Глава 1 Земное тяготение

«Что отличает язык науки от языка в обычном понимании этого слова? Как произошло, что научный язык стал интернациональным? Единство научных понятий и научного языка обусловлено тем обстоятельством, что они создаются лучшими умами всех времен и народов. В одиночку и объединенными усилиями, если иметь в виду конечный эффект, они создавали духовное оружие для технических революций, которые в последние столетия преобразили жизнь человечества. Выработанные ими понятия служат путеводной звездой в ошеломляющем хаосе восприятий и учат нас извлекать общие истины из отдельных наблюдений».

А. Эйнштейн

Введение

Начать с обсуждения научных методов или структуры науки — все равно, что судить о какой-нибудь стране до того, как в ней побываешь. Поэтому выберем один из разделов физики — земное тяготение и свободное падение тел — и сразу же приступим к его изучению, а потом обсудим общие идеи, связанные с этой темой.

О подстрочных примечаниях

Мы советуем сперва прочесть главу, опуская подстрочные примечания, а потом все внимательно перечитать снова — и текст, и примечания. Некоторые подстрочные примечания тривиальны, но многие содержат важные замечания и прямо относятся к курсу.

Это отнюдь не мелкие детали, которые автор вводил в книгу только затем, чтобы впоследствии не испытывать угрызений совести, что он их опустил. Эти вынесенные за текст замечания позволяют сделать его более связным. Если их поместить в основной текст (а некоторые трактуют побочные вопросы), внимание читателя будет рассеиваться. Но вплетение в канву изложения новых узоров само по себе демонстрирует всю сложную структуру науки, и поэтому при повторном чтении необходимо читать и примечания.

Свободное падение тел

Давайте понаблюдаем за падением камня и поразмыслим над тем, что нам известно о свободном падении тел. Как мы получили эти знания? Каким образом мы свели их в систему законов, которые четко запоминаются и которыми легко пользоваться? Что они дают?

Почему мы придаем такое значение научным знаниям, принявшим форму законов? Прежде чем читать дальше, проделайте следующий опыт. Возьмите два камня (или две книги, или две монеты) разных размеров. Прикиньте, намного ли больший тяжелее.

Представьте себе, насколько быстрее он будет падать, если оба камня одновременно свободно выпустить из рук. Вы, конечно, предположите, что камни будут падать со скоростями, пропорциональными их весу: камень весом 100 Г будет падать вдвое быстрее камня весом 50 Г. Теперь поднимите оба камня повыше и выпустите их из рук одновременно… Чему вы склонны поверить: тому, что видели, что предполагали, или тому, «что написано в книге»?

Много тысячелетий назад люди наверняка замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы — этот вопрос никого не занимал. Откуда у первобытных людей должно было появиться стремление выяснить как или почему? Если они вообще размышляли над причинами или объяснениями, то суеверный трепет сразу же заставлял их думать о добрых и злых духах. Мы легко представляем, что эти люди с их полной опасности жизнью считали большую часть обычных явлений «хорошими», а необычные — «плохими»; ведь и мы сегодня употребляем слово «естественный» в качестве положительной оценки, а «неестественный» говорим с оттенком неприязни.

В этом стремлении к обычному есть нечто мудрое: в мире, лишенном установленного порядка и полном случайностей, было-бы опасно жить. Едва выйдя из пеленок, дети лишаются надежной защиты и попадают в суровый, безжалостный мир, в котором кирпичные стены ставят синяки, а раскаленная печь может обжечь до волдырей. Детям нужен безопасный и упорядоченный мир, подчиняющийся определенным правилам. Поэтому они бывают так довольны, когда сложным явлениям окружающего мира даются уверенные «объяснения». Стремление искать безопасность в порядке, которое мы наблюдаем у развивающихся детей, вероятно, характерно было и для более медленного процесса превращения первобытного дикаря в цивилизованного человека. В процессе развития цивилизации великие мыслители делали попытки объяснить окружающий мир — неодушевленную природу, живые существа и даже мысли человека — с помощью набора правил и утверждений. Почему они это делали — вопрос трудный. Быть может, некоторые из них действовали как наставники и учители по отношению к своим более простым собратьям. Других, наверное, толкало детское любопытство — потребность в точном знании, рожденная чувством неуверенности. Третьих, может быть, вдохновляли какие-то более глубокие чувства — любознательность и удовольствие, доставляемое человеку мышлением, — чувства, порожденные не страхом, а интеллектуальным наслаждением, и этих людей можно назвать истинными философами и учеными.

Все люди в своем развитии проходят много ступеней познания: от бессмыслицы суеверий до научного мышления. Какой ступени достигли вы в изучении свободного падения тел, которое можно считать простым явлением? Проверьте ваши теперешние знания простым наблюдением за падением некоторых тел. Возьмите два разных камня (или две монеты) и дайте возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова одновременно бросьте два камня, но уже в стороны по горизонтали (фиг. 1).

Потом бросьте один камень в сторону и в тот же момент выпустите из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Понаблюдайте за движениями камней снова и снова. Посмотрите, сколько сведений о природе можно извлечь из таких опытов. Быть может, это вам покажется детской забавой, пустой тратой времени, но нужно принять во внимание следующие обстоятельства:

1. Это — опыты. Вся наука построена на информации, получаемой в результате прямых опытов, подобных вашим.

2. Для физика опыт с одновременным бросанием легкого и тяжелого камней — не просто надуманная забава; он демонстрирует изумительно простой факт: наблюдать снова и снова доставляет наслаждение. Тот физик, который не получает удовольствия от наблюдения за падением гривенника и полтинника, брошенных одновременно, — человек бесчувственный.

3. В наблюдаемом поведении падающих и летящих тел заключен зародыш замечательной научной идеи: представление о силовых полях, которое играет важную роль в развитии современной механики в теории относительности.

4. А вот как обстоит дело на практике: если для проведения всех мыслимых опытов вы будете пользоваться лишь подручными средствами, то при всей вашей изобретательности вы все же упустите кое-какие из возможных открытий; область исследования так широка и так богата, что какой-то другой испытатель с помощью аналогичного приспособления может обнаружить что-нибудь из упущенного вами.

Человечество, разумеется, не собирало знания таким путем.

Люди не говорили: «Мы отправимся в лабораторию и будем проводить эксперименты». Они экспериментировали повседневно, изучая ремесла или создавая новые машины. Своего рода опыты мы проводим в течение всей нашей жизни. В детстве ванна и игрушки служили оборудованием вашей первой физической лаборатории. Там вы познали реальный мир, но это мало дало вам в смысле приобретения систематических научных знаний. Например, научили ли вас игрушки тому, что вы сейчас узнали, наблюдая за падающими телами?

По мере своего развития человечество приобретало не только знания, но и предрассудки. Профессиональные секреты и традиции ремесленников уступили место организованному познанию природы, которое шло от авторитетов и сохранялось в признанных печатных трудах.

Это было началом настоящей науки. Из опытов с падающими телами вы, несомненно, извлекли какие-то научные познания.

Вы установили, что маленький и большой камни, выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью[1]. То же самое можно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла и т. д. самых разных размеров. Из подобных опытов мы выводим простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны.

Этот замечательный и простой факт люди находят удивительным[2]. Действительно, некоторые не верят, когда им о нем говорят, но в то же время упорно отказываются проделать простой опыт[3].

Результат получается поразительный. Разве вы могли предположить, что камень весом 1 кГ будет падать с такой же скоростью, что и камень весом 5 кГ? Разве не более разумно предположить, что камень весом 5 кГ падает в 5 раз быстрее? Тем не менее простой опыт показывает, что куски металла, камни и т. д. весом ¹/₂, 1 и 5 кГ падают одинаково.

Фиг. 2. Свободное падение тел.

_{Факт, воображаемая картина или точный закон?}

Ранний этап изучения свободного падения тел

Какова история развития этой области научного знания?

Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполняемым экспериментом, вероятно, долго существовал разрыв. Интерес к движению свободно падающих и брошенных тел возрастал вместе с усовершенствованием оружия. Применение копий, стрел, катапульт и еще более замысловатых «орудий войны» позволило получить примитивные и туманные сведения из области баллистики, но они принимали форму скорее рабочих правил ремесленников, нежели научных познаний, — это были некие несформулированные представления.

Две тысячи лет назад греки думали и писали о природе с подлинно научным интересом. Возможно, их вдохновлял пример начавшейся еще раньше такой же деятельности в Египте и Вавилоне. Греки формулировали правила свободного падения тел и дали им объяснения, но эти правила и объяснения были малообоснованны. Некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами, но использование в средние века традиционных античных представлений, предложенных Аристотелем (примерно 340 г. до н. э.), скорее запутало вопрос. И эта путаница длилась еще много столетий. Применение пороха значительно повысило интерес к движению тел. Однако первые орудия по-прежнему служили главным образом для устрашения врага, и лишь Галилей (примерно в 1600 г.) заново изложил основы баллистики в виде четких правил, согласующихся с практикой. Эти правила были справедливы для тяжелых пушечных ядер, летящих с малой скоростью, позволяющей пренебречь сопротивлением воздуха. С того времени скорость полета снарядов неуклонно увеличивалась, и сопротивление воздуха становилось все более важным фактором, заставившим видоизменить упрощенное рассмотрение Галилея.

Аристотель и философия

Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому, придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Аристотель, ученик Платона, одно время был наставником Александра Великого.

Он основал замечательную философскую школу и написал много книг. Его труды служили неисчерпаемым источником познания в течение многих столетий — в мрачную эпоху, когда в непросвещенном и полном тревоги мире еще не было печатных книг и лишь рукописные труды благочестивых книжников передавались из рук в руки.

Почему философов интересуют естественные науки? Как естественные науки связаны с философией? Что такое философия?

Философия — это не таинственная и далекая от жизни схема недоступных для понимания аргументов; философия — это размышление человека о своих собственных мыслях и понятиях. Философия как наука занимается теорией познания, разрабатывает системы познания и правила логики для критического анализа, философы интересуются вопросами о том, что истинно и что бессмысленно, что правильно и что ложно, а также суждениями о ценностях.

Подобно тому как специалисты врачи дают нам советы, касающиеся здоровья, питания, сна и т. д., так и ученые-философы дают нам рекомендации, способствующие правильному мышлению и пониманию во всех областях нашей интеллектуальной деятельности.

Мы сами выступаем в роли философов-дилетантов каждый раз, когда размышляем о нашей жизни и ее связи с окружающим миром, когда задаем вопросы вроде: «Действительно ли это так?», «Действительно ли это существует?», «Что значит утверждение о том, что то-то верно?», «Почему арифметика верна?», «Действительно или мнимо счастье?», «Причиняет ли булавка боль в том же самом смысле, в каком она создает укол?». Размышления о нашем месте в мире тесно связаны с научным познанием мира, поэтому неудивительно, что великие философы изучали естественные науки и оказали влияние на их развитие. Нельзя приняться за естественные науки, не сделав первого шага в философии.

Вы должны будете допустить, что существует окружающий мир, вы должны захотеть разобраться в нем и «понять» его. А при сборе фактов, формулировании научных законов или выдвижении теории философское начало в вас будет требовать ответа на вопрос: «Истинны ли они?». Размышляя над этим, вы, быть может, измените свое мнение о естественных науках. Когда вы завершите этот курс, вы, возможно, не решите еще общефилософской проблемы, но в той или иной степени приобщитесь к философским размышлениям и построите свою собственную философию естествознания.

Аристотель унаследовал общую философскую концепцию Платона. Отвечая на вопрос о конечной истине и реальности, Платон отбрасывал наблюдаемые нами индивидуальные различия между предметами и выделял простые идеальные формы. Собакам он ставил в соответствие идеальный класс собака, всем разновидностям камней — идеальный камень и т. д. Затем он выдвинул утверждение, что реально существуют только эти прообразы, или идеальные формы. Эти формы, или сущности, универсальны и неизменны, а отдельные их воплощения — лишь тени идеальных форм. Аристотель применил учение о классах вещей в качестве основы для логических заключений (если…, то…). И все же Аристотелю, пристально наблюдавшему и систематизировавшему природу, пришлось приписать отдельным камням и отдельным собакам в известной степени реальное существование. Поэтому его мировоззрение представляло собой некий компромисс. Впоследствии те, кто изучал его труды, наделяли обычные предметы все большей реальностью и стали рассматривать лежащие в основе их классы как понятия, порожденные человеческим мышлением, или просто как названия. Эта последняя точка зрения, согласно которой отдельные вещи реально существуют, приемлема для ученого, экспериментирующего с предметами и явлениями природы: ему хотелось бы верить, что он работает с реальными вещами.

В предлагаемом отрывке Вильям Дэмпьер[4] называет подобную точку зрения «номинализмом», хотя современные философы употребляют этот термин в несколько ином смысле.

«Независимо от истинности учения Платона об идеях с метафизической точки зрения породивший его склад ума не приспособлен к тому, чтобы продвинуть вперед естествознание. По-видимому, ясно, что, хотя философия по-прежнему оказывала преобладающее влияние на науку, развитию научных методов в большей степени благоприятствовал номинализм — сознательный или бессознательный.

Однако Платоновы поиски "форм постижимых вещей" можно, вероятно, рассматривать как догадки о причинах видимых явлений. Наука, как мы ее теперь понимаем, не может иметь дело с истиной в конечной инстанции; она способна лишь нарисовать картину природы в том виде, как ее воспринимает человеческий ум.

Наши представления обладают в известном отношении реальностью в этой идеализированной картине мира, но отдельные вещи — это не реальности, а изображения. Поэтому может оказаться, что современная форма [Платоновой концепции] идей будет ближе к истине, нежели грубый номинализм. Тем не менее скороспелые гипотезы, лежащие в основе большинства экспериментов, означают допущение о реальности отдельных вещей, и большинство ученых говорит о номинализме, не имея о нем представления…

Характерная слабость индуктивных наук у греков становится очевидной, если внимательно проанализировать их метод. Искусно оперируя теорией перехода от частного к общему, Аристотель на практике часто терпел самые плачевные неудачи. Опираясь на немногочисленные факты, он стремился к самым широким обобщениям. Естественно, из этого ничего не получалось; фактов было недостаточно и не было необходимой научной базы для их описания. Более того, Аристотель рассматривал метод индукции как просто вынужденный первый шаг к истинной дедуктивной науке, в которой логически выводят следствия из полученных ранее посылок».

Если про Аристотеля можно сказать, что он стимулировал развитие опытного естествознания, то Платон, пожалуй, был ближе к современному физику-теоретику с его приверженностью к основным принципам, лежащим в основе вещей. В качестве инструмента для своих рассуждений Аристотель разработал замечательную систему формальной логики, строгую систему аргументации, которая, исходя из принятых фактов или допущений, приводит к непреложному выводу. Занимаясь естественными науками, он прежде всего пытался извлечь из наблюдений некоторые общие принципы. Такой подход мы называем индуктивным. Затем он стремился, исходя из этих принципов и руководствуясь логикой, получить новое научное знание. Система логики Аристотеля сама по себе была замечательным открытием, но она стесняла развитие раннего опытного естествознания, ибо слишком много внимания уделялось аргументации. Эта система сильно повлияла на развитие нашей цивилизации. Большинство из нас не отдает себе ясного отчета в том, насколько на наш образ мышления повлияла логика Аристотеля с ее многовековой традицией, хотя многие мыслители сегодня подвергают сомнению ее строгую простоту. Доказательство в этой системе логики велось от одного абсолютного «да» или «нет» до другого абсолютного «да» или «нет», оно приводило благодаря логическим рассуждениям к верному выводу при условии, что верной была и исходная посылка. «Каждый ли человек смертен?», «Четырежды три равно четырнадцати?», «2+2=4?», «У всех собак 7 ног?». Мы отвечаем на любой из этих вопросов абсолютным «да» или «нет» и затем выводим из них ответы на вопросы вроде таких, как «Смертен ли Джонс?», «У моего терьера 7 ног?».

А вот попытайтесь ответить на такие вопросы: «Хорошо ли самопожертвование?», «Имел ли успех Линкольн?», «Правилен ли мой эксперимент по проверке закона Бойля?». Это важные вопросы, но было бы глупо настаивать в этих случаях на получении ответов типа «да» или «нет». Если вместо этого мы расширим диапазон наших суждений, то можем потерять кое-что в «логике», но существенно выиграем в интеллектуальном развитии. Лучше держаться подальше от людей, пытающихся представить любую проблему или спор в виде набора абсолютных утверждений и отрицаний.

Логика Аристотеля сама по себе была неуязвима; современные логики считают ее ограниченной и неплодотворной, но «истинной»[5]. Мое и ваше мышление пострадало под влиянием существующей многие столетия средневековой схоластики, слепо и упрямо заставлявшей придерживаться буквы учения Аристотеля, пострадало от «пропитанной казуистикой и книжной ученостью атмосферы отрешенного от мира средневекового университетского образования». Эта средневековая аристотелева традиция внедрена в сегодняшний язык и мышление, и люди, часто заблуждаясь, хотят услышать в качестве ответа абсолютное «да» или «нет».

Так, люди, приученные считать, что они должны выбирать между полным успехом и полной неудачей, приходят в отчаяние, столкнувшись с тем, что не могут достичь заветного — полного успеха.

Студентам в колледже, спортсменам на состязаниях, людям в служебной деятельности, пожилым, оглядывающимся на свою жизнь, — всем нам, считающим абсолютный успех единственной альтернативой неудачи, грозит жестокое разочарование. К счастью, многие из нас идут на более разумный компромисс, отказавшись подходить к самому себе с требованиями, основанными на позиции абсолютного «да» или «нет», и пользуются собственной мерой успеха. Тогда мы обнаруживаем, что нам легче ужиться с противоречивой смесью наших достижений и неудач. И в науке, где простая логика казалась некогда столь надежной, теперь мы более осторожны. Мы уже не считаем необходимым, например, на вопрос, является ли луч света волной, твердо ответить «да» или «нет». Мы должны сказать, что в некотором отношении луч света — волна, а в других отношениях — нет.

Мы более осторожны в выборе формулировок. Памятуя о том, что наши современные научные теории представляют собой скорее способ смотреть на природу и понимать ее, нежели ее подлинный портрет, мы задаем вопрос уже по-иному. Мы уже не спрашиваем: «Является ли луч света волной?», а говорим: «Ведет ли себя луч света, как волна?» И тогда мы вправе ответить: «В одних обстоятельствах — да, в других — нет». Там, где последователь Аристотеля утверждал бы, что электрон должен находиться либо внутри некоторого ящика, либо вне его, мы предпочли бы сказать, что электрон находится и там и там! Если вы сочтете, что подобные осторожные высказывания парадоксальны и способны лишь вызвать раздражение, вспомните две вещи: во-первых, вы воспитаны на аристотелевой традиции (и, возможно, было бы вполне благоразумно поставить под сомнение ее высокий авторитет); во-вторых, физики сами испытывали такое же смущение, как вы, когда эксперименты впервые вынудили их в какой-то степени изменить свои взгляды, но они предпочитают быть верными в большей степени эксперименту, нежели формальной логике.

Аристотель и авторитет

Аристотель интересовался главным образом философией и логикой. Он писал также научные трактаты, суммируя знания, которыми располагало человечество в его время, т. е. около 2000 лет назад. Труды Аристотеля по биологии были хороши потому, что носили главным образом описательный характер.

В своих трудах по физике Аристотель слишком много занимался основополагающими законами и последующими «логическими» рассуждениями на основе этих законов. Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит или как происходит. Аристотель весьма просто объяснял причины падения тел: он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности земли. Описывая, как падают тела, он высказывал утверждения вроде следующих: «…точно так же, как направленное вниз движение куска свинца или золота или любого другого тела, наделенного весом, происходит тем быстрее, чем больше его размер…», «одно тело тяжелее другого, имеющего тот же объем, но движущегося вниз быстрее…».

Аристотель с большим искусством обсуждал как философ причины падения тел и, вероятно, имел в виду более общий аспект изучения падающих тел, зная, что камни падают быстрее, чем птичьи перья, а куски дерева — быстрее, чем опилки. При продолжительном падении тело под действием трения о воздух начинает двигаться с постоянной скоростью, и, возможно, Аристотель имел в виду именно это обстоятельство[6].

Однако последующие поколения мыслителей и учителей, которые, пользовались книгами Аристотеля, толковали его утверждения неверно и учили тому, что «тела падают со скоростью, пропорциональной их весу».

Средневековые философы еще больше увлекались рассуждениями и пренебрегали экспериментальной проверкой. Большинство ранних трудов по геометрии и алгебре было утеряно, и экспериментальной физике пришлось ждать, пока их не нашли и не перевели. На протяжении всей эпохи средневековья труды Аристотеля были непререкаемы, причем в неправильном толковании. Простые люди, подобно детям, любят уверенность; они готовы слепо поклоняться авторитету и проглатывать его учение целиком. Вы улыбнетесь при этом и скажете: «Мы — цивилизованные люди, мы так не поступаем». Но вы можете тут же спросить: «Почему эта книга не сообщает нам факты и не излагает прямо необходимые законы с тем, чтобы мы могли быстро изучить настоящую науку?»

А ведь это-то и выражало бы вашу потребность в непреложном авторитете и спокойной уверенности! Мы теперь осуждаем «аристотелев догматизм» как ненаучный, но имеются еще люди, предпочитающие выносить суждения по написанному в книге, вместо того чтобы посмотреть, что же происходит на самом деле. Современный ученый — реалист; он ставит эксперименты и твердо придерживается полученных результатов, даже если они идут в разрез с тем, что ожидалось.

Логика и современная наука

Тяга к логике Аристотеля может ограничить кругозор, и использование этой логики в средние века, несомненно, тормозило развитие науки; но сама по себе логика — важный инструмент всякой подлинной науки.

Нам приходится размышлять индуктивно, как это делал Аристотель, и переходить от экспериментов к простым правилам. Мы часто считаем эти правила справедливыми вообще и переходим от них к предсказаниям и объяснениям. Некоторые наши аргументы базируются на логике алгебры, другие следуют правилам формальной логики, а иногда оказываются весьма произвольными.

Выводя научные правила из установленных ранее законов, мы верим в «неизменность природы»: мы верим, что то, что происходит в пятницу и в субботу, произойдет и в воскресенье или что некое простое правило, справедливое для нескольких различных спиральных пружин, действует и для остальных пружин[7].

Помимо всего прочего, мы полагаемся на согласие выводов разных наблюдателей. Именно это отличает иллюзии и галлюцинации, с одной стороны, и науку — с другой. Иллюзии у всех разные, тогда как научные результаты одинаковы у многих наблюдателей. В самом деле, ученые часто отказываются признать открытие, пока его не подтвердит ряд экспериментаторов.

Ученые идут дальше предположения о том, что природа проста, что существуют правила, которые могут быть установлены; они предполагают также, что к тому, что происходит в природе, можно применять логику. В этом заключается то, что помогло науке родиться из суеверий, — все укрепляющееся убеждение в том, что природа устроена рационально. Математика и элементарная логика играют важную роль в развитии науки и являются ее верными слугами. Современный ученый использует их в еще большей степени, но для экспериментальной проверки он возвращается вновь к природе. У идеального ученого, выражаясь фигурально, голова витает в облаках выдумок, руки ворочают математикой и логикой, а ногами он стоит на твердой почве эксперимента.

От греков к Галилею

«Изучая науку прошлого, студенты очень легко впадают в ошибку, полагая, что люди, жившие в прежнее время, были глупее их современников».

И. Бернард Кот

Авторитет Аристотеля рос и сохранялся до XVII столетия, когда итальянский ученый Галилей открыто и с насмешкой выступил против него. К тому времени многие стали, по-видимому, втайне сомневаться во взглядах Аристотеля на земное тяготение и движение. В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против традиционной механики и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея. Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении (при этом они употребляли архаичную терминологию) и наделяли движущиеся предметы «импульсом» (impetus), понимая под этим собственное движение, или количество движения тела, благодаря которому поступательное движение тела происходит без приложения силы.

Великий ученый Галилей одним из первых способствовал продвижению науки на ту новую ступень развития, где критическое мышление и фантазия ученого соединились с экспериментированием в единое содружество теории и эксперимента.

Галилей обобщил имевшиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Он порвал с последователями Аристотеля, когда те не приняли его учения и с пренебрежением отнеслись к изобретенному им телескопу. Галилей обрушился с язвительными нападками на всю их научную систему, противопоставив ей свою собственную механику. Он расчистил нагромождения, мешавшие ясному мышлению, и положил в основу своей схемы реальный эксперимент, причем не всегда опирался в своих выводах на собственные опыты, а чаще на опыты более ранних исследователей.

Мысленные опыты

В своих книгах и лекциях Галилей часто прибегал к рассуждениям, основанным на здравом смысле, ссылаясь на так называемые «мысленные опыты». Так, рассматривая прочность канатов на разрыв, он рассуждал следующим образом: предположим, что канат диаметром 25 мм способен выдержать ровно 3 т. Канат вдвое большего диаметра (50 мм) имеет вчетверо большую площадь поперечного сечения (πr²) и, следовательно, содержит в 4 раза больше волокон. Поэтому канат вдвое большего диаметра обладает вчетверо большей прочностью и должен выдерживать уже 12 т. Вообще, прочность должна возрастать как (диаметр).

Галилей привел это доказательство и распространил его на деревянные балки, опоры и кости животных[8]. В некоторых мысленных опытах имеют дело с упрощенными или идеализированными условиями, например падение тел в вакууме[9].

Законы свободного падения тел в идеальном случае

Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью. Галилей писал: «…различие в скорости движения в воздухе шаров из золота, свинца, меди, порфира и других тяжелых материалов настолько незначительно, что шар из золота при свободном падении на расстоянии в одну сотню локтей наверняка опередил бы шар из меди не более чем на четыре пальца. Сделав это наблюдение, я пришел к заключению, что в среде, полностью лишенной всякого сопротивления, все тела падали бы с одинаковой скоростью»[10]. Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы свободного падения для идеального случая:

1. Все тела при падении движутся одинаково: начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью.

2. Движение происходит «с постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т. е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину.

Предположив, что эти законы справедливы в идеальном случае, мы могли бы проверить их в реальных опытах, учтя отклонения, обусловленные трением.

Опыт, приписываемый Галилею

Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни[11]. (Одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 kГ.) Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня.

Он, несомненно, проделывал в молодости грубые опыты и знал, как и вы, что при этом происходит. Но он не стал ломать устои науки с помощью одного опыта. Галилей ускорил истинное развитие физики, опровергнув нелепые догматические утверждения последователей Аристотеля, и, использовав идеализированный подход к экспериментальным фактам, тем самым положил начало новому этапу в развитии науки. Именно это, а не падающая башня в Пизе стало вехой в истории науки. С великими личностями связано много легенд — о вишневых деревьях, подгоревших пирогах и т. п. Хотя ученым и доставляет удовольствие разоблачать эти анекдоты, следует признать, что они бывают полезны, ибо говорят о том, что думали о великом человеке его современники. Но легенда о бросании различных предметов с падающей башни в Пизе ничего не дает даже в этом отношении. И все же мы можем говорить об этом опыте совершенно безотносительно к Галилею и развитию науки как о символе простого опыта. В вашем самостоятельном опыте с бросанием двух различных камней оба камня падали почти одинаково и тяжелый камень не падал значительно быстрее, как думают некоторые. Мы будем обращаться к этому мысленному опыту, поскольку он напоминает о двух вещах: о необходимости прямого эксперимента и об удивительном, простом и очень важном факте, связанном с земным тяготением.

Фиг. 3. Символический эксперимент Галилея.

Честное экспериментирование и авторитеты

Из опытов, которые вы проделали сами, не следует, что все тела падают одинаково; из них не следует даже, что большой и маленький камни падают строго одинаково, и если, повинуясь книге или словам преподавателя, вы сказала бы, что все тела падают строго одинаково, вы обманули бы себя, поступившись честной наукой.

Мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково.

Приняв точку зрения Галилея, согласно которой простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха, вы сразу же легко сможете объяснить свои наблюдения, хотя при этом еще нужно будет исследовать сопротивление воздуха. Можно предположить, что вы никогда не слышали о точке зрения Галилея и пришли к ней, проделав серию опытов со все более и более плотными телами. Обнаружив, что по мере увеличения размеров тел или плотности материала, из которого они сделаны, движение тел оказывается более одинаковым, вы могли бы на основе некоторого предположения сформулировать правило и для идеального случая. Чтобы разобраться в обвинении, выдвигаемом против сопротивления воздуха, можно было бы попытаться уменьшить его, используя обтекание такого предмета, как, скажем, лист бумаги.

Предположение Галилея; решающий эксперимент Ньютона

Галилей мог лишь уменьшить сопротивление воздуха, но не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений с постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Этот скачок от реальных наблюдений к идеальному случаю явился замечательным вкладом Галилея в науку. Позже, оглядываясь назад, он смог «объяснить» различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха. Галилею удалось даже изучить сопротивление воздуха, определить его характеристики и понять, каким образом его можно учесть. Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросал сверху одновременно птичье перо и золотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея.

Научные объяснения

Когда мы «объясняем» различие в падении тел сопротивлением воздуха, то, как это часто бывает в науке, «объяснить» означает указать на сходство между исследуемым фактом и каким-то другим, уже известным фактом. По существу мы говорим: вы знаете о сопротивлении ветра, когда вы перемещаете какой-нибудь предмет в воздухе. Так вот, падающие тела испытывают сопротивление ветра, которое каким-то образом зависит от их объема. Деревянный и свинцовый шары одного размера, двигаясь с одинаковой скоростью, испытывали бы одинаковое сопротивление воздуха (откуда воздуху известно о том, что находится внутри шара?). Но свинцовый шар весит больше, притягивается сильнее, поэтому сопротивление воздуха имеет для него меньшее значение по сравнению с притяжением Земли[12].

Дальнейшие исследования

Это объяснение ведет к целой цепи новых исследований: действия ветра на летящее тело, трения в жидкости, обтекания тел.

Результаты изучения этих явлений находят приложение в баллистике и самолетостроении. Из более детального и строгого изучения правила поведения тел, из исследования нарушений этого правила возникает новая наука.

Вы могли бы продолжить опыты в другом направлении, создавая все большее сопротивление, используя сначала воздух, потом воду, и установить факты, имеющие важное значение для конструирования кораблей и самолетов. Простые опыты с трением в жидкости можно проделать, бросая небольшие шары в воду.

Шары разных размеров падают неодинаково. Более того, скорость шаров перестает возрастать после того, как они пролетают некоторое расстояние. Каждый шар, по-видимому, достигает постоянной скорости, а затем совершает равномерное движение вниз с этой скоростью. А что же дальше? Дальнейшие исследования привели бы вас к закону Стокса для трения, действующего в жидкости на движущийся шар (этот закон играет важную роль при измерении заряда электрона).

Исследуя падение более мелких тел (таких, как пылинки или капельки тумана), вы обнаружили бы в их движении удивительные нерегулярности, изучение которых в свою очередь могло бы дать ценные сведения из области атомной физики.

Опыты и рассуждения Галилея, которые вы повторили, привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью.

Другими словами, утверждение «все свободно падающие тела падают одинаково» есть некий экстракт, искусственно выделенный учеными из реальных явлений природы. Такой подход представляется разумным: сперва при определенных упрощающих предположениях или ограничениях вывести общее правило, затем искать новые условия и исключения, а потом использовать их, чтобы отшлифовать это правило и распространить наше познание на новые факты. Что касается свободного падения тел, то мы можем теперь проверить первоначальное правило, бросая предметы в вакууме. Попросите, чтобы вам продемонстрировали опыт Ньютона с монетой и пером. Однако в физике часто приходится довольствоваться лишь тем, что наше правило представляет собой некое упрощение, и верить в него как в идеальный случай, имея при этом лишь косвенные подтверждения правильности этого правила.

Ограничение числа переменных

Помимо пренебрежения сопротивлением воздуха, мы ограничили наше изучение свободного падения тел еще тем, что сосредоточили внимание только на одном — сопротивлении скорости падения разных тел. Мы не обращаем внимания на то, какой шум производят тела при падении, как они вращаются вокруг своих осей, не интересуемся тем, какие происходят изменения температуры, и т. д. Сузив на время наши интересы, мы облегчаем возможность нахождения простого правила. Это опять-таки разумный подход к научным изысканиям. Во многих исследованиях мы не только сосредоточиваем внимание на нескольких сторонах явления, но и стараемся, чтобы все прочие стороны оставались неизменными и не вносили путаницы в результаты. В физике мы почти всегда ограничиваем наши исследования одной парой одновременно меняющихся параметров. Например, мы сжимаем воздух в сосуде и измеряем его объем при различных давлениях, поддерживая температуру постоянной. Или мы нагреваем газ и измеряем давление при различных температурах, поддерживая постоянным объем.

Из этих опытов мы можем вывести два полезных «газовых закона», которые можно объединить в один замечательный закон. Если бы мы не ограничивали число переменных во время экспериментов, а предоставляли изменяться и температуре, и давлению, и объему, то, конечно, и тогда смогли бы обнаружить этот закон. Но наши измерения были бы запутанными и сложными, и заметить связывающее их соотношение было бы куда труднее. В других естественных науках, таких, как биология и психология, ученые, последовав опыту физики, нашли бы этот метод опасным. Ограничивая свое внимание одной стороной развития или поведения объекта изучения, исследователь может упустить из виду индивид или психику в целом. При попытке применить методы естественных наук к общественным наукам, например к экономике, такая опасность оказывается еще более серьезной.

Почему тела падают?

Аристотеля интересовал ответ на вопрос: «Почему?». Почему тела падают? А что вы ответите на этот вопрос? Если вы скажете: «Вследствие гравитации, или земного притяжения», то не будет ли это означать, что вы просто прячетесь за длинное слово? Слово «гравитация» латинского происхождения и означает тяжелый или весомый. Вы говорите: «Тела падают, потому что они весят».

Почему же тела весят? Если вы ответите: «Вследствие силы тяжести», то это будет замкнутый круг. Если вы ответите: «Потому что Земля притягивает их», то следующий вопрос будет: «Откуда вы знаете, что Земля продолжает притягивать тела, когда они падают?». Любая попытка доказать это, применяя какое-либо приспособление для взвешивания во время падения, приводит к неудаче.

Вам, возможно, придется сказать: «Я знаю, что Земля притягивает их, потому что они падают», и вы снова вернетесь к началу.

Подобными рассуждениями можно довести молодого физика до слеэ. Действительно, физика не объясняет тяготения, она не может установить его причину, хотя может сообщить о нем кое-что полезное. Общая теория относительности дает нам возможность представить себе тяготение в новом свете, но по-прежнему не устанавливает его первопричины. Мы можем сказать, что тела падают, потому что их притягивает Земля, но когда мы хотим объяснить, почему Земля притягивает тела, то все, что мы можем в действительности сказать, это: «Просто потому, что притягивает. Так устроена Природа»[13].

Это вызывает разочарование у тех, кто надеется, что наука должна объяснить все. Мы же теперь считаем, что подобные вопросы о первопричине относятся уже к компетенции философии.

Современная наука спрашивает о том, что и как, но не спрашивает о первичном почему. Ученые часто объясняют, почему происходит то или иное явление. Однако это не означает, что указывается первопричина или дается конечное объяснение; объяснение лишь связывает рассматриваемое явление с другими явлениями, относительно которых мы уже пришли к соглашению. Наука может лишь дать нам некоторое успокоение и понимание, связав вместе якобы различные факты. Так, сейчас наука не может сказать нам, что такое электричество, но говорит нам, что гул грома и треск искусственной электрической искры — почти одно и то же, рассеивая тем самым внушающее страх суеверие.

Аристотель объяснял падение тел следующим образом: «Естественное место тел — на поверхности Земли, поэтому они стремятся занять это место». Сегодня это объяснение называют глупым.

Тем не менее в известном смысле оно сходно с нашей современной точкой зрения. Аристотель просто говорил: «Тела падают. Это естественно». Однако он развивал свою схему слишком далеко. Он объяснял, что плывущие над нами облака поднимаются кверху, потому что их естественное место — наверху, в небе, и упускал таким образом из виду некоторые простые факты о плавучести[14].

Аристотель много занимался установлением «естественного места» и «естественного пути». Он различал «естественное движение» (падающих тел) и «насильственное движение» (брошенных тел). Он мог бы создать учение о силах и движении, если бы не ошибка, связанная с перенесением на все движения обывательского представления о лошади, тянущей телегу. Если лошадь развивает постоянное усилие, телега движется с постоянной скоростью. Это, по-видимому, и привело Аристотеля к представлению о том, что для поддержания постоянной скорости движущегося тела необходима постоянная сила, причем большая сила поддерживает большую скорость. Это разумное объяснение для случая, когда телу приходится преодолевать силу сопротивления. Однако оно приводит к заблуждению в случае свободного падения тел. Это объяснение не учитывает силы сопротивления и не дает возможности увидеть, что происходит, когда нет сопротивления.

Чтобы объяснить движение летящего тела, греки представляли, что оно поддерживается «напором воздуха», а для объяснения движения звезд и планет им потребовались еще более таинственные силы. Согласно представлениям греков, чтобы сохранить неизменным движение, необходим толчок. Стрела, пока она не отделилась от лука, движется под действием толчка, создаваемого тетивой. Для объяснения движения летящей стрелы потребовалось призвать на помощь еще одну силу. Философы — последователи Аристотеля рассматривали напор воздуха, толкающий стрелу, не просто как порыв ветра, движущийся вместе с нею, а как циркуляцию воздуха, при которой воздух впереди стрелы расталкивается в стороны и, обтекая стрелу, толкает ее сзади.

Этот напор воздуха с успехом предотвращал образование бессмысленного вакуума за стрелой.

Представление о напоре воздуха, дополненном начальными возмущениями, утвердилось настолько прочно, что им воспользовались как доводом при доказательстве невозможности движения в вакууме падающих тел. В вакууме, где сопротивление отсутствует, любая сила поддерживала бы движение с бесконечной скоростью, рассуждали греки, поэтому вакуум невозможен. Бог никогда не мог бы создать вакуум. Сам Аристотель понимал, что в вакууме все предметы падали бы одинаково, но он тоже рассматривал это как доказательство невозможности существования вакуума.

Масса

Чем бы в действительности ни было земное тяготение, все тела, если не учитывать влияния сопротивления воздуха, падают одинаково. Это приводит к удобному представлению, с которым мы будем встречаться снова и снова, — к представлению о массе.

Предположим, что у нас имеются два куска свинца, весом 1 и 0,5 кГ. Держа их в руках, мы чувствуем, что большой кусок притягивается сильнее, ощущаем его больший вес. Именно поэтому нам кажется, что он будет падать быстрее. В действительности же это не так. Должен существовать какой-то другой фактор, нечто такое, что приходится преодолевать удвоенной силе веса. Основанием для такого предположения служит тот факт, что движение должно сообщаться вдвое большему количеству свинца. К свинцовой чушке вдвое большего размера, содержащей вдвое большее количество свинца, необходимо приложить удвоенную силу притяжения, чтобы привести в такое же движение. Галилей ощупью подошел к представлению о количестве вещества, которое мы называем массой, но четко это было сформулировано лишь Ньютоном. Представление о массе понять не просто, но мы будем много раз к нему возвращаться, ибо оно играет в физике очень важную роль.

Сейчас мы обратим внимание на замечательный факт: независимо от материала, из которого состоит тело, притяжение силы тяжести в точности пропорционально количеству притягиваемого вещества. Земное тяготение, эта таинственная сила, притягивает без всяких различий любое тело, из чего бы оно ни состояло, притягивает два кирпича вдвое сильнее, чем один, 4 м³ свинца в 4 раза сильнее, чем 1 м³. Таким образом, на тело, в котором заключено больше вещества, действует большая сила притяжения, и при свободном падении его движение будет таким же, как движение меньшего тела.

Поле силы тяжести

Это обстоятельство, в котором мы убеждаемся повсюду, мы называем наличием тяготения, способностью притягивать тела. Мы говорим, что существует поле силы тяжести. Придумывая новый термин[15], мы ничего нового не объясняем, но впоследствии он будет нам полезен.

В данный момент вы должны представлять себе поле силы тяжести как способность притянуть к Земле, заставить падать (с пропорционально возрастающей силой) любое тело, помещенное в это поле. То же самое происходит с кусочками железа вблизи магнита: магнитное поле способно притянуть их. В трубке вашего телевизора электрическое и магнитное поля ускоряют летящие электроны и быстро перемещают по экрану пучок, создающий изображение.

Мы, пожалуй, несколько увлеклись новыми словами и представлениями, такими, как масса и поле, появляющимися в результате простых экспериментов. Если мы будем просто поклоняться новым представлениям и словосочетаниям, то рискуем вернуться к тому положению, когда явления объяснялись колдовством. Если же мы будем пользоваться этими новыми представлениями для развития наших знаний, экспериментально проверяя выдвигаемые нами предположения, то они помогут успешному развитию науки.

Доказательство Галилея

Галилей был большим мастером полемики. Последователи Аристотеля сплели целую сеть «научных» доводов, основанных на утверждениях Аристотеля, однако Галилей их побил их же собственным оружием. Логические рассуждения убеждали их больше, нежели экспериментальное доказательство, поэтому Галилей рассмотрел следующий мысленный эксперимент. Возьмем три одинаковых кирпича: А, В, С. Выпустим их одновременно из рук, предоставив им возможность свободно падать. Теперь соединим А и В цепью (невидимой целью, которой на самом деле не существует) так, чтобы они образовали одно тело А + В, вдвое более тяжелое, чем С. Выпустим их снова из рук. Последователь Аристотеля теперь предположил бы, что тело А + В будет падать вдвое быстрее, чем тело С, но на самом деле это тело представляет собой два отдельных кирпича, поэтому оно будет падать точно так же, как и прежде, т. е. с такой же скоростью, что и тело С. «Позвольте, — возразит последователь Аристотеля, — ведь тела А и В соединены цепью. Один из кирпичей каким-то образом слегка опередит другой и потянет его вниз, заставив всю комбинацию из двух кирпичей падать быстрее». «Да, но в таком случае, — говорит сторонник Галилея, — второй кирпич, несколько отставая, потянет первый назад, заставив всю комбинацию двигаться медленнее!». Не считаете ли вы, что в сопоставлении А + В и С заключено в зародыше представление о массе?

Фиг. 4. Мысленный эксперимент Галилея.

Свободное падение

Если все свободно падающие тела движутся одинаково, то это движение само по себе заслуживает детального исследования. Оно могло бы рассказать нам кое-что о природе вообще, о чем-то общем для всех падающих предметов. Свободно падающие тела движутся все быстрее и быстрее, они ускоряются. (Это слово означает лишь «движутся быстрее», употребление его не делает наше утверждение более научным.) Какого же рода ускоренное движение они совершают?

1. Возрастает ли скорость скачкообразно? Эксперимент отвечает на этот вопрос отрицательно.

2. Возрастает ли скорость в прямой пропорции к пройденному расстоянию! Галилей путем остроумных рассуждений показал, что это весьма маловероятно[16]

3. Возрастает ли скорость прямо пропорционально времени?

4. Возрастает ли она пропорционально квадрату времени?

5. Или каким-то иным, более сложным образом?

Поскольку мы задаем вопрос о реальной природе, ответ на него могут дать только эксперименты. (Если вы хотите узнать, какого роста был Авраам Линкольн, вам придется узнать это у кого-нибудь, кто фактически измерял его рост. Сведения, почерпнутые из книг, бесполезны, если они не исходят первоначально из реальных измерений. Одна алгебра ничем не сможет вам помочь.) Мы могли бы отправиться прямо в лабораторию и упрямо экспериментировать, надеясь получить важный материал из множества измерений. Или же мы могли бы сначала все обдумать, высказать предположения относительно каких-то простых типов движения, рассчитать результаты для каждого из них, а затем проверить эти результаты в лаборатории экспериментально. Оба метода содействовали бы развитию науки.

Индуктивный и дедуктивный методы

Первый метод называют индуктивным. Мы собираем информацию либо в лаборатории, либо из накопленного багажа профессиональных знаний и затем извлекаем из этой информации простое правило или описание явлений природы. Этот процесс вывода общих положений мы называем индуктивными выводами, или просто индукцией. Сначала собираются экспериментальные данные, а затем из этих данных выводятся общие правила или законы. Так, наблюдая в течение нескольких лет за Луной, можно было бы извлечь правило, по которому Луна регулярно обращается вокруг Земли, совершая примерно 13 оборотов в год и, пользуясь методом индукции, можно прийти к уверенному выводу, что так будет продолжаться и впредь. Далее, из обширных наблюдений лунного затмения мы могли бы вывести индуктивным путем правило, согласно которому затмения Луны происходят несколькими регулярными сериями, причем в каждой такой серии затмения следуют одно за другим через постоянный промежуток времени, близкий к 18 годам.

Второй метод называют дедуктивным. Мы исходим из каких-то общих правил или представлений, а затем путем логических рассуждений выводим из них частные следствия или предсказания.

Ученые проверяют затем подобные предсказания на опыте. Если эксперимент подтверждает предсказания, то мы продолжаем развивать свою схему. Если же результаты эксперимента расходятся с нашими выводами, мы подвергаем сомнению первоначальные предположения и пытаемся видоизменить их. Например, мы могли бы предположить, что затмения Луны вызываются тем, что Земля оказывается на пути солнечных лучей и отбрасывает тень на Луну; далее мы делаем предположение о характере движения Солнца и Луны и затем путем дедукции приходим к выводу, что затмение должно снова произойти через промежуток времени, достаточный для того, чтобы Солнце и Луна вернулись в то же самое положение по отношению к Земле. Этот промежуток времени должен быть «наименьшим общим кратным» одного лунного месяца и одного солнечного года. Так, комбинируя простые наблюдения и разумные предположения, мы могли бы сделать дедуктивный вывод о восемнадцатилетнем цикле повторения затмений. (Для успешного расчета в качестве солнечного года необходимо взять особый, короткий год, связанный с меняющейся орбитой Луны.)

Ланцелот Хегбен указывает: «Читателям детективной литературы известны два типа сыщиков. Одни придерживаются метода Фрэнсиса Бэкона, собирая на картотеку по крупицам всю относящуюся к делу информацию. Другие, подобно Ньютону, следуют какой-то идее и, как Ньютон, тотчас отбрасывают ее, если она приходит в противоречие с наблюдаемыми фактами. Единство науки — в природе результата исследований, в единстве теории и практики. Каждый вид поиска по-своему полезен, и лучший сыщик тот, кто сочетает оба метода, руководствуясь своей идеей для проверки гипотез, причем готов к появлению новых фактов»[17].

Один из ведущих американских физиков П. Бриджмэн следующим образом выразил общую точку зрения: «Я бы сказал, что не существует научного метода как такового, и самая существенная особенность методики научной работы состоит просто в том, что ученый должен действовать во всю силу своего ума, не гнушаясь ничем, за что можно было бы ухватиться».

Изучение ускоренного движения индуктивным и дедуктивным методами

Первоначальное развитие науки было обязано главным образом индуктивному методу познания; в нашем рассмотрении свободного падения тел мы пользовались методом индукции и на основании многих наблюдений установили общее положение, согласно которому все тела, свободно падающие в вакууме, движутся одинаково. Изучая детали этого движения свободного падения, Галилей, по-видимому, использовал одновременно оба метода. Он выдвигал плодотворные гипотезы и умело использовал геометрию и логические рассуждения.

Мы воспользуемся теперь вторым методом, т. е. дедукцией. Начнем с принятия некоторого правдоподобного правила, а затем сопоставим выводы из принятого правила с действительным свободным падением тел.

Выберем приведенное выше предположение 3 (стр. 37), т. е. примем, что скорость свободно падающего тела возрастает равномерно на одну и ту же величину за равные отрезки времени. Можно дать более удобную формулировку этого предположения, сказав, что оно предусматривает движение «с постоянным ускорением», но для этого необходимо придать слову ускорение вполне определенный смысл. Назовем ускорением величину

[ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ], или ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ

Давая это определение ускорению, мы на самом деле выбираем величину (приращение скорости)/(затраченное время), удобную для пользования, а затем как-то называем ее. Мы вовсе не раскрываем истинного смысла, заключенного в слове «ускорение»! Мы делаем выбор и приписываем выбранной величине наименование, потому что она оказывается удобной для описания рассматриваемого явления природы.

Поскольку мы часто будем иметь дело с изменяющимися величинами, нам необходим краткий способ записи величин «изменение…» или «приращение…». Выберем для этого символ Δ — греческую букву дельта. Первоначально этот символ употреблялся вместо буквы d в слове «difference» (разность). Тогда наше определение[18] ускорения будет выглядеть следующим образом:

УСКОРЕНИЕ = [ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] = [ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ИЗМЕНЕНИЕ ПОКАЗАНИЙ ЧАСОВ],

a = Δv/Δt,

где а — ускорение, v — скорость, t — время.

Дедуктивный анализ движения с постоянным ускорением

Теперь выразим наше предположение о свободном падении тел при помощи этой новой терминологии. Предположим, что для тел, совершающих свободное падение (в вакууме),

Δv/Δt постоянно

Эта запись формулирует чрезвычайно смелое предположение о реальной природе. Справедливо ли оно? Постоянна ли величина Δv/Δt. Чтобы непосредственно проверить это, нам пришлось бы воспользоваться специальным прибором, чтобы измерить ускорение тела (Δv/Δt) на каждом этапе его падения. Такие приборы существуют, но они сложны, и нам не удалось бы получить с их помощью необходимого убедительного доказательства справедливости предположений. Поэтому мы последуем примеру Галилея и прибегнем к помощи логической машины — математики, чтобы получить вывод, который затем можно будет проверить на опыте.

Математика говорит: если ускорение a(=Δv/Δt) постоянно и s — расстояние, пройденное за время t с этим постоянным ускорением, то

s = 1/2 at²,

если движение начинается из состояния покоя, и

s = v₀t + 1/2 at²,

если движение начинается со скоростью v₀ в момент t = 0, когда включаются часы. (Логическое доказательство правильности этого «если…, то…» дается в приложении I, стр. 60.) В этих соотношениях 1/2 а — это число, поскольку мы предполагаем, что а постоянно; поэтому для движения, которое начинается из состояния покоя,

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ = (ПОСТОЯННОЕ ЧИСЛО)∙(ВРЕМЯ)²,

или

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ возрастает прямо пропорционально (ВРЕМЯ)²,

или

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ изменяется прямо пропорционально (ВРЕМЯ)²,

или

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ пропорционален (ВРЕМЯ)² [или: ~ (ВРЕМЯ)²].

(Так сокращенно записывается любая из приведенных выше формулировок. Вместо слова «пропорционален» мы будем употреблять также знак ~.)

Например, если тело, движущееся с постоянным ускорением, проходит определенный путь за 1 сек, считая с момента начала движения из состояния покоя, то оно пройдет в 4 раза больший путь за 2 сек после начала движения из состояния покоя, в 9 раз больший путь за 3 сек и т. д.

Задача 1. График ускоренного движения

а) Предположим, что жук ползет к себе домой, совершая движение, для которого справедлива формула:

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ ~ (ВРЕМЯ)².

Начиная движение из состояния покоя, жук проходит за первую секунду 5 мм. Какой путь он пройдет за 2 сек от начала движения? За 3 сек? За 4, 5, 6 сек?

б) Проведите на листе бумаги прямую линию; отметьте исходную точку вблизи одного конца проведенной линии и нанесите на ней шкалу в сантиметрах. Нанесите отметки, соответствующие месту нахождения жука в конце каждой секунды.

Задача 2. Простое правило

Галилей предложил для равномерно-ускоренного движения соотношение s ~ t² (где s — весь пройденный путь за все время t с момента начала движения из состояния покоя); он сформулировал для такого движения еще одно простое правило, связывающее расстояния d₁, d₂…, проходимые в течение следующих друг за другом односекундных интервалов, т. е, расстояние, пройденное за первую секунду, расстояние, пройденное в течение следующего интервала продолжительностью 1 сек, и т. д. Найдите такое правило в задаче 1 и сформулируйте его. (Указание. Вычислите d₁ = s₁ — 0, d₂ = s₂ — s₁… и найдите правило, связывающее эти расстояния, проходимые за 1 сек.)

Задача 3. Научное мышление

а) Правило, о котором идет речь в задаче 2, можно было предвидеть, поразмыслив над ускоренным движением, исходя из здравого смысла и не пользуясь алгебраическими формулами или каким-либо конкретным примером.

Каким образом? (Указание. Путь, пройденный за 1 сек., является мерой…?… за этот промежуток времени.)

б) Ограничено ли правило задачи 2 (подобно соотношению s ~ t²) движением, начинающимся из состояния покоя при t = 0, или оно применимо к любому движению с постоянным ускорением?

Задача 4. Анализ движений

Ниже приведены данные о пути, пройденном четырьмя велосипедистами, совершившими различные по характеру движения. Все велосипедисты проходили мимо поста Р в момент пуска часов. Пройденные ими расстояния от Р спустя 1, 2, 3, 4, 5 сек даны в следующей таблице:

а) Попытайтесь проанализировать каждое из этих движений, проверяя постоянство ускорения не при помощи соотношения s ~ t², а в свете ответов на приведенные выше задачи 2 и 3.

б) Опишите, если сможете, общий характер движения, когда оно происходит не с постоянным ускорением.

Экспериментальные исследования

Можно показать, что справедливо и обратное. Если пройденный путь s прямо пропорционален t², то ускорение постоянно[19]. Это утверждение дает нам соотношение, которое можно проверить, исследуя реальные движения. Пусть часы отсчитывают равные интервалы времени; будем измерять расстояния, которые проходит падающее тело за промежутки времени, отсчитываемые с момента начала движения из состояния покоя и находящиеся в отношении 1:2:3… Если проходимые телом расстояния будут находиться в отношении 1:4:9…, то движение происходит с постоянным ускорением. Или, как это делают в одном из лабораторных экспериментов, можно измерять время t для различных расстояний s, проходимых от начала движения, и проверить справедливость соотношения s = (постоянное число)∙(t²) путем арифметических расчетов или построения графиков.

Свыше трех столетий назад Галилей воспользовался этим методом, хотя и не располагал ни современными часами, ни методом графического анализа. Галилей был одним из первых, кто предложил точные часы с маятником, но сам, по-видимому, не делал таких часов. Для измерения времени Галилей пользовался большим баком с водой, в котором было отверстие, откуда вода вытекала в сосуд. Он оценивал промежутки времени, взвешивая вытекшую воду, — метод грубый, но тем не менее достаточно точный для проверки установленного им закона. Свободное падение тел с высоты, доступной в то время экспериментатору, было довольно непродолжительным, и выполнить эксперимент при помощи прибора Галилея[20] было слишком трудно. Поэтому Галилей «управлял» земным тяготением, используя наклонную доску, по которой скатывался шар. Он измерял промежутки времени, за которые шар проходил расстояния 0,5, 1 м и т. д. от начала движения из состояния покоя.

На основе грубых опытов и разумных предположений Галилей пришел к выводу, что шар скатывается вниз по наклонной доске с постоянным ускорением. Считая этот вывод справедливым для любого наклона и переходя в своих рассуждениях к вертикально стоящей доске, Галилей предположил, что он будет справедлив и для свободного падения[21].

Представление о постоянном ускорении было высказано более ранними исследователями, но они были осмеяны. Галилей сделал все зависящее, чтобы свести к минимуму трение, угрожавшее усложнить дело, хотя мы теперь знаем, что постоянное трение не нарушает простого соотношения. Результаты Галилея были приближенными, но, по-видимому, они убедили его в правильности сделанного им предположения. Это был самый простейший доступный его представлению вид ускоренного движения, и на Галилея, вероятно, повлияла та вера, которая вдохновляла всех ученых — от греков до Эйнштейна, — вера в то, что природа в своей сущности проста.

Позднейшие эксперименты, выполненные с помощью усовершенствованной аппаратуры, подтвердили вывод Галилея. Движение происходит с постоянным ускорением, т. е. Δv/Δt = const во всех перечисленных ниже случаях:

а) шар или колесо катятся по наклонной доске;

б) тело скользит или тележка движется на колесах по гладкой наклонной доске;

в) тело падает свободно.

Однако каждая такая экспериментальная проверка показывает лишь, что ускорение постоянно в данном конкретном случае и в пределах точности данного эксперимента. Если мы как ученые хотим поверить в то, что существует общее правило, выведенное из этих экспериментов, если мы хотим описать явление природы с помощью простого «закона», который послужит исходной точкой для новых дедуктивных выводов, то нам потребуется множество взаимно согласованных доказательств, которые явятся основой нашего вывода. Чем больше таких доказательств, чем более разнообразны они, тем лучше; ни одним нельзя пренебрегать. Если же результаты какого-нибудь эксперимента противоречат общему правилу (а результаты некоторых экспериментов действительно ему противоречат), то их снова тщательно проверяют. Пословица «Исключение подтверждает правило», хотя часто ее понимают неправильно, превосходна с точки зрения ученого, если слову «подтверждает» придавать значение «испытывает», «проверяет». Если же слово «подтверждает» употребляется в обычном значении «показывает, что то-то и то-то правильно», то пословица лишена смысла[22].

Исключения вовсе не доказывают, что правило верно. Исключения заставляют подвергать правило тщательной проверке и указывают на ограничения его применения. Они заставляют задать вопрос: «Что является виной?», либо выявляют ограничения, накладываемые на правило, либо заставляют проводить эксперименты более тщательно. В любом случае правило становится более очевидным.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ

Необходимо проследить за какими-нибудь опытами по ускоренному движению и проделать их самим. Эти опыты не только заставят вас почувствовать, что экспериментальная база науки более реальна, чем это казалось раньше, но позволят вам с большим доверием отнестись к огромному множеству накопленных наукой экспериментальных доказательств. Галилей по существу лишь высказал мудрые предположения, другие исследователи дополнили их тщательными измерениями, и вам следует проделать кое-какие измерения и высказать свои взгляды.

Опыт 1. Возьмем небольшую тележку, пустим ее вниз по длинной установленной наклонно доске и измерим ускоренно тележки. Измерять скорости в лекционном опыте — задача не простая, но, чтобы показать, как определяется ускорение, достаточно приближенной оценки. Мы измеряем скорость тележки в каком-либо пункте А, в начале движения тележки, а затем еще раз — в пункте В, расположенном несколько ниже. Разность между этими скоростями дает нам приращение скорости Δv. Промежуток временя Δt, в течение которого скорость возрастает на указанную величину, представляет собой время, за которое тележка перемещается из А в B. Тогда ускорение равно Δv/Δt.

Чтобы измерить Δt, укрепим на тележке тонкий стержень М и измерим с помощью секундомера время, за которое М перемещается от А до В.

Чтобы оценить скорость тележки в точке A, мы должны зафиксировать промежуток времени, в течение которого тележка проходит короткий путь в окрестности точки А. Мы могли бы установить в этом месте короткую доску, середина которой совпадала бы с точкой А, как на фиг. 6, и измерить время, за которое стержень переместится на длину доски.

Фиг. 6. Демонстрационный опыт.

Однако при измерении коротких промежутков времени ошибки оказываются слишком большими, поэтому лучше установить доску на движущейся тележке и измерять время ее прохождения мимо точки А с помощью фотоэлемента. На фиг. 7 показана удачная схема эксперимента.

Фиг. 7. Схема опыта, в котором с помощью двух фотоэлементов и трех электрических часов измеряется ускорение тележки при движении по наклонной плоскости.

_{Электрическая схема включения часов и фотоэлемента для пункта А такая же, как для пункта В. Часы С для измерения продолжительности движении тележки не показаны; ими управляет сам экспериментатор.}

Луч света падает под прямым углом к направлению движения тележки и попадает на фотоэлемент, в цепи которого при освещении возникает электрический ток. Этот ток усиливается и используется для приведения в действие электромагнита. Электромагнит связан с электрическими часами и удерживает их в выключенном состоянии. Когда пучок света перекрывается, электромагнит выключается и часы начинают идти. На тележке укреплен лист картона, который перекрывает пучок света, пока тележка проходит соответствующий отрезок пути. Таким образом, часы идут в то время, пока тележка проходит мимо фотоэлемента в точке А, и регистрируют время, за которое картон перемещается мимо пучка света. За это время тележка должна пройти расстояние, равное длине картона. Тогда величина

ДЛИНА КАРТОНА / ВРЕМЯ ЗАТЕМНЕНИЯ

дает скорость тележки.

Нам потребуется трое часов: одни для измерения общей продолжительности движения между двумя пунктами А и В, в которых определяются скорости, другие для измерения того времени, когда картон проходит мимо пункта А, и третьи — для таких же измерений в пункте В.

Приведенная ниже задача иллюстрирует расчет ускорения.

Задача 5

Предположим, что длина картона, укрепленного на тележке, равна 60 см, а затемнение в пункте А продолжается 0,30 сек. Какова скорость тележки при прохождении пункта А? Если продолжительность затемнения в пункте В равна 0,10 сек, то чему равна скорость тележки а пункте В? Чему равно приращение скорости Δv? Если тележка проходит путь от А до В за 2,0 сек, то чему равно ее ускорение?

В задаче 5 ничего не говорится о том, что движение начинается из состояния покоя. Тележка, проходя мимо пункта А, находится в движении, и мы можем сообщить ей любой начальный толчок.

Таким образом, можно повторить эксперимент при самых различных начальных скоростях. Мы можем даже толкнуть тележку вверх так, чтобы, проходя первый раз мимо пункта А, она двигалась в обратном направлении; но при этом мы должны внимательно следить за знаками + и —. Измерения позволяют определить ускорение независимо от начальной скорости. Будет ли ускорение одинаково при различных начальных скоростях — это вопрос к самой природе. Чтобы ответить на него, вам придется принять участие в реальном опыте.

В условиях лаборатории вы сможете провести опыт с колесом, скатывающимся по наклонным направляющим. Измерить непосредственно ускорение или (возрастающую) скорость нелегко.

Вместо этого нужно измерить расстояние, пройденное от начала движения, и время движения, а затем проверить, удовлетворяют ли обе величины соотношению

ПРОЙДЕННОЕ РАССТОЯНИЕ ~ (ВРЕМЯ)².

Собрав надежные данные измерений, необходимо произвести проверку как арифметически, так и на графиках.

ОПЫТ С УСКОРЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ

Продолжим рассмотрение воображаемого движения с постоянным ускорением. Предположим, что измерения дали следующие результаты:

Эти измерения слишком малочисленны, кроме того, они сделаны через такие интервалы, что трудно произвести надлежащую проверку, но для иллюстрации их достаточно. Четыре значения: 5,1; 5,4; 5,0; 5,3 — это результаты четырех попыток измерить время прохождения расстояния 60 см. Случайные ошибки могут быть устранены усреднением полученных результатов, хотя часть ошибок все же может остаться, например ошибка, возникшая вследствие преждевременного выключения секундомера нетерпеливым экспериментатором. Усредним полученные данные, складывая их и деля на 4:

СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ = (5,1 + 5,4 + 5,0 + 5,3)/4 = 20,8/4 = 5,2 сек

Поступая подобным же образом с другими промежутками времени, можно составить табл. 2[23].

Беглый взгляд на эти цифры показывает, что время не возрастает пропорционально пройденному расстоянию. График на фиг. 8, построенный по этим значениям, свидетельствует о том же самом. Он показывает, что тело движется все быстрее и быстрее, т. е. с ускорением.

Фиг. 8. Зависимость пройденного расстояния от времени.

Правда, глядя на этот график, сказать нельзя, постоянно ли ускорение[24]. Чтобы проверить это, построим другой график, который в случае постоянного ускорения будет иметь вид прямой линии. Какой график нужно строить, видно из предположения о постоянном ускорении и из дедуктивного отношения:

РАССТОЯНИЕ ~ (ВРЕМЯ)².

Отсюда следует, что нужно построить на графике зависимость пройденного расстояния от квадрата времени. В соответствии с этим составим табл. 3.

Затем построим график фиг. 9.

Фиг. 9. Зависимость пройденного расстояния от квадрата времени.

Чтобы проверить, постоянно ли ускорение, проведем через начало координат «наилучшую» прямую. Мы произвольно проводим для проверки прямую линию, но стараемся провести ее так, чтобы она проходила «как можно ближе к возможно большему числу» точек на графике.

В этом примере точки лежат близко к проведенной прямой. Если мы считаем, что отклонения точек от прямой объясняются несовершенством нашей аппаратуры, то мы говорим, что, насколько можно судить из проведенных измерений, движение происходит с постоянным ускорением.

Построение графика с указанием возможных ошибок опыта

Если мы желаем яснее обнаружить наличие погрешностей в полученных нами данных, мы можем превратить каждую наносимую на график точку в пятно и представить таким образом погрешности измерения в величине времени и расстояния (см. фиг. 10, а, где точки, отвечающие измеренным значениям, заменены пятнами, характеризующими погрешность результата).

Измерение времени менее надежно, чем измерение расстояния, поэтому каждое пятно размыто больше в ширину, чем в высоту.

Поскольку мы не знаем действительных значений ошибок наших опытов, а знаем лишь их вероятное значение, каждое пятно должно простираться на неопределенное расстояние от соответствующей точки. Однако мы должны указать, что внешние области пятна отвечают маловероятным ошибкам. Это можно было бы сделать, затушевав пятно, как показано на фиг. 10, б. Рисовать такое пятно — слишком утомительная процедура, поэтому обычно принято изображать ошибки прямоугольником определенного размера, таким, чтобы вероятность нахождения истинного значения в пределах прямоугольника имела какое-то стандартное значение, скажем ¹/₂. Размеры прямоугольника показывают при этом ошибки, которые, по мнению экспериментатора, могут иметь место.

Фиг. 10. Изображение ошибки на графиках.

Физики часто приводят ошибки или погрешности на графиках, но объединяют их и выражают погрешности величин, откладываемых на графике по горизонтали и по вертикали, в виде погрешности величины, откладываемой по вертикали. Экспериментатор оценивает вероятную ошибку Δy, допущенную им при измерении величины, откладываемой по вертикали. Он оценивает также вероятную ошибку Δх; величины, откладываемой по горизонтали, а затем задает вопрос: «Если я допустил такую ошибку Δх, то как велика при этом будет ошибка величины у, которая бы в точности ее учитывала?». Это дает ему значение Δy°, эквивалентное допущенной им ошибке Δх. Он проводит вертикальную прямую длиной (Δy + Δy°) с центром в экспериментальной точке. Тогда каждой точке, наносимой на график, будет соответствовать такое пятно, выражающее величину погрешности, как показано на фиг. 10, в.

Нахождение скорости при помощи касательных

Если бы мы могли построить график изменения скорости со временем, то это позволило бы непосредственно изучать ускорение.

Фиг. 11. Скорость равна наклону касательной.

Для этого необходимо оценить значение скорости в различные моменты времени.

Мы можем определить скорость, проводя касательные к кривой, описывающей зависимость пройденного расстояния от времени. Если провести касательную к кривой в некоторой точке, то наклон касательной даст скорость тела в данный момент времени и в данном месте. Чтобы убедиться в этом, выберем некоторую точку Р на этой кривой (фиг. 11), а затем переместимся вверх по кривой в точку Q, соответствующую более позднему моменту времени. Находясь в точке Р, тело уже прошло некоторое расстояние за какой-то промежуток времени. От Р до Q тело проходит еще небольшой отрезок пути Δs за малый промежуток времени Δt.

Тогда средняя скорость в интервале между Р и Q равна отношению

[РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ ОТ Р ДО Q]/[ВРЕМЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ Р ДО Q]

или

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ = Δs_PQ/Δt_PQ (см. фиг. 11, a),

= ВЫСОТА/ОСНОВАНИЕ МАЛОГО ТРЕУГОЛЬНИКА PQM,

= ВЫСОТА/ОСНОВАНИЕ ЛЮБОГО ТРЕУГОЛЬНИКА больших размеров, подобного треугольнику PQM,

= h/b на фиг. 11, а,

= наклон хорды, соединяющей точки Р и Q, или

ВЫСОТА/ОСНОВАНИЕ.

Если точки Р и Q расположены очень близко одна от другой, то соединяющая их линия почти совпадает с касательной к кривой в «точке» PQ, и скорость по-прежнему определяется наклоном этой «касательной». В пределе, как говорят в математике, когда точка Р приближается к Q, хорда превращается в касательную к кривой в этой точке; величины Δs и Δt становятся равными нулю, но отношение Δs/dt по-прежнему имеет вполне определенное значение, равное отношению h'/b' в любом треугольнике больших размеров, у которого касательная является гипотенузой, как на фиг. 11, б. Если PQ — хорда, то ее наклон определяет среднюю скорость движения от точки Р к точке Q. В пределе, когда Р и Q совпадают, наклон касательной определяет скорость в момент времени, соответствующий точке Р, в которой проводится касательная. Дело в том, что наклон касательной совпадает с наклоном бесконечно короткого отрезка кривой, характеризующего движение в данной точке. Проводя касательные во многих точках кривой и измеряя наклон этих касательных, мы могли бы определить несколько значений скорости, по которым можно было бы построить новый график, выражающий зависимость скорости от времени.

Форма этого графика позволила бы нам судить о том, постоянно ли ускорение, однако проведение касательных — дело не простое, и, чтобы с уверенностью делать выводы, пользуясь полученным набором значений наклона касательных, пришлось бы строить исходный график очень тщательно, с большим числом дополнительных точек. Поэтому на практике постоянство ускорения проверяют путем построения другого графика, выражающего зависимость расстояния от квадрата времени.

Однако мы можем воспользоваться указанным выше свойством касательной для построения первоначального графика. Хотя наш график, представленный на фиг. 8, проходит через начало координат, трудно судить о ходе кривой вблизи начала координат, поскольку измерять очень короткие перемещения сложно. Мы не можем с уверенностью сказать, какая из трех представленных на фиг. 12 кривых верна.

Фиг. 12. Различные варианты графика фиг. 8, изображающего зависимость пройденного расстояния от времени.

Мы можем выяснить это, рассуждая следующим образом: согласно полученным данным, тело начало двигаться из состояния покоя. Следовательно, начальная скорость тела равна нулю. Поэтому наклон касательной к кривой в начале координат должен быть равен нулю, касательная должна быть расположена горизонтально. Отсюда можно заключить, что из трех кривых фиг. 12 верна, по-видимому, средняя.

Арифметическая проверка постоянства ускорения

Результаты нашего мысленного опыта можно еще проверить с помощью арифметического расчета. Если ускорение постоянно, то

РАССТОЯНИЕ = (ПОСТОЯННАЯ)∙(ВРЕМЯ)².

Поэтому расстояние/(время)² = const. И наоборот, если отношение (расстояние)/(время)² постоянно, то постоянно и ускорение. Чтобы проверить это, расширим нашу таблицу, дополнив ее еще одним столбцом (табл. 4).

Чтобы из чисел, приведенных в последнем столбце, сделать определенный вывод, необходимо знать точность измерений. Иначе мы сможем лишь сказать, что движение, по-видимому, происходит с ускорением, довольно близким к постоянному.

Как графический, так и арифметический способы проверки, о которых только что шла речь, трудно применить при малом количестве данных. Но это всего лишь мысленный пример: истинная проверка должна явиться результатом ваших собственных опытов.

Труды многих ученых специалистов и тех, кто просто интересуется физикой, утвердили веру в открытие Галилея: тела, свободно падающие под действием земного тяготения, и тела, скользящие или скатывающиеся вниз по наклонной плоскости под действием с1, илы тяжести, движутся с постоянным ускорением.

Дальнейшие эксперименты показывают, что ускорение имеет одно и то же значение даже в том случае, если тело начинает, движение не из состояния покоя, а получив толчок. Если в момент пуска часов тело имеет скорость v₀, то соотношение s = ¹/₂ at² уже неверно; мы должны воспользоваться в этом случае соотношением s = v₀ + ¹/₂ at² (см. приложение I). Однако ускорение а остается тем же самым. Едва ли оно могло бы быть другим: каким образом шар может «узнать», что он начал двигаться после полученного толчка, а не скатывался с большей высоты по той же самой наклонной плоскости?

Величина ускорения

Эксперименты не просто убеждают нас в том, что ускорение постоянно, а дают его фактическое значение. Если а постоянно, то расстояние = (¹/₂ а)∙(время)², и (расстояние)/(время)² = 1/а (ускорение).

Таким образом, в нашем случае 0,076 и т. д. представляет собой оценки величины ¹/₂ а. Отсюда получаем а = 0,152, или ²/₁₃. Но указать число ²/₁₃ недостаточно — две тринадцатых чего?

Подобное число само по себе ничего не дает, если не сказано, в каких единицах оно выражено. Мы получим это число, разделив расстояние в метрах на (время)². Поскольку время измеряется в секундах, ответ должен быть в м/сек² (читается: «метр на секунду в квадрате» или «метр в секунду за секунду»).

Единицы измерения ускорения

Вернемся к определению ускорения и найдем единицы, в которых оно выражается:

a = [Δv, измеренное в единицах скорости, т. е. м/сек]/[Δt, измеренное в единицах времени, т. е. сек] = УСКОРЕНИЕ, измеренное в единицах ускорения, т. е. м/сек∙сек

Таким образом, ускорение измеряют в единицах м/сек∙сек, которые мы записываем в виде м/сек∙сек, или м/сек².

Употребление слов «на» и «в»

Слова «на» и «в» нашли широкое употребление в науке. Мы употребляли их выше в значении «деленное, на» или «на каждый (каждую)…», т. е. в значениях, которые они имеют в обычной арифметике. Позднее мы будем говорить об ином значении этих слов, когда они используются для словесного выражения отношения или пропорции.

В арифметике мы делим 10 центов на 5 и получаем 2 цента. Или мы делим 10 овец по 5 овец и получаем 2 отары. Мы сомневаемся в возможности делить 10 овец на 5 центов — ведь речь идет, возражаем мы, о предметах разного рода. Но иногда мы делим предметы одного рода на предметы другого рода, например, если 10 центов разделить на 5 мальчиков, то у каждого мальчика окажется в кармане 2 цента. А разделив 60 центов на дюжину апельсинов, получим стоимость каждого апельсина. В науке часто производят подобные деления, и чтобы ответ был верным, он должен содержать как число, так и единицы измерения. Если жук, двигаясь с постоянной скоростью, проползает 3 да за 2 часа, то мы можем сказать: «Если разделить 3 м на 2 часа, т. е. записать 3 м/2 часа, то получим 1,5 м в час». Ответ показывает расстояние, которое жук проползает за каждый час, но это не означает, что жук передвигается обязательно в течение одного часа. Это применимо и к ¹/₄ часа, и к ¹/₂ часа, и к 1¹/2 часам, а возможно, и к 2¹/₂ часам.

Эта формулировка применима даже к очень коротким интервалам времени: жук может ползти с той же самой скоростью 1,5 м в час в течение нескольких секунд. Мы можем мысленно сократить интервал времени, по-прежнему считая, что жук ползет со скоростью 1,5 м в час. В пределе мы говорим, что жук обладает скоростью 1,5 м в час в некоторый определенный момент времени. Это уже новое представление, представление о скорости в некоторый момент времени. Мы не можем теперь делить расстояние на промежуток времени — деление нуля на нуль не имеет смысла; тем не менее спидометр будет показывать в какой-то момент времени скорость 1,5 м в час. Правда, настоящий жук передвигается то быстрее, то медленнее, но мы легко можем представить себе идеального жука, передвигающегося с постоянной скоростью. В таком случае единица «один метр в час» — это уже не результат деления, а самостоятельная величина, единица скорости изменения пути, и скорость 1,5 м в час — это скорость изменения пути, предельное значение, отмеченное в некоторый момент времени.

Математическое понятие предела появляется и в физике, и в математическом анализе. Чтобы постичь сущность понятия предел, посмотрим, чему равна сумма большого числа членов ряда: 1, ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, ¹/₁₆…. Сумма первых двух членов равна 1¹/2, сумма трех членов 1³/₄, десяти членов 1³¹¹/_⁵¹² и т. д. Сколько бы членов ряда мы не брали, сумма никогда не будет в точности равна 2, но можно как угодно близко подойти к 2, если взять достаточно большое число членов ряда. (Заметим, что сумма всегда меньше 2 на величину, равную как раз последнему взятому члену. Поэтому эту разность можно сделать как угодно малой.) Таким образом, мы говорим, что 2 есть предел суммы большого числа членов ряда.

Наклон касательной, о котором шла речь выше, тоже представляет собой предел, а именно предел наклона хорды, проходящей через две точки на графике.

До нынешнего века физики имели дело с большим числом непрерывно изменяющихся отношений, таких, как скорость, плотность, освещенность. Теперь же оказалось, что множество физических величин характеризуется скачкообразным изменением, подобным резким изменениям скорости настоящего жука; эти величины не удается непрерывно уменьшать до предельных значений. Для примера рассмотрим отношение (масса)/(объем), которое мы называем плотностью. Мы можем поделить массу большого куска алюминия на его объем или массу маленького куска алюминия на его объем и получим одинаковую плотность.

Но если мы попытаемся продолжать определять таким образом плотность, переходя ко все меньшим и меньшим количествам вещества, то, дойдя до одного-единственного атома, вынуждены будем остановиться. Какие отношения физических величин можно вычислить в пределе в математическом смысле этого слова? Какие величины не обладают «атомистической» природой? Этот вопрос заслуживает внимания, и мы вернемся к нему в самом конце нашего курса. Употребляя слова «на» или «в» или знак косой черты, который их заменяет, для обозначения понятия «деленный (деленная) на» или «на каждый (каждую)», стоит подумать, что эти слова играют определенную роль в представлении об отношении.

Единицы измерения, применяемые в науке

В обыденной жизни мы измеряем скорость в метрах в секунду или в километрах в час; инженеры тоже часто пользуются этими единицами. Ускорение мы выражаем в м/сек на секунду, а иногда в таких менее привычных единицах, как км/час на секунду. Однако ученые во всем мире условились применять метрическую систему единиц, и мы будем пользоваться одним из вариантов этой системы, системой метр — килограмм — секунда. В этой системе (ее называют сокращенно «системой МКС») длины и расстояния измеряются в метрах, масса вещества — в килограммах, а время — в секундах. Точная длина метра определяется длиной тщательно сохраняемого бруска из тугоплавкого металла, копии которого находятся в метрологических лабораториях всего мира.

Килограмм представлен куском из тугоплавкого металла, принятого за эталон. Метр делится на 100 сантиметров (каждый сантиметр соответствует примерно ширине пальца), а килограмм делится на 1000 граммов. Хотя во многих курсах физики применяют единицы сантиметр и грамм, мы примем новую используемую сейчас систему единиц — метр и килограмм, дабы облегчить понимание таких электрических единиц, как амперы и вольты. Метр и килограмм сокращенно обозначаются м и кг.

Грамм первоначально был определен как масса одного кубического сантиметра воды. При этом плотность воды (масса/объем) приобретает удобное значение 1,00 г в 1 см³ (удобное, но чреватое недоразумениями, и его без всякого ущерба можно опустить). Плотность воды вовсе не равна 1,00 кг/м³; полый куб с внутренними размерами 1 м х 1 м х 1 м вмещает 1000 кг воды, поэтому плотность воды равна 1,00 г/см³, или 1000 кг/мг³.

В нашей системе МКС скорости измеряются в метрах в секунду, а ускорения — в метрах в секунду на секунду.

Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения можно измерить. Показать, что ускорение постоянно, когда тело падает все быстрее и быстрее, трудно, хотя, конечно, это можно сделать с помощью современных приборов для измерения времени; некоторые из этих приборов позволяют измерить промежуток времени с точностью до одной миллионной доли секунды. Если принять, что ускорение постоянно, то его довольно легко измерить, определив промежуток времени, за который тело проходит известный отрезок пути, и воспользовавшись соотношением s = ¹/₂ at². Отсюда a = 2s/t². Постоянное ускорение свободного падения, происходящего «под действием земного притяжения», обозначают символом g и записывают g = 2s/t². Подставляя в эту формулу полученные из опыта значения s и t, можно вычислить g. Однако сопротивление воздуха ограничивает точность полученного значения; кроме того, трудно быть уверенным в том, что мы начинаем отсчет времени именно в тот момент, когда тело начинает двигаться, а продолжительность падения тела весьма мала, поэтому такие измерения не дают точного значения g. А для решения ряда задач в физике необходимо точно знать значение g. Можно ли исключить влияние сопротивления воздуха? Нельзя ли наблюдать падение тела много раз, скажем, несколько тысяч раз и, измерив общее время для всех опытов, определить время одного падения с большей точностью? К этой, на первый взгляд совершенно недостижимой цели приводит задуманный еще Галилеем простой опыт.

Измерения дают значение g, близкое к 9,8 м/сек². На экваторе g несколько меньше, а на Северном полюсе — несколько больше.

Сила и ускорение

Мы считаем, что на падающее тело действует сила притяжения Земли, направленная вниз; мы называем ее весом тела. Чтобы удерживать тело в подвешенном состоянии, мы должны создать опору, способную выдерживать полный вес тела. Перерезав веревку, на которой подвешено тело, мы считаем, что на тело по-прежнему действует его вес, однако теперь весу не противостоит натяжение веревки. Если мы предполагаем, что вес тела остается постоянным во время его падения, можно считать, что эта постоянная сила «создаст» постоянное ускорение свободного падения. Тележка скатывается по наклонной плоскости с ускорением, составляющим долю g; сила, тянущая тележку вниз по наклонной плоскости, составляет лишь долю веса тележки. Позднее вы узнаете, чему равна эта доля; она зависит от наклона плоскости. Зная эту долю веса, можно было бы, следуя Галилею, сопоставить силу, направленную вдоль наклонной плоскости, и ускорение движения вниз по наклонной плоскости. Какое соотношение должно предположительно существовать между силой и ускорением?[25]. Первые экспериментаторы, такие, как Галилей, смогли найти соотношение, изучая падающие и скатывающиеся по наклонной плоскости тела.

Мы его вскоре рассмотрим. Оно играет очень важную роль в физике и технике, и этому основному соотношению подчиняется движение звезд и поведение атомов.

Нам еще предстоит рассмотреть вопрос о силе и ускорении.

В заключение выскажем некоторые сомнения. Откуда вам известен вес тела, когда тело свободно падает? Когда вы сидите на стуле, вы ощущаете поддерживающую силу со стороны стула и вам кажется, что вы чувствуете свой собственный вес. Но выпрыгнув из окна, почувствуете ли вы свой вес? Предположим, вы прыгаете из окна, а в руках держите кусок металла, причем пытаетесь взвесить его в момент падения. Предположим на минуту, что, дабы сделать вашу временную лабораторию более удобной, вас вместе о куском металла и приспособлением для взвешивания заключили в огромный ящик и сбросили этот ящик с большой высоты, предоставив ему свободно падать. Предположим далее, что в ящике нет окон. Что произойдет с куском свинца, когда вы выпустите его из рук, находясь внутри ящика? Будет ли он падать на пол? Поразмыслив, вы придете к выводу, что земное притяжение как бы исчезнет. Скажете ли вы, что тяжесть действительно исчезла или что ваша лаборатория движется вниз с ускорением? Если нельзя сказать, в чем разница, то существует ли вообще разница? Обсуждение этих вопросов привело бы вас к теории относительности.

ПРИЛОЖЕНИЕ I. АЛГЕБРА

В этом приложении мы не собираемся открывать новых законов физики или пересматривать старые, мы намерены лишь произвести своего рода механическую обработку понятий. Начнем с предположения, которое представляется ясным для понимания, а именно с предположения о движении с постоянным ускорением, и заставим алгебру дать нам некоторые логические следствия. Полученные результаты — это просто старые сведения, которым придана новая форма. Они будут полезны при изучении реального мира — при выводе этих результатов мы можем спокойно сидеть в башне из слоновой кости и верить в то, что наши действия — действия совершенной логики — верны с точностью до предположений, на которых они Определение. Выберем в качестве величины, с которой мы будем иметь дело, изменение скорости в единицу времени:

Определение. Выберем в качестве величины, с которой мы будем иметь дело, изменение скорости в единицу времени:

[ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ВРЕМЯ ИЗМЕНЕНИЯ СКОРОСТИ], ИЛИ Δv/Δt

Поскольку эта величина — понятие, удобное для пользования, мы назовем ее ускорением. Тогда формулировка «ускорение = Δv/Δt» представляет собой лишь словарное определение, объясняющее, чему мы дали это название.

Предположение. Мы предполагаем, что ускорение постоянно. (Иначе говоря, мы исследуем вид движения, при котором величина Δv/Δt постоянна. Существует много других типов движения, общих по своему характеру, но этот тип движения — простой и в то же время очень важный, поэтому мы исследуем его подробно.)

Итак, Δv/Δt — постоянная, величину которой мы обозначим через a.

Пользуясь нашим методом, основанным на элементарной алгебре, мы будем предполагать, что средняя скорость тела, движущегося с постоянным ускорением, в точности равна среднему из скоростей в начале и в конце перемещения. Таким образом, мы предполагаем, что

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ = (НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ)/2

Мы говорим также, что

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ = СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ∙ВРЕМЯ,

или

s = v^-/t

Заметим, что мы пользуемся точкой в качестве знака умножения; сейчас так принято, и мы будем прибегать к этому знаку для перемножения таких единиц, скажем, как чел∙час; кроме того, мы поставили сверху черту над буквой v для обозначения «v среднее».

Терминология. Примем следующие обозначения:

1) Ускорение — а м/сек на секунду.

2) Скорость движущегося тела в момент пуска часов (т. е. при t = 0) равна v₀ м/сек. Сокращенно записываем это в виде

Начальная скорость = v₀ м/сек при t = 0.

3) Скорость движущегося тела по прошествии t сек равна v м/сек, или

Конечная скорость = v м/сек.

4) Путь, пройденный за время t сек, равен s м.

Как уже было сказано, это лишь расшифровка принятых буквенных обозначений. Мы можем дать более связную формулировку: движущееся тело, начав двигаться со скоростью v₀, проходит расстояние s за время t с ускорением а и достигает конечной скорости v.

Соотношения. Теперь заставим поработать алгебру и получим с ее помощью ряд соотношений:

(1) v = v₀ + at,

УСКОРЕНИЕ а = Δv/Δt

= [ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] (словарное определение),

= [КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ — НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] (если ускорение постоянно),

= (v — v₀)/t

Последняя строка дает лишь среднее значение ускорения, только если ускорение непостоянно, как мы здесь предполагаем. Чтобы получить удобное выражение для конечной скорости v, нужно произвести перегруппировку величин по правилам алгебры. Исходя из равенства

a = (v — v₀)/t

которое мы считаем истинным, и умножая обе его части на t, мы приходим к выражению, в такой же степени справедливому:

a∙t = v — v₀.

Прибавляя к обеим частям этого равенства v₀, получаем еще одно уравнение, равносильное первому:

v₀ + at = v — v₀ + v₀ = v

или

v₀ + at = v

Поменяв местами обе части последнего равенства, получим

v = v₀ + at

Изменения, которым мы подвергли исходное равенство a = (v — v₀)/t, представляют собой лишь изменения, допускаемые правилами логики.

Полученный результат v = v₀ + at точно так же верен или неверен, как исходное равенство a = (v — v₀)/t. Мы видим в этом случае, что новая «формула» — это просто новый вариант прежнего отправного положения, поскольку она гласит:

КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ = НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + ПРИРАЩЕНИЕ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ∙ВРЕМЯ

_{Величина ПРИРАЩЕНИЯ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ должна равняться приращению скорости}

Согласно этой формулировке,

КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ = НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ = КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ

Читателям, знакомым с алгеброй, это рассмотрение должно показаться излишне длинным. Можно было бы просто написать

a = (v — v₀)/t, следовательно, at = v — v₀, или v = v₀ + at.

Если же в выводе формул вы видите некое таинство, то это рассмотрение следует прочесть внимательно. Неопытный читатель может, пожалуй, ухватиться за высказанные нами слова в защиту алгебры, но дело не в этом; нужно отвыкнуть от ошибочных представлений об «истинности» формул или о том, что в выводе формул есть нечто таинственное.

(2) s = 1/2 (v + v₀)∙at

При экспериментальной проверке мы будем иметь дело с расстоянием, а не со скоростью. Чтобы выяснить, как соотношение между пройденным расстоянием и затраченным временем вытекает из нашего предположения о постоянном ускорении, нам надо знать расстояние при изменяющейся скорости. Руководствуясь здравым смыслом, мы приходим к предположению, что нужно пользоваться средней скоростью v^-, получаемой сложением начальной и конечной скоростей и делением их суммы на 2. Таким образом,

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ v^- = (v₀ + v)/2,

Мы пользуемся этой средней скоростью как неизменной величиной вместо реальной изменяющейся скорости и находим пройденное расстояние, умножая среднюю скорость на время. Таким образом,

РАССТОЯНИЕ s = v^-t,

или

s = 1/2 (v + v₀)∙at

В этом соотношении ускорение а не фигурирует. Тем не менее соотношение неверно, если ускорение непостоянно (см. задачу 6). Это выражение не простая перегруппировка прежнего выражения; оно содержит предположение относительно средней скорости. Это предположение (до сих пор оно было основано лишь на «здравом смысле») можно проверить с помощью математического анализа или изящного геометрического способа, предложенного еще Галилеем (см. задачу 6). Оба способа показывают, что при движении с постоянным ускорением такое употребление средней скорости правильно. Для других типов движения нужны какие-то иные способы усреднения, арифметическое среднее брать не годится[26]. Таким образом, наше предположение верно для движения с постоянным ускорением; мы используем его в качестве примера лишь постольку, поскольку знаем, что оно верно. Так, элементарное изложение приспосабливается для получения правильных результатов. Хотя это иногда неизбежно, такой подход оставляет, к сожалению, впечатление, будто ученый лишь выдвигает правдоподобные гипотезы, он не дает представления о том, как на самом деле ученый-естествоиспытатель осторожно нащупывает путь, подвергая свои предположения честной проверке. Поэтому вам необходимо изучить задачу 6.

(3) s = v₀∙t + (1/2)∙at²

Мы по-прежнему хотим выразить пройденное расстояние через время и ускорение, не пользуясь конечной скоростью. Мы получим это соотношение из выражений (1) и (2); с помощью одного из них мы найдем v и сможем поставить это полученное выражение вместо v в другом соотношении. Так,

s = 1/2 (v₀ + v)∙t или v = v₀ + at

следовательно,

s = 1/2 (v₀ + v₀ + at)∙t = 1/2 (2v₀ + at)∙t = (2v₀∙t)/2 + (at∙t)/2

Таким образом,

s = v₀∙t + (1/2)∙at²

Это соотношение удобно для экспериментальной проверки и описывает движение с постоянным ускорением.

Если отсчет времени начинается с момента, когда движущееся тело находится в состоянии покоя, то начальная скорость равна нулю, (v₀ = 0), и соотношение приобретает вид

s = (1/2)∙at²

Поскольку а постоянно, ¹/₂ а тоже постоянно, поэтому мы можем записать

s = (Постоянная)∙t², или s ~ t².

Таким образом, мы можем сказать: теория предсказывает, s ~ t² для движения, которое начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением. Говоря «теория предсказывает», мы имеем в виду, что, исходя из некоторых предположений и используя аппарат логического вывода (включая методы математики), мы как бы выразили эти предположения в несколько иной, новой форме. Если результаты эксперимента согласуются с этой новой формой, мы можем прийти к выводу, что наши предположения (и наш аппарат) «верны» или «подтверждены». Тем не менее зачастую мы не можем быть уверены в том, что выбранные нами предположения дают единственно возможное правильное объяснение. Осторожнее было бы сказать, что пока наши предположения соответствуют фактам.

Если в опытах с падающими телами вы обнаруживаете, что расстояния и промежутки времени с достаточной точностью удовлетворяют соотношению s ~ t², то можете сказать, что они удовлетворяют соотношению, предсказанному для движения с постоянным ускорением. Вы могли бы сказать, что падающие тела, по-видимому, движутся с постоянным ускорением. Производя опыты с шарами, скатывающимися вниз по наклонной плоскости, Галилей установил, что пройденные расстояния и промежутки времени довольно хорошо соответствуют соотношению s ~ t². Иначе говоря, измеренные Галилеем величины находились в согласии с его предсказанием, основанным на предположении о постоянстве ускорения.

Заметим, что эксперименты не подтвердили правильность этой формулы для движения с постоянным ускорением. Сама формула по необходимости, в силу законов логики, верна для любого движения с неизменным ускорением. Эксперименты показывают лишь, что движение скатывающихся тел в согласии с формулой (вероятно) происходит с постоянным ускорением. Сопоставляя экспериментальные данные с этой формулой, мы можем узнать кое-что о свойствах природы.

Вывод формулы, о которой идет речь, распадается на следующие этапы:

Определение ускорения: мы придумали эту величину, выбрали для нее название и затем стали ею пользоваться.

Выбор для анализа движения с постоянным ускорением. Этот выбор — один из возможных подходов к изучению действительного движения падающих тел. После того как выбор сделан, он позволяет двигаться дальше с помощью алгебры. Делая такой выбор, мы ничего не узнаем о свойствах природы.

Алгебра — своего рода логический автомат. Математика не рождает научные факты, хотя и помогает обнаруживать их.

Предположение, основанное на доводах здравого смысла, согласно которому в качестве v^- следует взять величину (v₀ + v)/2. Это предположение можно подтвердить для движения с неизменным ускорением геометрическими соображениями Галлилея или методами математического анализа.

Снова алгебра

Результат: удобное для экспериментальной проверки соотношение, выведенное исходя из наших предположений.

(4) v² = v²₀ + 2as [Соотношение в этой форме нам еще долго не потребуется. Этот раздел можно временно отложить.]

Мы можем использовать алгебру дальше, заставить наш автомат сделать еще несколько оборотов и получить другие варианты формул. У нас уже есть три соотношения, в которые

а) входят v, v₀, a, t, но не входит расстояние s;

б) входят s, v, v₀, t, но не входит ускорение а;

в) входят s, v₀, а, t, но не входит конечная скорость v.

Впоследствии нам понадобится соотношение, выражающее v через v₀, a, s и не содержащее время t в явном виде. Поскольку мы хотим, чтобы в это соотношение не входило t, мы можем получить его из любых двух прежних соотношений, исключая t. Например, можно использовать соотношения (1) и (3).

В этом случае v = v₀ + 2at дает t = (v — v₀)/a, и, подставляя это выражение в соотношение

s = v₀∙t = (1/2)∙at²

получаем

Приводит ли это соотношение к формуле (4)? Да, если вы наберетесь смелости и воспользуетесь правилами алгебры. Для этого вам придется возводить в квадрат и умножать обе части равенства на одну и ту же величину, перегруппировывать члены и производить упрощение. Вычисления будут громоздкими, но в конечном счете вы получите для v² выражение v²₀ + 2as. Попробуйте, если хотите, проделать эти вычисления.

Математику свойственно ярко выраженное поэтическое чувство формы математического языка, поэтому он счел бы приведенный выше метод чудовищно громоздким. Он сказал бы: «Имеется более изящный вывод…» и получил бы ответ быстро и красиво. Нематематиков, наблюдающих за его действиями, поразит превосходство его знаний, а атмосфера таинства может вызвать даже чувство досады. На самом же деле все обстоит значительно проще. Математик — только человек и, как любой другой исследователь, находит правильный путь в результате нескольких попыток, хотя простые задачи могут быть проделаны уже прежде и просто храниться в его памяти как «математический здравый смысл». Найдя ответ любым методом, громоздким или нет, математик может попытаться действовать от полученного результата, стремясь найти более изящный способ решения, подобно альпинисту, ищущему лучший путь восхождения. В этом нет греха, но математик часто забывает рассказать неспециалисту о той работе, которую он уже проделал прежде, и поражает его изящным методом, как бы извлеченным тут же из кармана. Давайте попробуем провести такой аналитический поиск, размышляя все время вслух. Ответ, который мы хотим получить, представляет собой выражение v² = v²₀ + 2as, полученное в результате утомительных и нудных алгебраических выкладок. Попробуем раскрыть это выражение. Можно ли, судя по его виду, легко видоизменить его путем алгебраических преобразований? Можно ли каким-то очевидным образом упростить или расчленить его? Нет, нельзя. Тогда придется действовать по-другому. Попробуем произвести перенос из одной части равенства в другую. Мы можем прийти к выражению v² — v²₀ = 2as. Можно ли, воспользовавшись методами алгебры, без большого труда сделать что-нибудь с этим выражением? Оказывается, можно. Левая часть этого равенства, содержащая множители (v + v₀)(v — v₀), нам давно знакома. Можно было бы составить левую часть равенства из этих множителей, если бы нам удалось каким-нибудь образом определить их по отдельности. Но где мы видели уже выражение (v + v₀)? Мы встречались раньше с этим множителем в соотношении (2); s = 1/2(v + v₀)t. Значит, v + v₀= 2s/t. А где мы встречались с величиной (v — v₀)? В определении ускорения, которое мы записали в виде a = (v — v₀)/t. Следовательно, (v — v₀) = at. Теперь нам нужно получить величину v² — v²₀, для этого достаточно перемножить (v + v₀) и (v — v₀). Воспользуемся с этой целью соотношениями (v + v₀) = 2s/t и (v — v₀) = at:

(v + v₀)(v — v₀) = 2s/t (at)

Таким образом, (v² — v²₀) = 2as, что приводит к нужной нам форме записи.

Теперь, располагая изложенным методом, к которому мы пришли в результате анализа, опустим детали наших изысканий и начнем снова.

Чтобы вывести соотношение v² = v²₀ + 2as изящным методом, начнем с определения ускорения

a = (v — v₀)/t

и с формулы, выражающей пройденный путь через среднюю скорость s = 1/2(v + v₀)t, и просто перемножим оба эти уравнения. Мы получим соотношение a∙s = 1/2(v² — v²₀), которое приводит к выражению

v² = v²₀ + 2as

Вот четыре соотношения между величинами v, v₀, a, s и t:

v = v₀ + at, s = 1/2(v + v₀)t, s = v₀t + (1/2)at², v² = v²₀ + 2as

Эти соотношения позволяют быстро вычислить значение любой входящей в них величины, если известны значения трех других величин.

Алгебра позволяет вычислить результирующий путь

Числовым значениям необходимо придавать подходящие знаки + и —. Например, если начальная скорость движущегося тела равна 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение составляет 1 м/сек/сек и направлено тоже на восток, то мы можем записать v₀ = +3 и а = +1. Если же v₀ = 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение в противоположном направлении равно 1 м/сек/сек к западу, то одна из этих величин должна записываться со знаком минус. Если мы говорим, что v₀ = +3, то мы должны записать а = —1, используя знак плюс для скорости, ускорения и пройденного пути в направлении на восток, а знак минус для перечисленных величин, направленных на запад. Тогда s будет равно результирующему расстоянию, пройденному за время t, а не арифметической сумме перемещений в западном и восточном направлениях. Это происходит потому, что при вычислении каждого отрезка пути мы приписываем знак плюс перемещениям в направлении на восток, а знак минус перемещениям на запад, и когда мы складываем эти отрезки пути со знаками + и —, стремясь найти s, то в соответствии с правилами алгебры получим результирующую разность перемещений. При v₀ = +3 и а = —1 движение будет замедленным: тело движется все медленнее и медленнее вперед в течение 3 сек, останавливается, а затем движется все быстрее и быстрее в обратном направлении. Через 5 сек траектория движения будет такой, как показано на фиг. 13: тело переместится на 4,5 м вперед, затем на 2 м назад, и результирующее перемещение будет равно 2,5 м.

Фиг. 13. Результирующее пройденное расстояние s.

Алгебра дает

Таким образом, s всегда означает результирующее расстояние, пройденное от старта до финиша.

Приведенные выше соотношения — это лишь инструменты, а не разделы науки, имеющие жизненно важное значение. Эти соотношения абсолютно верны для движения с постоянным ускорением и отнюдь не достоверны для других движений. Только эксперимент может сказать нам, в каких случаях они применимы к реальным явлениям окружающего мира.

Задача 6. Доказательство без математического анализа

Галилей не имел возможности воспользоваться математическим анализом, он предпочитал геометрию и рассматривал равномерно ускоренное движение следующим образом. Представим себе график скорости движущегося тела, откладываемый по вертикали в зависимости от времени, откладываемого по горизонтали. Если, тело движется с постоянным ускорением, его скорость должна возрастать с течением времени равномерно. График скорости должен представлять собой прямую линию. Она не обязательно должна проходить через начало координат, она может идти от начальной скорости v₀ при t = 0, достигая некоторого значения v в момент времени t.

Посмотрим теперь, что произойдет за некоторый очень короткий промежуток времени Δt, когда скорость равна, скажем, v₁. (Разумеется, v все время возрастает, но мы можем в качестве v₁ взять среднее за короткий промежуток времени Δt.) Тогда тело проходит за этот промежуток времени расстояние [(v₁)∙(Δt)]. Но на графике величина [(v₁)∙(Δt)]— это произведение [(высота)∙(ширина)] маленькой вертикальной полоски с основанием Δt, доходящей до прямой, которая представляет собой наш график. На фиг. 14, а площадь этой вертикальной полоски заштрихована.

Следовательно, полное расстояние, пройденное телом, определяется полной площадью всех таких вертикальных полосок, т. е. заштрихованной площадью на фиг. 14, б.

1) Если, как показано на фиг. 14, б, боковые стороны заштрихованной геометрической фигуры равны v₀ и v, а основание — промежутку времени t, то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши геометрические соображения.)

2) Если боковые стороны равны v₀ и v + at (что следует из определения ускорения), то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши рассуждения.)

3) Запишите ответы на первые два вопроса в виде выражений для s — расстояния, пройденного телом за время t.

4) Предположим теперь, что ускорение не постоянно, а, начиная с некоторого меньшего значения, возрастает до некоторого большего значения, так что скорость по-прежнему изменяется за время t от v₀ до v, но не равномерно.

а) Начертите новый график для этого случая.

б) Будут ли для него применимы выражения, полученные в качестве ответа на вопросы 1 и 2?

в) Какое слабое место было в прежних рассуждениях в приложении I, основанных на алгебре, которое теперь отсутствует?

Фиг. 14. К задаче 6.

Задача 7. Доказательство с помощью математического анализа

В пределе скорость v представляет собой изменение расстояния в единицу времени ds/dt, а ускорение а — изменение скорости в единицу времени dv/dt, или d/dt(ds/dt), или d²s/dt². Покажите, что если а постоянно, то справедливо каждое из следующих утверждений:

1) интегрирование dv/dt = a приводит к выражению v = v₀ + at (где v₀ — постоянная, значение v в момент времени t = 0);

2) интегрирование соотношения v = v₀ + at приводит к соотношению s = v₀t + ¹/₂at² (Указание. Вспомните, что v = ds/dt);

3) интегрирование dv/dt = a приводит к соотношению v² = v²₀ + 2as. (Указание. Попробуйте умножить обе части этого соотношения на v.)

Задача 8. Графики движения

На фиг. 15 показаны расположенные друг под другом три графика движения предмета по прямой. График I изображает зависимость пройденного расстояния от времени; график II — зависимость скорости от времени; график III — зависимость ускорения от времени. На всех трех графиках масштаб времени одинаков, а начало координат лежит на одной вертикальной прямой. Изображенные графики относятся к движению предмета с постоянным ускорением, начинающемуся при s = 0 (показано буквой А) и скорости v = 0 (показано буквой В) в момент времени t = 0. Для более сложных движений все три линии могут быть кривыми.

1) В общем случае произвольного движения график одной или более величин может быть получен из графика для некоторой другой из трех указанных величин по значениям наклона касательных. Какой (каких) именно? Объясните, почему.

Фиг. 15. К задаче 8.

2) В общем случае график одной или более величин может быть получен из графика другой из трех величин путем измерения площади под кривыми. Какой (каких) именно? Объясните, почему.

3) Мотоциклист стартует из положения покоя и движется в течение 6 сек с ускорением 4,5 м/сек²; в течение 10 сек он движется с постоянной скоростью, а затем тормозит и останавливается за 4 сек, двигаясь с постоянным замедлением. Начертите для этого движения три графика: I, II, III,

4) На фиг. 16 показан график II для движения автомобиля. Перечертите его и добавьте графики I и III.

Фиг. 16.

5) На фиг. 17 показан график III для движения тележки. Перерисуйте его и добавьте графики I и II.

Фиг. 17.

6) На фиг. 18 показан график I для движения груза длинного маятника по его траектории, близкой к прямой. Перерисуйте его и добавьте графики II и III. (Задача сложная. Над ней стоит как следует подумать.)

Фиг. 18.

ПРИЛОЖЕНИЕ II. ИЗМЕРЕНИЕ g

Мы, не задумываясь, объявили, что значение g равно 9,8 м/сек², но это значение появилось в результате лабораторных измерений. Вы будете пользоваться им для простых вычислений, связанных с падением тел, и для вычисления сил, которое имеет важное значение, когда g рассматривают как напряженность поля силы тяжести. Это столь полезная величина, что прежде, чем пользоваться ею, стоит посмотреть, как измеряется ее значение. Грубую оценку можно было бы сделать при помощи камня, секундомера и метрового куска веревки.

Задача 9. Приближенное измерение g

Экспериментатор бросает большой камень из окна 14-этажного дома и устанавливает, что камень достигает поверхности земли за время «чуть» больше 3 сек. Считая, что окно находится на высоте примерно 46 м над землей, оцените значение g в м/сек².

Более точное измерение можно проделать с помощью электрических часов, как показано на фиг. 19; вам следовало бы посмотреть такой опыт. Для очень точных измерений потребовалось бы прибегнуть к упомянутому уже эксперименту, в котором устранено трение и берется серия падений.

Фиг. 19. Измерение g.

Задача 10.Более точное измерение g

Металлический шар свободно падает с высоты потолка на пол. У потолка шар удерживается двумя металлическими штырями так, что замыкается электрическая цепь, и ток препятствует пуску электрических часов. Внезапно шар отпускают, и часы начинают отсчитывать время. Достигнув пола, шар соединяет две легкие металлические пластины, и замыкает другую электрическую цепь, в результате чего часы останавливаются. В реальном эксперименте шар падал с высоты 7 м, считая от верхних до нижних контактов, часы в это время отсчитали 1,20 сек.

а) Оцените значение g, используя приведенные данные,

б) Расскажите, какие предположения вы, сделали для этой оценки относительно типа движения и какими приборами вы пользовались, опишите ход эксперимента. (Укажите детали; старайтесь не употреблять шаблонных выражений вроде «точные приборы» или «избежать ошибок наблюдателя».)

Значение g в различных пунктах земного шара

Значение g было весьма точно измерено в нескольких метрологических лабораториях. Сравнительные измерения дали точные значения g во многих местах по всей Земле.

В обычных расчетах при решении задач и выполнении опытов следует пользоваться приближенным значением g = 9,8 м/сек/сек.

Арифметические задачи на свободное падение тел. Задачи с решениями

Если известно значение g, то можно производить простые расчеты для случая полета камней, стрел и т. д. В физике иногда пользуются такими расчетами при проектировании приборов или при выполнении опытов, но они не представляют собой важного раздела физики. В элементарных учебниках и на экзаменах этим расчетам придают большое значение, «поскольку они позволяют лучше понять ускоренное движение». Студенты, научившись механически решать подобные задачи, могут лишь приобрести вредное представление, будто «физика состоит из подстановки чисел в формулы». Мы хотим избежать этого нелепого представления о науке и не предлагали бы вам в этом курсе таких задач, если бы не два обстоятельства: во-первых, вы можете столкнуться с аналогичными вычислениями, которые имеют важное значение в атомной физике; во-вторых, эти расчеты покажут вам, какое место занимает математика в физике. По этим двум причинам мы рекомендуем проработать задачи 11–14. При этом, даже если вы в результате прежних занятий стали убежденным поклонником формул, лучше опустить эти задачи, пока уровень вашей подготовки не будет достаточен для критического анализа.

Задачи 11–14 снабжены решениями, хотя арифметические расчеты не приведены. Вычисления рекомендуется выполнять шаг за шагом на машинописных копиях текста задач. Эта методика — вы встретитесь с ней несколько раз на протяжении нашего курса — рассчитана на то, чтобы дать вам возможность приобрести навыки для самостоятельного решения задач, приведенных в конце приложения II. Заметьте, что, упрощая дело до такой степени (это может вам показаться даже обидным), мы имеем в виду помочь вам математикой, но не избавить от размышлений над физическим содержанием задачи. Прорабатывая предложенные задачи, забудьте о том, что вы хотите узнать какой-то метод их решения, а сосредоточьте внимание на получающихся физических результатах.

Проработайте предлагаемые ниже задачи на ускоренное движение, для чего перепечатайте на машинке или перепишите от руки текст, заполняя пропуски, оставленные для ответов. Вы научитесь решать подобные задачи, и, мы надеемся, вам будет приятно познакомиться с применением математики в физике. Вы увидите, что математика — это верный слуга, который, правда, иногда обнаруживает отсутствие сообразительности и выполняет данные ему приказания, ни с чем не считаясь.

Задача 11

Камень падает из состояния покоя с постоянным ускорением 9,8 м/сек/сек. (Дано: ускорение постоянно, сопротивлением воздуха в данном случае пренебречь.)

а) Какова будет скорость камня через 3 сек после начала падения?

б) Какое расстояние пролетит камень за 3 сек?

А. Арифметический метод

а) Ускорение 9,8 м/сек/сек означает, что скорость камня увеличивается на ____∙____ (единиц) за каждую секунду.

За 3 сек падения приращение скорости камня составит ____ м/сек.

Поскольку камень начинает падать из состояния покоя, его конечная скорость равна ____ м/сек.

б) Скорость возрастает от ____ м/сек (в начале движения) до ____ м/сек.

Средняя скорость равна ¹/₂ (____ + ____) или ____ м/сек.

Расстояние, пройденное с такой средней скоростью а 3 сек, равно (____)∙(____), или ____ м.

Б. Алгебраический метод

а) Ускорение а = 9,8 м/сек/сек; время t = 3 сек, начальная скорость v₀ = 0. Подставляя эти значения в формулу v = v₀  + at, получаем

Конечная скорость v = ___ + ___ = ____ м/сек.

б) Подставляя приведенные выше значения в формулу s получаем s = v₀t + ¹/₂at², получаем s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ м

Примечание. Пользуясь методами алгебры, всегда сначала записывайте «формулу», как это было сделано выше. Кроме того, выписывая значения, которые ей собираетесь подставлять в формулу, записывайте после числа соответствующие наименования. Например, «t = 3 сек», а не «t = 3».

Задача 12

Мяч выпускают из рук со скоростью 3 м/сек и предоставляют ему возможность свободно падать в момент пуска часов.

а) Какова будет скорость мяча через 3 сек падения?

б) Какой путь пролетит мяч за 3 сек?

А. Арифметический метод

а) Ускорение 9,8 м/сек/сек означает, что скорость мяча возрастает на ____ (единиц) за каждую секунду.

За 3 сек падения приращение скорости мяча составит ____ м/сек.

Поскольку начальная скорость мяча равна 8 м/сек и направлена вниз, его конечная скорость будет равна ____ м/сек.

б) Скорость возрастает от____ м/сек в начале движения до конечной скорости _____ м/сек.

Средняя скорость равна [(____) + (____)]/2 или ____ м/сек.

Расстояние, которое мяч пролетит за 3 сек, обладая этой средней скоростью, равно ____ м.

А. Алгебраический метод

а) Ускорение а = 9,8 м/сек/сек направлено вниз; начальная скорость v₀ = 3 м/сек направлена вниз; время перемещения t = 3 сек.

Подставляя эти значения в формулу v = v₀ + at, получаем

Конечная скорость v = ____ + ____ = ____ м/сек.

б) Подставляя приведенные выше значения в формулу s = v₀t + ¹/₂at², получаем:

Расстояние s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ м

Задача 13

Находясь на верху башни, человек бросает вверх мяч со скоростью 3 м/сек в момент пуска часов.

а) Какова будет скорость мяча по прошествии 3 сек?

б) На сколько ниже начальной точки своего движения окажется дающий мяч через 3 сек?

Замечание. В этом случае мяч движется сначала вверх, причем все более и более медленно, обладая направленным вниз ускорением 9,8 м/сек/сек, что равносильно направленному вверх замедлению. Мяч достигает наивысшей точки движения (обладая тем же самым направленным вниз ускорением), после чего он падает (по-прежнему с тем же самым направленным вниз ускорением). В вопросах (а) и (б) ничего не говорится о наивысшей точке движения, и если ускорению и скорости приписать знаки + и — для направлений вниз и вверх, то алгебраический метод позволит правильно учесть переход через наивысшую точку и даст результирующее расстояния s. Поэтому, несмотря на то, что вам, может быть, показали методы, в которых сначала нужно вычислить длину пути до наивысшей точки, а затем перемещение вниз, не пользуйтесь этими методами — обратите внимание на приводимые ниже соображения.)

A. Арифметический метод

а) Ускорение 9,8 м/cек/сек означает, что за каждую секунду приращение направленной вниз скорости мяча составляет ____ ____.

Приращение направленной вниз скорости мяча за 3 сек составляет ____ м/сек. Но начальная скорость мяча равна 3 м/сек и направлена вверх, поэтому если учесть приращение скорости, направленной вниз, то конечная скорость мяча должна быть равна ____ м/сек и направлена вниз.

б) Чтобы вычислить результирующее расстояние, пройденное мячом при падении, необходимо знать среднюю скорость, направленную вниз.

Скорость мяча сначала направлена вверх, а в конце рассматриваемого промежутка времени — вниз. Чтобы правильно найти среднюю скорость, мы не можем просто сложить два числа, выражающие значение скорости, и разделить полученный результат пополам, так нужно было бы сделать, если бы мяч был брошен вниз, как в предыдущей задаче.

Б. Алгебраический метод

Ускорение а = +9,8 м/сек/сек (плюс означает «вниз»), начальная скорость v₀ = -3 м/сек (минус, поскольку скорость направлена вверх), время перемещения t = 3 сек.

а) Подстановка в формулу v = v₀ + at дает

Конечная скорость v = ____ + ____ = ____ м/сек.

б) Подстановка в формулу s = v₀t + ¹/₂at² дает

Расстояние s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ (вверх?/вниз?).

Задача 14 (самая важная)

На дереве на высоте 15 м над землей сидит птица. Человек, стоящий на земле как раз под нею, бросает в птицу вертикально вверх камень, сообщая ему начальную скорость 20 м/сек, направленную вверх.

Через какой промежуток времени камень достигнет птицы?

А. Арифметический метод

Решение, основанное на правилах арифметики и соображениях здравого смысла или каком-либо одном из этих способов, оказывается, почти безнадежно громоздким. Можно било бы определить, где находится «наивысшая точка» и когда она будет достигнута, а затем, решать задачу, отправляясь от этой точки. Алгебраический метод более удобный и более интересный. Трудность заключается в том, что неизвестна скорость камня в момент, когда он достигнет птицы.

Б. Алгебраический метод

Здесь мы должны условиться о различии между направлениями вверх и вниз. Неважно, какому из них вы припишете знак +, пока вы будете придерживаться, сделанного выбора. (Испробуйте оба варианта: вы придете к одним и тем же уравнениям и получите одни и те же ответы в обоих случаях.) Представляется более удобным приписать знак + всем расстояниям, скоростям и ускорениям, направленным вверх. Мы будем решать задачу при этом условии. В этом случае (направленное вниз) ускорение следует записать в виде -9,8 м/сек/сек.

Тогда v₀ = +20 м/сек; s = +15 м; а = -9,8 м/сек/сек. Мы хотим определить время t, за которое камень достигнет птицы, сидящей на высоте 15 м над землей.

Подстановка в соотношение s = v₀t + ¹/₂at² дает

____ = (____)t + ¹/₂(____)t².

Это обычное квадратное уравнение. Подобно решению всякого квадратного уравнения, решение его дает два ответа. Упростите и решите его любым методом.

Ответы: t = ____ сек, или t = ____ сек. Один ответ дает время полета брошенного камня до попадания в птицу. Выскажите свои соображения о значении другого ответа.

Каким образом наш верный слуга — математика при столь ограниченных указаниях мог бы поступить иначе, чем дать оба ответа?

Еще одна задача, подобная задаче 14. Попробуйте решить эту задачу, воспользовавшись методами, о которых говорилось в задачах 11–14, и приводимыми ниже указаниями. Если задача покажется вам слишком трудной, оставьте ее.

Задача 15. Двойные ответы

Человек, стоя на верху башни, бросает вверх камень с начальной скоростью 9,8 м/сек, направленной вверх. Рука человека находится на высоте 16 м над поверхностью земли.

а) Черев какой промежуток времени камень упадет на землю?

[Указание. Необходимо пользоваться знаками + и —. Если выбирать знак + для направления вверх, то ускорение должно иметь отрицательное значение, а расстояние s от руки до поверхности земли, направленное вниз, тоже должно иметь отрицательное значение; что касается начальной скорости, то она будет со знаком +. Если, испытывая отвращение к отрицательным знакам, вы выберете для величин, направленных вниз, знак +, то получите те же уравнения и те же ответы. Испробуйте, если хотите, оба варианта, но не смешивайте их в одном и том же расчете.]

б) Вы опять-таки получите квадратное уравнение, решение которого приводит к двум ответам. Попробуйте сформулировать смысл «другого ответа». При этом задайте себе вопрос: «Была ли когда-нибудь математическая машина информирована о том, что человек действительно бросил камень?».

Фиг. 20. К задаче 15.

Простые задачи на свободное падение (сопротивлением воздуха пренебречь).

При решении задач на ускоренное движение целесообразно привести в порядок данные, с которыми вы будете иметь дело (так поступает хороший инженер). Удобно свести эти данные в таблицу, подобную приведенной, и ставить вопросительный знак против искомых величин, а крестом отмечать величины, которые вам неизвестны и не нужны. (Показанная таблица составлена применительно к задаче 18.)

Тогда вам сразу будет видно, каким алгебраическим соотношением удобнее воспользоваться. (В этом примере следует воспользоваться соотношением, которое не содержит значения s.)

Задача 16

С вертолета, неподвижно висящего над землей, сбрасывают небольшой мешок с почтой.

а) Какова будет скорость мешка спустя 2 сек?

б) Какое расстояние пролетит мешок к концу второй секунды?

Задача 17. Свободное падение с движущегося объекта

С вертолета, опускающегося с постоянной скоростью 1,5 м/сек, сбрасывают небольшой мешок с почтой.

а) Какова будет скорость мешка спустя 2 сек?

б) Какое расстояние пролетит мешок к концу второй секунды?

в) На каком расстоянии от вертолета окажется мешок к концу второй секунды?

Задача 18

С вертолета, поднимающегося вверх с постоянной скоростью 1,5 м/сек, сбрасывают небольшой мешок с почтой.

а) Какова будет скорость мешка спустя 2 сек?

б) Какое расстояние пролетит мешок к концу второй секунды?

в) На каком расстоянии от вертолета окажется мешок к концу второй секунды?

Задача 19. Свободное падение с движущегося предмета

Какое общее свойство можно отметить, рассматривая ответы к задачам 16–18?

Задача 20. (Ответ потребуется для решения последующих задач)

Человек, стоящий на высоте 1,3 м над полом, оступается и падает.

а) Через сколько времени он упадет?

б) Какова будет его скорость непосредственно перед ударом о пол?

Задача 21. Торможение автомобиля

Автомобиль с гладкими шинами на мокром шоссе может развить ускорение ¹/₅ g и не более. (Чтобы двигаться с ускорением, автомобиль должен испытывать действие какого-то реального, приложенного извне толкающего усилия. Это усилие исходит от дороги, толкающей автомобиль благодаря трению. При шинах с гладким протектором трение может обеспечить ускорение до g/5; при попытке добиться большего ускорения колеса начнут проскальзывать, и трение станет еще меньше, что приведет к еще меньшему ускорению.)

а) Какую скорость разовьет автомобиль через 4 сек при указанном максимальном ускорении?

б) Какое расстояние пройдет автомобиль за 4 сек после начала движения из состояния покоя?

Задача 22. Торможение автомобиля и безопасность

Автомобиль с хорошими тормозами, но с гладкими шинами на мокром шоссе может обладать замедлением при торможении не более ¹/₅ g (см. задачу 21). Рассмотрите торможение этого автомобиля, ответив на следующие вопроси:

1) Ведя автомобиль со скоростью 36 км/час (=10 м/сек), шофер реагирует на замеченную опасность через 1 сек, принимает решение остановить автомобиль, включает тормоза и старается обеспечить максимальное замедление.

а) Какое расстояние пройдет автомобиль за 1 сек перед торможением?

б) Сколько времени должен действовать тормоз, чтобы скорость автомобиля снизилась с 36 км/час до нуля?

в) Какое расстояние пройдет автомобиль за период торможения?

г) Какое расстояние пройдет автомобиль а момента, когда шофер заметил опасность, до остановки?

2) Предположим, что скорость автомобиля вдвое больше, т. е. 72 км/час.

Какой путь пройдет автомобиль за время, указанное в пункте (г)?

3) Автомобиль движется со скоростью 36 км/час, шофер (после секундного размышления и т. д.) нажимает на тормоз так, что шины начинают скользить, трение становится меньше и замедление составляет всего g/8.

Какое расстояние пройдет автомобиль до полной остановки? (Трение скольжения, когда автомобиль движется юзом, создает меньшее максимальное усилие, чем трение без проскальзывания.)

4) Максимальное замедление автомобиля с новыми шинами на сухом бетоне составляет g/2. (Трение резины о бетон может обеспечить значительно большее замедление, но большинство тормозных механизмов непригодно для этого.) Вычислите для этого случая полную длину тормозного пути автомобиля, двигавшегося со скоростью 36 км/час.

Задача 23. Значение g в движущейся лаборатории

Современные портативные приборы для измерения времени позволяют отмечать время свободного падения 1–2 м из состояния покоя с точностью, достаточной для определения величины g с ошибкой не более 1 %. Предположим, что такой прибор дает значение g = 9,8 м/сек². Что, по вашему мнению, показал бы, такой прибор, если использовать его в следующих условиях:

а) В вагоне поезда, движущегося плавно с постоянной скоростью на горизонтальном участке пути? (Что произойдет, если уронить апельсин в движущемся поезде?)

б) В лифте, движущемся вниз с постоянной скоростью? (Подумайте…)

б) В лифте, свободно падающем после обрыва троса?

г) В лифте, движущемся вниз с ускорением 4,9 м/сек²?

д) В лифте, движущемся вверх с ускорением 4,9 м/сек²?

Задача 24

За какое время тело, свободно падающее из состояния покоя, пролетит 120 м?

Задача 25

Мяч брошен вверх со скоростью 24 м/сек. На какую высоту он поднимется?

Задача 26

Геолог обнаруживает в скалистой горе глубокую расщелину. Он бросает в нее камень и через 4 сек слышит звук удара камня о дно расщелины.

а) Оцените глубину расщелины,

б) Выскажите свои соображения о точности этого метода.

Задача 27

Камень, брошенный вертикально вверх с начальной скоростью 12 м/сек, через 1 сек попадает в птицу.

а) На какой высоте находится птица над человеком, бросившим камень?

б) Время 1,5 сек приводит к такому же ответу при определении высоты, на которой находится птица. Дайте физическое обоснование этой двойственности.

Задача 28

Зачем нужна электрическая лампочка (или какое-нибудь другое сопротивление) в схеме, изображенной на фиг. 19 (см. задачу 10)?

Задача 29

В опыте, о котором идет речь в задаче 10, могут встретиться следующие трудности:

1) При пуске часов отсчет времени, может начаться с опозданием на несколько десятых секунды.

2) При остановке часов прекращение отсчета времени может произойти с опозданием на несколько десятых секунды.

3) Штыри, прижимающие шар и удерживающие его у потолка, могут сообщить шару, когда его отпускают, небольшой толчок, направленный вниз.

4) Заметную роль может сыграть сопротивление воздуха.

а) Укажите для каждого из факторов 1–4 (считая его единственным действующим фактором), приведет ли он к завышенному или заниженному значению g; дайте краткое обоснование вашего ответа,

б) Что произойдет, если факторы 1 и 2 действуют одновременно и примерно одинаково?

в) Предложите эксперименты, с помощью которых можно было бы проверить действие каждого из мешающих факторов 1 и 2. Опишите их, снабдив где можно, эскизами.