ИСТОРИЯ ПРИНЦИПОВ СОХРАНЕНИЯ
ИСТОРИЯ ПРИНЦИПОВ СОХРАНЕНИЯ
Современный историк механики не случайно начинает свою общую характеристику развития механики в XVII в. со следующего положения: «От ожерелья, надетого на наклонную плоскость, до первой подлинно математической физики мировой системы, через законы падения и движения брошенных тел в пустоте, законы удара, теорию колебаний маятника, гидростатику и тяжесть воздуха, сопротивление жидкостей и движение в сопротивляющейся среде — таков путь, пройденный механикой XVII века»{88}.
При доказательстве теоремы о равновесии на наклонной плоскости Стевин исходит из верного интуитивного принципа — невозможности вечного движения, возникновения движения из ничего. Мах называл этот еще неаксиоматизированный опыт инстинктивным познанием — определение вряд ли удачно, поскольку здесь налицо некое первичное обобщение повседневного практического опыта, презумпция здравого смысла, лежащая в основе деятельности каждого ремесленника. В этом отношении весьма показательны более ранние высказывания Леонардо да Винчи, проникнутые презрением к искателям вечного движения, а также взгляд Кардано, согласно которому для того, чтобы имело место вечное движение, нужно, чтобы передвигающиеся тяжелые тела, достигнув конца своего пути, могли вернуться в свое начальное положение, а это невозможно без наличия перевеса, как невозможно, чтобы в часах опустившаяся гиря поднималась сама.
ЭВАНДЖЕЛИСТА ТОРРИЧЕЛЛИ (1608-1647)
Итальянский физик и математик, ученик Галилея. Известен открытием давления воздуха и возможности существования вакуума (торричеллиева пустота). Он открыл также закон истечения жидкости из сосуда — первый научно обоснованный закон гидродинамики
Как нечто само собой разумеющееся (хотя и не возведенное еще в ранг аксиомы) фигурирует тот же принцип у Галилея, ссылающегося на него мимоходом, в ходе аргументации. В его фундаментальном труде «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки», сказано: «Если невозможно, чтобы тяжелое тело или соединение таковых поднялось само по себе вверх, удаляясь от общего центра, к которому стремятся все тяжелые тела, то одинаково невозможно, чтобы оно само по себе стало двигаться, если его собственный центр тяжести не приближается при этом к общему центру».
В 1644 г. ученик Галилея Торричелли (1608—1647) опубликовал труд «О движении естественно падающих и брошенных тел», в котором исходил из следующего принципа, игравшего у него роль аксиомы: «Два груза, соединенные вместе, не могут двигаться сами без того, чтобы их общий центр тяжести не опускался. В самом деле, когда два груза связаны друг с другом так, что движение одного влечет за собой движение другого, — безразлично, получается ли такая связь посредством весов, блока или другого механизма, — оба будут вести себя словно один груз, состоящий из двух частей; но такой груз никогда не придет в движение без того, чтобы его центр тяжести не опускался. Стало быть, если груз расположен так, что его центр тяжести никак не может опускаться, он наверняка пребудет в покое в том положении, которое он занимает».
Из этой аксиомы Торричелли выводит закон равновесия на наклонной плоскости: «Если два груза расположены на двух плоскостях разного наклона, но одинаковой высоты, и если веса этих грузов стоят друг к другу в том же отношении, что и длины этих плоскостей, момент обоих грузов будет одинаковый». «В самом деле, мы покажем, — продолжает Торричелли, — что их общий центр не может опускаться, ибо, какое бы движение ни было придано обоим грузам, этот центр всегда находится на той же горизонтальной линии… Таким образом, два груза, связанные вместе, двигались бы, а их общий центр тяжести не опускался бы. Это было бы противно закону равновесия, выдвинутому нами в качестве принципа».
В несколько иной формулировке Торричелли дал тот же закон равновесия в другом своем сочинении «Об изменении параболы». Он исходил здесь из следующего предположения, служившего одновременно определением понятия центра тяжести. Природа центра тяжести, говорит Торричелли, такова, что «тело, свободно подвешенное в одной из своих точек, не сможет пребывать в покое, если центр тяжести не находится в самой низкой точке сферы, по которой оно движется». Отсюда Торричелли выводит, что в момент равновесия центр тяжести находится на вертикали точки подвеса и ниже этой точки{89}.
Гюйгенс (1629—1695) обобщил аксиому Торричелли на случай движения. В сочинении «Маятниковые часы» (1673) он выдвинул в качестве своего исходного предположения тезис, согласно которому при движении некоторого числа тяжелых тел под действием тяжести общий центр тяжести этих тел не может подняться выше, чем он был в начале движения. Эта гипотеза, по словам Гюйгенса, не означает ничего другого, чем то, что никем не оспаривалось, а именно, что весомые тела не движутся наверх. В отношении одного тяжелого тела нет никакого сомнения, что оно не может двигаться наверх, т. е. центр его тяжести не перемещается кверху. «Однако то же самое должно произойти, если мы будем иметь произвольное число весомых тел, соединенных негнущимися связями, так как ничто не мешает рассматривать их как одно тело. Следовательно, не будет подыматься и их общий центр тяжести». «Если теперь представить себе произвольное число тяжелых тел, не связанных между собой, то мы знаем, что и они имеют общий центр тяжести… Точно так же, как весомые тела, находящиеся в одной горизонтальной плоскости, не могут под влиянием тяжести все подняться выше этой плоскости, так же мало возможно, чтобы центр тяжести каких-либо тел, как бы они ни были расположены, поднялся до большей высоты, чем та, на которой он сейчас находится»{90}.
Свою гипотезу Гюйгенс считал возможным применить к жидкостям и вывести из нее теоремы Архимеда о плавании тел и многие другие теоремы механики. Гипотеза исключает идею вечного двигателя.
Исходя из принципа невозможности вечного двигателя, Стевин в «Прибавлении» к той же «Статике» формулировал применительно к равновесию системы блоков следующее положение: «Путь, проходимый грузом, относится к пути, проходимому грузом, испытывающим воздействие так, как сила этого последнего относится к силе первого».
«Золотое правило» механики было известно древним. У них оно формулировалось применительно к времени или скоростям движения, например у Герона: каково отношение одной силы к другой, таково обратное отношение одного времени к другому. Этот принцип был сформулирован им в отношении колес, блоков и рычага.
Применительно к явлениям равновесия, т. е. в области статики, этот принцип соответствовал, следовательно до некоторой степени позднейшему принципу виртуальных (или возможных) скоростей.
Известно, что в средневековых трактатах по механике выделяются два направления: одни авторы шли по направлению, намеченному в «Механических проблемах» псевдо-Аристотеля, и сравнивали «виртуальные скорости» (например, перемещения обоих концов рычага); другие рассматривали «виртуальные перемещения», т. е. вертикальные линии подъема и опускания.
По первому пути пошел позднее Галилей, сформулировав принцип статики в прямом соответствии с принципом «Механических проблем».
Принцип сохранения работы Декарт (1596—1650) формулировал в небольшом трактате о простых машинах, приложенном к письму К. Гюйгенсу (отцу Христиана) от 5 октября 1637 г., а в следующем году изложил его почти в тех же словах в письме Мерсенну от 13 июля:
«Изобретение всех простых машин основано на одном-единственном принципе, который гласит: та же сила, которая способна поднять груз, скажем, в 100 фунтов на высоту 2 футов, способна также поднять 200 фунтов на высоту 1 фута, или 400 фунтов на высоту 1/2 фута и т. д., если она будет приложена к этому грузу».
Мерсенну он писал о том же в следующих словах, называя этот принцип «основой всей статики»: «Не требуется ни больше, ни меньше силы для того, чтобы поднять тяжелое тело на определенную высоту, и для того, чтобы поднять другое, менее тяжелое, тело на высоту, тем большую, чем менее оно тяжело, или для того, чтобы поднять более тяжелое на высоту, во столько же раз меньшую. Так, например, если сила способна поднять груз в 100 фунтов на высоту 2 фута, она способна также поднять груз в 200 фунтов на высоту 1 фут, или 50 фунтов на высоту 4 фута и т. д., если она будет приложена к этому грузу»{91}.
В обоих случаях (в трактате и в письме, к Мерсенну) Декарт связывал этот принцип с положением, что всякий результат, или эффект, должен всегда быть равен действию, которое его производит.
Самый принцип Декарт считал аксиоматическим: «Он настолько ясен сам по себе, что не нуждается ни в каком доказательстве». Почему же он все-таки способен породить возражения и недоумения? Во-первых, полагал Декарт, люди стали «слишком ученые в механике» и развил в себе придирчивость к принципам, высказываемым другими; впрочем, эти принципы, надо признаться, действительно зачастую оказываются неверными. Во-вторых, полагают возможным доказывать без этого принципа вещи, которые Декарт доказывает при его помощи, например принцип блока. Могло, наконец, ввести в заблуждение и то, что Декарт привел ряд примеров — иллюстраций, способных создать ложное впечатление, будто он стремился доказать свой принцип. Следует добавить: одним из источников споров и недоразумений могло явиться то, что Декарт воспользовался таким неопределенным понятием, как сила, употребив его в новом смысле, расходившемся с повседневным и традиционным. Не мудрено, что ему пришлось объяснить это Мерсенну.
Термин «сила» означает у Декарта не способность производить те или иные действия (в смысле потенции), а действительно реализуемую энергию, или работу.
Работа, которую Декарт называет силой, зависит от двух переменных: от того, что мы теперь называем силой, и от проекции пройденного пути на направление силы. Эти переменные можно рассматривать как прямолинейные координаты, и тогда работа, производимая постоянной силой, будет изображаться посредством прямоугольника. Сам Декарт в письме к Мерсенну воспользовался подобной графической схемой. В этом смысле Декарт говорил, что сила, служащая для подъема груза на какую-либо высоту, имеет всегда два измерения, тогда как сила, служащая для поддержания груза, имеет всего лишь одно измерение, и, таким образом, «обе эти силы отличаются друг от друга настолько же, насколько поверхность отличается от линии».
По примеру Декарта Паскаль (1623—1662) исходит не из принципа возможных скоростей, а из принципа возможных перемещений. Во всех простых машинах — рычаге, блоке, бесконечном винте — «путь увеличивается в той же пропорции, как и сила». В гидростатике же «совершенно безразлично, заставить ли 100 фунтов воды пройти путь в один дюйм или один фунт воды — путь в 100 дюймов»{92}.
В те же годы тем же принципом пользовался Роберваль (1602—1675) в своем трактате по механике.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (1623-1662)
Французский математик, физик и философ. Изобрел суммирующую машину. Открыл один из основных гидростатических законов, носящий его имя. На законе Паскаля основан гидравлический пресс и другие гидростатические машины
Прошло, однако, более сорока лет, прежде чем Иоганн Бернулли (1667—1748) сформулировал принципы возможных перемещений в общей форме. Это было сделано им в письме к Вариньону из Базеля, датированном 26 января 1717 г. Вариньон включил его в свою книгу «Новая механика». Заметим, что Бернулли называл возможным перемещения возможными (или виртуальными) скоростями; из текста письма с полной очевидностью явствует, что, говоря «скорость», он подразумевал соответствующий отрезок пути.
Если рассматривать механику XVII в. со стороны ее воздействия на науку в целом, то особенно большое значение приобретает развитие идеи сохранения энергии. Действительно, понятие энергии позволило перенести то, что было создано в механике, в более общую область. При этом принципы механики и расширили и сузили область своего применения. Оказалось (значительно позже рассматриваемого периода), что эти принципы не могут быть применены в физике без существенной модификации, что физика не сводима к механике. Но в модифицированной форме принципы механики оказались чрезвычайно важными для физики. Понятие энергии выросло в механике, но стало оно фундаментальным понятием физики. Наряду с картезианской мерой движения в XVII в. появилась мера движения, которую Лейбниц назвал живой силой. Мы вернемся к этим вопросам ниже, здесь лишь отметим, что наряду с термином «живая сила» в XVII в. уже говорили и об энергии — это слово встречалось у Аристотеля. О сохранении живых сил говорил и Иоганн Бернулли. Он считал такое сохранение самым универсальным законом механики. Его также рассматривал Л. Эйлер, который связал живую силу с работой, измеряя приращение живой силы произведением силы на пройденный путь. Сам термин «работа» в этом смысле стал употребляться только в XIX в. Тогда же (в начале XIX в.) Т. Юнг (1773—1829) начал называть лейбницеву меру движения энергией движущегося тела. В дискуссиях о мерах движения участвовал и Даламбер, который высказал новые для того времени идеи о различной природе двух мер движения и об их применении в различных случаях.