Столкновения

Столкновения

При всяком столкновении двух тел всегда сохраняется импульс. Что же касается энергии, то она, как мы только что выяснили, обязательно уменьшится из-за различного рода трения.

Однако, если сталкивающиеся тела сделаны из упругого материала, например из кости или стали, то потеря энергии будет незначительной.

Такие столкновения, при которых суммы кинетических энергий до и после столкновения одинаковы, называются идеально упругими.

Небольшая потеря кинетической энергии происходит и при столкновении самых упругих материалов – у костяных биллиардных шаров она достигает, например, 3–4 %.

Сохранение кинетической энергии при упругом ударе позволяет решить ряд задач.

Рассмотрим, например, лобовое столкновение шаров разной массы. Уравнение импульса имеет вид (мы считаем, что шар № 2 покоился до удара)

m₁v₁ = m₁u₁ + m₂u₂,

а энергии –

где v₁ – скорость первого шара до столкновения, а u₁ и u₂ – скорости шаров после столкновения.

Так как движение происходит вдоль прямой линии (проходящей через центры шаров – это и означает, что удар лобовой), то применять векторные обозначения здесь не обязательно.

Из первого уравнения имеем:

Подставляя это выражение для u₂ в уравнение энергии, получим:

Одним из решений этого уравнения является решение u₁ = v₁ и u₂ = 0. Но этот ответ нас не интересует, так как равенства u₁ = v₁ и u₂ = 0 означают, что шары вовсе не сталкивались. Поэтому ищем другое решение уравнения.

Сократив на m₁(v₁ ? u₁), получим:

т.е.

m₂v₁ + m₂u₁ = m₁v₁ ? m₁u₁

или

(m₁ ? m₂)v₁ = (m₁ + m₂)u₁,

что дает следующее значение для величины скорости первого шара после удара:

При лобовом столкновении с неподвижным шаром налетающий шар отскакивает обратно (u₁ отрицательно), если его масса меньше. Если m₁ больше m₂, то оба шара продолжают движение в направлении удара.

При биллиардной игре в случае точного лобового удара часто наблюдается такая картина: шар-снаряд резко останавливается, шар-мишень отправляется в лузу. Это объясняется только что найденным уравнением. Массы шаров равны, и уравнение дает u₁ = 0, а значит, u₂ = v₁. Налетающий шар останавливается, а второй шар начинает движение со скоростью налетевшего. Шары как бы меняются скоростями.

Рассмотрим еще один пример столкновения тел по закону упругого удара, а именно косой удар тел равной массы (рис. 40). Второе тело до удара покоилось, поэтому законы сохранения импульса и энергии имеют вид:

mv₁ = mu₁ + mu₂,

Сократив на массу, получим:

v₁ = u₁ + u₂, v₁² = u₁² + u₂².

Вектор v₁ есть векторная сумма u₁ и u₂. Но ведь это означает, что длины векторов-скоростей образуют треугольник.

Что же это за треугольник? Вспомним теорему Пифагора. Ее выражает наше второе уравнение. Это значит, что треугольник скоростей должен быть прямоугольным с гипотенузой v₁ и катетами u₁ и u₂. Значит, u₁ и u₂ образуют между собой прямой угол. Этот интересный результат показывает, что при любом косом упругом ударе тела равной массы разлетаются под прямым углом.