Глава 2 Полет снарядов. Геометрическое сложение: векторы
«Какие надежды и опасения таит в себе научный метод для человечества? Я не считаю это правильной постановкой вопроса.
Что создаст этот инструмент в руках человека, всецело зависит от характера тех целей, к которым стремится современное человечество. Коль скоро эти цели существуют, научный метод дает средства для их реализации. Однако он не может предоставить сами цели. Сам по себе научный метод никуда нас не приводит; он и не появился бы без страстного стремления к познанию».
А. Эйнштейн
Эксперименты
Эту главу можно было бы начать с простых правил, определяющих полет снарядов. В современных учебниках по баллистике, науке о движении снарядов, вы найдете глубокие сведения и еще более глубокие и трудные для понимания правила. В учебниках упоминаются древние предрассудки с единственной целью посмеяться над ними и говорится, что простые правила Галилея мало пригодны для современного артиллерийского дела. Но такое начало лишило бы вас и доли того наслаждения, которое испытывали великие экспериментаторы. Поэтому, пожалуйста, начните с собственных экспериментов.
Бросьте в сторону от себя камень или монету и понаблюдайте за их движением. Попробуйте проделать этот опыт с самыми различными предметами — от тяжелого камня до комка смятой бумаги. Выпустите из рук одновременно два камня: один уроните так, чтобы он свободно падал вниз, а другой бросьте горизонтально. Проделайте какие-нибудь другие опыты, сопоставьте свои наблюдения и попытайтесь выяснить простые правила или сделать обобщения.
Понаблюдайте за движением камня или бейсбольного мяча, летящего по криволинейной траектории. Назвать эту кривую «параболой» было бы и неверно, и для нас пока бесполезно. Однако с точки зрения правильного научного подхода важно отметить, что эта кривая почти симметрична и похожа на кривую а на фиг. 21, а не на кривую Ь или с. Это приводит к выводу, что движение по нисходящей ветви кривой совпадает с движением по восходящей ветви. Возможно, движение по восходящей и нисходящей ветви продолжается одинаковое время, — это предположение поддается непосредственной проверке.
Фиг. 21. Траектории летящего снаряда.
Внимательный экспериментатор, проводя опыты с самыми различными материалами, такими, как свинец, камень, дерево, пробка, скомканная бумага, заметит, что траектория движения куска пробки или комка бумаги ближе к кривой б, нежели к кривой а.
В XVI столетии люди верили в то, что более тяжелые предметы пропорционально их весу падают быстрее. Представление о траектории движения снаряда было еще более странным. Говорили, что траектория эта состоит из трех участков (фиг. 22): А — насильственного движения (по прямой, не зависящей от силы тяжести)[27]; В — смешанного движения; С — естественного движения (при котором ядро падает на солдат противника сверху).
Производя опыты с комком смятой бумаги, вы поймете, как возникло такое представление и почему было неразумно применять его к движению плотных пушечных ядер. Ситуация осложнялась совместным действием сопротивления воздуха и силы тяжести. Галилей не учитывал сопротивление воздуха и рассуждал, что произошло бы, если бы его не было. Пушечные ядра того времени летели столь медленно, что сопротивление воздуха играло весьма небольшую роль, и артиллеристы вполне могли с помощью правила Галилея рассчитать точное попадание в цель. Как это обычно бывает, практики долго не обращают внимания на высказывания ученых, и к тому времени, когда канониры приняли теорию Галилея, она стала уже бесполезной вследствие возросшей скорости снарядов.
Тем временем Ньютон и другие ученые создали более пригодную для практических целей теорию, в которой учитывалось сопротивление воздуха. Теперь, спустя три столетия, снаряды движутся столь быстро, что сопротивление воздуха оказывает уже очень значительное влияние на их полет. На фиг. 23 показаны траектории крупного снаряда, движущегося с большой скоростью: буквой а отмечена «идеальная» траектория в отсутствие сопротивления воздуха, как ее изобразил бы Галилей, а буквой b — действительная траектория движения в воздухе при том же наклоне ствола и той же начальной скорости. В современной баллистике для решения реальных задач с большим числом условий широко используется математика и даже электронные вычислительные машины.
Фиг. 23. Траектория полета снаряда.
а и Ь — траектории снаряда, выпущенного с начальной скоростью 1,5 км/сек под углом 55,5° к горизонту.
Все это вопросы техники или прикладной математики, знание которых нисколько не поможет нам в изучении развития механики. Поэтому мы ограничимся простым случаем, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Галилей пытался отделить движение летящего снаряда по вертикали вверх и вниз от его горизонтального движения. Эксперимент подтверждает правильность такого подхода и показывает, что эти два движения не зависят одно от другого. Попробуйте проверить это сами. Бросьте один камень горизонтально, а другой выпустите из рук в то же мгновение, причем так, чтобы он свободно падал по вертикали. Оба камня ударятся о пол одновременна Камень В, движущийся по кривой, чтобы достигнуть пола, должен совершить такое же перемещение по вертикали, как и камень А, падающий вертикально. Оба камня тратят на перемещение по вертикали одинаковое время. Какое взаимное положение занимают камни А и В в промежуточных точках своего падения? Находятся ли они все время на одном уровне? Чтобы проверить это, совсем не нужно прибегать к помощи наблюдателей, которые следили бы за движением обоих камней на различных уровнях. Вместо этого можно «поднять» пол, сократив тем самым продолжительность падения, и повторить опыт (фиг. 24).
Фиг. 24. Сравнение двух движений.
Свободно падающий камень А и камень В, летящий горизонтальнее находятся все время на одном уровне.
Можно поступить еще проще, выбрав исходную точку ниже, ближе к полу. Если камни А и В ударятся об пол одновременно, независимо от того, с какой высоты они сброшены, то можно с уверенностью сказать, что оба камня в своем перемещении вниз все время находятся на одном уровне. Обратите внимание, как несколькими последовательными опытами можно заменить сложный комплекс одновременных наблюдений. Полагаясь на вывод, сделанный на основе такой серии опытов, мы исходим из предположения о «единстве природы».
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ
Опыт 1. Вертикальное и горизонтальное движения не зависят одно от другого. На фиг. 25 показан простой демонстрационный опыт: два металлических шарика выпускаются при помощи небольшой дружинной пушки. Пушка с пружиной сообщает металлическому шарику горизонтальную скорость; в тот же момент другой шарик освобождается и начинает свободно падать. Защелка освобождает толкатель, который под действием сжатой пружины движется в сторону шарика, свободно лежащего на опоре. Когда толкатель ударяет по шарику, сообщая ему горизонтальную скорость, левый конец толкателя выходит из канала внутри второго шарика, который начинает свободно падать. Оба шарика падают подобно камням А и В, о которых говорилось выше. Советуем вам внимательно последить за этим опытом и попросить, чтобы его повторили для разных высот.
Фиг. 25. Демонстрационный опыт.
Опыт 2. Горизонтальное движение остается неизменным. Летящий снаряд движется по вертикали с ускорением силы тяжести совершенно независимо от его горизонтального движения. Какова особенность горизонтального движения?
Симметричная траектория движения камня или шара дает основание считать, что горизонтальное движение не замедляется, иначе траектория походила бы скорее на кривую b на фиг. 21. Галилей, восставая против средневековых представлений, согласно которым для поддержания любого движения необходимо непрерывно прилагать силу (будь то сила земного тяготения, «нечистая сила» или порыв ветра), высказал предположение, что горизонтальное движение остается неизменным, поскольку отсутствует тяговое усилие, подобное силе земного тяготения, которое бы ускоряло или замедляло его. В одной из последующих глав вы увидите, как Галилей пришел к этому выводу путем теоретических рассуждений.
Можно непосредственно проверить это предположение [*].
* * *
[*] Полезно было бы посмотреть такой опыт. Струя из водяных капелек выпускается из форсунки и освещается вспышками света, которые повторяются с такой же частотой, как импульсы форсунки. Этот эффект можно наблюдать в кино при изображении вращающегося колеса телеги, когда промежуток времени между кадрами оказывается как раз достаточным для поворота колеса на угол, образуемый двумя спицами; при этом спицы движутся «все вместе» между кадрами, и изображение на экране кажется неподвижным. Колесо как бы проскальзывает не вращаясь. Если увеличить скорость вращения колеса на 10 % (или замедлить съемку, то будет казаться, что колесо вращается, но со скоростью, разной примерно 1/10 действительной скорости. В кино этот эффект нежелателен, однако в физике или технике такое прерывистое, или стробоскопическое, освещение часто используют, чтобы «заморозить», или замедлить, быстрое движение одинаковых предметов — спиц колеса или капелек воды. Подобное освещение можно использовать при изучении быстрых колебаний (например, звонка или струны скрипки). На фиг. 27 показана схема опыта с водяными капельками.
Фиг. 27. Стробоскопическое освещение потока водяных капелек.
Вода поступает из резервуара к небольшому стеклянному соплу по резиновой трубке, которая зажимается электромагнитом. Электромагнит, питаемый переменным током, сжимает трубку 120 раз в секунду (дважды за период переменного тока), в результате чего возникает струя из капелек, испускаемых с частотой 120 капелек в секунду. Струя освещается небольшим фонарем и располагается перед экраном, отбрасывая на него тень. При постоянном освещении струя кажется непрерывной. Если же между фонарем и струей расположить вращающийся непрозрачный диск с прорезью, то при освещении проходящими через прорезь вспышками света будут видны отдельные капельки. Диск с прорезью может приводиться во вращение синхронным двигателем, работающим от сети переменного тока. Тогда вспышки света будут синхронны с появлением капелек, и картина станет неподвижной. Для измерений на экран можно, кроме того, спроецировать прямоугольную сетку из проволоки.
В простом демонстрационном опыте можно рассматривать движение шариков или водяных капель перед классной доской, вычертить и проанализировать криволинейную траекторию движения. Вы можете проделать опыт и самостоятельно, скатывая шарик по наклонной плоскости, когда он совершает движение под действием некоторой доли силы тяжести. На фиг. 28 показана схема такого опыта.
Фиг. 28. Демонстрация и анализ движения тела, находящегося под действием некоторой доли силы тяжести.
а — шар катится по наклонной плоскости; б — траектория движения шара, записанная на бумаге.
Шарик движется поперек и одновременно скатывается вниз по наклонной плоскости, оставляя след при движении (для этого использована копировальная бумага). Чтобы произвести анализ движения, изобразите на листе бумаги, на котором вычерчена траектория движения, прямые с координатами
x2 = 2x1, x3 = 3x1
Измерьте y1, y2 и т. д. и проверьте, выполняются ли соотношения
y2 = 22y1, y2 = 32y1 и т. д.
* * *
На фиг. 26 показана фотография шарика, брошенного в воздух, полученная при помощи серии коротких световых вспышек, следующих через равные промежутки времени.
Фиг. 26. Траектория летящего тела, сфотографированного при помощи световых вспышек.
Произведите сами измерения по траектории на фотографии, проведя линии А1В1, A2B2, A3B3. Вы увидите, что линии разделены равными промежутками: A1A2 = A2A3 =… Шарик поднимается по вертикали все медленнее и медленнее, а затем падает все быстрее и быстрее; в перемещении же по горизонтали он движется, не ускоряясь и не замедляясь. Горизонтальное движение летящего шарика остается неизменным.
Галилей знал об этом свойстве движущихся предметов и дал эти представления Ньютону. В течение многих столетий до него большинство ученых настаивало на том, что для поддержания постоянной скорости движения необходимо действие силы.
Это представление древних и сегодня находит отклик, если мы полагаемся на здравый смысл. Чтобы ящик двигался по полу, вам приходится его толкать; автомобиль, катящийся по горизонтальному участку пути, потребляет бензин, и двигатель каким-то образом создает постоянное усилие. Если вы оставите движущийся предмет в покое, говорили древние, то он остановится. Но для Галилея и Ньютона шероховатый пол и ветер не оставляют движущееся тело в покое: они создают силы, которые действуют на тело и препятствуют его движению (мы называем их силами трения или сопротивления воздуха). Массивное пушечное ядро, движущееся с небольшой скоростью, испытывает лишь незначительное сопротивление воздуха; оно почти предоставлено самому себе в отношении движения по горизонтали и сохраняет это движение.
Отсюда возникает новое представление о движении, согласно которому движению тела присуще нечто, что поддерживает его, пока тело не встречает противодействия. Это нечто было названо мыслителями XIV столетия в Париже и Оксфорде «импульсом». Их труды дошли до Леонардо да Винчи примерно в 1500 г., а до Галилея около 1600 г. и оказали на них влияние. Если бы существовало книгопечатание, то современные взгляды на движение, возможно, распространились бы еще за три столетия до Галилея.
Импульс — удобное название этого качества движущегося тела, имеющее в современном словаре оттенок значения «движущий вперед». Впоследствии мы изменим это название на термин «количество движения», которому мы придадим более точный смысл[28]. Обратите внимание, что ни одно из этих слов ничего не объясняет: это в лучшем случае этикетки, наводящие на мысль, напоминающие о том, что движущееся тело несет свое движение с собой и не нуждается для его поддержания в усилии. Слово «импульс» латинского происхождения, оно обозначает «движение».
Наблюдая за движением пушечного ядра, Галилей говорил, что пушка сообщает ядру импульс, который ядро сохраняет. Горизонтальная часть этого импульса остается неизменной. Вертикальная часть, или, как мы говорим, вертикальная составляющая, изменяется под действием силы тяжести, как и при движении любого другого падающего тела. Если к ящику нужно прилагать постоянное усилие, чтобы он продолжал двигаться по полу, то это значит, что пол создает силы, препятствующие движению, Галилей и Ньютон сказали бы, что нашего постоянного усилия, направленного вперед, как раз достаточно для противодействия этой тормозящей силе. И в этом случае, когда ящик движется с постоянной скоростью, действующая на него суммарная сила равна нулю. На фиг. 31 показана схема опыта, предназначенного для доказательства этого утверждения, однако в этом доказательстве скрыт один существенный дефект.
Фиг. 29. Средневековые представления о движении.
а — движение пушечного ядра поддерживается напором движущегося воздуха; б — чтобы поддерживать движение тела неизменным, необходимо толкающее усилие.
Фиг. 30. Представления Галилея и Ньютона о движении.
а — при равномерном движении результирующая сила равна нулю; б — тележка. Движущаяся по горизонтальному участку пути, обладает «импульсом»; в — сила, параллельная наклонной плоскости, составляет некоторую долю силы тяжести; г — действующая на тело результирующая сила увеличивает импульс тела.
Дело в том, что трудно или даже невозможно произвести честную экспериментальную проверку утверждения, что сила, направленная вперед, и сила трения о пол в точности равны и противоположны друг другу. На данном этапе вы должны принять это как изложение нашей точки зрения.
Мы впоследствии вернемся к этому представлению. Пока запомните, что, согласно прямым наблюдениям, для всех летящих тел, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь:
1) движение не зависит от размеров или массы предмета;
2) вертикальное и горизонтальное движения независимы;
3) вертикальное движение происходит с постоянным ускорением, направленным вниз, как и ускорение любого свободно падающего тела;
4) горизонтальное движение остается неизменным.
Фиг. 31. Демонстрация равномерного движения тела.
Один наблюдатель тянет ящик по шероховатому «полу», измеряя силу тяги пружинными весами. «Пол» опирается на ролики без трения. Второй наблюдатель удерживает «пол» при помощи пружинных весов.
Задача 1. Полет снаряда
Начертите график, изображающий движение бомбы, сброшенной в самолета, применив приведенные выше простые рассуждения. Самолет А (фиг. 32), летящий горизонтально на высоте 60 м над землей со скоростью 30 м/сек, сбрасывает бомбу В.
Фиг. 32. К задаче 1.
а) Начертите график, изображающий положения А и В в примерном масштабе спустя 1, 2, 3, 4, 5 сек после того, как бомба В отделилась от самолета. Обозначьте эти положения через A1 и B1, A2 и B2 и т. д. Считайте, что сопротивлением воздуха можно пренебречь. (Эксперименты показывают, что при таких скоростях сопротивление воздуха лишь незначительно влияет на движение бомбы.)
б) Представьте, что самолет сбрасывает вдвое более тяжелую бомбу. Какова будет ее траектория по сравнению с первой бомбой, если сопротивлением опять-таки можно пренебречь?
в) Представьте, что самолет сбрасывает деревянную бомбу W, на движении которой заметно сказывается сопротивление воздуха. Начертите вероятную траекторию бомбы W, сделав необходимые разумные предположения; отметьте несколько положений W и A.
Задача 2
Представьте себе, что самолет в задаче 1 летит не горизонтально, а по наклонной прямой (фиг. 33), неизменно набирая высоту с постоянной скоростью.
Фиг. 33. К задаче 2.
а) Каково будет в этом случае движение бомбы в самом начале, когда она отделяется от самолета?
б) Забыв на некоторое время о самолете, опишите словами и начертите траекторию любого летящего массивного снаряда, движение которого начинается таким образом. (Если вы не уверены в своих предположениях, проведите необходимый опыт.)
в) Начертите график, изобразив несколько положений бомбы В. Покажите соответствующие положения самолета А. (Указание. Поскольку самолет летит с постоянной скоростью, он обладает постоянной горизонтальной составляющей скорости. Бомба…)
Задача 3
Если вам удалось решить задачу 2, то вы должны были сделать дополнительное предположение относительно вертикальной составляющей полета снаряда, которое не требовалось в задаче 1. Что это за предположение?
Вы можете убедиться в том, как «правила», выведенные из эксперимента, могут быть использованы в практических целях.
В средние века эти правила Галилея могли быть полезны в артиллерийском деле. В наше время они служат отправной точкой для современной баллистики, в которой детально учитываются такие эффекты, как сопротивление воздуха, движение Земли и даже переменная величина силы земного тяготения.
Полет тел и относительное движение
Галилей проделал воображаемые опыты на борту корабля, чтобы показать, что движение можно разложить на составляющие и что равномерное движение «лаборатории» можно не принимать во внимание. Предлагаемая ниже задача объясняет некоторые свойства относительного движения.
Задача 4 (трудная, но важная). Начало принципа относительности Галилея. Пассажир, находящийся в вагоне поезда, роняет апельсин. Апельсин падает ему на ноги. В рассуждениях, которые следуют ниже, сопротивлением воздуха можно пренебречь.
1) Представьте себе, что вагон неподвижен. Какова в атом случае траектория движения апельсина?
2) Представьте себе, что вагон движется вперед с постоянной скоростью, скажем 20 км/час. В этом случае, до того как апельсин выпал из рук, он, двигался вместе с пассажиром и вагоном с постоянной скоростью 20 км/час, направленной вперед. Таким образом, когда апельсин был выпущен из рук, он начал движение вперед со скоростью 20 км/час и стал падать.
а) Что произойдет с движением апельсина вниз с течением времени?
б) Что произойдет с движением апельсина вперед с течением времени?
в) Представьте себе, что неподвижный наблюдатель, стоящий у полотна железной дороги, смотрит в окно. Начертите траекторию апельсина, какой ее видит этот наблюдатель. Отметьте три или четыре положения падающего апельсина О1, О2…; отметьте соответствующие положения ног пассажира, F1, F2…
г) Начертите траекторию, наблюдаемую пассажиром в вагоне, отметив несколько этапов.
д) Представьте себе, что шторы в окне опущены и пассажир не может видеть того, что за окном. Считайте, что поезд движется плавно, без толчков.
Может ли пассажир на основании опытов с апельсином внутри вагона решить, что вагон движется? Если да, то какие наблюдения позволили бы ему сделать этот вывод? Если нет, то насколько реально движение вагона?
Есть ли какая-нибудь разница для пассажира (поскольку это касается экспериментов с бросанием апельсина), движется ли вагон вперед или же вся местность, лежащая за пределами вагона, движется назад? (С подобных вопросов начинается рассмотрение принципа относительности — сначала относительности медленного равномерного движения, о которой знал Галилей и которая является содержанием этой задачи, а потом относительности, которую рассматривал Эйнштейн. Следуя Эйнштейну, современные физики считают, что если эксперимент не в состоянии дать ответа на какой-то вопрос, то сам вопрос поставлен неправильно и представляет собой бессмысленную попытку доискиваться знания там, где это невозможно.)
На самом деле летящее тело не совершает отдельно горизонтального и вертикального движения. Когда тело движется по криволинейной траектории, направление его движения в любой момент совпадает с направлением касательной. Поднимаясь от А к В и С (фиг. 34), тело движется все медленнее и медленнее, а затем, падая от С до D и Е, движется все быстрее и быстрее; скорость тела при этом изменяется, поскольку изменяется под действием «земного тяготения» вертикальная составляющая.
Фиг. 34. Движение летящего тела.
Задача 5
Как видно из фиг. 26 (стр. 83), шарик за время каждой короткой вспышки оставляет небольшую метку.
а) Какую информацию можно извлечь, анализируя длины меток?
б) Какую информацию можно извлечь, анализируя направление меток?
в) Как можно по самим меткам (а не по расстоянию между ними) определить, происходит ли горизонтальное движение с постоянной скоростью?
г) Как можно по самим меткам сделать вывод относительно вертикального ускорения?
д) Верхняя метка выглядит почти как точка. Какой вид она должна иметь — точки или черточки? Почему?
е) Какое видоизменение опыта вы бы предложили, чтобы доказать ваш ответ на вопрос (д)?
ж) При фотографировании шарик не был просто брошен один раз и сфотографирован; пришлось сделать много фотографий и выбрать из них одну. Как по-вашему, по какой причине это пришлось сделать (возможную недостаточную квалификацию фотографа во внимание не принимать)?
Разложение движения по действительной траектории на горизонтальное и вертикальное (т. е. на компоненты) представляет собой искусственный прием, который принимается без доказательств. Каким правилам подчиняется разложение на компоненты, а также обратный процесс сложения компонент? Процесс сложения отдельных движений в одно движение, которое мы называем результирующим, имеет важное значение в навигации, где приходится складывать движения корабля и океанских течений или движения самолета и ветра. В следующем разделе мы займемся изучением такого сложения движений.
Геометрическое сложение
Наблюдая за полетом камня в воздухе по криволинейной траектории, никто не стал бы подразделять его на вертикальное и неизменное горизонтальное движения, а мы, как ученые, намерены проделать это разделение или анализ и обнаружить, что оба эти движения различного типа и не зависят одно от другого. Тут сразу же возникает ряд вопросов:
а) Каким образом разлагается на две составляющие, или компоненты, одно движение по наклонной прямой?
б) Каким образом два отдельных движения складываются в одно движение?
Мы можем угадать ответ на второй вопрос и использовать его, чтобы ответить на первый. Если попытаться сложить два или несколько движений, то нам придется следить за передвижением в различных направлениях. Вместо этого пусть движения совершаются в течение некоторого промежутка времени, скажем одного часа, а затем рассмотрим расстояния, пройденные за этот промежуток времени. Тогда задача сложения движений сведется к простой задаче сложения пройденных расстояний или перемещений[29].
Совпадают ли здесь правила сложения с правилом сложения в арифметике, когда, складывая 2 и 3, мы получаем 5?
Эксперимент вскоре убеждает нас в том, что это правило действует лишь в том случае, если отдельные складываемые перемещения происходят по прямой линии в одном и том же направлении. Тогда перемещение на 4 м в направлении на север и 3 м в направлении на север дают суммарное перемещение в направлении на север, равное 7 м; следовательно, скорость 4 м/сек и скорость 3 м/сек, обе в северном направлении, дают суммарную скорость 7 м/сек в северном направлении; скорость 4 км/час плюс 3 км/час, обе в одном и том же направлении, дают суммарную скорость 7 км/час (фиг. 35).
Фиг. 35. Сложение движений, совершаемых в одном и том же направлении.
а — лодка плывет со скоростью 3 км/час; человек идет со скоростью 4 км/час; б — скорость по отношению к берегу 7 км/час.
Если же направления движения оказываются различными, то простая арифметика бессильна. Если к перемещению на 3 м в северном направлении прибавить перемещение на 4 м в восточном направлении, то мы не получим перемещения на 7 м. Точно так же скорость 4 тем/час в направлении на восток плюс скорость 3 км/час в направлении на север не даст в сумме скорости 7 км/час в каком-либо направлении. Чтобы действовать в соответствии с наблюдаемыми в жизни фактами, мы должны пользоваться другим типом сложения, которое мы называем геометрическим сложением.
Здравый смысл (в данном случае простые сведения, приобретенные при ходьбе пешком, вождении автомашин, плавании на лодке и т, д.) подсказывает, как следует производить геометрическое сложение. Предположим, вы хотите сложить перемещения на 4 м к востоку и на 3 м к северу, чтобы найти одно перемещение, которое привело бы вас из исходной точки в пункт назначения. На первый взгляд это кажется несерьезным, но попробуйте проделать это сами. Станьте лицом к северу, поставив ноги вместе. Затем попытайтесь проделать оба эти перемещения, т. е. 4 шага вправо и 3 шага вперед одновременно. Можно попытаться проделать это, совершая каждое перемещение одной ногой — правой в сторону, а левой одновременно вперед. Однако в результате можно оказаться в довольно неудобном положении (фиг. 36). Лучше проделать сперва одно перемещение, а затем другое, иначе говоря, продвинуться на 4 шага вправо, а затем сделать 3 шага вперед (фиг. 37).
Фиг. 36. Попытка сложить два движения, совершаемых в разных направлениях.
Фиг. 37. Сложение движений.
Можно проделать эти перемещения в другом порядке и прийти в тот же пункт назначения. Если бы вы смогли как-то проделать оба перемещения одновременно, то пришли бы в ту же конечную точку. В самом деле, это можно проделать, если приспособить ковер, который передвигался бы по полу при помощи электромотора.
Тогда, став на ковер (на фиг. 38 показан игрушечный автомобиль на коврике), можно было бы включить мотор, чтобы он протащил ковер на 4 шага вправо, а самому в это время сделать 3 шага вперед. По отношению к ковру вы сделаете только 3 шага вперед. С высоты птичьего полета покажется, что вы проделываете оба перемещения одновременно и приходите в тот же пункт назначения, как если бы вы сперва проделали одно перемещение, а потом другое.
Фиг. 38. Сложение движений.
Игрушечный автомобиль движется по ковру, а ковер в это время тянет по полу электродвигатель. Движение автомобиля по отношению к полу совершается по диагонали.
Какое единственное перемещение могло бы заменить эти два, проделанные одновременно или по отдельности, и привести вас в тот же пункт назначения? Простое перемещение по прямой линии из исходной точки в конечную. Это перемещение называют суммой обоих перемещений. Если начертить перемещения в масштабе на бумаге, как на фиг. 39, то однократным перемещением, которое заменило бы оба перемещения (если бы они были сделаны по отдельности), будет перемещение R.
Фиг. 39. Сложение перемещений, происходящих под прямым углом.
Если перемещения совершаются не под прямым углом, то применимо такое же изображение в масштабе, как показано на фиг. 40.
Фиг. 40. Сложение перемещений.
Если перемещения совершаются одновременно (так бывает, когда полет самолета происходит при наличии ветра) мы можем по-прежнему считать, что сначала происходит одно перемещение, а потом другое, и прийти к результирующему перемещению R (фиг. 41).
Фиг. 41. Сложение перемещений.
Мы находим результирующее перемещение, беря сначала одно перемещение, а затем другое, как показано на фиг. 42, а или б. Объединяя обе эти фигуры (фиг. 42, в), мы видим, что результирующее перемещение дается диагональю параллелограмма, сторонами которого служат первоначальные перемещения.
Фиг. 42. Сложение перемещений.
Это правило для сложения перемещений несомненно верно; в этом нас убеждает здравый смысл, основанный на опыте, приобретенном начиная с раннего детства.
Это правило можно обратить и разложить перемещение R на компоненты А и В. Эти компоненты — одна из возможных пар перемещений, которые вместе дают R. Существует бесконечное множество таких пар, каждая из которых дает в сумме одно и точке перемещение R.
Фиг. 43. Примеры сложения перемещений по правилу параллелограмма.
Задача 6
а) На фиг. 44, а изображено перемещение R, разложенное на две компоненты А1 и В1; на фиг. 44, б показано то же самое перемещение R, разложенное на другую пару компонент А2 и В2. Скопируйте эти рисунки и добавьте к ним еще несколько, на каждом из которых было бы изображено то же самое перемещение R, разложенное на другие компоненты: А3, В3, А4, В4 и т. д.
Фиг. 44. Вектор R можно разложить на компоненты A1 и B1, A2 и В2 или на другие пары компонент. Компоненты вектора R не обязательно должны составлять между собой угол 90°.
б) Покажите, что компоненте А можно придать любое направление и любую величину и при этом найти такую компоненту В, которая в сумме с А даст R. (Это равносильно вычитанию векторов R-А, которое находит применение в физике и встретится нам в дальнейшем.)
Скорость
Направление перемещения имеет столь же важное значение, как и величина. В физике скорость связывают с определенным направлением. Скорость обладает обоими качествами: величиной и направлением[30]. Подчиняются ли скорости правилу геометрического сложения? Или, как сказал бы ученый, являются ли скорости «векторами»?
Векторы (определение)
Векторы — это величины, складываемые геометрическим способом. Они называются «векторами»[31] потому, что их можно охарактеризовать, проведя отрезок прямой, показывающий как величину вектора (в некотором масштабе), так и его направление.
Правило сложения двух векторов
Геометрическое сложение описывается следующим правилом. (Согласно определению векторов, оно автоматически применимо к ним.)
Чтобы сложить два вектора, выбирают подходящий масштаб и вычерчивают их в этом масштабе из одной точки, а затем строят на складываемых векторах параллелограмм. Тогда сумма векторов будет изображаться диагональю параллелограмма, соединяющей исходную точку с противолежащей вершиной.
При таком способе сложения сумма нескольких векторов определяется как единственный вектор, который может заменить первоначальные векторы, или производит такой же физический эффект.
Подобно тому как векторы А и В дают при сложении сумму R2 (фиг. 45), можно сложить векторы А и В и С, прибавив С к R2, в результате чего получим вектор R3. Прибавляя далее вектор D, получаем R4 и т. д. Или, проще говоря, любое количество векторов можно складывать, проводя следующий прибавляемый вектор из конца предыдущего, как показано на фиг. 46 (этот рисунок представляет собой лишь упрощение фиг. 45, б), и их сумма будет изображаться вектором, соединяющим исходную точку с конечной.
Фиг. 45. Сложение векторов путем построения параллелограмма.
а — этапы построения; б — результат построения.
Фиг. 46. Сложение векторов путем построения многоугольника.
Какие величины относятся к векторам? Иначе говоря, какие величины складываются геометрически по правилу параллелограмма? Векторами являются перемещения, или, если называть их более строго, «направленные расстояния» или «смещения». Раз перемещения — векторы, то достаточно разделить их на промежуток времени, за который происходит перемещение, чтобы увидеть, что скорости — тоже векторы. Продолжая этот подход, мы видим, что ускорения — тоже векторы[32]. Нам встретятся и другие векторы, другие величины, которые нужно измерять с помощью приборов и которые подчиняются правилу геометрического сложения?
Здесь возникает важный вопрос: являются ли силы векторами, т. е. подчиняются ли они правилам геометрического сложения?
На этот вопрос нельзя ответить, просто подумав[33]. Ответ не очевиден и требует предварительного изучения (см. гл. 3).
Скаляры
Физические величины, которые имеют только величину и которым нельзя приписать никакого направления, называются скалярами; хорошими примерами скалярных величин служат объем и температура. Существуют и такие вещи, которые не являются ни векторами, ни скалярами, скажем доброта, а также некоторые величины, этакие «сверхвекторы», называемые тензорами. Примером тензоров могут служить напряжения в деформированном твердом теле: давление, перпендикулярное к любой площадке образца, и срезающие усилия, действующие вдоль нее. Более сложные примеры встречаются в математической теории относительности. Например, мы будем рассматривать количество движения mv как вектор с тремя компонентами: mvx, mvy, mvz, а кинетическую энергию — как скаляр. Эйнштейн, придерживаясь обобщенного представления о пространстве-времени, предпочитал объединять количество движения и кинетическую энергию в «четырехвектор», т. е. с четырьмя компонентами: три для количества движения и одна для кинетической энергии.
Сложение нескольких векторов
Два вектора складываются по правилу параллелограмма.
Вверху фиг. 47 показано сложение A + B = R (знаки + и =, напечатанные жирным шрифтом, обозначают геометрическое сложение). Исходя из этого определения, мы можем прийти к более примитивным способам сложения «одного перемещения, а потом другого», как показано на фиг. 47.
Фиг. 47. Сложение векторов по правилу многоугольника.
Это простейший способ сложения нескольких векторов. Если нам нужно сложить векторы А, В, С, D, то можно было бы складывать их, применяя последовательное построение параллелограмма: получить сумму A + B, прибавить ее к С, а затем прибавить новую сумму к D. Однако такое построение утомительно, и если выполнить все его этапы на одном чертеже, получится изрядная путаница (фиг. 49, а). Вместо этого сложим А и В по правилам многоугольника, проведя В из конца А, затем прибавим С к их сумме, проведя С из конца этой суммы, затем прибавим D. Можно опустить промежуточные суммы и найти общую сумму R, соединив начало первого вектора с концом последнего (фиг. 49, б).
Фиг. 48. Никогда не складывайте векторы «голова к голове».
Получается совершенно неверный ответ, отнюдь не их сумма.
Фиг. 49. Сложение нескольких векторов.
а — методом последовательного построения параллелограммов; б — методом построения многоугольника.
Проведение параллельных прямых
Чтобы переместить вектор с одного места на листе бумаги в другое, нужно начертить на новом месте отрезок прямой, имеющий ту же длину и то же направление, что и прежний отрезок, т. е. новый отрезок должен быть параллелен первому. Существуют геометрические методы и приспособления, позволяющие провести прямую, параллельную другой прямой. Мы покажем вам хотя бы один способ построения параллельных прямых. Для этого не требуется сложного построения углов.
На фиг. 50 показан простой способ проведения параллельных прямых при помощи линейки или обложки книги (или любого прямоугольника или треугольника). Чтобы провести через точку А прямую P'Q' параллельную прямой РQ, расположите один край книги вдоль прямой PQ. Приложите к другому краю книги линейку. Прижав линейку к бумаге, перемещайте вдоль нее книгу до тех пор, пока та сторона книги, которую вы совместили с прямой PQ, не пройдет через точку А. Теперь проведите по этой стороне требуемую прямую P'Q' через точку А.
Фиг. 50. Простой способ проведения параллельных прямых.
Задача 7. Сложение скоростей
Корабль, попавший в туман, держит курс на север и идет, как считает штурман, со скоростью 4 м/сек; течение слабое. На самом же деле корабль сносит к востоку течением, скорость которого равна также 4 м/сек. Предположим, что туман, рассеялся и штурман уже может видеть близлежащие острова. В каком направлении, по его наблюдениям, фактически движется корабль? С какой скоростью?
Задача 8. Вычисление векторной суммы
Корабль отправился на, север и движется в тумане со скоростью 4 м/сек, как в задаче 7. Фактически корабль сносит к востоку течением, скорость которого равна 3 м/сек. Чему равна скорость корабля по отношению к суше?
Задача 9. Штурманская задача
Штурман пытается провести судно в тумане через узкий проход между рифами.
а) Он знает, что проход лежит к северо-востоку и что океанское течение сносит судно к востоку со скоростью 5 м/сек. Винт сообщает судну скорость 5 м/сек в направлении вперед. В каком направлении штурман должен вести судно, пользуясь своим компасом? (Указание. Проведите известный вектор скорости течения. Из начала этого вектора проведите прямую, совпадающую с направлением сумма, а из конца его проведите надлежащим образом вектор скорости, развиваемой судовым двигателем. Достройте параллелограмм.)
б) Представьте себе, что проход между рифами идет в северном направлении, скорость течения равна 5 м/сек, направлено оно на восток, а скорость, сообщаемая судну винтом, равна 9 м/сек. Постройте график и покажите направление, в котором штурман должен, вести судно по компасу.
в) Представьте себе, что проход лежит к северу, а скорость течения равна 5 м/сек, направлено оно на восток. Докажите, что судно можно провести через проход только в том случае, если судовой двигатель позволяет развить скорость больше 5 м/сек.
Влияет ли порядок, в котором складываются векторы, на сумму?
Складывая векторы один за другим по правилу многоугольника, можно было бы располагать их в другом порядке, скажем A, D, С, В…, а не А, В, С, D…, в результате чего получим другой многоугольник. Получим ли мы ту же векторную сумму?
Приводимая ниже задача дает ответ на этот вопрос.
Задача 10
На фиг. 51 показано несколько векторов А, В, С, D, E, которые все проведены, из одной точки О. Сложите эти векторы по правилу многоугольника, т. е. проводя каждый последующий вектор из конца предыдущего, следуя данным ниже указаниям. Приведенный здесь рисунок слишком мал для точного выполнения чертежа и измерений, поэтому прежде всего воспроизведите его в большем масштабе на листе миллиметровки так, чтобы каждой клетке соответствовал квадрат со стороной 2 см. Затем к вектору А, который уже проведен, прибавьте В, затем С, затем D, затем Е, проводя каждый из прибавляемых векторов из конца предыдущего. Для этого вам придется перенести вектора В, С, D, Е при помощи какого-нибудь способа проведения параллельных прямых. (Воспользуйтесь либо данными, взятыми из разграфленной сетки фиг. 51, либо способом, показанным на фиг. 50.)
Фиг. 51. К задаче 10.
Проведите отрезок, выражающий сумму. Измерьте и запишите его величину. Чтобы определить направление суммы, нужно либо измерить какой-то угол, либо найти наклон отрезка, выражающего сумму. Испробуйте оба способа следующим образом:
а) Измерьте и запишите угол между суммой и самым первым вектором А.
б) Проведите две взаимно перпендикулярные оси ОХ и ОY, направив ось ОХ вдоль вектора А. Затем опустите перпендикуляр h из конца векторной суммы на ось ОХ (точно проводить этот перпендикуляр не нужно, можно просто измерить его длину). Измерьте высоту h и длину основания Ь, отсекаемого перпендикуляром на оси ОХ. После этого вычислите отношение (высота h)/(основание b), которое называется наклоном отрезка R. Это позволит нам задать В, как вектор, величина которого равна…? а направление имеет наклон…?
Задача 11. Сумма однозначна
Получится ли иная векторная сумма, если складывать векторы в другой порядке? Проделайте снова задачу 10 на листе миллиметровки; начните, как и раньше, с вектора А, но прибавляйте к нему остальные векторы в другой последовательности: В, Е, D, С. Определите величину и направление суммы в этом случае.
Задача 12. Некоторые соображения по поводу сложения векторов
Представим себе векторы А, В, С, D, E в задаче 10 как перемещений, которые корабль должен совершить одно за другим. Представим себе оси ОХ, OY как направления восток и север, определяемые по компасу. Тогда одно перемещение, скажем В, переносит нас на некоторое расстояние к северу и на некоторое расстояние к востоку. Мы можем сказать, что перемещение В изменяет наш курс на столько-тo к северу и на столько-то к востоку. Фактически, же мы представляем себе перемещение В расчлененным, на компоненты, северную и восточную. Это называется «разложением вектора В на северную и восточную компоненты.
Фиг. 52.К задаче 12.
Разложение вектора на пару взаимно перпендикулярных «компонент» XB и YB, заменяющих этот вектор
Мы можем таким же образом разложить все векторы. Некоторые из восточных или северных компонент могут оказаться отрицательными. Сумму R тоже можно представить себе разложенной на восточную и северную компоненты. Когда мы складываем векторы, А, В…, то каждый из них вносит свою долю в изменение курса к востоку и к северу.
Фиг. 53. К задаче 12.
Разложение векторов F, G, H, I, J на компоненты (составляющие) вдоль направлений X (восточное) и Y (северное).
а) Как, по-вашему, связана восточная компонента суммы с восточными компонентами векторов А, В,?
б) А как связана северная компонента суммы?
в) Как вы думаете, изменятся ли ответы на вопросы, (а) и (б), если изменить порядок сложения отдельных векторов?
Задача 13. Еще один способ сложения векторов
Предыдущая задача указывает еще на один способ сложения векторов, очень удобный при большом числе складываемых векторов, особенно если заданы углы, и мы умеем пользоваться тригонометрией. Мы едва ли будем пользоваться тригонометрией в нашем курсе, и элементы ее приводятся лишь, чтобы, показать, что существует стройный метод.
а) предположим, что известны, восточная компонента ХR суммы R и северная компонента YR. Ha фиг.54 показаны R, ХR и YR. Каким образом можно вычислить величину R, зная ХR и YR? Запищите, уравнение.
Фиг. 54. К задаче 13.
б) Предположим, что известны восточная и северная компоненты каждого из векторов А, В…. (Предположим, что вектор А разлагается на компоненты ХА, YА и точно так же разлагаются остальные векторы.) Как бы вы вычислили восточную и северную компоненту R? Напишите уравнения для ХR и YR. (Примечание. Математики часто пользуются знаком Σ, заглавной греческой буквой «сигма», для обозначения «суммы всех величин). Например, если у членов банды А, В, С и др. имеются наличными МА долларов, MВ долларов и т. д., то общее количество наличных денег у банды равно МА долларов + MВ + МС +… и это записывается в виде ΣМ. Воспользуйтесь знаком Σ при решении этой задачи.)
в) Запишите указания для вычисления величины суммы R нескольких векторов, если заданы восточная и северная компоненты всех векторов.
г) Дайте такие указания применительно к векторам задачи 10. Перерисуйте векторы задачи 10 на новом листе миллиметровки. Проведите необходимые перпендикуляры и измерьте восточную и северную компоненты (припишите знаки минус всем компонентам, направленным на запад или юг).
Вычислите величину суммы векторов. Вычислите наклон этой суммы, используя вектор А как горизонтальную базовую линию.
Задача 14 (для тех, кто знаком с тригонометрией)
В задаче 10 векторы А, В, С, D, Е образуют следующие углы с вектором А, который, как принято, направлен на восток: А: 0°; В: 76°,0; С: 123°,7; D: 225°,0; Е: 270°,0. Длины векторов, если чертеж сделан на миллиметровке с сантиметровыми клетками, равны приблизительно; А: 8,00; В: 4,12; С: 3,61; D: 1,41; Е: 2,00 см. Воспользуйтесь правилами тригонометрии и найдите северную и восточную компонента каждого вектора, следуя данным ниже указаниям.
а) Какая из следующих величин представляет собой восточную компоненту вектора В?
б) Вычислите значение восточной компоненты вектора В, пользуясь таблицами тригонометрических функций (можно взять четырехзначные таблицы, но лучше трехзначные; не тратьте время на вычисления по более точным таблицам). Вычислите также северную компоненту вектора В.
Назовите обе эти компоненты XВ и YВ.
в) Проделайте то же самое для каждого вектора. Вычислите величину и наклон суммы векторов. Обратите внимание, что этот метод не требует вычерчивания в масштабе. Разумеется, им нельзя пользоваться, отрешившись от реальной ситуации и совсем не прибегая к чертежам. В таблицах тригонометрических функций как бы скрыты точные геометрические построения. Подобно числу π, синуса и косинусы, можно вычислить арифметически с помощью бесконечных рядов, но эти ряды, получены на основе геометрических допущений, проверенных сопоставлением с окружающим миром.
Фиг. 55. К задаче 14.
Задача 15
Воспользовавшись своими знаниями о векторах, покажите, как происходят горизонтальное и вертикальное движения летящего снаряда. На фиг. 56 показана траектория камня, брошенного в воздух. Скопируйте ее приблизительно в более крупном масштабе. Выделите ряд точек на траектории, скажем А, В, С, D, Е, и для каждой точки изобразите на чертеже горизонтальную скорость, вертикальную скорость и действительную (суммарную) скорость движения по примеру, данному для точки D.
Фиг. 56. К задаче 15.
Скорость движения в точке D направлена по касательной к кривой в этой точке.
Анализ построения для точки D. Проведите в точке D касательную DT к траектории. Тогда действительная скорость направлена по касательной DT, Проведите из точки D отрезок горизонтальной прямой Н, который будет характеризовать горизонтальное движение. (Поскольку скорость движения камня неизвестна, считайте, что его горизонтальная скорость изображается отрезком Н, длина которого на фиг. 56 равна 1,1 см.)
Мы рассматриваем действительное движение вдоль DT как составленное из горизонтальной и вертикальной компонент, поэтому мы строим параллелограмм, представляющий собой прямоугольник, у которого Н — одна из сторон, а диагональ направлена по DT. Тогда вертикальная сторона V изображает вертикальную скорость в точке D, а диагональ R — действительную скорость движения по криволинейной траектории. Проделайте подобное построение в каждой из точек А, В, С, D, Е… на вашем рисунке (точные построения делать не нужно) и покажите, какие происходят изменения в движении. При этом не забывайте о важном свойстве горизонтального движения летящего снаряда.
Движение тел и параболы
Форму траектории движения тела можно проанализировать с помощью геометрии или алгебры.
Геометрический анализ. Предположим, что в горизонтальном направлении брошен камень. Камень проходит в своем горизонтальном движении одинаковые расстояния по горизонтали за каждую секунду, совершая в то же время ускоренное движение в вертикальном направлении. Падая, он пролетает по вертикали 4,9 м за первую секунду после начала движения, 19,6 м за первые 2 сек, 43,9 м за первые 3 сек и т. д. Нанесите на масштабную сетку положения камня в различные моменты времени. Выберите промежутки времени от начала движения, которые находятся в пропорции 1:2:3:4…. За эти промежутки времени камень в своем равномерном горизонтальном движении проходит расстояния по горизонтали, которые находятся в той же пропорции 1:2:3:4…
Однако камень, падая, проходит по вертикали расстояния, пропорциональные квадратам этих чисел, т. е. 1, 4, 9, 16…, поскольку
РАССТОЯНИЕ ПО ВЕРТИКАЛИ = 1/2∙g∙(ВРЕМЯ)2
а значения величины (время)2 находятся в пропорции 1:4:9…
Отметьте положение камня в эти равноотстоящие друг от друга моменты времени, проведя вертикальные прямые через равные интервалы, скажем через 2 см; проведите также горизонтальные прямые на расстоянии 1 см вниз до исходного уровня, 4 см, 9 см и т. д., чтобы отметить расстояния по вертикали, пройденные камнем в падении. Тогда предсказанная траектория движения будет отмечена пересечениями вертикальных и горизонтальных прямых, как показано на фиг. 57. Это можно продемонстрировать, бросая шарики или выпуская водяные капли перед доской, на которой проведены такие прямые.
Фиг. 57. Сложение горизонтального и вертикального движений тела.
а — горизонтальное движение (не меняется); б — вертикальное движение с ускорением силы тяжести (свободное падение); в — сложное движение.
Задача 16
Предположим, что опыт убедил нас в том, что движение тел действительно происходит по кривой, проходящей через отмеченные на сетке точки. В какой мере это убеждает нас в правильности представлений о движении в природе? В подобном опыте начальную горизонтальную скорость, сообщаемую телу, нужно выбрать так, чтобы траектория проходила по отметкам (фиг. 58, а). Предположим, мы уменьшили скорость и отметили на доске новую траекторию движения. Каким образом можно проверить, совершает ли тело такое же движение, что и прежде (фиг. 58, б)?
Фиг. 58. К задаче 16.
Алгебраический- анализ. Начертите на разграфленной бумаге с координатами х и у воображаемую траекторию летящего камня и найдите ее уравнение. Предположим, что камень брошен горизонтально из начала координат (0, 0) со скоростью 5 м/сек. Тогда за каждую секунду камень перемещается в горизонтальном направлении на 5 м. По прошествии t сек после начала движения камень переместится в горизонтальном направлении на 5t м, поэтому можно записать
РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ, х = 5∙t м.
Через t сек камень, падая из состояния покоя, пройдет по вертикали расстояние у, определяемое формулой
РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ ПО ВЕРТИКАЛИ, y = 1/2 УСКОРЕНИЕ t2 = 1/2 (9,8)∙t2 = 4,9∙t2 м
Эти формулы справедливы для любой стадии движения камня по его криволинейной траектории, поэтому мы можем записать
x = 5∙t
y = 4,9∙t2
Чтобы найти одно уравнение, описывающее траекторию движения, зададим себе вопрос: «Какое соотношение между х и у обеспечивает выполнение обоих приведенных выше требований на каждом этапе движения камня?» Для любой произвольно выбранной точки на траектории значения ее координат х и у должны удовлетворять обоим приведенным выше уравнениям для соответствующего значения t. Это значение t должно быть одинаковым в обоих уравнениях — ведь это время, когда камень достигает выбранной точки.
Поэтому мы можем избавиться от t, выразив из одного уравнения t и подставив полученное выражение в другое уравнение. Проделаем это.
Уравнение x = 5∙t дает t = x/5; подставляя выражение х/5 вместо t в уравнение y = 4,9∙t2, получаем у = 4,9∙(х/5)2, или у = (4,9/25)∙x2.
Уравнение траекторий движения камня будет тогда иметь вид у = 0,196∙x2.
В более общем случае, если камень брошен горизонтально с начальной скоростью vгор м/сек и падает с вертикальным ускорением g м/сек на сек, то
x = vгорt и y = 1/2 gt2
Следовательно,
т. е. у = (постоянная)x2, поскольку 1/2 g/v2гop — постоянная величина.
Это уравнение параболы[34]
Воспользовавшись подобным уравнением, можно построить на клетчатой бумаге превосходные графики параболы. Постройте на бумаге с сантиметровыми клетками кривую, описываемую уравнением y = 1/2 x2, взяв х = — 4, —3, —2, —1, 0, 1, 2 см и т. д.
Попытайтесь подогнать траекторию движения реального тела к этой кривой. Положите лист бумаги, на котором построена кривая, на чертежную доску, расположенную наклонно к плоскости стола, и скатывайте по ней шарик или держите лист бумаги отвесно и подбрасывайте перед ним какой-нибудь небольшой предмет.
Движение снаряда, выпущенного из пушки под углом к горизонту
Если снаряд выпущен не горизонтально, а вверх, под некоторым углом к горизонту, то его траектория по-прежнему будет параболой. Алгебраически это можно показать, используя уравнение s = v0t + 1/2 gt2,a не s = 1/2 gt2. Таким образом, мы воспользуемся очевидной симметрией криволинейной траектории движения и можем сказать, что замедленное движение тела вверх до вершины траектории должно совпадать с ускоренным движением вниз, начинающимся от вершины, поэтому можно начертить всю траекторию, исходя из рассмотренной задачи движения снаряда, выпущенного горизонтально. Но все это лишь разумное предположение, хотя эксперимент подтверждает его. Можно рассуждать еще и так: двигаясь по ниспадающему участку траектории от вершины О, камень не может «знать», началось ли его движение в точке О или раньше, или позже. Поэтому камень, брошенный в какой-либо точке этого участка траектории, скажем в точке А, в сторону и вниз, должен двигаться по той же траектории, что и камень, брошенный горизонтально из вершины О, лежащей выше (фиг. 59).
Фиг. 59. Движение тела вверх и вниз.
Симметрия траектории заставляет предполагать, что движение вверх до «отрицательной пушки» подобно движению вниз от «нормальной» пушки, стоящей на той же горе. Вместе эти движения дают полную параболу. В таком случае тело, начавшее движение по этой параболе из точки А, должно двигаться по той же траектории, как если бы движение его началось раньше из вершины О. Соображения симметрии позволяют распространить эти рассуждения на всю параболу.
То же самое справедливо для камня, брошенного вверх в точке В, Это наводит на мысль о расширении представления о независимости движений. Вертикальная компонента начального движения также остается неизменной, хотя к ней добавляется ускоренное движение свободного падения. С этим вертикальным движением, происходящим с постоянной скоростью, связано расстояние v0t в соотношении s = v0t + 1/2 gt2. Тогда можно объединить оба постоянных движения, вертикальную и горизонтальную компоненты начального броска, и сказать, что начальное движение тела, брошенного под узлом к горизонту, остается неизменным во время полета, хотя к нему добавляется движение свободного падения по вертикали, которое обусловливает появление в уравнении слагаемого 1/2 gt2. Итак, можно считать, что камень, брошенный, как показано на фиг. 60, совершает два движения: начальное движение вдоль прямой 45 и свободное падение, в котором камень проходит расстояния, отсчитанные от точек на прямой АВ, взятых через последовательные равные промежутки.
Фиг. 60. Анализ движения тела.
Это можно показать с помощью опыта с обезьянкой и ружьем.
Представим себе, что охотник, не принимающий во внимание силы земного тяготения, целится в обезьянку, которая повисла на дереве, ухватившись одной лапой за ветку. При выстреле пуля не попадет в обезьянку из-за свободного падения, как показано на фиг. 61.
Фиг. 61. Опыт с обезьянкой и воздушным ружьем.
Когда пуля вылетает из ружья, она разрывает контакт, электромагнит выключается и отпускает «обезьянку».
Предположим теперь, что обезьянка следит за действиями охотника и, заметив вспышку, выпускает ветку в тот момент, когда пуля вылетает из ружья. С этого момента и обезьянка и пуля совершают ускоренные движения вниз под действием силы тяжести; обезьянка падает из состояния покоя, пуля, согласно нашему последнему представлению, падает от своей «невозмущенной траектории», прямой АВ. Что же происходит? Это можно показать при помощи железной фигурки обезьянки, которую удерживает электромагнит, обесточиваемый разрывом цепи при вылете пули из ствола воздушного ружья, направленного на фигурку.
Такие эксперименты подтверждают наше предположение о том, что падение по вертикали совершенно не зависит от начального движения, которое неизменно. Любое летящее тело с начала движения совершает свободное падение. Оно проходит 0.3, 1.4, 3.6, 4.9 и т. д. метров за 1, 2, 3, 4… четвертьсекундных промежутка времени после начала движения. Если линия начального движения направлена под углом к горизонту, то тело сначала поднимается вверх, а потом падает, тогда расстояние, проходимое им в единицу времени в свободном падении, станет больше того расстояния, на которое тело поднимается вверх за каждую единицу, времени вследствие сообщенного ему начального движения. (Обратите внимание, что показанная на фиг. 62 траектория является параболой.)
Фиг. 62. Свободное падение тела.
Вы видите, как мы своими рассуждениями разделили задачу о движении летящего снаряда на части, облегчив ее решение и подготовив для дальнейшего изучения специалистами по баллистике.
Наши усилия не внесли новых сведений, но облегчили пользование уже известными сведениями.
Когда движущимися телами являются быстрые электроны (или заряженные атомы) и на них воздействуют не силы тяготения, а электрические и магнитные поля, то к ним применимы такие же «правила», и мы используем изменения траектории для получения информации об электрическом заряде, массе и скорости электрона. Потом мы считаем, что поведение движущихся тел подчиняется тем же правилам, и предсказываем воздействие полей на частицы, движущиеся с другими скоростями. Так поступают инженеры — специалисты по электронным приборам при проектировании телевизионных трубок и других радиоэлектронных устройств; такие же расчеты проделывают ученые-атомники, когда искривляют пучки электронов или атомов, бомбардируя ими мишени или опознавая тяжелые и легкие атомы по различиям в их траекториях.
Задача 17. Полицейская
Водитель автомобиля, въехав на мост, сильно превысил скорость. Машину занесло, она ударилась об ограждение и, разрушив его, упала в реку. Расстояние до поверхности воды составляло 4,9 м. Полиция установила, что машина упала в реку не вертикально под провалом в ограждении, а на расстоянии 19,8 м от него по горизонтали.
а) Оцените скорость, с какой шел автомобиль до катастрофы.
б) Как по-вашему, завышено или занижено полученное значение скорости? Объясните, почему.
в) Сформулируйте четко свойства падающих тел, которые вы использовали, производя вычисления по пункту (а).
Фиг. 63. К задаче 17.
Задача 18. Поток электронов
Электрон, движущийся со скоростью 6 000 000 м/сек (совсем небольшая скорость для электрона) в горизонтальном направлении, попадает в область, где вертикальное электрическое поле сообщает ему ускорение, направленное вниз и равное 40 000 000 000 000 м/сек/сек, или 4∙1013 м/сек/сек. Область, в которой действует это поле, имеет протяженность 0,30 м в направлении первоначального движения. Таким образом, электрон движется по прямой в отсутствие поля, затем 0,30 м (по горизонтали) под действием вертикального поля, а потом снова попадает в область, где нет поля.
а) Как вы, полагаете, повлияет ли вертикальное ускорение на горизонтальное движение электрона?
б) Вычислите время, за которое электрон проходит через область, где действует поле.
в) Вычислите расстояние, которое пройдет электрон, совершая падение в области, где действует поле. (Это как раз то расстояние, которое экспериментатор измеряет, исследуя поведение электрона.)
г) Вычислите вертикальную компоненту скорости электрона в момент, когда он выходит из области, где действует поле.
д) Рассчитайте траекторию электрона и начертите (приблизительно) траекторию его движения до области, где действует поле, в этой области и возле нее.
е) Почему нет необходимости учитывать силу тяжести при решении этой задачи? (Она действует на электрон.)
Фиг. 64. К задаче 18.
Задача 19. Дальность полета снаряда (задача решается с помощью алгебры и тригонометрии)
1) Из старинной пушки, ствол которой установлен под углом 45° к горизонту, выпущено ядро со скоростью 141,4 м/сек.
а) Разложите эту скорость на горизонтальную и вертикальную компоненты.
б) Вычислите, через сколько времени с момента вылета ядра оно упадет на землю.
в) Вычислите дальность полета.
2) Из старинной пушки выпущено ядро со скоростью v0 в направлении, которое составляет угол А к горизонту.
а) Разложите v0 на горизонтальную и вертикальную компоненты.
б) Вычислите время, в течение которого совершается вертикальное движение с момента вылета ядра до момента его падения на землю.
в) Вычислите расстояние, которое ядро проходит по горизонтали (т, е. дальность его полета).
3) Воспользовавшись методами тригонометрии или математического анализа, покажите, что при данной начальной скорости v0 дальность полета максимальна при А = 45°. (Вспомните, что 2sin x∙cos x = sin 2x.)
Задача 20. Измерение скорости летящего мяча
Физик хочет выяснить, с какой скоростью он может бросить бейсбольный мяч. Он бросает мяч горизонтально на высоте своего плеча, 1,2 м над поверхностью земли. Мяч падает на землю в 6 м от. того места, где стоит физик.
а) Чему равна начальная скорость мяча? (См. задачу 17.)
б) При вычислениях для ответа на вопрос (а) необходимо, помимо всяких формул для ускоренного движения, воспользоваться важным общим принципом, касающимся движения тел (его сформулировал Галилей). Что это за принцип?
в) Вместо того чтобы бросить мяч, наш физик бежит сам со скоростью, вычисленной в пункте (а), неся мяч на высоте плеча. На бегу он выпускает мяч, и мяч падает. Опишите, подумав как следует, траекторию падающего мяча:
Какой ее видит неподвижный наблюдатель?
Какой ее считает бегущий физик?
Задача 21
Автомобиль, движущийся со скоростью 20 м/сек (свыше 70 км/час) по горизонтальному участку горной дороги, делает неудачный поворот и падает в снежный сугроб с высоты 80 м (по вертикали).
а) Сколько времени продолжалось падение автомобиля?
б) На каком расстоянии (по горизонтали) от того места, где автомобиль снесло с дороги, он падает на землю?
в) Каково было ускорение автомобиля на полпути его движения вниз?
г) Какой угол с горизонтом образует «туннель», проделанный автомобилем в сугробе?
Задача 22
Человек держит ствол ружья горизонтально на высоте 3 м над землей,
а) Через какое время после выстрела пуля упадет на землю?
б) Патронная гильза выбрасывается горизонтально в сторону в тот момент, когда пуля вылетает из ствола ружья. Через какое время гильза упадет на землю?
в) Сможет ли человек (таким же способом) выстрелить на Луне на большее расстояние?
г) Дайте четкое обоснование вашему ответу на вопрос (в).
Задача 23
Находясь в большом лифте, человек бросает в горизонтальном направлении мяч со скоростью, близкой к 3 м/сек. Начертите для каждого из указанных ниже случаев траекторию движения мяча, какой ее видит человек в лифте,
а) Лифт движется вниз с постоянной скоростью 3 м/сек.
б) Лифт движется равноускоренно с ускорением, направленным вниз и равным 10 м/сек/сек.
в) Лифт движется равноускоренно с ускорением, направленным вниз и равным 3 м/сек/сек.
г) Лифт движется ускоренно с ускорением, направленным вниз и равным 19,6 м/сек/сек (это достигается применением специального оборудования).