Квантовое клонирование разрешило бы невозможную коммуникацию

Невозможность клонирования квантовой системы – ключевое утверждение для прикладных областей, таких как квантовая криптография и квантовая телепортация (мы поговорим об этом позже). Чтобы доказать невозможность клонирования, мы будем использовать логический прием reductio ad absurdum – доказательство от противного. Мы начнем с допущения, что квантовое состояние клонировать можно, но это повлечет за собой абсурдный вывод – в данном случае о возможности коммуникации без передачи информации. Отсюда мы сможем заключить, что поскольку такая коммуникация невозможна, то и квантовое клонирование исключено.

Представим, что Боб смог клонировать свой прибор. Точнее, представьте себе, что Боб смог клонировать кристалл, который обнаружил в сердце своего прибора, учитывая, что все остальное содержимое – просто сложный механизм, который нетрудно воспроизвести. И вот перед ним два прибора, обозначим их как «левый» и «правый». У каждого прибора есть джойстик, его можно отклонять влево и вправо, и через секунду каждый из приборов выдаст результат на дисплей. Если эти два прибора действительно идеальные копии, то для каждого из них результат будет скоррелирован с результатом на приборе Алисы, причем так, что каждый из приборов выиграет вместе с Алисой игру Белла. Однако если Боб решит не выбирать одну сторону, а попробовать разные одновременно? Левый джойстик – влево, а правый – вправо. А теперь мы объясним, как Боб может вывести из своих двух результатов тот выбор, который сделала Алиса на огромном расстоянии от него.

Начнем со случая, когда показания на приборах Боба идентичны, то есть либо дважды 0, либо дважды 1. В этом случае Алиса, вероятно, выбрала x = 0. Если бы Алиса выбрала x = 1, то результат на правом приборе Боба должен был бы отличаться бы от результата Алисы (так как (x, y) = (1, 1) ? a ? b), тогда как результат на левом приборе должен был бы совпасть с показаниями прибора Алисы ((x, y) = (1, 0) ? a = b). С другой стороны, если показания на приборах Боба разные, тогда Алиса, вероятно, выбрала x = 1. В справке 9 это рассуждение проводится при помощи простой двоичной арифметики.

Справка 9. Теорема о невозможности клонирования. Пусть b_left и b_right обозначают показания с приборов Боба, левого и правого соответственно.

Выигрыш в игре Белла означает, что часто удовлетворяются следующие два равенства: a + b_left = x ? y_left и a + b_right =x ? y_right. Сложив их, мы получим:

a + b_left + a + b_right = x ? y_left + x ? y_right.

Теперь вспомним, что все эти символы представляют собой биты (0 или 1) и что суммирование выполняется по модулю 2, поэтому результат также является битом. Следовательно, a + a = 0. Мы также помним, что Боб передвигает джойстик на левом приборе влево, то есть y_left = 0, а джойстик правого прибора – вправо, то есть y_right = 1. В итоге мы получаем b_left + b_right = x. Так Боб может определить выбор Алисы x с высокой вероятностью, просто сложив два результата на своих приборах.

Следовательно, если бы Боб сумел клонировать свой прибор, он мог бы угадать выбор Алисы с высокой вероятностью, и это несмотря на то расстояние, которое их разделяет. То есть мы стали бы очевидцами коммуникации без передачи информации, причем на произвольной скорости. Некоторые могут заметить, что Боб может и ошибиться, когда угадывает выбор Алисы, ведь Алиса и Боб получают общий счет не 4, а лишь значительно больше 3. Конечно, Боб может иногда ошибаться. Однако того факта, что он угадывает правильно гораздо чаще, чем 1 раз из 2, достаточно, чтобы сделать коммуникацию возможной[26]. Линия связи будет довольно шумной, и им придется много раз повторять посылку (при этом Алиса должна каждый раз делать один и тот же выбор), но в конце концов Боб сможет угадать выбор Алисы с почти полной уверенностью. На самом деле как раз это и происходит уже сейчас во всей цифровой коммуникации. Интернет и другие протоколы связи режут наши сообщения на маленькие кусочки, которые отсылают затем приемнику, и так как всегда есть маленькая возможность ошибки, сообщение отсылается несколько раз, пока вероятность любой ошибки не станет пренебрежимо малой.

Итак, возможность победы в игре Белла влечет невозможность клонирования квантовых систем. Физики называют это теоремой о запрете клонирования. Это исключительно важный результат квантовой физики. Ее очень просто доказать математически, но уже мы видели, что эта теорема также прямо следует из существования нелокальности без коммуникации, что еще раз подчеркивает важность этой идеи.