Глава 10 Колебания и волны

«Путешествующему на корабле кажется, что океан состоит из волн, а не из воды».

Э. С. Эддингтон (Кэмбридж, 1929 г.)

Две революции, совершенные математикой в физике:

• 1822 г.

ТЕОРЕМА ФУРЬЕ (впервые доказана Фурье, в ваше время остается предметом исследований и находит многочисленные применения в науке):

Любое (повторяющееся) движение можно рассматривать как результат наложения простых гармонических движений. Любую волну независимо от ее формы можно рассматривать как сумму простых гармонических волн.

• 1824 г.

ДУАЛИЗМ ДЕ БРОЙЛЯ (гипотеза де Бройля получила развитие и служит основанием современной атомной физики):

Любая движущаяся частица (электрон, атом, нейтрон… бейсбольный мяч… даже квант света) ведет себя в одних случаях как размытая волна, а в других — как точечная частица!

Простое гармоническое движение, обычная составная часть всех колебаний, представляет собой весьма распространенный и очень важный тип движения. Оно играет значительную роль в акустике, а также в современной атомной теории волн и частиц.

Изучение волнового движения составляет большой раздел физики и служит базой для таких прикладных исследований, как изучение океанских волн и землетрясений, исследования в области акустики и многие другие. Изучение волнового движения приобрело еще большее значение, когда «оказалось», что свет — это волны, и когда гипотеза де Бройля произвела новую революцию в физике.

При отборе материала для нашего курса обе эти темы в основном остались в стороне, и большую часть данной главы можно опустить или отложить до будущих времен, причем связь с предшествующими и последующими главами не пострадает. Однако для изучения гл. 44[154] будут необходимы кое-какие знания о световых волнах, спектрах и интерференции. Об этом рассказано в последней части настоящей главы. Тем, кто захочет более полно ознакомиться с вопросом, следует обратиться к другим учебникам по общей физике, механике, оптике, математической физике; выбор учебника зависит от математической подготовки читателя.

Колебания маятника и измерение времени

Маятник обладает удивительным свойством — оно казалось удивительным Галилею, измерявшему время по числу биений пульса, оно кажется таким же и современному студенту, пользующемуся секундомером. Заключается оно в том, что колебания маятника и с малой амплитудой, и с большой амплитудой совершаются практически за одно и то же время. Если сначала колебания происходят с очень большим отклонением, скажем на 80° от вертикали, то при затухании колебаний до 60…40…20° период (= время одного цикла) уменьшится лишь на несколько процентов; а при уменьшении отклонения от 20° до едва заметного период изменяется меньше чем на 1 %. При отклонениях меньше 5° период остается неизменным с точностью до 0,05 %.

Это свойство маятника оказалось не только удивительным, но и полезным. Галилей предложил использовать маятник в качестве регулятора в часах. Во времена Галилея часы приводились в действие грузом, а для регулировки хода применялось грубое приспособление типа лопастей ветряной мельницы, которое использовало сопротивление воздуха. Для отсчета равных промежутков времени можно было бы использовать маятник, ибо малые колебания совершаются за то же время, что и большие, вызываемые случайными порывами ветра. Столетие спустя после Галилея часы с маятниковым регулятором вошли в обиход, но мореплаватели по-прежнему нуждались в точных часах для измерения долготы на море. Была объявлена премия за создание таких морских часов, которые позволяли бы измерять время с достаточной точностью. Премию получил Гариссон за хронометр, в котором для регулирования хода использовались маховое колесо (баланс) и специальная пружина.

Это свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды носит мудреное название изохронность — от греческого слова «изохронный», означающий «равновременный». Мы говорим, что движение маятника при малых амплитудах (приблизительно) изохронно. Это свойство заслуживает специального названия, ибо оно оказалось весьма ценным.

В приведенной ниже задаче 1 проводятся рассуждения, позволяющие перейти от маятника к другим системам, в которых совершаются изохронные колебания. Задача довольно сложная, но ее стоит попытаться решить, ибо она может служить примером задач по теоретической физике. Разбор задачи покажет вам, как от простого опытного факта перейти к предсказанию новой области технических знаний. Если вы успешно справились с «анализом движения маятника», проведенным в задаче 1, значит, вы сможете подыскать и другие системы, которые совершают изохронные колебания и еще больше подходят для регулирования хода часов.

Действительно, революция в измерении времени, началом которой послужило предложение Галилея, продолжается. Она прошла путь от больших часов с маятником до карманных и наручных часов с балансом и спиральной пружиной, колеблющихся кристаллов кварца, а теперь в качестве нового этапа — колебательных и вращательных движений самих атомов.

Закончите «теоретический анализ» колебаний маятника[155], который проведен ниже.

Задача 1

Опыт показывает, что при малых амплитудах период колебаний Т практически не зависит от амплитуды. Анализируя движение маятника, мы будем ограничиваться только малыми амплитудами. При удвоении амплитуды период колебания маятника Т остается неизменным, хотя груз проходит вдвое большее расстояние. Следовательно, чтобы амплитуда стала вдвое больше, груз должен двигаться быстрее.

Скорость движения не постоянна, даже ускорение не остается постоянным. Однако изменение скорости груза происходит одинаково при разных амплитудах, поэтому мы можем высказать предположение, что, будучи неодинаковой на разных стадиях отклонения, скорость груза на соответствующих стадиях движения с удвоенной амплитудой должна быть больше, чем скорость движения с первоначальной амплитудой, иначе Т не оставалось бы неизменным.

Задача 2

Отважившись на обобщение рассуждений, проведенных в задаче 1, мы должны ожидать, что при любых (малых) амплитудах скорости на соответствующих стадиях колебания связаны с амплитудой колебания следующим образом: ___

Задача 3

Вернемся к задаче 1, где сравнивались колебания, амплитуда которых отличаются вдвое. Поскольку удвоение амплитуды равносильно увеличению соответствующих скоростей ___ и поскольку груз приобретает эти скорости за один и тот же промежуток времени[156], его ускорение Δv/Δt при удвоенной амплитуде должно быть ___ больше, чем при колебании с первоначальной амплитудой. (Опять-таки ускорение не остаётся постоянным, но мы сравниваем ускорения на соответствующих стадиях колебания.)

Задача 4

Обобщая рассуждения в задаче 3, можно сказать, что соотношение между ускорением (на любой выбранной стадии колебания) и амплитудой должно выглядеть следующим образом: ___.

Задача 5

Хотя в конце отклонения груз не движется, он обладает наибольшим (направленным к вертикали) ускорением. Это ускорение обусловлено совместным действием силы тяжести и силы, приложенной к грузу со стороны нити. Эти силы в сумме дают результирующую силу F, направление которой совпадает с направлением движения. Из задачи 4 представляется правдоподобным, что результирующая сила, действующая на груз в конце отклонения, должна быть связана с амплитудой А следующим образом[157]: ___

Фиг. 259. К задаче 5.

Задача 6

Это соотношение между силой и отклонением от положения равновесия должно выполняться на любой стадии колебания. Это выглядит похожим на ___

Задача 7

Исходя из задачи 6, мы можем ожидать, что движение, при котором период Т не зависит от амплитуды, будет наблюдаться для таких тел, как ___, причем для этих тел независимость периода от амплитуды, по всей вероятности, должна быть

_______________________

_{(ограничена малой амплитудой? не ограничена? или?)} 

Простое гармоническое движение

Все изохронные колебания представляют собой движения одного и того же типа с одинаковым по форме графиком зависимости амплитуды от времени — синусоидой. Мы называем такое движение простым гармоническим движением (эпитетом «гармоническое». Это движение обязано тому важному значению, которое оно имеет в музыке). Колебания маятника при малых отклонениях очень близки к простым гармоническим движениям. Груз, подвешенный на пружине, движется вверх и вниз, совершая при этом простые гармонические движения в широких пределах изменения амплитуды. (Проделайте наскоро опыт в лаборатории: он доставит вам большое удовлетворение.) Пружина с подвешенным грузом, гибкий брус, растягиваемая проволока, закручиваемый стержень, любая упругая система, подчиняющаяся закону Гука, совершает колебательное движение, называемое простым гармоническим колебанием.

Фиг. 260. Изохронные колебания и график зависимости смещения от времени.

«Простым гармоническим движением» мы называем повторяющееся движение особого типа — движение маятника и схожее с ним движение груза на пружине, — это не просто любое движение с постоянным периодом. (Кроты, выползающие из-под земли каждое утро в поисках пищи и возвращающиеся каждую ночь обратно под землю, совершают в известном смысле «изохронное» движение — его период составляет 24 часа, как бы ни были глубоки их норы, — но это, разумеется, отнюдь не простое гармоническое движение.) Если проанализировать движение маятника, обратившись к геометрии, то можно установить важную характеристику этого движения.

Движение маятника характеризуется переменным ускорением, которое всегда направлено к среднему положению и изменяется прямо пропорционально расстоянию от этого положения.

Если s — расстояние вдоль траектории, скажем, груза маятника, а а — ускорение, то мы найдем a ~ s, или а = —k²s, где k — вещественная постоянная.

Знак минус показывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную отклонению. (Когда груз отклонен вправо — мы считаем такие отклонения положительными, когда ускорение направлено влево, мы приписываем ему отрицательное значение.)

Фиг. 261. Разнообразные системы, совершающие простые гармонические движения.

Механика движения маятника

Чтобы показать, что для груза маятника а ~ s (при малых амплитудах), рассмотрим действующие на него силы. Сила натяжения нити направлена по радиусу и не может изменить скорость груза. Кроме этой силы, на груз действует только притяжение Земли, вес груза, направленный вертикально вниз. Разложим этот вектор на компоненты F₁ и F₂:

F₁ направленная вдоль дуги, придает грузу ускорение,

F₂ направленная вдоль радиуса, уравновешивает натяжение нити.

Из рассмотрения подобных треугольников (фиг. 262) находим

СИЛА F₁ ПРИДАЮЩАЯ УСКОРЕНИЕ / ВЕС Mg = РАССТОЯНИЕ ПО ГОРИЗОНТАЛИ х / ДЛИНА L

F₁/Mg = x/L

Следовательно,

F₁ = Mg∙x/L

и

УСКОРЕНИЕ ГРУЗА = СИЛА/МАССА = — F₁/M = (-Mg∙x/L)/M = — g∙x/L

Таким образом, мы установили, что а направлено к положению равновесия и что а ~ х, но мы не получили соотношения a ~ s вдоль траектории движения маятника. При больших отклонениях маятника его движение не является простым гармоническим движением. При малых отклонениях оно почти в точности совпадает с простым гармоническим движением, и х (горизонтальное смещение груза) почти совпадает с криволинейной дугой s (отклонением груза, измеренным вдоль его траектории).

Фиг. 262. Силы, действующие на груз маятника.

В таком случае мы можем перейти от а = —(g/L)∙x к а = —(g/L)∙s

(обе величины примерно одинаковы для маятника в данном случае), а это и есть наше определение простого гармонического движения: а направлено к положению равновесия и а ~ смещению s.

Мы описываем это свойство выражением

а = — k²s,

где k² — постоянная.

Отсюда можно показать, что период Т дается соотношением

T = 2π/k

(Это легче всего сделать с помощью математического анализа; см. ниже. Существуют доказательства, в которых не прибегают к математическому анализу, но они ведут к цели обходным и весьма громоздким путем, см. учебники по общей физике.) Поэтому каждый раз, встречая систему, в которой действие сил приводит к соотношению а = —k²s, мы можем сразу сказать, что такая система способна совершать простое гармоническое движение с периодом 2π/k.

Простые гармонические движения и закон Гука

Теперь вернемся к замечанию, которое было сделано в задаче 1.

Предположим, имеется груз, который подвешен на пружине, подчиняющейся закону Гука. Натяжение пружины в точности уравновешивает вес груза, когда он находится в состоянии покоя или когда, совершая колебания, проходит через положение равновесия. Во всех других положениях существует небольшое натяжение (со знаком + или —), пропорциональное удлинению (по закону Гука); оно придает грузу ускорение. Ускорение всегда направлено к положению равновесия и меняется прямо пропорционально смещению от этого положения (по закону Гука). Таким образом, мы имеем соотношение а = —k²s, которое как раз и соответствует движению, называемому нами простым гармоническим колебанием.

Период колебания 2π/k можно вычислить, зная массу груза М и «жесткость» пружины К, равную отношению (сила)/(удлинение); это отношение представляет собой постоянную, определяющую наклон прямой, которая выражает закон Гука. Добавочная сила, соответствующая добавочному удлинению s, равна Ks, а сообщаемое ею ускорение равно — ks/M. Следовательно, k² равно K/M, и Т дается выражением

Т = 2π∙√(ЖЕСТКОСТЬ» ПРУЖИНЫ К / МАССА М).

Это соотношение позволяет вычислить период простого гармонического колебания. Кроме того, у нас появляется превосходный способ оценить жесткость пружины по измеренному периоду колебаний. Мы пользуемся им, измеряя g с помощью маятника: в этом случае сила земного притяжения дает эквивалентную «жесткость пружины», равную Mg/L. В опыте Кавендиша, который позволяет измерить гравитационную постоянную G (см. гл. 23[158]), проволока слишком слаба для прямого измерения ее сопротивления закручиванию, поэтому измеряют период крутильных колебаний проволоки, представляющих собой простое гармоническое движение, и вычисляют сопротивление закручиванию.

Простое гармоническое движение — широко распространенный вид движения

Итак, мы можем сказать, что простые гармонические колебания совершает любая система, в которой развивается возвращающая сила, пропорциональная смещению от положения равновесия:

— любой маятник (при малых отклонениях);

— любая система, подчиняющаяся закону Гука (например, пружина, к которой прикреплен груз; балка, подвергаемая изгибу; спиральная пружина, т. е, лента, свернутая в плоскую спираль, которая также подвергается изгибу, и т. д.);

— атомы, удерживаемые в молекуле упругими электрическими силами (задачи об инерционных весах, разбиравшиеся в гл. 7, по существу содержат рассмотрение простого гармонического движения);

— колебания воздуха при возникновении звуковых волн, например колебания воздуха внутри флейты (график зависимости р от V, соответствующий закону Бойля, непохож на прямую закона Гука, но изменения давления, которые здесь имеют место, очень малы, они укладываются на коротком участке графика, настолько коротком, что его можно практически считать отрезком прямой);

— жидкость в открытой U-образной трубке[159];

— струны музыкальных инструментов.

Мы называем это движение простым гармоническим колебанием, потому что подобные колебания совершаются в музыкальных инструментах, когда берут чистый тон (при этом от музыкальных инструментов исходят соответствующие звуковые волны).

При затухании колебаний период их остается неизменным, волны характеризуются неизменной частотой и мы слышим тот же звук.

Опыт 1. Наблюдая за колебаниями очень длинного маятника, можно лучше уяснить, что такое гармоническое движение. Можно попытаться самому совершать простое гармоническое движение, двигаясь взад и вперед по некоторому отрезку пути (фиг. 263).

Фиг. 263. Простое гармоническое движение.

При движении наклоняйтесь в направлении к центру отрезка так, чтобы наклон характеризовал ваше ускорение; в конце пути вы должны сильно наклониться в направлении к центру, а пробегая мимо центра с максимальной скоростью, — выпрямиться. В центре отрезка, где вы движетесь быстрее всего, вы не можете двигаться еще быстрее, поэтому ваше ускорение равно нулю. В конце отрезка ваша скорость на какое-то мгновение становится равной нулю, но в то же время она изменяется здесь быстрее всего, ибо сначала скорость направлена от центра, проходит через нуль, затем направление скорости меняется на обратное; в этой точке вы обладаете довольно большим ускорением, направленным к центру отрезка; так подсказывают ваши ноги. (Сопоставьте это с рассмотрением ускорения тела, брошенного под углом к горизонту, в «вершине» его траектории.)

График простого гармонического движения — синусоида

Математика показывает, что зависимость от времени отклонения при простом гармоническом движении, определением которого служит соотношение а = —k²s, имеет вид s = A∙sinkt, где A — амплитуда колебания.

На фиг. 264 показана диаграмма движения маятника времени, вычерчиваемая им самим. К нижней части груза маятника прикреплена кисточка, обмакнутая в чернила, которая прочерчивает на равномерно протягиваемой длинной полосе бумаги диаграмму движения маятника во времени.

Фиг. 264. График зависимости отклонений маятника от времени.

На фиг. 265 представлена схема опыта, позволяющего получить такой же график с помощью колеблющегося камертона.

Фиг. 265. Диаграмма движения ножек камертона во времени.

К одной из ножек камертона полоской тонкой целлулоидной пленки прикреплено маленькое зеркальце, позволяющее получить увеличенную картину движения. Когда камертон колеблется, пучок света, отраженный зеркальцем, движется вверх и вниз в пределах некоторого угла и прочерчивает вертикальную полоску на стене. На пути света находится большое зеркало, которое равномерно вращается и развертывает луч на стене по горизонтали, вычерчивая таким образом временную диаграмму движения вверх и вниз от положения равновесия. Камертон — это по существу балка, претерпевающая изгиб, которая имеет форму буквы U. Балка упругая и подчиняется закону Гука, поэтому мы вправе ожидать, что она совершает простые гармонические колебания. Проделанные опыты показывают, что при простом гармоническом движении зависимость смещения от времени изображается синусоидой.

Амплитуда колебаний издающего звук камертона затухает — об этом свидетельствует кривая на стене. Однако частота колебаний сохраняется неизменной, как показывают расстояния между горбами кривой. Грубый удар по камертону молотком приводит к тому, что камертон совершает колебания сразу двух видов и позволяет наблюдать сложное гармоническое движение.

Простое гармоническое движение как проекция движения по окружности

В элементарной тригонометрии определение синуса дается при помощи окружности, и можно легко прийти к выводу, что график синуса изображает проекцию движения по окружности. Поэтому поступим следующим образом: представим себе точку Р, движущуюся с постоянной скоростью по окружности, расположенной в вертикальной плоскости, и будем смотреть на эту окружность сбоку или будем рассматривать движение тени, отбрасываемой точкой Р на вертикальную стенку (фиг. 266).

Фиг. 266. Проекция движения по окружности.

Тогда точка Q (тень точки Р) будет двигаться вверх и вниз. Можно показать, что график зависимости смещения точки Q от времени представляет собой синусоиду (с уравнением s = A∙sinkt, где А — радиус окружности), а это, как мы знаем, и есть временная зависимость простого гармонического движения. Поэтому проекция движения по окружности представляет собой простое гармоническое движение.

На фиг. 267 и 268 схематически показаны опыты, позволяющие сравнить движение маятника или колеблющейся пружины с проекцией движения по окружности. (Инженерам-электрикам часто приходится иметь дело с переменным током, который представляет собой простые гармонические колебания и графически изображается синусоидой. Чтобы производить свои расчеты в сжатой форме, инженеры представляют такие токи или напряжения вращающимся радиусом-вектором, равным амплитуде тока или напряжения; конец этого радиуса-вектора описывает окружность. При вычислениях оперируют проекциями радиуса-вектора. Это считают само собой разумеющимся и обычно упускают из виду.)

Фиг. 267. Груз маятника движется в такт с проекцией точки, движущейся по кругу.

Фиг. 268. Груз, подвешенный на пружине, движется в такт с проекцией точки, движущейся по кругу.

На вал электрического двигателя (например, небольшого двигателя для электрических часов) насажен рычаг, изогнутый под прямым углом, к концу которого прикреплен шар В; при вращении двигателя шар описывает окружность. Движение тени, отбрасываемой на стенку шаром S, сравнивается с движением тени от груза небольшого маятника. Если правильно выбрать длину маятника и начальную стадию его колебания, то обе тени будут двигаться строго в такт. Подобным же образом можно добиться того, чтобы движения тени шара В и груза, подвешенного на пружине, все время оставались согласованными.

Различные определения простого гармонического движения

Существует несколько определений простого гармонического движения:

4. Это движение взад и вперед, совершаемое грузом маятника (при малых отклонениях), или движение вверх и вниз, которое совершает груз, подвешенный на пружине (или любая другая система, подчиняющаяся закону Гука).

2. Это возвратно-поступательное движение, при котором ускорение (направленное вдоль траектории движения всегда к центру отрезка перемещения) изменяется прямо пропорционально смещению от центра.

3. Это проекция кругового движения, совершаемого с постоянной скоростью (например, круговое движение, каким оно представляется при наблюдении в плоскости круга, или движение тени, которую отбрасывает на землю тело, движущееся по окружности, лежащей в вертикальной плоскости, при освещении вертикальным солнечным светом).

4. Это движение, в случае которого график зависимости смещения от времени представляет собой синусоиду.

Математика, а также простые соображения из механики в первом определении показывают, что во всех случаях происходит одно и то же движение. Чтобы связать воедино приведенные определения, здесь требуется лишь проделать некоторые выкладки и указать на ряд опытов.

Значение простого гармонического движения

Простое гармоническое движение играет такую же важную роль в описании природы, как движения с постоянной скоростью и с постоянным ускорением, поскольку:

1. Этот вид движения весьма распространен (примерами могут служить маятники, музыкальные инструменты, колеблющиеся детали машин, океанские приливы, переменные токи, свет, соответствующий определенной линии спектра).

2. Период этого движения не зависит от амплитуды (благодаря этому оно используется для измерения промежутков времени).

3. Это движение поддается простому математическому описанию

s = A∙sinkt

откуда следует формула

T = 2π/k

где

k² = (Жесткость пружины)/(Масса).

Так можно предсказать величину Т. В других случаях измеряют Т и с помощью полученного значения подсчитывают жесткость пружины.

4. Согласно теореме Фурье, любое периодическое движение можно разложить на простые гармонические составляющие (см. ниже). Разложение легко выполняется методами математического анализа (когда исходное — периодическое движение описывается какой-либо формулой) или с помощью вычислительной машины (когда исходный процесс представлен только графиком). Поэтому на основе простого математического описания гармонических движений можно рассматривать значительно более сложные движения: движение волн в гавани, музыкальные звуки, издаваемые кларнетом, речевые колебания, сейсмические волны…, движения электронов в атоме. Что касается звуков, то наши органы слуха, по-видимому, производят «гармонический анализ» и разлагают сложный звук на чистые тоны.

Гармонический анализ

Теорема Фурье настолько всеобъемлюща, что трудно указать пределы ее приложения. Она не ограничивается периодическими движениями или повторяющимися процессами. Вот несколько примеров:

а) На фиг. 269 приведен график звуковых колебаний, создаваемых флейтой. Результат анализа кривой в очевиден: она представляет собой сумму сигналов, в которой значительная доля приходится на колебания а и содержится некоторая доля колебаний б. (Если подуть чуть сильнее, возникнет комбинация исходного тона и одного из его октавных повторений — обертонов — приятный музыкальный звук, хотя и необычный для флейты.)

Фиг. 269. Графическое изображение звуковых колебаний, создаваемых флейтой.

_{а — при нормальной игре; б — воздушная струя большой силы дает октавное повторение звука; в — воздушная струя несколько сильнее нормальной.}

б) В радиотехнике можно без труда получить «прямоугольную волну» и продемонстрировать ее на экране осциллографа. (Форму прямоугольного сигнала может иметь, например, кривая, описывающая звук, издаваемый «щелкунчиком» с металлическими челюстями, которые быстро раскрываются, и резко смыкаются.) На фиг. 270 представлена попытка произвести гармонический анализ прямоугольного сигнала. Основная составляющая имеет такую же «длину волны», как и прямоугольный сигнал. В некоторых местах она выступает за пределы исходной кривой, а в других — не доходит до нее, и эти несоответствия формы должны быть компенсированы. Следующая составляющая должна иметь «длину волны», равную 1/3 основной, т. е. втрое большую частоту. Расхождения, остающиеся после этой составляющей, в значительной мере устраняются добавлением небольшой по амплитуде составляющей, у которой частота в 5 раз больше частоты исходной кривой, и т. д.

Фиг. 270. Разложение прямоугольного сигнала на гармонические составляющие.

_{Заметьте, что даже при большом числе гармоник результирующая кривая (сумма) обнаруживает нежелательные острые выбросы.}

Для точного описания необходим бесконечный ряд составляющих, отношение частот которых к частоте исходной кривой равно 1, 3, 5, 7… Однако даже сумма нескольких первых составляющих дает удовлетворительное приближение (если не считать нежелательных выбросов на вершине). Так мы получаем удобный способ проверки динамиков, микрофонов и т. д. На прибор подают прямоугольный сигнал. Если прибор хорошо воспроизводит форму прямоугольного сигнала, это значит, что он способен пропускать как очень высокие, так и весьма низкие частоты.

в) Речевые колебания часто имеют сложную форму. На фиг. 271 показана довольно простая по форме кривая, которая представляет собой графическое изображение звука «у…», произносимого нараспев. Вы можете предсказать результат разложения этого колебания на гармонические составляющие: основной тон + тон значительно более высокой частоты, который мы считаем характерным для данного гласного звука. Такой анализ чрезвычайно важен для инженеров: им пользуются при проектировании систем телефонной связи, по которой передается речь, при разработке экономичных преобразователей речевых колебаний в кабельной телефонии и высококачественных приемников, предназначенных для воспроизведения речи. Произнесенные нараспев другие гласные звуки или недостаточно искусные певцы вызывают гораздо более сложные с виду колебания, но эти колебания тоже можно без труда разложить на несколько основных составляющих.

Фиг. 271. Кривая звука «у…».

г) «Волновой пакет». Гармонический анализ можно применить к одиночному импульсу (ему соответствует звук от шлепка или радиоволна, испускаемая при ударе молнии) и к короткому цугу волн, вроде волнообразного всплеска, которым в современной теории характеризуют положение движущегося электрона. Для идеального представления таких сигналов приходится складывать составляющие, которые образуют бесконечный набор частот, но составляющие с заметной амплитудой равномерно распределены в пределах полосы частот вокруг исходной частоты.

Мы должны составить сумму, содержащую основную составляющую с длиной волны исходного цуга волн + составляющую с несколько большей длиной волны +… + составляющую с еще большей длиной волны… + и т. д., и такой же набор более коротких длин волн. Горбы этих составляющих совпадают друг с другом в центре, но дальше согласованность их хода нарушается, и они гасят друг друга. Если исходный цуг волн длинный, то основные составляющие будут заключены в узком интервале частот или длин волн — чем длиннее цуг, тем уже полоса частот. Напротив, для очень короткого цуга (в предельном случае для отдельного выброса или импульса) требуется широкая полоса частот. (Это не очевидно; не обращаясь к математике, вы можете в лучшем случае сказать, что это могло бы быть так.) Изложенные представления имеют важное значение в современной атомной теории.

Основное достоинство гармонического анализа (который, как утверждает теорема Фурье, может быть применен всегда) состоит в том, что он позволяет с помощью простого математического описания разлагать сложные движения на серию гармонических колебаний. Гармонический анализ находит широкое применение в физике и технике, им пользуются специалисты в области телефонной связи, радиоинженеры, составители таблиц, предсказывающих океанские приливы, и т. д., а в наши дни и физики-теоретики, которые описывают поведение атомов и электронов с помощью гармонических составляющих.

Фиг. 272. Гармонический анализ.

_{а — составление «волнового пакета» путем сложения простых гармонических составляющих. Для этого синтеза необходимы гармоники всех частот (т. е. всех длин волн) от нуля до бесконечности. Мы получим короткий волновой пакет без возмущений до и после него. Важнейшие гармоники попадают в центральный «диапазон» частот (или длин волн), за пределом которого амплитуда гармоник должна быть еще меньше. Чем уже этот диапазон частот, тем длиннее волновой пакет, тем больше в нем укладывается длин волн;} 

_{б — разложение ограниченного цуга волн на составляющие. Если направить непрерывный поток волн на какую-либо преграду и убрать ее на короткое время, то можно ожидать, что за ней будет ограниченный цуг волн, который можно разложить на бесконечно большое число гармонических составляющих бесконечно малой амплитуды. Важнейшие гармонические составляющие попадают в центральный «диапазон» частот. Чем короче исходный цуг волн, тем шире получается этот диапазон частот гармоник при разложении;} 

_{в — частицы и волны. Согласно нашим современным представлениям, все движущиеся частицы (электроны, ядра и т. д.) обладают волновыми свойствами. Частицу можно рассматривать как своего рода волновой пакет. Волна, входящая в состав волнового пакета, характеризует положение частицы и ее движения. Квадрат амплитуды волны в пределах пакета указывает вероятность нахождения частицы в этом месте, а длина волны определяет количество движения частицы по формуле mv = h/λ. Если мы хотим точно указать положение движущейся частицы, то должны ограничить связанную с ней волну коротким цугом волн, т. е. коротким волновым пакетом. Но такой волновой пакет будет представлен целым набором гармонических составляющих, т. е. возможные значения количества движения будут лежать в широких пределах. Значит, мы не можем точно указать количество движения частицы. Если же мы захотим точно задать количество движения, то должны будем ограничиться узким интервалом длин волн гармоник, Поэтому нам придется охарактеризовать положение частицы протяженным волновым пакетом, а оно будет в высшей степени неопределенным.}

Применение математического анализа и формула маятника

Начнем с движения, определяемого соотношением

s = A∙sinkt

где А — амплитуда, а k — постоянная. Продифференцируем смещение s по времени t и найдем скорость, затем произведем дифференцирование еще раз и найдем ускорение

v = ds/dt = k∙A∙coskt

a = dv/dt = — k²A∙sinkt = — k²s

Отсюда видно, как вычислить период Т рассматриваемого движения:

Т = Промежуток времени от t = 0 до t = T,

= Промежуток времени, в течение которого проходит полный цикл изменения s,

= Промежуток времени, в течение которого величина (kt) пробегает значения от 0 до 2π;.

т. e.

период Т= 2π/k.

Таким образом, относительно любой системы, которой действующие на нее силы сообщают ускорение — k²s, можно сказать, что «эта система способна совершать простые гармонические колебания с периодом 2π/k».

«Формула маятника»[160]

Мы уже показали, что при малых отклонениях маятника

УСКОРЕНИЕ ГРУЗА = (g/L)∙s

Сравним это с полученным выше результатом

УСКОРЕНИЕ = —k²s

Величина, равная в общем виде [кг], в случае маятника равна [g/L].

Таким образом,

Это «формула маятника», которой пользуются при точном измерении g с помощью простого маятника.

Волны

Любое изменение формы, при котором форма перемещается (но это не связано с переносом среды), называется волной. Быстро движутся волны воды, причем вода взметается вверх и опускается, а волны расходятся кругами, не унося воду далеко с собой. Понаблюдайте, как движется вверх и вниз плавающий на воде кусок пробки или поплавок, когда мимо него проходят волны. Представьте себе, как распространяются волны от веревки, рябь в пруду, звуковые волны в воздухе. От порыва ветра по некошеному полю пшеницы пробегает волна; она бежит по полю, а стебли остаются на месте, сгибаясь и снова выпрямляясь. Мы можем даже сказать, что слух в толпе тоже распространяется как волна.

Скорость, длина волны, частота

Скорость распространения волны V — это скорость, с которой перемещается ее форма, т. е. скорость перемещения любого участка волны, будь то гребень, или впадина, или область сжатия (в акустической волне).

Вдоль натянутой веревки могут перемещаться с определенной скоростью поперечные волны, и если конец веревки будет совершать простое гармоническое движение, то мы получим простую гармоническую волну с определенной длиной волны, которую обозначим греческой буквой λ (фиг. 273).

Фиг. 273. Импульс (а) и простая гармоническая волна (б).

Длина волны — это расстояние от гребня до гребня или от впадины до впадины, т. е. расстояние между любой парой точек, в которых состояние среды находится в одной и той же стадии (фазе) цикла изменений. Другими словами, это расстояние, через которое конфигурация волны повторяется.

Если источник S совершает простое гармоническое колебание и делает при этом f полных колебаний в секунду, то мы говорим, что его частота равна f. Источник S испускает волны с частотой f колебаний в секунду, и мимо любого наблюдателя О должны проходить f колебаний в секунду, иначе волны будут теряться или возникать между S и О:

ЧАСТОТА f = Число колебаний в сек,

= 1 сек / ВРЕМЯ, ЗА КОТОРОЕ СОВЕРШАЕТСЯ ОДНО КОЛЕБАНИЕ =

= 1 сек / ПЕРИОД Т сек = 1/Т

Следовательно, для любой простой гармонической волны (как и для любого простого гармонического колебания) f = 1/T.

Скорость распространения волн V м/сек означает, что выбранный гребень проходит V метров за одну секунду (по веревке или другой среде). Следовательно, за 1 сек от источника будет отделяться цуг волн длиной V м. Но за 1 сек источник совершает f колебаний, каждое из которых простирается на одну длину волны.

Таким образом, цуг волн длиной V м содержит f длин волн λ.

СКОРОСТЬ = ЧАСТОТА∙ДЛИНА ВОЛНЫ,

V = f∙λ.

Это соотношение применимо к любым волнам.

Фиг. 274. Волны.

_{f — Число колебаний в 1 сек.} 

Обозначения в случае световых волн

В дальнейшем, когда вопрос пойдет о световых волнах, мы, следуя традиции, будем пользоваться особыми символами:

с — скорость распространения света (в воздухе или в вакууме),

v — частота,

λ — длина волны.

Распространяются волны

По существу участок среды, возмущенный волной, в свою очередь вызывает возмущение следующего за ним участка среды приводит его в движение. Посмотрите на фиг. 275. На ней показаны последовательные стадии распространения волны по веревке.

Фиг. 275. Распространение волны вдоль веревки.

_{а — волновая картина в данный момент; б — спустя короткое время; в — силы, приложенные к элементу веревки в точке В в данный момент; Т — натяжение веревки.}

В стадии а участок веревки В движется вверх; в стадии _{(… скан неразборчив, предположительно a + ¹/4. Прим. [☺])} некоторое время спустя, волна переместилась вперед, и точка В находится еще выше. Таким образом, в стадии а точка В должна двигаться вверх и, как видно из рисунка, продолжает двигаться вверх и в стадии б, но не так быстро. Что же касается участка веревки А, то в стадии а он достиг максимального «смещения» и не движется. Точка С не имеет смещения, но быстро движется вверх. (Скорости различных точек среды не имеют ничего общего со скоростью распространения волны V.) Волна продвигается вперед, поскольку каждый участок среды движется (большую часть времени) и силы, приложенные к ней со стороны соседних участков спереди и сзади, обычно неодинаковы. (Посмотрите, какие силы действуют на участок веревки в точке В со стороны соседних участков в стадии а на фиг. 275. Силы не вполне параллельны, и их результирующая направлена вниз. Она должна замедлять скорость точки В, которая двигалась вверх с такой же скоростью, что и точка С, и придет в состояние покоя, в котором в данный момент находится точка А.)

Большинство волн, с которыми мы имеем дело в физике, переносят в среде количество движения и энергию (см. гл. 26[161]).

Зная силы, действующие в среде, и массы колеблющихся объемов среды, можно детально изучить распространение волн и вычислить их скорость. Даже в самых простых методах используют математический анализ, и мы не будем останавливаться на этом подробно.

Звуковые волны — продольные; смещения в этом случае происходят в направлении распространения волн, а не в поперечном направлении. (Это можно проверить, наблюдая под микроскопом воздух с дымом. Мы сошлемся лишь на фиг. 276, на которой показана продольная волна, и приведем удобный способ графического представления волн, которым пользуются физики. Продольные смещения откладывают по оси, перпендикулярной к направлению распространения волн, и картина преобразуется к виду волны, распространяющейся по «веревке».)

Фиг. 276. Продольные волны и их графическое представление.

Свойства волн

Волны отражаются (звук от стены, водяные волны от волнолома) и «преломляются» (если волны попадают в область, где они имеют другую скорость, линия их распространения изгибается). Подробно с этими свойствами волн можно познакомиться по другим учебникам (главным образом учебникам по оптике).

Там показано, что отражение и преломление волн следует законам, которые уже известны по экспериментальному изучению отражения и преломления света. Гюйгенс — современник Ньютона — подробно изучил эти свойства и предположил, что свет представляет собой волны. Сам Ньютон отвергал это представление, ибо сомневался в том, что волны могут отбрасывать столь резкие тени. Он считал, что свет представляет собой поток частиц — корпускул, которые в соответствии с простой механикой должны претерпевать отражение и преломление подобно волнам.

Приведем пример применения волнового представления в оптике. На фиг. 277 схематически представлено, как свет фокусируется линзой. Лучи от раскаленного добела источника сводятся в обжигающее пятно, изображение источника.

Фиг. 277. Образование изображения световыми лучами.

Исходя из концепции волн, мы считаем, что источник излучает сферические волны (как на фиг. 278), которые становятся все больше, пока не достигнут линзы. За пределами линзы волны должны сокращаться в размерах по мере того, как сходятся в изображение, собираясь там практически в точку. (Изображение представляет собой область с наибольшей плотностью потока энергии.) Но как же волна под действием линзы превращается из выпуклой в вогнутую? Очевидно, что утолщенная центральная часть линзы должна приводить к задержке проходящей через нее волны так, чтобы выпуклость волны N (которая проходит через центр линзы) задерживалась больше всего и оказывалась за линзой N'. Следовательно, волна должна распространяться в стекле медленнее, чем в воздухе.

Что же касается корпускул, то они, чтобы следовать после линзы по тем же искривленным путям, должны двигаться в стекле быстрее, чем в воздухе.

Фиг. 278. Волны света.

На фиг. 279 показана траектория частицы вдоль луча света. Частица, двигаясь вдоль луча CDE, должна притягиваться стеклом в точке D (подобно молекуле пара, возвращающейся в жидкость) и, следовательно, должна двигаться в нем быстрее. Здесь можно произвести «решающий эксперимент» и проверить, какая из двух теорий света — волновая или корпускулярная — правильна; следует сравнить скорости света в воздухе и в стекле (или в какой-нибудь другой плотной среде, такой, как вода).

Фиг. 279. Траектория частицы света.

До 1850 г. этого не удавалось проделать, но потом измерения показали, что свет распространяется в воде медленнее, чем в воздухе. Еще до получения этого убедительного результата имелись другие наблюдения, которые указывали на существование волн света, — дифракция и интерференция.

Дифракция: огибание волнами препятствий

Понаблюдайте, как волны на поверхности воды проходят между двумя барьерами. Проходя через широкий зазор (в котором укладывается много длин волн), волны продолжают распространяться в прежнем направлении, а по бокам остается спокойная вода, т. е. тень. Если зазор более узкий, угол, в котором волна распространяется после прохождения зазора, стремится расшириться. При очень узком зазоре это расширение становится максимальным: волна распространяется по всем направлениям в передней полуплоскости. (Гюйгенс указывал, что этого следует ожидать. Подойдя к преграде, волны заставляют колебаться воду в узком зазоре, и это порождает круговую рябь. Вода за преградой не «знает», что служит источником волн, не вызывает ли волны, скажем, погруженный в воду палец, которым двигают вверх и вниз в зазоре?.

Значит, мы должны ожидать, что от узкого зазора, ширина которого составляет лишь долю длины волны, волны будут распространяться по всем направлениям.) Это изменение направления волн, в результате которого волна распространяется в широком диапазоне направлений, или огибание волнами препятствий, называется дифракцией.

Если свет представляет собой волны, то почему солнечный свет проходит через булавочный прокол в виде резко очерченного пучка и не рассеивается? Потому что обычный булавочный прокол — это широкое отверстие; ширина его, как мы теперь знаем, составляет тысячи λ! Если свет находит в преграде очень маленькое отверстие, он рассеивается. Проделайте такой эксперимент. Посмотрите сквозь булавочный прокол в картонке или щель между указательным и большим пальцами на находящийся где-то вдали зажженный уличный фонарь. Вы увидите резко очерченные контуры фонаря без заметного рассеяния, т. е. без дифракции. Попробуйте посмотреть на фонарь через булавочный прокол меньшего размера. Если взять очень маленькое отверстие, то сквозь него не только будет проходить меньше света, но свет от уличного освещения будет казаться вам размытым: начнет проявляться дифракция. Можно воспользоваться сеткой с очень маленькими отверстиями: куском легкой ткани вроде зонтичной или шелковым носовым платком. Теперь уличный фонарь представится вам в виде узора из ярких пятен. Измерения в этом случае могут помочь оценить значение λ. Волны могут (и должны) создавать такую картину, когда отверстия отстоят одно от другого на несколько λ, частицы же создавать ее не могут. Попробуйте просеять песок (изображая таким образом поток частиц) через мелкое проволочное сито. На столе образуется горка, а не другая какая-нибудь конфигурация из отдельных холмиков.

Понаблюдайте за демонстрационными опытами по дифракции света: обратите внимание на эффект прохождения света через узкую щель; посмотрите, что происходит при прохождении света мимо сплошной стенки. Свет рассеивается, и в области тени образуется ряд узких полос; обратите также внимание на странный случай с «отверстием в любой монете», о котором говорится в первом примечании в гл. 31[162]).

Фиг. 280. Дифракция волн, проходящих через отверстие.

Интерференция

Наиболее убедительным доказательством существования волн и, возможно, самым важным их свойством является интерференция. При наложении двух цугов волн в какой-либо области производимые ими эффекты складываются. Предположим, мы имеем два источника S₁ и S₂, испускающие волны в такт друг с другом (в случае звуковых волн это легко сделать с помощью двух соединенных последовательно динамиков, по которым проходит один и тот же ток). Чтобы наблюдать интерференцию света, освещают две узкие щели или два отверстия — булавочные проколы, расположенные рядом, при этом происходит дифракция света, и от каждого отверстия расходятся одинаковые волны, идущие в такт друг с другом. Посмотрим, что происходит с этими волнами, когда они достигают удаленного на большое расстояние наблюдателя. До точки Р (фиг. 281, а) оба цуга волн проходят одинаковые расстояния и достигают этой точки в одинаковой фазе. Производимые ими эффекты совпадают. Горб — впадина — горб и т. д. соответствуют горбу — впадине — горбу и т. д. В результате в точке Р наблюдается светлая полоса. Пусть теперь наблюдатель переместится в точку Q, до которой один цуг волн проходит расстояние, большее, чем другой, на половину λ. В этой точке производимые одним цугом эффекты горб — впадина — горб и т. д. вычитаются из другого впадина — горб — впадина и т. д., и результирующий эффект равен нулю. [В этом заключается принцип интерференции: волны не уничтожают друг друга, а просто складываются алгебраически, и производимые ими эффекты усиливаются (горб + горб = горб) или взаимно уничтожаются (горб + впадина = нуль).] В 1803 г. Томас Юнг убедительно доказал своими опытами, что свет — это волны. Свет от одного источника падал на две щели, расположенные близко одна к другой (фиг. 281, б), и Юнг исследовал свет, падавший на удаленную стену.

Фиг. 281. Интерференция волн.

_{При прохождении волн через два отверстия в результате наложения волн возникают интерференционные полосы, которые можно наблюдать на удаленном экране.}

Там он обнаружил чередующиеся темные и светлые полосы, интерференционные полосы, образование которых характерно для волн. В центре имеется светлая белая полоса, а по бокам от нее — темные полосы, дальше светлые и темные полосы чередуются, но при удалении от центра полосы оказываются окрашенными.

Если пользоваться светом одного цвета[163], для которого характерна одна длина волны, то можно отчетливо увидеть много светлых и темных полос. Пути, проходимые волнами от обеих щелей до центральной светлой полосы, одинаковы, расстояния же до других полос различаются. В тех случаях, когда разность хода волн равна λ или 2λ и т. д., т. е. целому числу длин волн, наблюдается светлая полоса, свет + свет = более яркий свет. В тех местах, для которых разность хода волн равна ¹/₂λ или 1¹/₂λ и т. д. (вообще на половину длины волны больше целого числа длин волн), наблюдается темная полоса — в этих местах свет + свет = отсутствие света. Это явление называется «интерференцией»; на самом же деле это сложение двух волн с противоположными смещениями, которое в сумме дает нуль.

Если проделывать описанный опыт с источниками света разных цветов, то получится различное расстояние между полосами: при красном свете расстояние будет больше, чем при зеленом, а при зеленом — больше, чем при синем, что свидетельствует о разнице в длине волны. Поэтому если пользоваться белым светом, то при удалении от центра полосы становятся неясными из-за наложения друг на друга полос различных цветов.

Вам следует посмотреть эти «полосы Юнга», которые служат доказательством волновой природы света и свидетельствуют об очень малой длине световых волн. (Потом вы узнаете, что такое «фотоэлектрический эффект», который доказывает, что свет — это не волны, распространяющиеся во все стороны, а поток частиц. Этот парадокс будет рассматриваться в конце курса.)

Опыт 2. Приближенное измерение длин волн света. Возьмите в качестве источника света электрическую лампочку с прямой нитью накала. В нескольких метрах от лампочки поместите две щели, параллельные нити накала. Расположитесь в нескольких метрах за щелями и наблюдайте интерференционные полосы через кусок матового стекла или матированного целлулоида. (Наблюдать полосы спереди на белом экране трудно, так как они могут быть слишком слабыми; с помощью прозрачного экрана увидеть их значительно легче.) Чтобы изготовить щели, достаточно процарапать две линии на зачерненной фотопластинке или на серебряной подложке старого зеркала. Линии должны располагаться одна от другой на расстоянии примерно 0,5 мм или еще ближе.

Измерьте примерно расстояние между светлыми полосами и вычислите λ. (Если опыт производится с белым светом, то этот результат будет представлять собой очень грубую оценку средней длины волны.)

Помещенный между источником и щелями зеленый фильтр позволяет увидеть больше полос и получить более точную оценку для зеленого света. Однако цель этого опыта — иллюстрация принципа, а не достижение точности в измерении.

Воспользуйтесь рисунком, представленным на фиг. 282, где дана геометрия опыта.

Фиг. 282. Схема образования интерференционных полос.

Если центральная полоса находится в точке Р, а ближайшая светлая полоса — в точка Q, то разность хода S₁Q — S₂Q должна быть равна λ. Проведем отрезок S₂M перпендикулярно к TQ. Тогда S₁M — это разность хода λ. Учитывая, что расстояния велики, а углы малы, можно считать треугольник S₁S₂M практически подобным треугольнику PQT. Тогда из подобия этих треугольников имеем

λ/S₁S₂ = PQ/TQ

Следовательно,

λ = (S₁S₂)∙PQ/TQ

λ = (РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ЩЕЛЯМИ)∙(РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПОЛОСАМИ) / РАССТОЯНИЕ ОТ ЩЕЛЕЙ ДО ПОЛОС

Интерференция волн на поверхности воды

Посмотрите на волны, возбуждаемые в мелком резервуаре колеблющимся камертоном, ножки которого представляют собой два источника, излучающих волны в одинаковой фазе. Вы заметите, что в определенных направлениях распространяются усиленные волны — «яркие полосы», между которыми расположены области слабо возмущенной воды. Полоса усиленных волн представляет собой гиперболу, для точек которой (например, для точки х на фиг. 283, в) справедливы уравнения:

S₁X — S₂X = λ для одной гиперболы,

= 2λ для следующей

и т. д.

Фиг. 283. Интерференционные полосы в среде.

Дифракционные решетки: спектры

Возьмем теперь не две, а большое число параллельных щелей, расположенных на равных расстояниях одна от другой. Таким способом мы при получении дифракционных картин пропускаем больше света, и сама картина оказывается более четкой. Чтобы получить более широкую дифракционную картину, расстояние между щелями делают меньше (скажем, ¹/₃₀₀ мм вместо 1 мм демонстрации интерференционных полос).

Такая система щелей называется дифракционной решеткой.

Изготовляют такие решетки нанесением штрихов на стеклянную пластинку с помощью алмаза с острым концом. Для нанесения штрихов используют очень точную делительную машину, соблюдающую равные интервалы между штрихами. Промежутки между штрихами играют роль прозрачных щелей.

Если направить на такую стеклянную дифракционную решетку пучок белого света, интерференционные полосы разбрасываются настолько, что по обеим сторонам от узкой центральной белой полосы становятся видны широкие цветные полосы (спектры), с помощью линзы свет, идущий в определенном направлении, собирают и получают изображение исходного источника — щели.

В монохроматическом свете изображение источника представляет собой резко очерченную узкую полосу, а в белом свете множество таких изображений при наложении даст широкий спектр.

Первый слева и справа спектр (спектр «первого порядка») создают волны, которые от каждой щели проходят на λ больше (или меньше), чем волны от соседней щели. В следующую спектральную полосу (спектр «второго порядка») приходят волны, у которых путь от двух соседних щелей отличается на 2λ. При этом, конечно, все приходящие волны данного света согласуются по фазе (фиг. 284).

Фиг. 284. Дифракционная решетка.

_{а — к центральной светлой полосе; б — к спектру «первого порядка»; в — к спектру «второго порядка»}

Если направить на дифракционную решетку желтый свет от окрашенного солью пламени, то мы увидим центральную желтую «линию» (изображение источника — щели, находящейся перед пламенем) и такие же резко очерченные желтые линии в первом порядке, во втором порядке и т. д. Представленная на фиг. 285 схема дает для спектра первого порядка соотношение

длина волны = d∙sin А,

где А — угол между центральной линией и линией первого порядка, a d — расстояние между штрихами решетки, известное из данных делительной машины. Таким образом, имея в своем распоряжении хорошую дифракционную решетку, можно точно измерить длины световых волн. (Вы сами можете проделать такое приближенное измерение, используя долгоиграющую пластинку в качестве отражательной решетки. Чтобы измерить d для этой решетки, поставьте пластинку на проигрыватель и сосчитайте число оборотов.)

Освещение дифракционной решетки белым светом дает широкий спектр в нервом порядке, еще более широкий во втором порядке и т. д.

Фиг. 285. Схема распространения волн, прошедших через дифракционную решетку.

Лучи красного света отклоняются сильнее всего (поэтому длина волны красного света самая большая), затем следуют оранжевые, желтые, зеленые, синие, фиолетовые лучи. Измерения углов дают примерно следующие значения длин волн:

За пределами видимого спектра

За пределами видимого света находится область инфракрасного излучения с большей длиной волны, которую можно легко измерить с помощью грубых дифракционных решеток. За инфракрасными лучами спектр продолжают радиоволны — от самых коротких волн так называемого сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона до обычных радиоволн, у которых λ измеряется сотнями метров. По другую сторону области видимого света располагаются ультрафиолетовые лучи с более короткими длинами волн, чем у видимого света (фиг. 286); длину волны ультрафиолетовых лучей измеряют с. помощью тонких дифракционных решеток, которые приходится помещать в вакуум, чтобы избежать поглощения этих лучей в воздухе.

Фиг. 286. Спектр электромагнитных волн.

_{а — некоторые источники электромагнитных волн; б — спектр электромагнитных волн.}

Спектры рентгеновских лучей

Если длины волн видимого света измеряются многими тысячами ангстрем (А°), то рентгеновские лучи обладают значительно более короткой длиной волны, близкой к 1 А°.

Едва ли мыслимо нарезать столь тонкую решетку, у которой штрихи были бы расположены на расстоянии, скажем, 10 А° один от другого, чтобы наблюдать дифракцию рентгеновских лучей. (Правда, при наклонном расположении обычных решеток рентгеновские лучи «видят» уменьшенное расстояние между штрихами.) Мы же используем слои атомов в кристаллах. Электроны атомов в каждом слое рассеивают рентгеновские лучи в виде слабой «отраженной волны». Волны одной длины, отраженные от ряда слоев атомов под определенным углом, складываются в заметный по интенсивности пучок, совсем как при образовании обычного спектра складываются волны, идущие от штрихов решетки. Таким образом, имея кристалл известной структуры, можно измерить длину волны рентгеновских лучей (фиг. 287), а значит, использовать рентгеновские лучи для исследования расположения атомов в кристаллах. Оказалось, что все твердые тела имеют кристаллическое строение и даже у жидкостей расположению молекул присуща известная локальная упорядоченность.

Фиг. 287. Дифракция рентгеновских лучей в кристалле.

_{Рентгеновские лучи («свет» очень короткой длины волны) отражаются слоями атомов, и волны, отраженные от большого числа слоев, складываясь, дают в некоторых направлениях волну большой интенсивности.}

Линейчатые спектры

Направленный на дифракционную решетку свет, испускаемый сильно нагретым газом, скажем парами натрия при внесении в пламя соли или неоном в газосветных лампах рекламного освещения, содержит всего несколько цветов. Его спектр состоит из разделенных темными промежутками полос, настолько узких, что каждый цвет образует тонкую «линию». Натрий дает желтую линию — фактически две расположенные близко друг к другу линии. Неон дает много линий. Водород, если заставить его светиться, испускает серию линий — красную, зелено-синюю, синюю, фиолетовую, причем промежутки между линиями подчиняются простому закону. Ртуть дает две желтые линии (фиг. 288), очень яркую зеленую линию, фиолетовую и другие линии, но не испускает красного света — отсюда странный цвет ртутных ламп уличного освещения.

Фиг. 288. Спектры.

На измерении таких линейчатых спектров основан единственный в своем роде чувствительный метод анализа. Дело в том, что каждый химический элемент испускает характерные для него одного линии. Линии, присущие химическим элементам, если классифицировать их по длинам волн, распадаются на серии.

По длине волны линии легко вычислить ее частоту:

ЧАСТОТА = СКОРОСТЬ / ДЛИНА ВОЛНЫ, или v = c/λ

При классификация линий по сериям вместо длин волн стали пользоваться частотами, и теперь, ко всеобщему удовольствию, эта традиция утвердилась. Частоты линий в каждой серии описываются еще более простой формулой. Но дело не только в этом: в современной теории частота стала неотъемлемой мерой порции энергии каждого кванта света.

Примерно сто лет назад была проведена классификация линейчатых спектров по сериям и стали появляться правила, выражавшие закономерность распределения частот в серии. Некоторые из этих правил (например, для водорода) имели вид простых математических формул, однако они не укладывались в существовашие тогда представления о строении атома. Поэтому «происхождение спектров» в течение многих лет продолжало оставаться загадкой.

Рентгеновские лучи, наподобие белого света, тоже разлагаются в сплошной спектр с уменьшенным в тысячу раз масштабом λ и ряд узких «линий», добавляющихся к сплошному спектру. Частоты этих линий характерны для атомов того вещества, из которого сделан антикатод рентгеновской трубки. Линии характеристического рентгеновского излучения образуют серии, отличающиеся простотой построения.

Хорошо, если бы вы смогли увидеть различные спектры. Для наблюдения спектра вместо дифракционной решетки можно воспользоваться стеклянной призмой. Разложение белого света при помощи призмы основано на иной зависимости пути лучей различных цветов, слишком сложной для прямых измерений длины волны. Призма — дешевый прибор и дает нам простой способ наблюдения спектров.

Спектры поглощения

Раскаленные твердые и жидкие тела испускают «белый свет», который дифракционная решетка превращает в спектр. Иногда белый свет проходит через раскаленный газ или пар, температура которых ниже температуры раскаленного добела источника света. Это происходит, например, при прохождении солнечного света из центральных областей через более холодную солнечную атмосферу. В этом случае мы получаем «обратный линейчатый спектр» — спектр поглощения. В таком спектре характеристические линии «темные», т. е. в них отсутствует свет[164]. Более холодные газы поглощают как раз те цвета, которые они сами испускают в нагретом состоянии[165]. Это своего рода резонанс, т. е. «отклик» атомов газа на свет их собственной частоты, однако механизм этого явления оставался не вполне ясным, пока Бор не создал свою теорию атома.

Спектроскопия

Спектроскопия — это область науки, занимающаяся изучением и измерением спектров, для которой характерна колоссальная точность измерений. Сегодня мы в состоянии измерить длины волн спектральных линий с точностью до одной десятимиллионной доли, а малые смещения линий даже с еще более высокой точностью. Эталон метра представлял собой бережно сохраняемый металлический стержень с тонкими штрихами на концах. Теперь метр определен как длина известного числа световых длин волн.

Новый стандарт дает следующее определение метра: 1 метр = 1 650 763,73 длин волн излучения газообразного криптона.

Спектры и атомная физика

Исключительная узость спектральных линий, строгая закономерность в их расположении по шкале частот и смещение спектральных линий в магнитном или электрическом полях — все эти свойства после их открытия дали множество сведений о строении атомов. Тем не менее большая часть данных долгое время оставалась неразгаданной и получила правильное истолкование лишь в первой четверти нынешнего столетия, когда Бор выдвинул свою теорию. Теория Бора позволила дать весьма удовлетворительное и притом общее объяснение линейчатых спектров, спектров поглощения и даже спектров рентгеновских лучей. Свойства спектров удалось связать с особенностями поведения электронов в атомах.

Теория атома продолжает развиваться и сегодня. Поэтому спектроскопия по-прежнему играет первостепенную роль в технике измерений с высокой точностью, необходимых для изучения строения атома.

Стоячие волны

В современных моделях атома поведение электронов и ядерных частиц часто описывают с помощью так называемых стоячих волн. Собственно говоря, это не волны, а своеобразная волновая картина колебаний, которые никуда не распространяются. Прежде чем показать, почему они вообще называются волнами, рассмотрим их просто как различные формы колебаний.

Скрипичная струна, закрепленная на концах, способна совершать множество простых колебаний: может наблюдаться одна область максимального отклонения вверх и вниз (пучность) посредине струны; может возникать волновая картина, при которой колеблющаяся струна разбита на два, три, четыре… любое количество участков с пучностями посредине (фиг. 289).

Фиг. 289. Формы колебаний натянутой струны.

На соседних участках отклонения струны противоположны по фазе. Если прогнуть и отпустить или небрежно дернуть струну, возникнет сразу много видов колебаний. В то же время легко возбудить любое простое колебание струны, если тронуть ее пальцем (или слегка прогнуть и отпустить), одновременно коснувшись струны в подходящем месте другим пальцем, чтобы подавить нежелательные виды колебаний (фиг. 290). Коснуться струны нужно в узле, т. е. в точке, которая при выбранной форме колебаний остается неподвижной.

Фиг. 290. Возбуждение колебаний простой формы.

При простом колебании струны колеблющиеся точки совершают простое гармоническое движение, и скрипка становится источником гармонических звуковых волн такой же частоты.

Пифагор выражал гармонию музыкальных звуков через отношения длины струн, а Галилей дал правило для определения частоты колебаний струны. Для одной и той же струны, колеблющейся с 1, 2, 3…. пучностями, частоты колебаний находятся в пропорции 1:2:3 и т. д. В современной теории атом тоже рассматривается как система, обладающая подобными формами стоячих волн с характеристическими частотами. Простые орбиты электронов в первых моделях атомов уступили место замкнутым кольцам из стоячих волн.

Чем дальше орбита, тем большее число пучностей стоячей волны укладывается в кольце. Примерно такие же волновые картины рисуем мы в своих представлениях и для атомного ядра. Но во всех этих случаях волны — это не участки струны, отклоняющиеся вверх и вниз, и даже не колеблющиеся электроны: волны здесь представляют собой лишь некую таинственную меру вероятности нахождения частиц в том или ином месте.

Хотя стоячие волны на струне определяют просто форму устойчивых колебаний струны, их можно представить себе как результат сложения бегущих волн. Возьмем очень длинную натянутую веревку и создадим две одинаковые волны, бегущие от каждого из концов веревки к ее середине (фиг. 291).

Срединный участок веревки остается невозмущенным, пока его не достигнут обе волны. Продолжая распространяться по веревке дальше и накладываясь друг на друга, эти бегущие волны создают установившуюся картину колебаний веревки. (Здесь мы сталкиваемся с проявлением принципа суперпозиции; две волны, распространяющиеся в разных направлениях, не мешают друг другу, поэтому возникающая картина представляет собой просто результат сложения обеих волн.) В тот момент, когда обе бегущие волны находятся в противофазе (а на фиг. 291), их сумма равна нулю; веревка в этот момент совершенно прямая, но участки ее быстро движутся в поперечном направлении, проходя через «нулевые положения».

Спустя ¹/₄ периода одна волна продвинется на ¹/₄ λ вперед, а другая — на ¹/₄ λ в противоположном направлении, и обе волны будут в одинаковой фазе, поэтому результирующая волна будет иметь удвоенную высоту гребней. Затем, через ¹/₄ периода обе волны снова будут в сумме давать нуль, а еще через ¹/₄ периода появится волна с удвоенной амплитудой и другой полярностью отклонения. На фиг. 291 изображены стадии волновой картины через интервалы в ¹/₄ периода (а-г).

Фиг. 291. Получение стоячих волн путем сложения двух цугов бегущих волн.

Путем построения графиков или с помощью алгебры и тригонометрии можно показать, что в промежуточных стадиях получается точно такая же результирующая волновая картина, как при колебаниях с максимальной амплитудой, только высота гребней будет меньше. Гребни и впадины наблюдаются всегда между одними и теми же точками веревки — узлами. Движение в целом можно представить графиком д на фиг. 291. Действительно, веревка разбивается на ряд участков, в концах которых колебаний нет, а середины колеблются с наибольшей амплитудой. Получается точно такая же картина, как стоячая волна в длинной скрипичной струне с большим числом пучностей. Значит, картину стоячей волны, устанавливающейся, скажем, на скрипичной струне, можно считать результатом сложения двух бегущих волн, которые распространяются в противоположных направлениях навстречу друг другу. Посмотрите на фиг. 291 и вы увидите, что узлы стоячей волны отстоят друг от друга на ¹/₂ λ (где λ — длина волны каждой из бегущих волн). Преимущества такого искусственного[166] представления колебаний с пучностями и узлами в виде стоячей волны в том, что оно позволяет определить длину волны обычных бегущих волн такой же частоты. Эта длина волны λ вдвое больше длины участка между двумя узлами.

Мы рассматриваем колеблющуюся струну, закрепленную на концах, как часть картины стоячих волн. Концы струны всегда неподвижны, это узлы. Если струна колеблется с одной пучностью, то длина струны L равна ¹/₂ длины волны: L =¹/₂ λ₁. Если колеблющаяся струна имеет две пучности, то длина бегущей волны λ₂ короче и на L укладываются две полуволны: L =2(¹/₂ λ₂). При трех пучностях L =3(¹/₂ λ₃). и т. д. Таким образом, длины волн образуют последовательность:

λ₁ = 2L, λ₂ = 2L/2, λ₃ = 2L/3 и т. д.

Но для любой бегущей волны скорость v = f∙λ. Поэтому частоты колебаний струны равны

f₁ = v/λ₁ = v/2L

f₂ = v/λ₂ = 2(v/2L)

f₃ = v/λ₂ = 3(v/2L) и т. д.

Итак, рассматривая простую картину волн и основываясь на предположении, что волны складываются геометрически, можно установить, что собственные частоты струны, закрепленной на концах, относятся как 1:2:3…. (Точно так же обстоит дело с колебаниями воздуха в трубе, флейте или органной трубе. Правда, многие музыкальные инструменты, например колокольчики, обладают колебаниями, частоты которых не образуют простой ряд целых чисел. Вот почему при ударе по колокольчикам они издают менее гармоничный звук.) Если бы мы знали скорость распространения волн по веревке, то смогли бы вычислить фактические частоты. (В следующем разделе дан вывод выражения для скорости v распространения волн по струне или веревке.) Напротив, измерив λ для стоячих волн известной частоты, можно определить v, не производя измерений бегущих волн. Этим пользуются для измерения скорости распространения звуковых или коротких радиоволн.

При проектировании приемных антенн инженеры стараются подогнать длину антенны так, чтобы приходящие радиоволны возбуждали в системе антенны стоячие волны напряжения и тока.

Простой вывод формулы для скорости распространения волн по веревке

Мы предлагаем вашему вниманию вывод формулы для скорости распространения волн[167]. Возможно, он вас заинтересует, если же нет, то опустите его. В гл. 37[168] будет дан похожий вывод для скорости распространения электромагнитных волн — световых и радиоволн.

Представим себе веревку, протянутую горизонтально от «источника» волн S до дерева, отстоящего на очень большом расстоянии (фиг. 292).

Фиг. 292. Вывод выражения для скорости распространения волны вдоль натянутой веревки.

Веревка туго натянута, натяжение в ней равно Т ньютон. Предположим, что S внезапно начинает поднимать конец веревки с вертикальной скоростью u и что этот подъем продолжается неопределенно долго. В результате образуется излом, который перемещается по веревке. Излом представляет собой волновое возмущение, распространяющееся вдоль веревки со скоростью v. Волну любой формы можно представить себе состоящей из множества изломов, причем один излом является как бы продолжением другого. Поэтому, вычислив скорость v, с которой перемещается вдоль веревки излом, можно определить скорость распространения вдоль веревки волны любой формы. Спустя t сек, излом проходит вдоль веревки путь v∙t, a S поднимает свой конец веревки на u∙t.

Представим себе, что рядом с перемещающимся по веревке изломом бежит со скоростью v наблюдатель, держа коробку, которая закрывает излом, не касаясь, однако, веревки. Наблюдатель увидит, что за короткий интервал времени Δt в коробку войдет участок веревки длиной v∙Δt в горизонтальном направлении и выйдет под некоторым углом к горизонту, обладая вертикальной компонентой скорости u. Масса этого участка веревки равна d∙v∙Δt, где d — «линейная плотность» веревки, т. е. масса на единицу длины (в кг/м). Участок веревки, о котором идет речь, приобретает за время Δt количество движения в вертикальном направлении, равное (d∙v∙Δt)∙(u). Следовательно, на наш участок веревки должна действовать вертикальная сила, которая дается выражением

F = ПРИОБРЕТЕННОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ / ВРЕМЯ,

= (d∙v∙Δt)∙(u)/(Δt) = d∙v∙u.

Коробка не касается веревки, поэтому сила эта должна бить обусловлена натяжением T' веревки, расположенной под углом к горизонту: сила F должна представлять собой вертикальную компоненту T'. (Обратите внимание, что со стороны источника к веревке, расположенной под углом, должна быть приложена несколько большая сила T', чем первоначальное натяжение, и натяжение Т в невозмущенной горизонтальной части веревки должна уравновешивать горизонтальная компонента силы Т'.)

Разложим Т' на вертикальную компоненту (Т')_у и горизонтальную компоненту (Т')_х. Значит, (Т')_у — это та сила F, действием которой обусловлено появление количества движения в вертикальном направлении, а (Т')_х= Т.

Иначе говоря,

F/T = (Т')_у/(Т')_х

А из подобия треугольников

F/T = S₀S/S₀K = u∙t/v∙t = u/v

Таким образом,

F = T∙(u/v)

Но мы имели

F = d∙v∙u

следовательно,

d∙v∙u = T∙u/v и v² = T/d

Отсюда

v = √(T/d)

СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ = √(НАТЯЖЕНИЕ ВЕРЕВКИ / МАССА НА ЕДИНИЦУ ДЛИНЫ)

В качестве простого упражнения определите с помощью полученного выражения частоту колебаний вертикального отрезка струнной проволоки длиной 2 м, к нижнему концу которого подвешен груз массой 10 кг. На отрезке колеблющейся проволоки — пять пучностей. Считайте, что 900 м проволоки имеют массу 2 кг, и возьмите любые данные, какие вам потребуются, из предыдущего параграфа.

Ответ. 262,5 колебания в секунду, что соответствует музыкальному звуку, близкому к звуку «до» первой октавы.

Резонанс

Всякая система, совершающая колебания, обладает присущими ей единственными способами колебательного движения, которые называют собственными колебаниями. Колебаниям такого рода соответствуют вполне определенные частоты.

Например, туго натянутая струна может колебаться с образованием одной, двух и т. д. пучностей, и если привести струну в движение, а потом предоставить ее самой себе, то она будет совершать одно из собственных колебаний либо это будет смесь из нескольких таких колебаний. Любое свободное колебание, каким бы сложным оно ни казалось, представляет собой просто смесь собственных колебаний системы. Если же воздействовать на систему с силой, изменяющейся по гармоническому закону, то система откликнется на это воздействие малыми колебаниями, частота которых совпадает с частотой возмущающей силы. Выражаясь иначе, можно сказать, что приходящие волны возбуждают в системе небольшую по амплитуде стоячую волну, частота которой совпадает с частотой приходящих волн. Но если частота внешней силы или приходящей волны совпадает с одной из собственных частот системы, то в системе развиваются колебания очень большой амплитуды. Это явление носит название резонанса. (Настраивая свой радиоприемник на передачу определенной станции, вы используете явление резонанса.) То же самое бессознательно делает ребенок, постепенно усиливая колебания воды в ванне, пока волны не начнут выплескиваться через край. Атомная частица, пролетая мимо ядра, может пройти сквозь потенциальный барьер ядра. Этот неожиданный так называемый туннельный эффект служит примером проявления волновых свойств у частиц вещества. Туннельный эффект, очевидно, есть результат резонансного взаимодействия волны, связанной с частицей, и ядра при совпадении частоты волны с какой-либо собственной частотой системы — ядра.

Итак, учение о колебаниях и волнах, в частности понятие стоячих волн, занимает очень важное место в физике. Советуем вам в процессе изучения курса непременно наблюдать за волновыми явлениями, которые иногда можно встретить и в скрытой форме. Важную роль этих явлений вы оцените в полной мере в конце курса, познакомившись с современными представлениями о строении атома.