Глава 10 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Глава 10

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

§ 1. Третий закон Ньютона

§ 2. Закон сохранения импульса

§3. Импульс все-таки сохраняется

§ 4. Импульс и энергия

§ 5. Релятивистский импульс

§ 1. Третий закон Ньютона

Второй закон Ньютона, который связывает ускорение любого тела с действующей на него силой, позволяет хотя бы в принципе решить любую механическую задачу. Можно, например, с помощью числового метода, знакомого вам уже по предыдущей главе, определить движение нескольких частиц. Однако имеется еще достаточно причин, чтобы продолжить изучение законов Ньютона. Во-первых, существуют такие сравнительно простые случаи движения, которые можно изучать не только числовым путем, но и с помощью прямых математических методов. Вы знаете, например, что ускорение свободно падающего тела постоянно и равно 9,8 м/сек². Исходя из этого, можно было бы численно восстановить всю картину движения, однако гораздо проще и удобнее с помощью математического анализа найти общее решение: s=s₀+v₀t+4,9t². To же самое относится и к гармоническому осциллятору, расчету которого была посвящена часть предыдущей главы. Можно было бы просто аналитически доказать, что функция cost является точным решением этой задачи, поэтому нет необходимости в арифметических упражнениях, если ответ можно получить более простым и строгим методом.

Одна из таких задач — движение планеты вокруг Солнца. Можно, конечно, так же, как мы это делали в гл. 9, постепенно найти общую форму орбиты, однако и эта задача решается точно, причем в результате получается строго эллиптическая орбита.

Но, к сожалению, таких задач, которые могут быть точно решены с помощью анализа, очень мало. В том же гармоническом осцилляторе, например, если сила пружины не будет пропорциональна отклонению от положения равновесия, а окажется несколько сложнее, мы уже не сможем ничего поделать и вынуждены обращаться к численному расчету. Или, например, если вокруг Солнца вращается не одна планета, а две (т. е. имеются всего три тела, взаимодействующих друг с другом), то нам не удастся найти аналитическую форму такого движения и на деле задача тоже решается численно. Это знаменитая проблема трех тел, над которой в течение долгого времени бились лучшие умы человечества. Интересно, что, пока люди поняли ограниченные возможности математического анализа и необходимость использования числовых методов, потребовалось немало времени. Сейчас с помощью этих методов решается огромное количество задач, которые не могли быть решены аналитически. Та же знаменитая проблема трех тел, решение которой, как полагали, очень сложно, в числовом методе выглядит самой заурядной задачкой и решается способом, описанным в предыдущей главе, т. е. с помощью большого числа арифметических действий. Однако имеются ситуации, когда оба метода оказываются бессильны: простые задачи решаются аналитически, а задачи посложнее — числовым арифметическим методом, но очень сложные задачи невозможно решить ни так, ни этак. Возьмите, например, сложную задачу столкновения двух автомобилей или даже движение молекул газа. В кубическом миллиметре газа содержится бесчисленное количество частиц, и было бы безумием пытаться решать задачу со столькими переменными (около 10¹⁷, т. е. сто миллионов миллиардов!). Столь же сложна задача о движении звезд в шаровом скоплении, где вместо двух или трех планет, движущихся вокруг Солнца, собрано громадное количество звезд. Эти проблемы нельзя решить прямыми методами, и нужно изыскать какие-то другие пути.

При таком положении, когда детальное рассмотрение невозможно, полезно знать некоторые общие свойства, т. е. общие теоремы или принципы, которые являются следствием законов Ньютона. Один из таких принципов — это закон сохранения энергии, который мы обсуждали в гл. 4. Вторым принципом является закон сохранения импульса, которому посвящена настоящая глава. Другая причина необходимости дальнейшего изучения механики — это существование некоторых общих свойств движения, которые повторяются при различных обстоятельствах; так что полезно изучить это свойство на каком-то одном частном случае. Мы, например, будем изучать столкновения; различные виды столкновений имеют много общего. Или возьмем течение жидкости, неважно какой; законы течения разных жидкостей имеют много общего. Еще один пример, который мы будем изучать, это колебания, или осцилляции, в частности свойства механических волн: звука, колебания стержней и т. д.

Когда мы обсуждали законы Ньютона, то уже говорили о том, что они являются своего рода программой, которая призывает нас обратить особое внимание на силы. Но о самих силах Ньютон сказал только две вещи. Он полностью сформулировал закон для сил тяготения, но почти ничего не знал о более сложных силах, например о силах между атомами. Однако он открыл одно правило, одно общее свойство всех сил, которое составляет Третий закон. Таким образом, все, что Ньютон знал о природе сил,— это закон тяготения и общий принцип, который гласит:

Сила действия равна силе противодействия.

Означает это примерно следующее. Пусть имеются два маленьких тела, скажем две частицы, и пусть первая из них толкает вторую с некоторой силой. Тогда в соответствии с Третьим законом Ньютона вторая частица будет толкать первую с той же силой, но в противоположную сторону. Более того, эти силы будут действовать вдоль одной и той же линии. Эта гипотеза, или, если хотите, закон, предложенный Ньютоном, выполняется с большой точностью, хотя, впрочем, он не абсолютно точен (с нарушениями его мы познакомимся позднее). Сейчас, однако, мы будем считать его совершенно точным. Разумеется, если есть еще третья частица, которая расположена не на той же линии, что две первые, то закон вовсе не означает, что сила, действующая на первую частицу, равна полной силе, действующей на вторую. Ведь эта третья частица может толкать две первые, в результате чего полная сила, действующая на первую частицу, будет направлена по-другому и, вообще говоря, не будет ни равна, ни противоположна силе, действующей на вторую частицу. Однако полная сила, действующая на каждую из частиц, может быть разложена на две составляющие, которые представляют собой силы, действующие между каждой парой частиц. Эти компоненты силы для каждой пары частиц должны быть равны по величине и противоположны по направлению.

§ 2. Закон сохранения импульса

Давайте посмотрим, чем интересен Третий закон Ньютона. Предположим для простоты, что имеются только две взаимодействующие частицы — частица 1 и частица 2, масса которых может быть различна. К какому следствию приводит равенство и противоположная направленность сил между ними? Согласно Второму закону, сила равна скорости изменения импульса со временем, так что скорость изменения импульса частицы 1 равна скорости изменения импульса частицы 2, т. е.

dp₁/dt=dp₂/dt (10.1)

Но если скорости изменения все время равны по величине и противоположны по направлению, то и полное изменение импульса частицы 1 равно и противоположно полному изменению импульса частицы 2. Это означает, что если мы сложим эти импульсы, то скорость изменения суммы под воздействием одних только взаимных сил (их обычно называют внутренними силами) будет равна нулю, т. е.

(dp₁+dp₂)/dt=0. . (10.2)

Напомним еще раз, что в нашей задаче мы предполагаем отсутствие каких-либо других сил, кроме внутренних. Но равенство нулю скорости изменения этой суммы означает просто, что величина (p₁+p₂) не изменяется с течением времени. (Эта величина записывается также в виде m₁v₁+m₂v₂и называется полным импульсом двух частиц.) Таким образом, мы получили, что при наличии одних только внутренних сил полный импульс двух частиц остается неизменным. Это утверждение выражает закон сохранения полного импульса в данном случае. Из него следует, что если мы измеряем или подсчитываем величину ni₁v₁+m₂v₂, т. е. сумму импульсов двух частиц, то для любых сил, действующих между ними, как бы сложны они ни были, мы должны получить одинаковый результат как до действия сил, так и после, т. е. полный импульс остается постоянным.

Рассмотрим теперь картину посложнее, когда есть три или большее число взаимодействующих частиц. Очевидно, что если существуют только внутренние силы, то полный импульс всех частиц остается постоянным, поскольку увеличение импульса одной частицы под воздействием другой частицы в точности компенсируется уменьшением импульса этой второй частицы из-за противодействия первой, т. е. внутренние силы так сбалансированы, что полный импульс всех частиц измениться не может. Таким образом, если нет сил, действующих на систему извне (внешних сил), то ничто не может изменить ее полный импульс и, следовательно, он остается постоянным.

Но нужно еще сказать о том, что произойдет, если будут еще существовать какие-то другие силы, кроме сил взаимодействия между частицами. Предположим, что мы изолировали систему взаимодействующих частиц. Если имеются только взаимные силы, полный импульс, как и прежде, меняться не будет, сколь бы сложны ни были эти силы. Если, однако, существуют силы, обусловленные частицами вне этой изолированной группы, то, как мы докажем позднее, сумма всех этих внешних сил равна скорости изменения полного импульса всех внутренних частиц. Это очень полезная теорема.

Закон сохранения полного импульса некоторого числа взаимодействующих частиц в отсутствие внешних сил можно записать в виде

m₁v₁+m₂v₂ +m₃v₃+ ...=const, (10.3)

где m_iи v_i — просто масса и скорость частицы соответствующего номера. Однако для каждой из этих частиц Второй закон Ньютона

f=(d/dt)(mv) (10.4)

пишется для любой составляющей полной силы и импульса в любом заданном направлении, так что x-компонента силы, действующей на частицу, равна скорости изменения x-компоненты импульса этой частицы

f_x=(d/dt)(mv_x). (10.5)

Точно такие же формулы можно написать для у- и z-компонент. Это означает, что уравнение (10.3) фактически представляет собой три уравнения: по одному на каждую из компонент.

Существует еще одно интересное следствие Второго закона Ньютона, кроме закона сохранения импульса. Доказательством его мы будем заниматься позднее, а сейчас я просто расскажу вам о нем. Следствие или, скорее, принцип состоит в том, что законы физики не изменяются от того, стоим ли мы на месте или движемся равномерно и прямолинейно. Пусть, например, на быстро летящем самолете ребенок играет с мячиком. Наблюдательный ребенок сразу заметит, что мячик прыгает точно так же, как и на земле. Иначе говоря, законы движения для ребенка в самолете (если только последний не меняет скорости) выглядят одинаково как на поле аэродрома, так и в полете. Этот факт известен под названием принципа относительности. В том виде, в котором он рассматривается здесь, мы будем называть его «принципом относительности Галилея» или «галилеевской относительностью», чтобы не путать его с более тщательным анализом, проделанным Эйнштейном, но об этом несколько позже.

Таким образом, из закона Ньютона мы вывели закон сохранения импульса, а теперь давайте посмотрим, какие специфические законы описывают соударение и рассеяние частиц. Однако для разнообразия, а также чтобы продемонстрировать типичные рассуждения, которыми мы часто пользуемся в физике в других случаях, когда, скажем, не известны законы Ньютона и должен быть принят иной метод рассмотрения, давайте обсудим законы рассеяния и соударения с совершенно другой точки зрения. Мы будем исходить из принципа относительности Галилея и в конце рассуждений придем к закону сохранения импульса.

Итак, начнем с утверждения, что законы природы не изменяются от того, что мы движемся прямолинейно с некоторой скоростью или стоим на месте. Однако прежде чем обсуждать процессы, в которых два тела сталкиваются и слипаются или разлетаются в стороны, давайте рассмотрим случай, когда эти два тела связаны между собой пружинкой или чем-то в этом роде, а затем вдруг освобождаются и разлетаются под действием этой пружинки или, быть может, небольшого взрыва в разные стороны. Кроме того, рассмотрим движение только в одном направлении. Предположим сперва, что эти два тела совершенно одинаковы и расположены симметрично. Когда между ними произойдет взрыв, одно из них полетит направо с некоторой скоростью v. Тогда естественно, что другое полетит налево с той же самой скоростью v, поскольку оба тела подобны и нет никаких причин считать, что левая сторона окажется предпочтительнее правой. Итак, с телами должно происходить нечто симметричное. Этот пример показывает, насколько полезны рассуждения такого рода в различных задачах. Но они не всегда столь ясны, когда затуманены формулами.

Таким образом, первый результат нашего эксперимента — одинаковые тела имеют одинаковую скорость. Но предположим теперь, что тела сделаны из различного материала, скажем один из меди, а другой из алюминия, но массы их равны. Мы будем предполагать, что если проделать наш опыт с двумя равными массами, то несмотря на то, что тела не одинаковы, скорости их тем не менее будут равны. В этом месте мне могут возразить: «Но ведь вы можете сделать и обратное. Вам незачем было это предполагать. Вы можете определить массы как равные, если они в нашем эксперименте приобретают одинаковую скорость». Давайте же примем это предложение и устроим небольшой взрыв между кусочком меди и очень большим куском алюминия, который настолько тяжел, что едва может быть сдвинут с места, тогда как медь стремительно отлетает. Это говорит о том, что алюминия слишком много. Уменьшим его количество и оставим лишь совсем маленький кусочек. Если устроить взрыв снова, то отлетит уже алюминий, а медь почти не сдвинется. Значит, сейчас слишком мало алюминия. Очевидно, что должно существовать какое-то промежуточное количество, которое можно постепенно подбирать, пока скорости разлета не станут равными. Теперь мы можем сказать, что раз равны скорости этих кусков, то массы их мы тоже будем считать равными (т. е. фактически мы переворачиваем сделанное ранее утверждение, что равные массы будут иметь одинаковую скорость). Самое интересное здесь то, что физический закон превращается просто в определение. Но тем не менее какой-то физический закон здесь все же есть, и если мы примем такое определение равенства масс, то этот закон можно найти следующим образом.

Пусть из предыдущего эксперимента нам известно, что два куска вещества А и В (медь и алюминий) имеют равные массы. Возьмем теперь третье тело, скажем кусок золота, и выровняем его массу (точно так же, как это делалось раньше) с массой меди. Если теперь в нашем эксперименте заменить медь золотом, то логически у нас нет никаких оснований утверждать, что эти массы (алюминия и золота) равны. Однако опыт показывает, что такое равенство имеет место. Таким образом, опытным путем мы обнаружили новый закон: если две массы порознь равны третьей (т. е. в нашем опыте они разлетаются с равными скоростями), то они равны между собой. (Этот закон вовсе не следует из подобного утверждения о величинах в математике; там оно просто постулируется.) Видите, как легко по неосторожности сделать безосновательное заключение. Утверждение, что массы равны, когда равны скорости,— это еще не определение; ведь при этом мы предполагаем справедливость математических законов равенства, что в свою очередь приводит к предсказанию результатов некоторых экспериментов.

Возьмем еще один пример. Пусть при некоторой силе взрыва установлено, что масса А равна массе В. А что произойдет, если увеличить силу взрыва? Будут ли равны скорости разлета в этом случае? Логика здесь снова бессильна, но опыт говорит, что это действительно так. Снова мы получаем закон, который утверждает: если из равенства скоростей двух тел делается заключение о равенстве их масс, то это равенство не зависит от величины скорости. Из этих примеров видно, что то, что сначала казалось просто определением, в действительности предполагает справедливость каких-то законов природы.

Итак, в дальнейших рассуждениях мы будем считать, что равные массы разлетаются в противоположные стороны с равными скоростями, если между ними происходит взрыв. А что произойдет, если мы обратим задачу, т. е. если два одинаковых тела, летящие навстречу друг другу с равными скоростями, сталкиваются и слипаются вместе? Как будут они двигаться? Здесь опять на помощь приходят соображения симметрии (т. е. что между левой и правой сторонами нет никакого различия), из которых следует, что образовавшееся тело должно стоять на месте. Мы будем также предполагать, что два тела с равной массой, летящих навстречу друг другу, даже если они сделаны из различного материала, после столкновения и слипания остановятся.

§ 3. Импульс всё-таки сохраняется!

Можно экспериментально проверить наши предположения о том, что, во-первых, покоящиеся два тела с равной массой, разорванные взрывом, полетят в разные стороны с равной скоростью и, во-вторых, что два тела, обладающие равными скоростями и массами, при соударении и слипании останавливаются. Такую проверку можно сделать с помощью замечательного устройства — воздушного желоба (фиг. 10.1).

Фиг. 10.1. Воздушный желоб (вид с торца).

В этом устройстве нет никаких трущихся деталей — вопрос, который очень беспокоил Галилея. Он не мог поставить эксперимента со скользящими телами, ибо они не скользили свободно, но о помощью чудесного желоба мы можем теперь избавиться от трения. Наши тела будут лететь без помех, а скорость их, согласно предвидению Галилея, будет оставаться постоянной. Это достигается тем, что тело поддерживается воздушной подушкой, а поскольку трение о воздух очень мало, то тело планирует практически с постоянной скоростью, если на него не действуют никакие силы. Возьмем сначала два скользящих бруска, вес или массы которых с большой точностью равны друг другу (практически измеряется вес, но он, как вы знаете, пропорционален массе), и поместим между ними небольшой взрыватель в закрытом цилиндре (фиг. 10.2).

Фиг. 10.2. Продольный разрез скользящего бруска, скрепленного со взрывным цилиндром.

Всю эту систему устанавливаем в центре желоба и электрической искрой поджигаем взрыватель. Что же произойдет? Если массы брусков одинаковы, то они, разлетевшись в стороны, одновременно достигнут концов желоба. Там они отскакивают от ограничителей, сталкиваются и слипаются в центре, точно в том же месте, откуда разлетелись (фиг. 10.3).

Фиг. 10.3. Схема эксперимента с равными массами.

Это интересный опыт. И в действительности происходит все так, как мы рассказали.

Теперь на очереди проблема посложнее. Допустим, мы имеем две массы, причем одна движется со скоростью v, а другая стоит на месте. Затем первая ударяет по второй и они слипаются. Что произойдет дальше? Образуется одно тело с массой 2m, которое как-то будет двигаться. Но с какой скоростью? Вот в чем вопрос. Чтобы ответить на него, предположим, что мы едем вдоль желоба на автомобиле. Все законы физики должны при этом выглядеть точно так же, как и прежде, когда мы стояли на месте. Мы начали с того, что если столкнуть два тела с равными массами и одинаковыми скоростями v, то после слипания они останавливаются. А теперь представьте, что в это время мы катим на автомобиле со скоростью —v. Какую же картину Мы увидим? Ясно, что одно из тел, поскольку оно все время летит рядом с автомобилем, будет казаться нам неподвижным. Второе же, которое движется навстречу со скоростью v, покажется нам несущимся с удвоенной скоростью 2v (фиг. 10.4).

Фиг. 10.4, Неупругое соударение равных масс.

Наконец, образовавшееся после соударения и слипания тело будет казаться нам летящим со скоростью v. Отсюда мы делаем вывод, что если тело, летящее со скоростью 2v, ударяется о покоящееся тело той же массы и прилипает к нему, то образовавшееся тело будет двигаться со скоростью v, или (что математически то же самое) тело со скоростью v, ударяясь о покоящееся тело той же массы и прилипая к нему, образует тело, движущееся со скоростью v/2. Заметьте, что если умножить массы тел на их скорости и сложить их, то получим одинаковый результат как до столкновения (mv+0), так и после (2m·v/2). Вот как обстоит дело, если тело, обладающее скоростью v, столкнется с телом, находящимся в покое.

Точно таким же образом можно определить, что произойдет, когда сталкиваются два одинаковых тела, каждое из которых движется с произвольной скоростью.

Пусть одно тело летит со скоростью v₁, а другое — со скоростью v₂ в том же направлении (v₁>v₂). Какова будет их скорость после соударения? Давайте снова сядем в машину и поедем, скажем, со скоростью v₂. Тогда одно из тел будет казаться нам стоящим на месте, а второе — налетающим на него со скоростью v₁-v₂. Эта ситуация уже знакома нам, и мы знаем, что после соударения скорость нового тела по отношению к машине будет равна ¹/₂(v₁- v₂). Что же касается действительной скорости относительно земли, то ее можно найти, прибавив скорость автомобиля: v=¹/₂ (v₁-v₂)+v₂ или ¹/₂(v₁+v₂) (фиг. 10.5).

Фиг. 10.5. Другой случай неупругого соударения равных масс.

Обратите внимание, что снова

mv₁+ mv₂=m·¹/₂ (v₁+v₂). (10.6)

Таким образом, принцип относительности Галилея помогает нам разобраться в любом соударении равных масс. До сих пор мы рассматривали движение в одном измерении, однако на основе его становится ясным многое из того, что будет происходить в более сложных случаях соударения: нужно только пустить автомобиль не вдоль направления движения тел, а под каким-то углом. Принцип остается тем же самым, хотя детали несколько усложняются.

Чтобы экспериментально проверить, действительно ли тело, летящее со скоростью v после столкновения с покоящимся телом той же массы, образует новое тело, летящее со скоростью v/2, проделаем на нашей замечательной установке следующий опыт. Поместим в желоб три тела с одинаковыми массами, два из которых соединены цилиндром со взрывателем, а третье находится вблизи одного из них, хотя и несколько отделено от него. Оно снабжено клейким амортизатором, так что прилипает к тому телу, которое ударяет его. В первое мгновение после взрыва мы имеем два объекта с массами m, движущимися со скоростью v каждое. В последующее мгновение одно из тел сталкивается с третьим и образует новое тело с массой 2т, которое, как мы полагаем, должно двигаться со скоростью v/2. Но как проверить, что скорость его действительно v/2? Для этого мы вначале установим тела таким образом, чтобы расстояния до концов желоба относились как 2:1, так что первое тело, которое продолжает двигаться со скоростью v, должно пролететь за тот же промежуток времени вдвое большее расстояние, чем скрепившиеся два других тела (с учетом, конечно, того малого расстояния А, которое второе тело прошло до столкновения с третьим). Если мы правы, то массы m и 2mдолжны достичь концов желоба одновременно; так оно и происходит на самом деле (фиг. 10.6).

Фиг. 10.6. Экспериментальная проверка того факта, что масса т, ударяя со скоростью v массу m, образует тело с массой 2m и скоростью v/2.
Следующая проблема, которую мы должны решить: что получится, если тела имеют разные массы. Давайте возьмем массы m и 2mи устроим между ними взрыв. Что произойдет тогда? С какой скоростью полетит масса 2т, если масса mлетит со скоростью v? Фактически нам нужно повторить только что проделанный эксперимент, но с нулевым зазором между вторым и третьим телом. Разумеется, что при этом мы получим тот же результат — скорости тел с массами m и 2mдолжны быть соответственно равны -v и v/2. Итак, при разлете тел с массами mи 2mполучается тот же результат, что и при симметричном разлете двух тел с массами mс последующим неупругим соударением одного из этих тел с третьим, масса которого тоже равна m.Более того, отразившись от концов, каждое из этих тел будет лететь с почти той же скоростью, но, конечно, в обратном направлении, и после неупругого соударения они останавливаются.
Перейдем теперь к следующему вопросу. Что произойдет, если тело с массой mи скоростью v столкнется с покоящимся телом с массой 2m? Воспользовавшись принципом относительности Галилея, можно легко ответить на этот вопрос. Попросту говоря, нам нужно опять садиться в машину, идущую со скоростью -v/2 (фиг. 10.7), и наблюдать за только что описанным процессом.

Фиг. 10.7. Неупругое соударение между телами с массами m и 2m.

Скорости, которые мы при этом увидим, будут равны
После соударения масса 3m покажется нам движущейся со скоростью v/2. Таким образом, мы получили, что отношение скоростей до и после соударения равно 3:1, т. е. образовавшееся тело с массой 3mбудет двигаться в три раза медленней; И в этом случае снова выполняется общее правило: сумма произведений массы на скорость остается той же как до, так и после соударения: то + 0 равно 3m·v/3. Вы видите, как постепенно шаг за шагом устанавливается закон сохранения импульса.
Итак, мы рассмотрели столкновение одного тела с двумя. Используя те же рассуждения, можно предсказать результаты столкновения одного тела с тремя телами, двух тел с тремя телами и т. д. На фиг. 10.8 как раз показан случай разлета масс 2mи 3m из состояния покоя.

Фиг. 10.8. Разлет тел с массами 2m и 3m.
В каждом из этих случаев выполняется одно и то же правило: масса первого тела, умноженная на его скорость, плюс масса второго тела, умноженная на его скорость, равны произведению полной массы на скорость ее движения. Все это — примеры сохранения импульса. Итак, начав с простого случая симметричных равных масс, мы установили закон сохранения для более сложных случаев. В сущности это можно сделать для любого рационального отношения масс, а поскольку любое число может быть со сколь угодно большой точностью заменено рациональным, то закон сохранения импульса справедлив для любых масс.
§ 4. Импульс и энергия
Во всех предыдущих примерах мы рассматривали только случаи, когда два тела сталкиваются и слипаются или с самого начала были скреплены вместе, а потом разделяются взрывом. Однако существует множество примеров соударений, в которых тела не сцепляются, как, например, столкновение двух тел равной массы и одинаковой скорости, которые затем разлетаются в разные стороны. На какой-то краткий миг они соприкасаются и сжимаются. В момент наибольшего сжатия они останавливаются и их кинетическая энергия полностью переходит в энергию упругого сжатия (они как две сжатые пружины). Эта энергия определяется из кинетической энергии, которой обладали тела до столкновения и которая равна нулю в момент их остановки. Однако кинетическая энергия теряется только на одно мгновение. Сжатое состояние, в котором находятся наши тела,— это все равно что заряд в предыдущих примерах, который при взрыве выделяет энергию. В следующее мгновение происходит нечто подобное взрыву — тела разжимаются, отталкиваются друг от друга и разлетаются в стороны. Эта часть процесса вам тоже хорошо знакома: тела полетят в разные стороны с одинаковыми скоростями. Однако скорости отдачи, вообще говоря, будут меньше тех начальных скоростей, при которых они столкнулись, ибо для взрыва используется не вся энергия, а только какая-то ее часть, но это уже зависит от свойств материала, из которого сделаны тела. Если это мягкий материал, то кинетическая энергия почти не выделяется, но если это что-то более упругое, то тела более охотно отскакивают друг от друга. Неиспользованный остаток энергии превращается в тепло и вибрацию, тела нагреваются и дрожат; впрочем, энергия вибрации тоже вскоре превращается в тепло. В принципе можно сделать тела из столь упругого материала, что на тепло и вибрацию не будет расходоваться никакой энергии, а скорости разлета в этом случае будут практически равны начальным. Такое соударение мы называем упругим.
Тот факт, что скорости до и после соударения равны,— заслуга не закона сохранения импульса, а закона сохранения энергии, но то, что скорости разлета после симметричного соударения равны друг другу, в этом уже повинен закон сохранения импульса.

Точно таким же способом можно разобрать случай соударения тел с различными массами, различными начальными скоростями, различными упругостями и определить конечные скорости и потерю кинетической энергии; но мы не будем сейчас подробно разбирать эти явления.
Упругое соударение особенно часто встречается между системами, у которых нет никаких внутренних механизмов, никаких «шестеренок, маховиков или других частей». В таких случаях кинетическая энергия не может ни на что растратиться: ведь разлетающиеся тела находятся в тех же условиях, что и налетающие. Поэтому между элементарными объектами соударение всегда или почти всегда упругое. Говорят, например, что соударение между атомами и молекулами абсолютно упругое. Хотя это действительно очень хорошее приближение, но и эти соударения не абсолютно упругие; в противном случае трудно было бы понять, откуда у газа берется энергия на излучение тепла и света. Иногда при столкновениях молекул газа испускаются инфракрасные лучи, однако это случается крайне редко и к тому же излученная энергия очень мала, так что для многих целей столкновения молекул газа можно рассматривать как абсолютно упругие.
Давайте разберем интересный пример упругого столкновения двух тел равных масс. Если такие тела ударяются друг о друга с какой-то равной скоростью, то по соображениям симметрии они должны разлететься в стороны с той же скоростью. Но давайте посмотрим на этот процесс в несколько другой ситуации, когда одно из тел движется со скоростью v, а другое покоится. Что произойдет в этом случае? Такая задача не нова для нас. Нужно посмотреть из автомобиля, движущегося рядом с одной из частиц, на симметричное соударение. Мы увидим, как движущееся тело столкнется с покоящимся и остановится, а то, которое раньше покоилось, полетит вперед, причем в точности с той же скоростью, с которой двигалось первое. Тела попросту обменяются своими скоростями. Это легко можно подтвердить экспериментально. Вообще если два тела движутся навстречу друг другу с различными скоростями, то при упругом соударении они просто обмениваются скоростями.
Другой пример почти абсолютно упругого взаимодействия дает нам магнетизм. Положите пару U-образных магнитов на наши скользящие бруски в воздушном желобе так, чтобы они отталкивались друг от друга. Если теперь потихоньку подтолкнуть один из брусков к другому, то он, не касаясь, оттолкнет его, а сам остановится. Второй же брусок полетит вперед.
Закон сохранения импульса — очень полезная штука. Он позволяет решить многие проблемы, не входя в детали процесса. Нас, например, совершенно не интересовали детали движения газа при взрыве заряда, но тем не менее мы могли предсказать, во сколько раз одно тело будет двигаться быстрее второго при их разлете. Другой интересный пример — это ракетный двигатель. Ракета большой массы М с огромной скоростью V (относительно самой ракеты) извергает сравнительно небольшое количество mгаза. Чтобы сохранить импульс, ракета начинает двигаться с небольшой скоростью v. Используя закон сохранения импульса, можно подсчитать, что v=(m/M)V. Однако по мере извержения скорость ракеты становится все больше и больше. Механизм действия ракетного двигателя в точности сходен с явлением отдачи ружья; здесь не нужен воздух, чтобы отталкиваться от него.
§ 5. Релятивистский импульс
Уже на нашей памяти закон сохранения импульса претерпел некоторые изменения. Они, однако, не коснулись самого закона как такового, просто изменилось понятие импульса. В теории относительности, как оказалось, импульс уже не сохраняется, если его понимать так же, как и прежде. Дело в том, что масса не остается постоянной, а изменяется в зависимости от скорости, а потому изменяется и импульс. Это изменение массы происходит по закону

где m₀— масса покоящегося тела, c — скорость распространения света. Из этой формулы видно, что при обычных скоростях (если v не очень велико) mочень мало отличается от m₀, а импульс поэтому с очень хорошей точностью выражается старой формулой.
Компоненты импульса для одной частицы можно записать в виде

где v²=v²_x+v²_y+v²_z. Если просуммировать x-компоненты импульсов всех взаимодействующих частиц, то эта сумма как до столкновения, так и после окажется одной и той же. Это и есть закон сохранения импульса в направлении оси х. То же можно сделать и в любом другом направлении.
В гл. 4 мы уже видели, что закон сохранения энергии неверен, если мы не признаем эквивалентности энергии во всех ее формах, т. е. электрической энергии, механической энергии, энергии излучения, тепловой и т. д. Про некоторые из этих форм, например тепло, можно сказать, что энергия «скрыта» в них. Напрашивается вопрос: а не существуют ли также «скрытые» формы импульса, скажем «тепловой импульс»? Дело в том, что импульс утаить невозможно; скрыть его очень трудно по следующим причинам.
Мера тепловой энергии — случайного движения атомов тела — представляет собой просуммированные квадраты их скоростей. В результате получается некоторая положительная величина, не имеющая направленного характера. Так что тепло как бы заключено внутри тела независимо от того, движется ли оно как целое или нет. Поэтому сохранение энергии в тепловой форме не очень очевидно. С другой стороны, если мы просуммируем скорости, которые имеют направление, и в результате получим не нуль, то это означает, что само тело целиком движется в некотором направлении, а такое макродвижение мы уже способны наблюдать. Так что никакой случайной внутренней потери импульса не существует: тело обладает определенным импульсом, только когда оно движется целиком. В этом и состоит основная причина того, что импульс трудно скрыть. Но тем не менее скрыть его все же можно, например в электромагнитное поле. Это еще одна из особенностей теории относительности.
Ньютон считал, что взаимодействие на расстоянии должно быть мгновенным. Но это, оказывается, неверно. Возьмем, например, электрические силы. Пусть электрический заряд, расположенный в некоторой точке, вдруг начинает двигаться, тогда его действие на другой заряд в другой точке не будет мгновенным: существует небольшое запаздывание. При таком положении, даже если силы действия и противодействия равны между собой, импульсы не будут компенсироваться. Существует небольшой промежуток времени, в течение которого будет происходить нечто странное; в то время как первый заряд испытывает какое-то воздействие силы и реагирует на нее изменением своего импульса, второй стоит как ни в чем не бывало и не изменяет импульса. На передачу влияния второму заряду через разделяющее их расстояние требуется некоторое время: «влияние» распространяется не мгновенно, а с некоторой конечной (хотя и очень большой) скоростью 300 000 км/сек. В течение этого крохотного промежутка времени импульс частиц не сохраняется. Но, разумеется, после того как второй заряд испытает влияние первого, импульсы компенсируются, наступает полный порядок, но все-таки в течение некоторого момента закон был нарушен. Мы представляем дело таким образом, что в течение этого интервала существует импульс другого рода, чем импульс частиц mv, и это импульс электромагнитного поля. Если сложить его с импульсами частиц, то эта сумма в любой момент сохраняется. Однако тот факт, что электромагнитное поле может обладать импульсом и энергией, делает его реальностью, а утверждение о том, что между частицами действуют силы, переходит в утверждение о том, что частица создает поле, которое в свою очередь действует на другую частицу. Само же поле имеет многие свойства, аналогичные частицам; оно может нести энергию и импульс. Для иллюстрации рассмотрим еще один пример; в электромагнитном поле могут существовать волны, которые мы называем светом. И вот оказывается, что свет тоже несет какой-то импульс, так что когда он падает на предмет, то передает ему некоторое количество своего импульса. Это эквивалентно действию какой-то силы, ведь освещенный предмет изменяет свой импульс, как будто на него действует некоторая сила. Итак, падая на предмет, свет оказывает на него давление. Хотя это давление очень мало, но достаточно тонкими приборами его все же можно измерить.

Оказывается, что в квантовой механике импульс тоже не mv, а нечто совсем другое. Здесь уже трудно определить точно, что же такое скорость частицы, но импульс все-таки существует. Разница же состоит в том, что когда частицы действуют как частицы, то их импульс по-прежнему mv, но когда они действуют как волны, то импульс уже измеряется числом волн на 1 см: чем больше волн, тем больше импульс. Однако, несмотря на это различие, закон сохранения импульса справедлив и в квантовой механике. Неверными оказались уравнение Ньютона f = ma и все его выводы закона сохранения импульса, тем не менее в квантовой механике в конце концов этот закон продолжает действовать!