Тяжесть под землей

Тяжесть под землей

Нам осталось осветить еще один интересный вопрос. Как будет меняться сила тяжести, если углубляться под землю?

Вес предмета – это результат натяжения незримых нитей, протянутых к этому предмету от каждого кусочка вещества Земли. Вес – это суммарная сила, результат сложения элементарных сил, действующих на предмет со стороны частиц Земли. Все эти силы, хотя и направлены под разными углами, тянут тело «вниз» – к центру Земли.

А какова будет тяжесть предмета, находящегося в подземной лаборатории? На него будут действовать силы притяжения и с внутренних, и с внешних слоев Земли.

Рассмотрим силы тяготения, действующие в точке, лежащей внутри земного шара, со стороны внешнего слоя. Если разбить этот слой на тонкие слои, вырезать в одном из них маленький квадратик со стороной a₁ и протянуть линии от периметра квадрата через точку О, тяжесть в которой нас интересует, то в другом месте слоя получится квадратик другого размера со стороной а₂ (рис. 67). Силы притяжения, действующие в точке О со стороны двух квадратиков, направлены противоположно и пропорциональны по закону тяготения m₁/r₁² и m₂/r₂². Но массы квадратов m₁ и m₂ пропорциональны площадям квадратов. Поэтому силы тяготения пропорциональны выражениям a₁²r₁² и a₂²/r₂².

Однако эти отношения равны. Из рис. 67 видно, что а₁/r₁ и a₂/r₂ суть отношения соответственных сторон треугольников ОА₁В₁ и ОА₂В₂, которые будут подобными, если взять стороны квадратиков А₁В₁ и А₂В₂ очень малыми. А это мы всегда можем сделать.

Действительно, если квадраты малы, то направления отрезков А₁В₁ и А₂В₂ мало отличаются от направлений касательных к этим точкам. Тогда можно считать угол В₁А₁О и угол, дополнительный к A₂B₂O равными как углы, образованные касательной и хордой, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Следовательно,

Из этого геометрического доказательства следует, что a₁/r₁ = a₂/r₂, а значит, силы притяжения, действующие в точке О со стороны двух квадратиков, уравновешиваются.

Разбив тонкий слой на подобные пары «противоположных» квадратов, мы установили замечательный факт: тонкий однородный шаровой слой не действует на точку, расположенную внутри него. Но это верно для всех тонких слоев, на которые мы разбили шаровой пояс, лежащий над интересовавшей нас подземной точкой.

Значит, земной слой, находящийся над телом, все равно что отсутствует. Действие отдельных его частей на тело уравновешивается, и суммарная сила притяжения со стороны внешнего слоя равняется нулю.

Конечно, во всех этих рассуждениях мы считали плотность Земли постоянной внутри каждого слоя.

Результат наших рассуждений позволяет легко получить формулу для силы тяжести, действующей на любой глубине H под землей. Точка, расположенная на глубине H, испытывает лишь притяжение со стороны внутренних слоев Земли. Формула для ускорения силы тяжести g = ?(M/R) применима и для этого случая, но M и R – это масса и радиус не всей Земли, а ее «внутренней» по отношению к этой точке части.

Если бы Земля имела одинаковую плотность во всех слоях, то формула для g приняла бы вид:

где ? – плотность, R_З – радиус Земли.

Это значит, что g менялось бы прямо пропорционально (R_З – H): чем больше глубина H, тем меньше было бы g.

На самом же деле поведение g вблизи земной поверхности – мы можем проследить за ним вплоть до глубин 5 км (ниже уровня моря) – совсем не подчиняется этому закону. Опыт показывает, что в этих слоях g, наоборот, растет с глубиной. Расхождение опыта с формулой объясняется тем, что не было учтено различие плотности на разных глубинах.

Средняя плотность Земли легко находится делением массы на объем земного шара. Это приводит нас к цифре 5,52. В то же время плотность поверхностных пород много меньше – она равна 2,75. Плотность земных слоев растет с глубиной. В поверхностных слоях Земли этот эффект берет верх над идеальным уменьшением, которое следует из выведенной формулы, и величина g возрастает.