Теория идеального газа
Теория идеального газа
Свойства идеального газа, давшего нам определение температуры, очень просты. При постоянной температуре действует закон Бойля – Мариотта: произведение pV при изменениях объема или давления остается неизменным. При неизменном давлении сохраняется частное V/T, как бы ни менялись объем или температура. Эти два закона легко объединить. Ясно, что выражение рV/Т остается тем же, как при постоянной температуре, но изменяющихся V и p, так и при постоянном давлении, но изменяющихся V и T. Выражение pV/T остается постоянным при изменении не только любой пары, но и одновременно всех трех величин – р, V и T. Закон (pV)/T = const, как говорят, определяет уравнение состояния идеального газа.
Идеальный газ выбран в качестве термометра потому, что только его свойства связаны с одним лишь движением (но не с взаимодействием) молекул.
Каков же характер связи между движением молекул и температурой? Для ответа на этот вопрос надо найти связь между давлением газа и движением в нем молекул.
В сферическом сосуде радиуса R заключено N молекул газа (рис. 95). Последим за какой-либо молекулой, например той, что движется в данный момент слева направо вдоль хорды длиной l. На столкновения молекул обращать внимания не будем: такие встречи не сказываются на давлении. Долетев до границы сосуда, молекула ударится о стенку и с той же скоростью (удар упругий) понесется уже в другом направлении. В идеале такое путешествие по сосуду могло бы продолжаться вечно. Если v – скорость молекулы, то каждый удар будет происходить через l/v секунд, т.е. в секунду каждая молекула ударится v/l раз. Непрерывная дробь ударов N молекул сливается в единую силу давления.
По закону Ньютона сила равна изменению импульса в единицу времени. Обозначим изменение импульса при каждом ударе через ?. Это изменение происходит v/l раз в секунду. Значит, вклад в силу со стороны одной молекулы будет (?/l)·v.
На рис. 95 построены векторы импульсов до и после удара, а также вектор приращения импульса ?. Из подобия возникших при построении треугольников следует: ?/l = mv/R. Вклад в силу со стороны одной молекулы примет вид:
Так как длина хорды не вошла в формулу, то ясно, что молекулы, движущиеся по любой хорде, дают одинаковый вклад в силу. Конечно, изменение импульса при косом ударе будет меньше, но зато удары в этом случае будут чаще. Расчет показал, что оба эффекта в точности компенсируются.
Так как в сфере N молекул, то суммарная сила будет равна:
где vср – средняя скорость молекул.
Давление р газа, равное силе, поделенной на площадь сферы 4?R2, будет равно:
где V – объем сферы.
Таким образом,
Это уравнение было впервые выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.*11.
Из уравнения состояния идеального газа следовало: pV = const·T; из выведенного уравнения видим, что pV пропорционально vср2. Значит,
т.е. скорость молекулы идеального газа пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры.