Глава 37. Магнитные катапульты: работа электродвигателей и изучение атомов

Краб, живущий на мелководье, — настоящий политик. Когда опасность угрожает ему сверху, он смотрит прямо перед собой и убегает вбок.

Автор неизвестен

Катапультирующие силы

На проволоку с током, расположенную поперек магнитного поля, действует выталкивающая сила, перпендикулярная и полю, и проволоке. Это та самая «катапультирующая сила», о которой упоминалось в гл. 34 (см. примечание на стр. 187). Если ток потечет в обратную сторону или магнитное поле изменит свое направление на противоположное, то и направление действия силы изменится на обратное. Если проволока не закреплена, то она движется, как краб, упомянутый в эпиграфе[111].

Катапультирующая сила действует на поток электронов в вакууме точно так же, как на ток, текущий по проволоке.

Фиг. 9. Катапультирующие силы. Трапеция в магнитном поле.

_{Сила, поле и ток перпендикулярны друг другу так же, как взаимно перпендикулярны оси х, у, z.}

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ

Поднесите магнит к электронному осциллографу или к телевизионной трубке, и вы увидите, что пятнышко на экране сдвинется. Рассмотрев направление пучка электронов и направление магнитного поля, определите, куда сдвигается пучок — вдоль поля (как это было бы в случае электрического поля) или в сторону, крабообразно.

Пучок электронов, называемых катодными лучами, можно создать, выбивая электроны из молекул газов, оставшихся в разрядной трубке после откачки (или из металлического катода), и разгоняя их высоким напряжением электронной пушки, из которой они вылетают через прорезь в диафрагме. Эти электроны, ударяясь об экран, установленный слегка наискось вдоль их пути, заставляют его светиться и отмечают тем самым свой путь. Попробуйте поднести к трубке магнит или проволоку, по которой течет ток.

Фиг. 12. Катапультирующая сила.

_{Электронный пучок в осциллографе или телевизионной трубке.}

Фиг. 13. Катапультирующая сила.

_{«Катодные лучи» (пучок электронов) в разрядной трубке с наискось установленным экраном.}

Действие катапультирующих сил еще более наглядно демонстрируется с помощью узкого пучка электронов из небольшой электронной пушки, когда он пропускается через пары ртути или водорода, заставляя их светиться (фиг. 14). Если приложить магнитное поле, то оно будет увлекать поток электронов в сторону, в направлении, перпендикулярном их движению, как Земля увлекает Луну. Светящаяся полоска замыкается в кольцо. Для этого магнитное поле должно быть перпендикулярно направлению движения электронов. Если скорость пучка имеет составляющую вдоль направления магнитного поля, то эта составляющая остается неизменной, превращая путь, по которому движется пучок, в сверкающую спираль. То же самое, только в грандиозных масштабах, происходит с потоками электронов, испускаемых Солнцем, когда они попадают в магнитное поле Земли.

Фиг. 14. Измерение отношения е/m для электронов.

_{Катушки с током создают магнитное поле, перпендикулярное плоскости рисунка.} 

Применения катапультирующих сил

Катапультирующие силы вращают валы электродвигателей; с их помощью работают амперметры; они препятствуют вращению роторов электрических генераторов; сортируют изотопы атомов; не дают сбиться с пути пучку частиц в циклотроне и дают возможность измерить величину отношения elm у атомных частиц. Сначала мы кратко обсудим их «технические» применения, а затем «атомные»,

Задача 1. Вводная к теме «Катапультирующие силы»

Примечание. При решении задач пользуйтесь следующими правилами для определения направления магнитных полей (стрелки отмечают направление, в котором будет двигаться северный полюс магнита (N-полюс):

а) Силовые линии идут от северного полюса к южному.

б) Для кругового магнитного поля, окружающего проводник с током, справедливо следующее правило: сожмите пальцы ПРАВОЙ руки в кулак вокруг большого пальца, направив его вдоль тока — сжатые пальцы покажут направление силовых линий (см. гл. 34).

в) Направление магнитного поля, создаваемого кольцевым проводником с током, можно определить либо с помощью правила, изложенного в пункте б), либо по следующему рецепту: сожмите пальцы ПРАВОЙ руки, а большой палец отставьте (как при одобрительном жесте «на большой»); держите руку так, чтобы согнутые пальцы указывали направление течения тока по витку, тогда большой палец покажет направление магнитного поля в центре катушки. (Фактически большой палец меняется ролями с остальными пальцами: когда он показывает направление тока в прямолинейной проволоке, то прочие пальцы согнуты подобно замкнутым силовым линиям кругового поля.)

На фиг. 15 показана проволока А, перпендикулярная плоскости рисунка в магнитном поле, создаваемом подковообразным магнитом NS. Электрический ток течет по проволоке от читателя, за страницу.

Фиг. 15. К задаче 1.

1) Срисуйте этот эскиз в большем масштабе, без проволоки, и изобразите на нем поле магнита.

2) Срисуйте эскиз без магнита и изобразите магнитное поле тока.

3) Воспроизведите весь рисунок с изображением полного магнитного поля (см. гл. 34).

4) Укажите направление, в котором будет действовать сила, приложенная к проволоке.

Задача 2. Амперметр

На фиг. 16 приведено объемное изображение витка проволоки, подвешенного на оси в пространстве между полюсами подковообразного магнита. Ток течет по витку в направлении, указанном стрелкой.

Фиг. 16. К задаче 2.

1) Нарисуйте этот чертеж в разрезе, как на фиг. 15, но уже с двумя проволоками F и Е (вместо одной А), изображающими виток в разрезе.

2) Покажите на своем рисунке полное магнитное поле.

3) В какую сторону направлена сила, действующая на проволоку F?

4) А сила, действующая на проволоку Е?

5) К чему приводит суммарное действие этих катапультирующих сил?

6) Тонкая спиральная пружинка, подчиняющаяся закону Гука, препятствует вращению витка на оси. Объясните, почему стрелка, прикрепленная к витку, будет отклоняться пропорционально силе тока в витке?

Электродвигатели

Мы теперь можем объяснить, как работает электродвигатель, рассматривая его как видоизмененный амперметр[112]. Виток больше не удерживается пружинками, а может свободно вращаться на оси, на которую насажен. Он окружен мягким железом для увеличения массы и усиления намагничивания. Постоянный магнит, создающий поле, заменяется электромагнитом, способным давать более сильное поле. Катапультирующие силы вращают виток, как и в амперметре. Когда ротор (виток + железный сердечник), поворачиваясь, пройдет по инерции через мертвую точку, он должен бы начать вращение в обратную сторону, если бы не остроумный прием: меняется направление тока в витке. Это происходит каждые пол-оборота, так что виток проворачивается еще на пол-оборота… и еще на пол-оборота… и т. д. Изменение направления тока производится автоматически переключателем, который сам вращается с ротором. Этот переключатель, называемый «коллектором», состоит из половинок разрезанного надвое медного цилиндра, укрепленного с помощью изолятора на оси витка. Ток приходит и уходит от источника через «щетки», трущиеся о медь.

В один момент «щетка+» подает ток на полуцилиндр А, а с него через виток на полуцилиндр В и через «щетку—» на выход. Спустя пол-оборота «щетка+» подает ток на полуцилиндр В вокруг витка в обратно направлении, но виток при этом находится уже в новом положении, так что для поддержания непрерывного движения ток должен течь именно в этом направлении. Настоящие электродвигатели содержат множество витков, ориентированных по-разному, чтобы движение было более плавным, а соответствующий коллектор изменяет направление течения тока в каждом витке в нужный момент. Если интересуетесь деталями, посмотрите на настоящий электромотор.

Фиг. 17. Простейший электромотор с коллектором.

Закон катапультирующих сил

Для описания и объяснения опытов, демонстрирующих «атомные» применения катапультирующих сил, нам нужно четкое правило, выражающее силу через ток, длину проволоки и т. д. Мы получим такое правило, но вывод его может показаться сложным — это будет самая сложная «формула» в нашем курсе. Однако это правило существенно для понимания атомной физики — без него нам пришлось бы давать вам детские описания аппаратуры без настоящего объяснения. Так что вам следует изучить приводимый ниже вывод правила и научиться пользоваться этим правилом[113].

В нашем курсе мы выбираем в качестве способа измерения тока определение скорости осаждения меди на электроде[114], так что магнитные эффекты, вызываемые током, являются предметом экспериментального исследования. Опыт показывает, что сила, действующая на проволоку с током, пересекающую магнитное поле, меняется прямо пропорционально изменению этого тока.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ

Как сила зависит от тока? Подвесим проволоку или виток к коромыслу весов. Пропустим через вес ток, величина которого измерена. Приложим сильное магнитное поле в направлении, перпендикулярном проволоке, и путем взвешивания определим катапультирующую силу. На фиг. 18 показана установка, позволяющая продемонстрировать, что

СИЛА ~ ТОКУ.

Чтобы выяснить, какие другие факторы определяют величину катапультирующей силы, мы сначала получим некоторые общие сведения, потом попробуем угадать простой закон, а затем проверим его.

Фиг.18.

Катушки, по которым проходит ток, ведут себя подобно магнитным стержням той же формы и размеров. Замкнутые витки с током подобны очень коротким толстым полосовым магнитам. Два витка притягивают, отталкивают или поворачивают друг друга в точности так же, как эквивалентные им полосовые магниты. Однако в отличие от полосовых магнитов такие витки обладают магнитными полями, которые проходят через них насквозь, причем силовые линии образуют замкнутые кольца (см. фигуры гл. 34). Магнитное поле, проходящее через центр кругового витка, почти однородно в области значительных размеров, и это обстоятельство мы будем использовать при измерениях.

Если токи текут по двум длинным параллельным проводникам А и Б, то каждый из них находится в круговом магнитном поле, создаваемом током другого проводника. Кольцевые силовые линии поля, создаваемого током А, пересекают проводник с током Б под прямыми углами. Катапультирующая сила, действующая на Б, перпендикулярна этим кольцевым линиям и направлению проводника Б. Следовательно, она должна быть направлена прямо в сторону проводника А. Если вы начертите силовые линии суммарного магнитного поля, то обнаружите, что проводники притягиваются, если токи в них текут в одном направлении, и отталкиваются, если направления токов противоположны.

Фиг. 19. Катапультирующие силы между параллельными проводниками.

_{Ток одного из проводников создает поле, пересекающее другой проводник под прямым углом. Если этот второй проводник также несет ток, он подвергается действию катапультирующей силы. И тогда на первый проводник будет действовать сила, равная по величине и обратная по направлению.}

Для получения простого закона катапультирующих сил нам не нужны длинные проводники или витки целиком. Вместо этого попытаемся упростить задачу, выбрав для рассмотрения короткий отрезок проволоки, по которой идет ток. После этого мы сможем рассматривать длинные проводники, витки и целые электрические цепи как состоящие из коротких отрезков и находить силу, действующую на проводник в целом, складывая силы, действующие на отдельные отрезки. Этот прием полезен при расчете сил, действующих на катушки в электродвигателях, амперметрах и т. д. Если заменить короткий отрезок проводника с током на отдельный движущийся электрон, то наше и без того упрощенное рассмотрение упрощается до предела. Ампер и другие физики высказали много остроумных догадок о форме закона, который мы ищем, сто лет тому назад, но у них не было способа детально проверить свои догадки, поскольку в их распоряжении имелись только замкнутые цепи целиком. Однако они с успехом проверяли свои предсказания на электрических цепях разнообразных форм[115].

Фиг. 20. Суммарное магнитное поле параллельных токов.

_{Притяжение между токами, текущими в одном направлении, и отталкивание в случае токов, текущих в противоположных направлениях.}

Чтобы вывести нужный закон, начнем с рассмотрения двух длинных параллельных проводников, по которым текут токи I₁ a и I₂ a и которые находятся друг от друга на расстоянии d м. Они будут вызывать катапультирующие силы, действующие в поперечном направлении, как показано на фиг. 22. После этого выберем два очень коротких отрезка проводников, находящихся друг против друга, L₁ и L₂, и не будем обращать внимания на остальные части проводов. Рассматривая их как части длинных параллельных проводников, можно ожидать, что каждый из отрезков будет окружен круговым магнитным полем. Если токи текут в одном направлении, то катапультирующие силы будут притягивать эти два «элемента тока» друг к другу. (Отрезок L₁ , например, по которому течет ток I₁, пересекается магнитными силовыми линиями тока I₂ в проводнике под прямым углом; поэтому на него действует сила — F, направленная слева направо.)

Из опыта, описанного выше, мы знаем, что эта сила изменяется прямо пропорционально току в проводнике:

F ~ I₁ (из опыта).

Если бы мы увеличили длину отрезка проводника вдвое, соединив последовательно два проводника L₁, то, очевидно, сила, действующая на них, была бы равна двум F, т. е. на удвоенную длину пришлась бы удвоенная сила, т. е. сила, действующая на исследуемый проводник, пропорциональна его ДЛИНЕ.

Фиг. 21. «Элементы токов».

_{На двух длинных проводниках выбраны короткие участки L1 и L2, один напротив другого.}

Фиг. 22. Силы, действующие между элементами токов.

_{Их направление подсказывается видом силовых линий суммарного магнитного поля.}

F ~ L₁ (предположение, оправдываемое мысленным экспериментом или здравым смыслом),

F ~ I₁ и F ~ L₁ или F ~ I₁L₁

Но схема симметрична — кто может сказать, какой из проводников «действует» на другой, создавая магнитное поле, а какой «подвергается действию»?

F ~ I₂L₂ так же, как F ~ I₁L₁

или

F ~ (I₁L₁)∙(I₂L₂)

Полный закон взаимодействия должен содержать расстояние между отрезками проводника. Простые опыты показывают, что F уменьшается с увеличением d. Зная это, что вы можете предположить? Наиболее правдоподобное предположение об обратной квадратичной зависимости, будучи подвергнутым опытной проверке, подтверждается. Тогда

F ~ (I₁L₁)∙(I₂L₂)/d²

или

F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂L₂)/d²]

где В — общий постоянный множитель.

Однако от закона в такой форме пользы мало. Необходим множитель, который бы учитывал отклонения направлений от параллельных и перпендикулярных — этих отклонений мы будем стараться избегать, выбирая простейшие геометрические условия. В опытах мы пользуемся замкнутыми цепями, так что будем считать L₁, короткой стороной длинного прямоугольного витка (а впоследствии участком траектории электрона). Для удобства мы возьмем не один короткий отрезок L₂, а много таких отрезков, соединенных последовательно, и образуем из них кольцевой виток, в центре которого будет располагаться L₁ (фиг. 23, 24). Тогда вокруг каждого из отрезков, образующих виток и несущих ток I₂ а, возникнет кольцевое магнитное поле, пересекающее отрезок L₁, расположенный в центре, и каждый из кусочков кольца будет расположен на расстоянии R, равном радиусу кольца, от L₁. Тогда сила, действующая на L₁, дается выражением

F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙первый отрезок L₂)/R²] + B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙второй отрезок L₂)/R²] + и т. д. (по всем отрезкам L₂, образующим кольцо) =

F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂)/R²] (первый отрезок L₂ + второй отрезок L₂ + по всему кольцу) =

F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙2πR)/R²]

Если кольцо содержит N витков, то

F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙2πR∙N)/R²]

Сформулировав предполагаемый закон, мы проверяем его, измеряя силу, действующую на короткую сторону прямоугольной рамки с током, помещенной в центр кольцевого витка, по которому также течет ток. Пример такого рода изображен на фиг. 23, 24. Без экспериментальной проверки придется поверить этому закону на слово.

Фиг. 23. Проверка закона катапультирующих сил с помощью элементов токов.

_{Измеряется сила, действующая на короткую сторону L1. Кольцевой виток, несущий ток I2, рассматриваем как последовательность коротких отрезков, отстоящих от центра на расстояние R.}

Фиг. 24. Определение катапультирующей силы для частичной проверки закона.

_{а — длинный виток подвешен на коромысле весов, и ток на него подается через чашечки со ртутью; б — длинный виток кладется на рычажные весы, и ток также подводится через чашечки со ртутью.}

Определение постоянной В

Если в демонстрационном опыте, подобном тому, который изображен на фиг. 24, мы выполним все необходимые измерения (т. е. определим все линейные размеры, измерим оба тока и силу), то после этого сможем оценить постоянную В. Точные измерения дают значение В = 0,000000100,т. е. 10^-7. Это и в самом деле круглое число 1/10 000 000, поскольку величина ампера выбрана так, чтобы сделать его круглым. Следовательно, в нашем определении ампера через скорость осаждения меди мы вынуждены использовать некруглое число 0,000 000 329 кг меди в 1 сек. Отныне мы будем писать 10^-7 вместо В, чтобы избежать путаницы — ведь есть другая постоянная

B = 10^-7 ньютон∙м²/а²∙м² = 10^-7 ньютон/а²

Поразительное предсказание Максвелла

(Рассуждения, приведенные ниже, слишком трудны для элементарного объяснения; скорее всего этот параграф останется загадкой. Можете его пропустить, если хотите, а можете и прочитать, чтобы познакомиться с рядом удивительных выводов.)

Для катапультирующих сил, т. е. для действия магнитного поля на ток, справедливо выражение

F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙L₂)/d²], где B = 10^-7 ньютон/а²

Здесь В относится к магнитному полю.

По закону Кулона сила, действующая между двумя электрическими зарядами, равна

F =

Здесь 

Эта дробь имеет размерность (ньютон∙м²/кулон²)/(ньютон/а²) или (м²∙а²)/кулон² или м²/сек², или (м/сек)². Это размерность квадрата СКОРОСТИ. Возьмите в качестве величины дроби 9,00∙10⁹/10^-7, или 9,00∙10¹⁶, и извлеките квадратный корень, тогда получится значение скорости: 3,0∙ 10⁹ м/сек. Это хорошо известная величина — скорость света. Максвелл в своей подробно разработанной теории показал, что дробь √(

Если вы видели, как измеряются обе постоянные В и

Катапультирующая сила, действующая на движущийся электрон или ион

Теперь нам нужно произвести еще одно изменение в нашем законе: заменить отрезок проводника L₁ по которому течет ток I₁ отдельным движущимся зарядом, таким, например, как летящий электрон. Катапультирующие силы, вне всякого сомнения, действуют на движущиеся заряды; вы сами можете посмотреть на отклонение пучка электронов в электроннолучевой трубке. И можно представить себе, что ток I₁ создается потоком электронов, текущим внутри проводника.

Предположим, что ток I₁ создается за счет дрейфа n частиц, каждая из которых несет заряд Q и перемещается со скоростью и вдоль проводника L₁. Поставим на выходном конце L₁ наблюдателя, чтобы он считал заряженные частицы, замечал время и вычислял ток I₁. Он пускает свой секундомер в тот момент, когда выходит первая частица А. Он останавливает его, когда некоторое время спустя показывается последняя частица, поскольку ей необходимо было пройти расстояние L₁ со скоростью v. На это уходит время, равное L₁/v сек. За этот промежуток наблюдатель видит появление n частиц, каждая из которых несет Q кулон. Он оценивает ток как ЗАРЯД/ВРЕМЯ, равный nQ/(L₁/v) кулон/сек или nQv/L₁ а. Так что вместо I₁ а мы получили nQv/L₁ а. И вместо I₁L₁ в «законе катапульты» мы должны записать (nQv/L₁)∙L₁, или nQv. Тогда катапультирующая сила, действующая на порцию из n заряженных частиц, дается выражением

Сила, действующая на отдельную частицу с зарядом Q и скоростью v, определяется как

(мы заменили I₁L₁ на Qv), или

F = 10^-7∙(Qv)∙(H), где Н называется магнитным полем, и в центре кольцевого витка Н имеет величину I₂∙2πRN/R².

Это та сила, которая искривляет путь потока электронов или любых других заряженных частиц. Она всегда направлена перпендикулярно направлению движения, так что не может изменить величины скорости частиц. Их скорость меняется только по направлению. Эта сила, равная 10^-7∙QvH, называется «силой Лоренца» в честь голландского физика Г. А. Лоренца, который впервые ввел ее при изучении электронов.

Задача 3. Путь электронного пучка в магнитном поле

Пучок электронов, каждый из которых имеет отрицательный заряд, выстреливается горизонтально в направлении на север, в область, где существует вертикальное однородное магнитное поле,

а) Какое направление имеет сила, действующая со стороны этого магнитного поля на электроны пучка?

б) Когда направление пучка изменится под влиянием этой силы, то катапультирующая сила, действующая на электроны, также примет новое направление. Укажите это новое направление.

в) Направление движения продолжает изменяться, а величина скорости электронов сохраняется неизменной (в вакууме). Почему?

г) Величина силы, действующей в этом новом направлении, больше, меньше или та же самая?

д) Направление движения продолжает изменяться, и путь пучка, изгибаясь, образует кривую. Что это за кривая?

е) Предположим, вы хотите замедлить электроны. Как этого добиться? (Вопрос сложнее, чем кажется. Он требует тщательного размышления; на него вы должны ответить правильно. Существует несколько хороших методов. Ответ поясните рисунком.)

Фокусировка

Пучок заряженных частиц, выпущенный перпендикулярно магнитному полю, движется по круговому пути. Это дает дополнительное преимущество: возможность его фокусировки. Нарисуйте несколько электронных пучков, узким веером вылетающих из пушки с одинаковой скоростью. Теперь приложите магнитное поле, перпендикулярное всем пучкам. Каждый пучок изогнется в дугу окружности. На фиг. 26 центральный пучок веера С показан окружностью. Все пучки образуют окружности одного и того же радиуса, выходящие, однако, из пушки каждая в своем собственном направлении. На рисунке показаны пучки А и D в начале своих круговых орбит. Если провести полные окружности, то они будут пересекаться друг с другом вблизи точки X, диаметрально противоположной точке вылета. Это свойство фокусировки используется в измерениях и при конструировании ускорителей.

Фиг. 26. Фокусировка.

_{Электронные пучки, расходящиеся веером, фокусируются магнитным полем. Попробуйте завершить рисунок.}

Задача 4. Фокусировка

Нарисуйте узкий веер электронных пучков, выходящих из маленькой щели (скорость частиц в пучке одинакова). Тщательно вычертите их круговые орбиты с помощью циркуля, или обводя карандашом донышко стакана либо бутылки, и постройте диаграмму, демонстрирующую свойство фокусировки.

Задача 5. Поток ионизованных атомов в магнитном поле

Поток ионизованных водородных атомов (т. е. ядер водорода, протонов) пропускается с большой скоростью через однородное магнитное поле.

а) Какую форму будет иметь траектория пучка?

б) Рассчитайте радиус траектории пучка r в этом поле, используя данные, которые вы получите, отвечая на вопросы 1) и 2), приведенные ниже.

ДАННЫЕ. Каждый атом имеет массу 1,66∙10^-27 кг, заряд +1,60∙10^-19 кулон и скорость 100 000 м/сек.

Магнитное поле создается током, протекающим по кольцевой катушке. Катушка насчитывает 1000 витков, имеет радиус 0,40 м и через нее пропущен ток 3 а.

Пучок движется вблизи центра катушки в той же плоскости, в которой располагаются ее витки.

1) Рассчитайте силу, действующую со стороны магнитного поля на каждый движущийся атом.

2) Помня, что эта сила перпендикулярна направлению движения атомов, рассчитайте радиус их траектории. (Не забывайте, что для того, чтобы частица двигалась по кругу, на нее должна действовать сила mv²/r, направленная к центру круга. Эта сила как раз и порождается магнитным полем, действующим на движущуюся частицу.)

Предупреждение. Не путайте r с R — радиусом витков катушки.

Фиг. 27. К задаче 5.

Задача 6. Пучок электронов в магнитном поле

Предположим теперь, что в задаче 5 в качестве движущихся частиц выбраны не ядра водорода, а электроны с той же скоростью, тем же зарядом (только отрицательным), но массой, в 1840 раз меньшей. Опишите траекторию такого пучка в том же магнитном поле.

Стенки термоядерной установки

Если нам удастся запустить управляемую термоядерную установку для получения энергии в больших количествах, то среду, в которой будет протекать термоядерная реакция, нельзя будет удержать в аппарате, стенки которого будут изготовлены из обычного вещества, так как для осуществления реакции потребуется температура в десятки и сотни миллионов градусов. В задаче 7 намечен возможный путь использования магнитного поля для удержания заряженных частиц с целью осуществления термоядерной реакции.

Задача 7. Отклонение пучка электронов в магнитном поле

Предположим, что электронный пучок, описанный в задаче 6, кроме составляющей скорости, перпендикулярной полю, имеет еще некоторую составляющую, параллельную полю, (Например, его полная скорость может быть в 1,41 раза больше, чем в задаче 6, и иметь направление, образующее с направлением поля угол 45°. Тогда скорость будет раскладываться на две одинаковые по величине составляющие: 100 000 м/сек в направлении, перпендикулярном полю, и 100 000 м/сек вдоль поля.) Опишите траекторию пучка в этом случае.

Определение скорости электромагнитных волн

(Рассуждения, приведенные ниже, грубо приближенны, и изложение лишь с натяжкой можно назвать правдоподобным, поскольку мы пренебрегаем всеми ограничениями, которым пришлось бы подчиниться, если строго придерживаться теории относительности и современной электродинамики. Можете пропустить эти рассуждения, а можете и прочитать, только не принимайте их слишком всерьез. Это лишь попытка показать, как можно осмыслить предсказания Максвелла, располагая только теми сведениями, которые вам уже известны. В такой форме это, конечно, не настоящая физика, и приведенные ниже рассуждения должны лишь напомнить вам о двух вещах:

а) хотя для настоящего вывода потребовалась бы довольно сложная математика, в существе явления ничего таинственного нет;

б) выработка настоящего строгого вывода часто начинается с такого вот грубого, приближенного рассмотрения: чтобы продержаться до конца в первом раунде, хороши любые средства.

Мы будем придерживаться того же хода рассуждений, что и при нахождении скорости, с которой волна бежит по туго натянутой веревке.

Прежде чем разбираться в выводе, приведенном ниже, вернитесь еще раз к рассуждениям в конце гл. 10. Там мы нашли скорость, рассматривая движение излома, «коленца», вдоль веревки. Здесь мы также рассчитаем скорость движения «коленца», только не по веревке, а по силовой линии электрического поля.

Предположим, экспериментатор 

Теперь предположим, что другой экспериментатор, R, бежит вдоль линии рядом с «коленцем» со скоростью v, не обгоняя его и не отставая. Когда мы рассматривали волну, бегущую по веревке, то вводили воображаемого бегуна, который нес ящичек, заключавший в себе излом веревки, без приложения к веревке какой-либо силы, так что все силы, необходимые для поддержания движения «коленца», обеспечивались натяжением веревки. В рассматриваемом теперь случае представим себе бегуна, несущего небольшую, сделанную из изолятора рукоятку, на которую насажены два заряда. Рукоятка имеет форму рогатки Y, и заряды +q и — q сидят на ее рожках. Мы стоим на месте, смотрим, как он бежит, и видим, что результирующего заряда на рогатке нет, он равен нулю, а поэтому мы не ожидаем, что на рогатку Y благодаря наличию заряда Q или благодаря его движению будет действовать какая-то сила. Мы скажем: «Посмотрите, на рогатке нет никакого суммарного заряда, нит, ее можно поместить в маленький черный ящичек, который будет перемещаться без посторонней помощи, знать ничего не зная об изломе силовой линии».

Если рогатка Y движется впереди «коленца» или за ним, то оба заряда +q и — q находятся в совершенно одинаковом электромагнитном поле, так что мы действительно не обнаруживаем действия на Y какой-либо результирующей силы, присутствие заряда Q и его движение ничем себя не обнаруживают. Но даже если Y движется «грудь в грудь» с точкой излома силовой линии (так что заряд +q находится впереди этой точки, а — q позади), то результирующая сила, действующая на Y, будет по-прежнему равна нулю, и в этом случае Y сможет двигаться со скоростью v без помощи со стороны бегуна. Пробный предмет, движущийся вместе с волной, как пловец на доске на гребне прибоя, не будет ощущать действия какой-либо силы со стороны волны. (Это предположение существенно, но оно не является ни очевидным, ни убедительным[116]. Если вы принимаете его, читайте дальше и посмотрите, как мы теперь получим скорость v. Если вы считаете его не соответствующим действительности, значит, вам удалось найти в цепи рассуждений слабое звено.)

Теперь рассмотрим те силы, которые все-таки действуют на +q и — q в точке излома. Передний заряд, +q, чувствует только горизонтальную силу, толкающую его вперед, прочь от заряда Q, поскольку он находится впереди точки излома, в первоначальном горизонтальном поле. А другой заряд, — q, притягивается к Q наклонной силой, тянущей его назад и вверх. Однако заряд — q чувствует и действие катапультирующей силы тоже, поскольку заряд Q движется, и «новость» о начале этого движения до заряда — q уже дошла. Попробуйте путем рассуждений установить направление этой катапультирующей силы, и вы убедитесь, что она направлена вертикально вниз. Если скорость Q мала, так что расстояние ut, пройденное им, мало по сравнению с расстоянием vt, пройденным изломом (u << v), то горизонтальные силы, действующие на +q и — q, практически погашают друг друга, поскольку и +q, и — q находятся практически на одинаковом расстоянии от заряда Q, создающего поле. На заряд +q не действует никакая вертикальная сила, так что вертикальные силы, действующие на — q, должны скомпенсироваться, чтобы суммарная полная сила, действующая на рогатку Y, равнялась нулю.

Вот чему равны эти две вертикальные силы:

1) Вертикальная составляющая силы электростатического притяжения, действующего между +Q и — q.

Это вертикальная составляющая силы, равной

поскольку расстояние ЕК практически[117] равно расстоянию vt, пройденному волной.

2) Катапультирующая сила, действующая на заряд — q, движущийся со скоростью v, возникает из-за движения заряда Q со скоростью u. Здесь мы имеем дело с движущимися зарядами, а не с короткими проводниками, несущими ток. Для них мы должны в выражении «закона катапульты» писать Qu вместо I₁L₁ и qv вместо I₂L₂. Кроме того, эти два «тока» не параллельны друг другу, а образуют друг с другом прямые углы. Однако магнитное поле от, (Qu), когда заряд Q не успел уйти далеко от начала координат, все еще будет круговым и будет пересекать «ток» (qv) под прямым углом (фиг. 28), так что выражение для катапультирующей силы должно быть по-прежнему справедливым:

Катапультирующая сила = B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙L₂)/d²] = B∙[(Qu)∙(qv)/r²]

Если в итоге на Y не действует никакая сила, то силы 1) и 2) должны быть равны по величине и противоположны по направлению:

Сократим Q, q, t, u и r². Все детали, характеризующие наш мысленный эксперимент, исчезли:

Следовательно, скорость волны v = √(

Фиг. 28. Спустя время t заряд +Q находится в точке Е на расстоянии ut от начала координат O, а «коленце» К — на расстоянии vt от О.