Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии

Мы убедились на только что рассмотренных примерах, как полезно знать величину, не изменяющую свое численное значение (сохраняющуюся) при движении.

Пока мы знаем такую величину лишь для одного тела. А если в поле тяжести движется несколько связанных тел? Считать, что для каждого из них остается верным выражение v²/2 + gh, явно нельзя, так как каждое из тел находится под действием не только силы тяжести, но и соседних тел. Может быть сохраняется сумма таких выражений, взятая для группы рассматриваемых тел?

Сейчас мы покажем, что это предположение неправильно. Сохраняющаяся при движении многих тел величина существует, но она не равна сумме

а равна сумме подобных выражений, умноженных на массы соответствующих тел; иначе говоря, сохраняется сумма

Для доказательства этого важнейшего закона механики обратимся к следующему примеру.

Через блок перекинуты два груза, – большой массы M и маленький массы m. Большой груз тянет маленький, и эта группа из двух тел движется с возрастающей скоростью.

Движущей силой является разность в весе этих тел, Mg ? mg. Так как в ускоренном движении участвует масса обоих тел, то закон Ньютона для этого случая будет записан так:

(M ? m)g = (M + m)a.

Рассмотрим два момента движения и покажем, что сумма выражений v²/2 + gh, помноженных на соответствующие массы, действительно остается неизменной. Итак, требуется доказать равенство

Заглавными буквами обозначены физические величины, характеризующие большой груз. Индексы 1 и 2 относят здесь величины к двум рассматриваемым моментам движения.

Так как грузы связаны веревкой, то v₁ = V₁, v₂ = V₂. Используя эти упрощения и перенося все члены, содержащие высоты, вправо, а члены со скоростями – влево, получим:

Разности высот грузов, разумеется, равны (но с обратным знаком, так как один груз поднимается, а другой опускается). Таким образом,

где S – пройденный путь.

На стр. 46 мы узнали, что разность квадратов скоростей v₁² ? v₂² в начале и конце отрезка S пути, проходимого с ускорением a, равна

v₁² ? v₂² = 2aS.

Подставляя это выражение в последнюю формулу, найдем:

(m + M)a = (M ? m)g.

Но это есть закон Ньютона, записанный выше для нашего примера. Этим доказано требуемое: для двух тел сумма выражений v²/2 + gh, умноженных на соответствующие массы*8, во время движения остается неизменной, или, как говорят, сохраняется, т.е.

Для случая с одним телом эта формула перейдет в ранее доказанную:

Половина произведения массы на квадрат скорости называется кинетической энергией K:

Произведение веса тела на высоту называют потенциальной энергией тяготения тела к Земле U:

U = mgh.

Мы доказали, что во время движения системы из двух тел (и можно доказать то же самое для системы, состоящей из многих тел) сумма кинетической и потенциальной энергий тел остается неизменной.

Другими словами, увеличение кинетической энергии группы тел может произойти лишь за счет убыли потенциальной энергии этой системы (и, разумеется, наоборот).

Доказанный закон называется законом сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии является очень важным законом природы. Значение его мы еще не показали в полной мере. Позже, когда мы познакомимся с движением молекул, будет видна его универсальность, применимость ко всем явлениям природы.