряд работ, пытавшихся по-новому осмыслить эти принципы. Эти попытки были связаны прежде всего с тем, что наряду с физикой дискретных тел возникла физика континуума поля, потребовавшая критического пересмотра основ классической механики.
Такой попыткой была, в частности, замечательная книга Генриха Герца «Принципы механики, изложенные в новой связи»{182}, которая сыграла важную роль не только в развитии классической механики, но и в исторической подготовке теории относительности Эйнштейна.
Философские основы механики Герца. Предсмертное сочинение Герца «Принципы механики» не ставило целью решение практических задач или разработку методов механики. Цель этого сочинения — показать, что общие теоремы механики и весь ее математический аппарат могут быть последовательно развиты исходя из единого принципа.
ГЕНРИХ ГЕРЦ (1857—1894)
Немецкий физик и механик. Герц занимался главным образом вопросами электродинамики. Опубликовал интересную работу по механике — «Принципы механики, изложенные в новой связи»
В свете марксистско-ленинской философии и успехов новой физики ясно, что решение Герцем указанной проблемы имело механистический характер. Однако в его основе лежала правильная материалистическая тенденция рассматривать все явления природы как проявления движения материи. Ограниченность материализма Герца рамками механистического мировоззрения и некоторое влияние на него многочисленных разновидностей кантианской философии явились причиной его непоследовательности, колебаний между кантианством и материализмом.
Используя эти колебания и отдельные отклонения от последовательного материалистического мировоззрения, идеалисты различных направлений пытались, извращая факты, доказать, что философская концепция, лежащая в основе «Принципов механики» Герца, имеет кантианский или махистский характер. В книге «Материализм и эмпириокритицизм» В.И. Ленин критикует эти маневры идеалистов и защищает материалистическую основу «Принципов механики» замечательного немецкого физика. «Г. Коген, — пишет Ленин, — старается завербовать себе в союзники знаменитого физика Генриха Герца. Герц наш, он кантианец, у него попадается допущение априори! Герц наш, он махист, — спорит махист Клейнпетер, — ибо у Герца проглядывает «тот же субъективистский взгляд, как и у Маха, на сущность наших понятий». Этот курьезный спор о том, чей Герц, дает хороший образчик того, как идеалистические философы ловят малейшую ошибку, малейшую неясность в выражении у знаменитых естествоиспытателей, чтобы оправдать свою подновленную защиту фидеизма. На самом деле, философское введение Г. Герца к его «Механике» показывает обычную точку зрения естествоиспытателя, напуганного профессорским воем против «метафизики» материализма, но никак не могущего преодолеть стихийного убеждения в реальности внешнего мира. Это признает сам Клейнпетер, с одной стороны, бросающий в массу читателей насквозь лживые популярные брошюрки о теории познания естествознания, причем Мах фигурирует рядом с Герцем, — с другой стороны, в специальных философских статьях признающийся, что «Герц, в противоположность Маху и Пирсону, держится все еще предрассудка насчет возможности механически объяснить всю физику», что он сохраняет понятие вещи в себе и «обычную точку зрения физиков», что Герц «все еще держался за существование мира в себе» и т. д.{183}.
Подчеркивая непоследовательность Герца, В.И. Ленин в то же время настойчиво выделяет основную материалистическую линию «Механики» Герца, противопоставляя ее кантианскому априоризму и махистскому субъективизму. Ленин пишет: «Рей тоже абсолютно не знаком с диалектикой. Но и он вынужден констатировать, что среди новейших физиков есть продолжатели традиций «механизма» (т. е. материализма). По пути «механизма», говорит он, идут не только Кирхгоф, Герц, Больцман, Максвелл, Гельмгольц, лорд Кельвин»{184}. И далее: «…Герцу даже и не приходит в голову возможность нематериалистического взгляда на энергию. Для философов энергетика послужила поводом к бегству от материализма к идеализму. Естествоиспытатель смотрит на энергетику как на удобный способ излагать законы материального движения в такое время, когда физики, если можно так выразиться, от атома отошли, а до электрона не дошли»{185}.
Во введении к своей «Механике» Герц выдвигает в качестве ближайшей и важнейшей цели научного познания предвидение полезных будущих открытий и организацию в соответствии с ними практических и теоретических усилий в настоящем.
В процессе познания, по мнению Герца, исходят из уже накопленного опыта. Метод же выведения (предвидения) будущего из прошлого состоит в следующем: из накопленного и многократно проверенного в процессе практики опытного материала создаются «внутренние образы» (т. е. понятия) внешних предметов. К этим «образам» предъявляется следующее основное требование: логически необходимые следствия этих «образов», или понятий, должны являться «образами» естественно необходимых следствий свойств внешних предметов. Чтобы это требование могло быть осуществимо, очевидно, должно быть известное согласие между природой и нашим мышлением. Практика показывает, что такое согласие существует в действительности. Согласованность, в основе которой лежит общность законов мышления и внешнего мира, объясняет, почему логически необходимые следствия правильных научных понятий непременно осуществляются независимо от человека или при его содействии, как только появляются все необходимые условия.
Эти основные гносеологические положения Герца выражают его материалистический взгляд на цели и метод научного познания природы. Как естествоиспытатель, Герц убежден в объективности природы. Познав объективные закономерности развития внешних предметов, можно сознательно ускорить наступление будущего, т. е. использовать объективные законы природы в интересах человека.
Книга Герца «Принципы механики» и ее место в развитии механики. Особое место среди вариационных принципов механики, которые должны указать интегралы или функции, имеющие экстремум в действительном движении системы, занимает принцип наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип является общим началом и может быть выражен одной из самых простых аналитических формулировок, в которой нахождение уравнений движения любой системы, голономной или неголономной, сводится к нахождению минимума функции второй степени.
Установление этого принципа, опубликованного Гауссом в 1829 г., связано, как он сам указывает, с его работами по способу наименьших квадратов.
В короткой заметке{186} Гаусс с изумительной ^ясностью и лаконичностью не только осветил вопросы, связанные с формулируемым им принципом, но также высказал весьма интересные методологические соображения и кратко остановился на существовавших тогда принципах механики. Рассматривая вопрос о значении принципов механики, он писал: «Если для прогрессивного развития науки и для индивидуального исследования представляется более удобным идти от легкого к тому, что кажется более трудным, а от простых законов к более сложным, то, с другой стороны, наш ум, дойдя до более высокой точки зрения, требует обратного движения, в свете которого вся статика представляется ему в качестве частного случая динамики. И упомянутый нами геометр (речь идет о Лагранже. — А. Г.), по-видимому, оценил это обратное движение, представляя в качестве преимущества принципа наименьшего действия возможность охватить одновременно законы движения и законы равновесия, если его рассматривать в качестве принципа наибольшей или наименьшей живой силы. Но надо признать, что эта мысль является более остроумной, чем верной, так как в этих двух случаях минимум имеет место при совершенно различных условиях»{187}. Такая точка зрения Гаусса, естественно, приводит его к формулировке общего принципа механики — принципа наименьшего принуждения.
Строгая формулировка принципа Гаусса такова: для материальной системы со связями без трения, находящейся под действием каких угодно сил, естественное движение отличается от всех остальных, совместных со связями, тем, что для него принуждение со стороны связей (так же как и давление на связь) имеет наименьшее значение, если исключить свободное движение.
Глубокое развитие идей Гаусса в связи с идеей Гельмгольца о кинетическом объяснении всех видов энергии при помощи «скрытых движений» дал в 90-х годах XIX в. Генрих Герц, разработавший принцип прямейшего пути. Познавательная ценность этого принципа состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий, коренным образом геометризует классическую динамику.
Во введении к «Принципам механики» Герц характеризует существующие картины механических процессов. Он считает, что до середины XIX в. полным объяснением явлений природы считалось сведение этих явлений к бесчисленным, действующим на расстоянии силам между атомами материи. Но в конце XIX в. под влиянием резко возросшего значения принципа сохранения энергии физика предпочитает рассматривать «относящиеся к ее области явления как превращения одной формы энергии в другую и считать своей конечной целью сведение явлений к законам превращения энергии»{188}. Тогда в механике понятие силы уступает место понятию энергии. Однако если картина, основанная на силе, была построена, «то о второй картине этого, разумеется, сказать нельзя»{189}.
По мнению Герца, при этом исходят из четырех независимых друг от друга основных понятий, отношения между которыми должны составить содержание механики. Два из них, по Герцу, носят математический характер — пространство и время; два других — масса и энергия — вводятся как две физические сущности, являющиеся определенными неуничтожаемыми количествами. Из анализа результатов опыта выводится следствие, что энергию можно разделить на две части, одна из которых зависит только от скорости изменения обобщенных координат, а другая — от самих координат. Здесь связаны между собой понятия пространства, массы и энергии. Для того же чтобы связать все четыре понятия, а вместе с тем и течение во времени, воспользуемся одним из интегральных принципов обыкновенной механики, пользующихся понятием энергии. «Какой из принципов мы используем, практически безразлично; можно воспользоваться принципом Гамильтона, что мы имеем полное право сделать»{190}.
В каком отношении эта картина находится к картине классической механики? Прежде всего она охватывает значительно больше особенностей движения, чем классическая, основанная на понятии силы.
Основные понятия этой картины могут быть связаны принципом Гамильтона, смысл которого Герц усматривает в том, что разность между кинетической и потенциальной энергией должна быть возможно малой на протяжении всего времени движения.
Хотя этот закон и не является простым по форме, все же он в одном-единственном определении однозначно воспроизводит все естественные превращения энергии из одной формы в другую и тем самым позволяет полностью предвидеть будущее развитие физических явлений (по крайней мере обратимых). Однако принцип Гамильтона в обычной его форме не охватывает движение систем с не-голономными связями.
Герц выдвигает третью систему принципов механики, которая отличается от первых двух главным образом тем, что она пытается исходить только из трех независимых основных представлений: времени, пространства и массы. Герц ссылается при этом на Г. Кирхгофа{191} (1824—1887), который в своем курсе механики еще раньше отметил, что эти три независимые друг от друга понятия необходимы, но также и достаточны для развития механики. Вместо понятий силы и энергии, исключаемых Герцем из основных понятий, он вводит представление о скрытых связях, скрытых массах и скрытых движениях.
Основной закон, связывающий фундаментальные понятия пространства, времени и массы воедино, Герц выражает в форме, представляющей весьма тесную аналогию с обычным законом инерции: «Каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей»{192}.
Это положение объединяет закон инерции и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно единое утверждение.
Прямым путем Герц называет такой, для которого все его элементы имеют одинаковое направление, а кривым — такой, когда направление его элементов изменяется. В качестве критерия кривизны, как и в геометрии точки, вводится скорость изменения направления при изменении положения. Из всех возможных путей в тех случаях, когда движение системы ограничено связями, выделяются некоторые, обладающие особенно простыми свойствами. Это прежде всего пути, которые во всех положениях искривлены так незначительно, как это только возможно. Именно их Герц называет прямейшими путями системы. Затем идут пути кратчайшие. При известных условиях понятия прямейших и кратчайших путей совпадают: «Это соотношение, — говорит Герц, — будет нам вполне понятно, если мы вспомним теорию поверхностей… Перечисление и систематизация всех возникающих при этом соотношений относится к геометрии системы точек… Так как система n точек выражает 3n многообразие движения, которое, однако, может быть уменьшено связями системы до любого произвольного числа, то в результате возникает большое число аналогий с геометрией многомерного пространства, причем эти аналогии заходят отчасти так далеко, что те же самые положения и обозначения могут иметь место как здесь, так и там»{193}.
Смысл такого метода изложения, по мнению Герца, состоит прежде всего в том, что он устраняет искусственное разделение механики точки и механики системы, позволяя рассматривать любое движение как движение системы. Кроме того, такой геометризованный метод выражения «ярко оттеняет тот факт, что метод изложения Гамильтона скрывает свои корни не в особых физических основах механики, как это обычно принимают, но что он, собственно говоря, является чисто геометрическим методом, который может быть обоснован и развит совершенно независимо от механики и который не находится с ней в более тесной связи, чем любое другое используемое механикой геометрическое познание»{194}. Это нашло свое выражение в аналогиях, которые обнаружены при сопоставлении идей Гамильтона в механике и геометрии многомерного пространства.
Герц доказывает, что для голономных систем каждый прямейший путь есть геодезический и наоборот, причем геодезическим путем материальной системы он называет путь, длина которого между двумя любыми положениями отличается лишь на бесконечно малую величину высшего порядка от длины любого другого бесконечно близкого соседнего пути между теми же положениями (в неголономных системах это не имеет места).
Кратчайший путь между двумя положениями есть геодезический, но геодезический путь не есть обязательно кратчайший, хотя он всегда есть кратчайший между любыми двумя достаточно близкими соседними его положениями, находящимися на конечном удалении друг от друга.
Необходимым и достаточным аналитическим условием геодезического пути является требование, чтобы интеграл между какими-либо двумя положениями пути имел вариацию, равную нулю, причем вариации должны исчезать на пределах интеграла и вариации координат и их дифференциалы должны удовлетворять уравнениям — условия системы. Исчезновение вариации интеграла не есть, однако, достаточное условие того, чтобы путь между конечными положениями был кратчайшим; для этого необходимо, чтобы его вторая вариация была существенно положительной. Для достаточно близких соседних положений пути это условие всегда выполняется.
Уже из этого изложения можно видеть две особенности механики Герца, связанные с тем, что в исходных предпосылках он ограничивается тремя, а не четырьмя (как это имеет место у Ньютона и Гамильтона) понятиями. Во-первых, отсутствие среди основных понятий понятия силы (или энергии), что приводит к усложнению изложения и не дает простого пути для решения конкретных задач. Во-вторых, особо важная роль, отводящаяся геометрическим образам. Если первая особенность ограничивала практическое значение его механики, то вторая была чрезвычайно важным этапом на пути синтеза аналитического и геометрического аспектов механики.
Затем Герц доказывает теорему, в которой выражена, по существу говоря, глубокая связь его механики с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами — Липшица. Теорема Герца гласит: если построить во всех положениях некоторой поверхности прямейшие пути (а следовательно, в случае голономной системы — геодезические), перпендикулярные к этой поверхности, и отложить вдоль этих путей равные длины, то получим новую поверхность, которая будет пересекать эти прямейшие пути также перпендикулярно.
Таким образом, в самой сердцевине механики Герца заключаются геометрические соотношения, которые связывают ее с общей теорией поверхностей. Пространственные формы механического движения материальных тел играют поэтому у Герца основную роль.
Естественно возникает вопрос об отношении принципа Герца к принципу наименьшего действия Эйлера — Лагранжа в его классической форме и в форме, которую придал ему Якоби, и к принципу Гамильтона.
Герц посвятил этому вопросу несколько разделов своей книги. Так как в голономной системе прямейший путь между двумя достаточно близкими положениями является одновременно кратчайшим, то естественный путь такой системы между указанными положениями короче, чем какой-нибудь другой возможный путь между теми же положениями. Эта теорема сразу приводит к принципу наименьшего действия в форме Якоби. Согласно обычному пониманию механики, отмечает Герц, приведенная теорема представляет собой частный случай теоремы Якоби, а именно случай, когда силы отсутствуют. Однако, «по нашему мнению, наоборот, предпосылки полной теоремы Якоби следует считать более узкими, а теорема Якоби является специальной формой выражения нашей теоремы»{195}. Такая точка зрения Герца основана на том, что Якоби для получения своего выражения принципа наименьшего действия должен был воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы с его помощью исключить время, в то время как принцип Герца совершенно не зависит от этого закона. Кроме того, выражение Якоби в отличие от принципа Герца справедливо лишь для голономных систем.
Легко показать, далее, следуя Герцу, что естественное движение свободной голономной системы переводит систему из данного начального в достаточно близкое конечное положение за более короткое время, чем какое-либо другое возможное движение с одинаковым постоянным значением энергии, так как в этом случае энергия и скорость одинаковы и время перехода пропорционально длине пути. В этом случае интеграл по времени от энергии равен произведению данного постоянного значения энергии на промежуток времени перехода. Таким образом получается принцип наименьшего действия Эйлера — Лагранжа. Отношение этого принципа к принципу Герца такое же, как принципа наименьшего действия в форме Якоби.
Аналогичные рассуждения могут быть приведены и для принципа Гамильтона.
Герц рассматривает, наконец, вопрос о том, в какой степени телеологические умозаключения на самом деле связаны с этими принципами. По его мнению, такая связь не вытекает с необходимостью из рассмотрения якобы будущих целей движения. Более того, представление о таком телеологизме даже недопустимо. То, что «такое понимание этих принципов не необходимо, вытекает из того, что свойства естественного движения, являющиеся как бы проявлениями цели, на самом деле устанавливаются нами как необходимые следствия закона (т. е. принципа Герца. — А. Г.), в котором не содержится никакого выражения предвидения будущего»{196}. Недопустимость же такого представления вытекает из того, что «если бы природа действительно имела цель достигать кратчайшего пути, наименьшей затраты энергии, кратчайшего времени, то невозможно было бы понять, как могут существовать системы, в которых эта цель хотя и достижима, но природа постоянно терпит неудачу»{197}.
Таким образом, Герц со своих материалистических позиций полностью отвергает какие-либо телеологические домыслы, связываемые без должного обоснования с рассматриваемыми принципами.
Выведя далее гамильтонову характеристическую и главную функции, Герц отмечает, что в них, по его мнению, «содержится только слегка завуалированный простой смысл прямейшего расстояния…»{198}
Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил силы, действующие на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы. Для своего геометрического рассмотрения Герц должен был считать все массы как кратные некоторой условной единичной массе.
Зоммерфельд справедливо отметил, что «механика Герца построена в высшей степени увлекательно и последовательно, но в силу сложности замены сил связями оказалась малоплодотворной»{199}.
Понятие силы в механике Герца. Механику Герца часто называют «механикой без силы». Понятие силы хотя и вводится Герцем, однако оно не является основным, исходным понятием его механики. В этом состоит прежде всего резкое отличие механики Герца от обычного ее изложения. Сложность понятия силы в классической механике, абсолютизация его многими крайними ньютонианцами и заманчивая возможность объяснить силу движением некоторых (хотя бы и скрытых) масс привели многих физиков второй половины XIX в. к попыткам пересмотреть смысл и место понятия силы в системе механики.
Важнейшим стимулом в этом отношении было развитие континуарной физики поля, в первую очередь электромагнитного.
Классическое понятие силы, которое возникло из изучения непосредственного контакта (удара) двух масс, постепенно стало рассматриваться не как выражение взаимодействия тел в процессе движения, а как нечто, не зависящее от движения материи. Физика поля, напротив того, по самому своему характеру подсказывала возможность рассматривать силу как вторичное понятие, выражающее взаимодействие среды (эфира) и весомых тел.
В том же направлении влияло и введение Гельмгольцем понятия скрытых масс и скрытых движений для отнесения не специфического, не укладывающегося в рамки обычной механики характера тепловых процессов. Естественно поэтому было попытаться отказаться в механике от сложного понятия силы как исходного понятия, положив в основу взаимодействие скрытых и наблюдаемых масс. Принципиально эта концепция была прогрессивной, так как стремилась выразить все основные понятия механики через движение масс, рассматриваемое как исходный пункт. Но в силу исторической ограниченности физики XIX в. в этой концепции характер и поведение скрытых объектов рассматривались как чисто механический комплекс взаимодействий. Кроме того, скрытые массы оставались скрытыми, непознаваемыми элементами этой картины, что неизбежно приводило к агностическим выводам.
Герц был не первым ученым, разрабатывавшим во второй половине XIX в. «механику без силы». До него это в наиболее отчетливой форме пытался сделать Кирхгоф, который не отвергал совершенно понятие силы, а только отказывал ему в первичности. Однако всесторонне развил и последовательно изложил эту точку зрения только Герц.
Путь к исключению понятия силы подсказывает уже сама механика Галилея — Ньютона. Рядом с собственно силами, являющимися причинами изменения состояния движения, эта механика поставила другой вид сил, а именно силы условий связи системы, ограничивающие степени свободы движения последней. Направление этих сил определяется чисто геометрическими условиями, а величина остается, строго говоря, неизвестной.
Элементарная механика в обычном изложении смешивает эти два вида сил, рассматривая силы условий как собственно силы, величина которых вначале неизвестна. Она сводит, следовательно, силы ограничения движения к собственно силам. Однако уже в аналитической механике различие этих сил выступает очень резко, гораздо резче, чем в элементарной механике. В уравнениях аналитической механики силы условий движения имеют совсем другой вид, чем собственно силы, будучи определены только геометрическими условиями движения.
Герц поставил перед собой задачу, обратную той, которую так или иначе решает элементарная механика: нельзя ли все собственно силы свести к силам ограничения движения? Возможно, что вообще все наблюдаемые изменения скорости, которые не требуются как будто с точки зрения геометрических связей, вызваны на самом деле не силами, а именно какими-то, может быть, еще не исследованными геометрическими связями. Сама сила есть лишь способ описания этих связей, применимый при известных допущениях, но отнюдь не являющийся необходимым для однозначного и ясного научного познания мира. Понятие о силе как о причине замедления или ускорения в механике Г. Герца исчезает бесследно. Сила, с точки зрения Герца, является только мерой переноса или взаимопреобразования движения между «прямо связанными» системами. Загадочная потенциальная энергия консервативных систем обычной механики оказывается обычной кинетической энергией скрытых материальных систем. В основе действий, наблюдаемых между удаленными телами (например, планетами), лежит материальный процесс, протекающий в скрытых материальных системах, связывающих обычные или «наблюдаемые» системы.
Механика Герца представляет в высшей степени ясную, математически обоснованную картину механики. Единственным недостатком этой картины является ее… иллюзорность. Герц доказал лишь, что скрытые или адиабатически-циклические системы, дополняющие обычную систему до свободной, обладают всеми свойствами обычных консервативных систем. Но отсюда еще не следует, что реальные консервативные системы являются такими, какими они представляются в механике Герца.
Носителем скрытых циклических систем, по мнению Герца, является мировой эфир, но так как скрытым системам Герц приписывает общепринятые свойства механических движений, то эфир в механике Герца имеет характер чисто механической системы; частицам эфира приписываются свойства обычной инертной материи, обычные механические движения и кинетическая энергия, движения частиц эфира подчиняются законам классической механики и т. д.
Главный недостаток механики Герца не в ее конкретных механических конструкциях, а в универсализации развитой им интерпретации сил. Утверждение Герца, что мнимое действие сил на расстоянии сводится исключительно к процессам механического движения в наполняющей пространство среде, Между мельчайшими частицами которой существуют неподвижные связи, было опровергнуто последующим развитием физики, и прежде всего механикой Эйнштейна. Механическая теория эфира, на которой основана система Герца, оказалась несостоятельной. Однако в некоторых важных идеях теории относительности и механики Герца имеется много общего. В теории относительности движение планет вокруг Солнца объясняется без привлечения действующих сил, при помощи представления об инерции как о фундаментальном свойстве тел. В механике Герца планеты движутся аналогично телам по кратчайшим линиям в римановом пространстве. В этом отношении отличие теории относительности от механики Герца состоит в том, что в первой материальные движущиеся тела определяют метрику пространства — времени, его геометрию, в то время как у Герца такое движение определяется кинематическими условиями, создаваемыми скрытыми массами системы. Несмотря на историческую ограниченность, связанную с механической картиной мира, механика Герца сыграла значительную роль в развитии одной из основных проблем физики — проблемы пространственно-временной формы движения материи.