Глава 24 ПЕРЕХОДНЫЕ РЕШЕНИЯ

Глава 24

ПЕРЕХОДНЫЕ РЕШЕНИЯ

§ 1. Энергия осциллятора

§ 2. Затухающие колебания

§ 3. Переходные колебания в электрических цепях

§ 1. Энергия осциллятора

Хотя глава названа «Переходные решения», речь здесь все еще в основном идет об осцил­ляторе, на который действует внешняя сила. Мы еще ничего не говорили об энергии колеба­ний. Давайте займемся ею.

Чему равна кинетическая энергия осцил­лятора? Она пропорциональна квадрату скоро­сти. Здесь мы затронули важный вопрос. Пред­положим, что мы изучаем свойства некоторой величины А; это может быть скорость или еще что-нибудь. Мы обратились к помощи ком­плексных чисел: A==Вехр(iwt), но в физике праведна и чтима только действительная часть комплексного числа. Поэтому если вам для чего-нибудь понадобится получить квадрат А, то не возводите в квадрат комплексное число, чтобы потом выделить его действительную часть.

Действительная часть квадрата комплексно­го числа не равна квадрату действительной ча­сти, она содержит еще и мнимую часть первона­чального числа. Таким образом, если мы захо­тим найти энергию и посмотреть на ее превра­щения, нам придется на время забыть о комп­лексных числах.

Итак, истинно физическая величина А — это действительная часть A0exp[i(wt+D)], т. е.

A=A0соs(wt+D), а комплексное число А — это j4oexp(iD). Квадрат этой физической величины равен A20cos2(wt+D). Он изменяется от нуля до максимума, как это предписывается квадра­том косинуса. Максимальное значение квадрата косинуса равно 1, минимальное равно 0, а его среднее значение — это 1/2.

Зачастую нас совсем не интересует энергия в каждый дан­ный момент колебания; во многих случаях достаточно знать лишь среднюю величину A2 (среднее значение квадрата А в те­чение времени, много большего, чем период колебаний). При этих условиях можно усреднить квадрат косинуса и доказать теорему: если А представляется комплексным числом, то сред­нее значение А2 равно 1/2A20. Здесь А20это квадрат модуля комплексного числа А. (Квадрат модуля В записывают по-раз­ному;

|В |2 или ВВ *— в виде произведения числа В на комплек­сно сопряженное.) Эта теорема пригодится нам еще много раз.

Итак, речь идет об энергии осциллятора, на который дейст­вует внешняя сила. Движение такого осциллятора описывается уравнением

Мы, конечно, предполагаем, что F(t) пропорциональна coswt. Выясним теперь, много ли приходится этой силе работать. Ра­бота, произведенная силой в 1 сек, т. е. мощность, равна произ­ведению силы на скорость. [Мы знаем, что работа, совершаемая за время dt, равна Fdx, а мощность равна F(dx/dt).] Значит,

Как легко проверить простым дифференцированием, первые два члена можно переписать в виде (d/dt)][l/2m(dx/dt)2+1/2mw2x2]. Выражение в квадратных скобках — производная по времени суммы двух членов. Это понятно; ведь первый член суммы — кинетическая энергия движения, а второй — потенциальная энергия пружины. Назовем эту величину запасенной энергией, т. е. энергией, накопленной при колебаниях. Давайте усред­ним мощность по многим циклам, когда сила включена уже давно и осциллятор изрядно наколебался. Если пробег длится долго, запасенная энергия не изменяется; производная по вре­мени дает эффект, в среднем равный нулю. Иными словами, если усреднить затраченную за долгое время мощность, то вся энергия поглотится из-за сопротивления, описываемого членом gm(dx/dt)2. Определенную часть энергии осциллятор, конечно, запасет, но если усреднять по многим циклам, то количество ее не будет меняться со временем. Таким

образом, средняя мощ­ность <P> равна

Применяя метод комплексных чисел и нашу теорему о том, что <А2>=1/2A20, легко найти эту среднюю мощность. Так как

, то
. Следовательно, средняя мощность равна

<P>=1/2gw2x20. (24.4)

Если перейти к электрическим цепям, то dx/dt надо заменить на ток I (I — это dq/dt, где q соответствует х), а gmна сопро­тивление R. Значит, скорость потери энергии (мощности силы) в электрической цепи равна произведению сопротивления на средний квадрат силы тока

<Р>=R<I2>=Rl/2I20. (24.5)

Энергия, естественно, переходит в тепло, выделяемое сопро­тивлением; это так называемые тепловые потери, или джоулево тепло.

Интересно разобраться также в том, много ли энергии может накопить осциллятор. Не путайте этого вопроса с вопросом о средней мощности, ибо хотя выделяемая силой мощность сна­чала действительно накапливается осциллятором, потом на его долю остается лишь то, что не поглотило трение. В каждый мо­мент осциллятор обладает вполне определенной энергией, по­этому можно вычислить среднюю запасенную энергию <E>. Мы уже вычислили среднее значение (dx/dt)2, так что

Если осциллятор достаточно добротен и частота w близка к w0, то ЅхЅбольшая величина, запасенная энергия очень велика и можно накопить очень много энергии за счет небольшой силы. Сила производит большую работу, заставляя осциллятор рас­качиваться, но после того, как установилось равновесие, вся сила уходит на борьбу с трением. Осциллятор располагает большой энергией, если трение очень мало, и потери энергии невелики даже при очень большом размахе колебаний. Доб­ротность осциллятора можно измерять величиной запасенной энергии по сравнению с работой, совершенной силой за период колебания.

Что это за величина — накопленная энергия по сравнению с работой силы за цикл? Ее обозначили буквой Q. Величина Q — это умноженное на 2pотношение средней запасенной энер­гии к работе силы за один цикл (можно рассматривать работу не за цикл, а за радиан, тогда в определении Q исчезнет 2p)

Пока Q не слишком велика — это плохая характеристика системы, если же Q довольно большая величина, то можно сказать, что это мера добротности осциллятора. Многие пыта­лись дать самое простое и полезное определение Q; разные оп­ределения немногим отличаются друг от друга, но если Q очень велика, то все они согласуются друг с другом. При самом общем определении по формуле (24.7) Q зависит от w. Если мы имеем дело с хорошим осциллятором вблизи резонансной частоты, то (24.7) можно упростить, положив w = w0, тогда Q=w0/g, такое определение Q было дано в предыдущей главе. Что такое Q для электрической цепи? Чтобы найти эту ве­личину, надо заменить mна L, mg на R и mw20на 1/С(см. табл. 23.1). Тогда q в точке резонанса равна Lw/R, где w — ре­зонансная частота. В цепи с большой Q запасенная цепью энергия велика по сравнению с работой за один цикл, произ­водимой поддерживающей колебания в цепи машиной.

§ 2. Затухающие колебания

Вернемся к основной теме — переходным решениям. Пе­реходными решениями называются решения дифференциаль­ного уравнения, соответствующие ситуации, когда внешняя сила не действует, но система тем не менее не находится в покое. (Конечно, лучше всего решать задачу, когда сила не действует, а система покоится, покоится — ну и пусть покоится!) Соответ­ствующие переходным решениям колебания можно вызвать так: заставить силу поработать, а потом выключить ее. Что тогда случится с осциллятором? Сначала подумаем, как будет вести себя система с очень большой Q. Если сила действовала долго, то запасенная энергия была постоянной и работа тратилась лишь для того, чтобы поддержать ее. Предположим теперь, что мы выключили силу, тогда трению, которое раньше поглощало энергию поставщика, питаться больше нечем — кормильца-то нет. И трение начинает пожирать запасенную осциллятором энергию. Пусть добротность системы Q/2p=1000. Это значит, что работа, произведенная за цикл, равна 1/1000 запасенной энергии. Пожалуй, разумно предположить, что при не поддерживае­мых внешней силой колебаниях за каждый цикл будет теряться одна тысячная часть имеющейся к началу цикла энергии. Будем считать, что при больших Q изменение энергии описывается угаданным нами приближенным уравнением (мы еще вернемся к этому уравнению и сделаем его совсем верным!)

Уравнение это приближенное, потому что оно справедливо только для больших Q. За каждый радиан система теряет 1/Q часть запасенной энергии Е. Значит, за промежуток времени dt энергия уменьшится в (wdt/Q раз (частота появляется при переводе радианов в настоящие секунды). А какая это частота? Предположим, что система устроена очень жестко, поэтому даже при действии силы она сколько-нибудь заметно колеблется толь­ко со своей собственной частотой. Поэтому будем считать, что w — это резонансная частота w0. Таким образом, из уравнения (24.8) следует, что запасенная энергия меняется

следующим образом:

Теперь нам известно значение энергии в любой момент. Какой будет приближенная формула, определяющая амплитуду коле­баний как функцию времени? Той же самой? Нет! Потенциаль­ная энергия пружины изменяется как квадрат смещения, кинетическая энергия — как квадрат скорости; это приводит к тому, что полная энергия пропорциональна квадрату сме­щения. Таким образом, смещение (амплитуда колебаний) будет уменьшаться с половинной скоростью. Иначе говоря, мы ожидаем, что решение в случае затухающего переходного дви­жения будет выглядеть как колебание с частотой, близкой к ре­зонансной частоте w0; амплитуда этого колебания будет умень­шаться как ехр(-gt/2)

Эта формула и фиг. 24.1 дают представление о том, чего следует ожидать, а теперь приступим к точному анализу движе­ния, т. е. к решению дифференциального уравнения движения.

Фиг. 24.1. Затухающие колебания.

Как же решить уравнение (24.1), если выкинуть из него внешнюю силу? Будучи физиками, мы интересуемся не столько методом, сколько самим решением. Поскольку мы люди уже опытные, попытаемся представить решение в виде экспоненци­альной кривой, х=Аexp(iat). (Почему мы так поступили? Оттого, что экспоненту легче всего дифференцировать!) Подставим это выражение в (24.1), помня о том, что каждое дифференцирование х по времени сводится к умножению на ia [напомним, что F(t)=0]. Сделать это очень легко, и наше уравнение примет вид

( -a2+iga+w20)Аеiat=0. (24.11)

Левая часть равенства должна быть равна нулю все время, но это возможно только в двух случаях: а) А=0, однако это даже и не решение: ведь тогда все покоится, или б)

Если мы сможем решить это уравнение и найти a, то мы найдем и решение, амплитуда которого А не обязательно равна нулю!

Чтобы не думать о том, как извлечь квадратный корень, предположим, что g меньше w0, и поэтому w20-g2/4 — положи­тельная величина. Беспокоит другое: почему мы получили два решения! Им соответствуют

и

Займемся пока первым решением, предположив, что мы ничего не знаем о том, что квадратный корень принимает два значе­ния. В этом случае смещение х равно x1=Aexp(ia1t), где А — произвольная постоянная. Чтобы сократить запись, введем специальное обозначение для входящего в at квадратного корня:

Так,

и
, или, если воспользоваться замечательным свойством экспоненты,

Итак, система осциллирует с частотой wg , которая в точности не равна частоте w0, но практически близка к ней, если система достаточно добротна. Кроме того, амплитуда колебаний экспо­ненциально затухает! Если взять действительную часть (24.16), то мы получим

Это решение очень напоминает угаданное нами решение (24.10), вот только частота немного другая, wg. Но это лишь небольшая поправка, значит, первоначальная идея была правильной.

И все-таки не все благополучно! А не благополучно то, что су­ществует второе решение.

Этому решению соответствует a2, и оно отличается от пер­вого лишь знаком wg

Что все это значит? Скоро мы докажем, что если x1и х2воз­можные решения (24.1) при F(t)=0, то х12—тоже решение этого уравнения! Таким образом, общее решение имеет вид

Теперь можно спросить: «А, собственно, зачем нам беспокоить себя еще одним решением, если нас вполне устраивало первое? К чему эти дополнительные решения, если мы все равно должны взять только действительную часть?» Мы знаем, что нужно взять действительную часть, но откуда математика знает, что мы хо­тим взять действительную часть? Когда у нас была внешняя сила F(t), то мы ее дополнили искусственной силой, и она каким-то образом управляла мнимой частью уравнения. Но когда мы по­ложили F(t)=0, то соглашение о том, что, каково бы ни было х, нужно взять только его действительную часть, стало нашим лич­ным делом, и математическое уравнение об этом ничего не знало. В мире физики есть только действительные решения, но реше­ние, которому мы так радовались, комплексно. Уравнению не из­вестно, что мы делаем совершенно неожиданный шаг и отбираем только действительную часть, и оно предлагает нам еще, так сказать, комплексно сопряженное решение, чтобы, сложив оба решения, мы получили настоящее действительное решение; вот для чего мы взяли еще и a2. Чтобы х было действительным, Ввхр(-iwgt) должно быть комплексно сопряженным к Aexp(iwgt) числом, тогда мнимая часть исчезнет. Таким образом, В долж­но быть комплексно сопряжено с А, поэтому наше решение имеет вид

Значит, наши колебания — это колебания с фазовым сдвигом и, как полагается, с затуханием.

§ 3. Переходные колебания в электрических цепях

Посмотрим, как выглядят переходные колебания. Для этого соберем цепь, изображенную на фиг. 24.2.

Фиг. 24,2. Электрическая цепь для демонстраций переходных колебаний.

В этой цепи разность потенциалов между концами индуктивности L поступает в осцил­лоскоп. Неожиданное включение рубильника S включает допол­нительное напряжение и вызывает в осцилляторной цепи переходные колебания. Эти колебания аналогичны колебаниям механического осциллятора, вызванными неожиданным ударом. Сама цепь представляет собой электрический аналог механи­ческого осциллятора с затуханием, и мы можем наблюдать коле­бания при помощи осциллоскопа. Он покажет нам кривые, анализом которых мы и займемся. На фиг. 24.3—24.6 представ­лены кривые затухающих колебаний, полученные на экране осциллоскопа. На фиг. 24.3 показаны затухающие колебания в цепи с большой Q, т. е. с малым значением g.

Фиг. 24.3. Затухающие коле­бания.

В такой цепи ко­лебания затухают не очень быстро; мы видим довольно длинную синусоиду с медленно убывающим размахом.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы будем уменьшать Q, так что колебания должны затухать быстрее. Чтобы уменьшить Q, увеличим сопротивление цепи R. При повороте ручки сопротивления колебания действительно зату­хают скорее (фиг. 24.4).

Фиг. 24.4. Колебания затухают быстрее.

Если еще увеличить сопротивление, то колебания затухнут еще быстрее (фиг. 24.5).

Фиг, 24.5. Колебания почти исчезли.

Но если сопротив­ление увеличить сверх некоторого предела, колебаний мы вооб­ще не увидим. А может быть, нам просто отказывают глаза? Увеличим еще сопротивление и получим тогда кривую, пред­ставленную на фиг. 24.6; по ней можно лишь с натяжкой сказать, что в цепи произошли колебания, ну разве что одно.

Фиг. 24.6. Колебаний нет.

Можем ли мы математически объяснить это явление?

Сопротивление механического осциллятора, конечно, про­порционально g. В нашем случае g— это R/L. Теперь, если уве­личивать g, то в столь приятных нам решениях (24.14) и (24.15) наступает беспорядок; когда g/2 становится больше w0, реше­ния приходится записывать по-другому:

Это снова два решения, которые приводят нас к решениям exp(ia1t) и ехр(ia2t). Подставив теперь a1, получим

Никаких колебаний. Чисто экспоненциальное убывание. То же самое дает и второе решение

Заметим, что квадратный корень не может превысить g/2; даже если w0=0, оба члена равны. Если же w20 отличается от g/2/4, то квадратный корень меньше g//2 и выражение в круглых скобках всегда положительно. Это очень хорошо! Почему? Да потому что если бы это выражение было отрицательным, то е пришлось бы возводить в положительную степень и мы по­лучили бы возрастающее со временем решение. Но при увели­чении в цепи сопротивления колебания не могут возрастать, зна­чит, мы избегли противоречия. Итак, мы получили два решения; оба решения экспоненциально затухают, но одно из них стре­мится «умереть» гораздо скорее. Общее решение, конечно, пред­ставляет собой комбинацию обоих решений, а значения коэф­фициентов А и В зависят от того, как начинаются колебания, каковы начальные условия. В нашей цепи случилось так, что А — отрицательное число, а В — положительное, поэтому на экране осциллоскопа мы увидели разность двух экспонент.

Давайте обсудим, как найти коэффициенты А и В (или А и A*), если известны начальные условия. Предположим, что в момент t=0 нам известны смещение х=х0и скорость dx/dt=v0. Если в соотношения

подставить значения t=0, х=х0, dx/dt=v0и воспользо­ваться тем, что е0i0=1, то мы получим

x0=A+A*=2AR,

Значит,

Таким образом, зная начальные условия, мы полностью определили А и А*, а значит, и кривую переходного решения. Можно записать решение и по-другому. Вспомним, что

eiq+e-iq=2cosq и eiq- e-iq=2isinq, тогда

где wg=+Ц(w20-(g2/4). Мы получили формулу затухающих колебаний. Такая формула нам не понадобится, однако отметим ее особенности, справедливые и в более общих случаях.

Прежде всего поведение системы, на которую не действует внешняя сила, описывается суммой (суперпозицией) временных экспонент [мы записали их в виде exp(iat)]. Такое решение хорошо передает истинное положение вещей. В общем случае a — это комплексное число, и его мнимая часть соответствует затуханию колебаний. Наконец, тесная математическая связь синусоидальных и экспоненциальных функций, о которой го­ворилось в гл. 22, физически часто проявляется в переходе от колебаний к чисто экспоненциальному затуханию при крити­ческих значениях некоторых параметров системы (в нашем случае это было сопротивление g).

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Похожие главы из других книг:

Глава 2

Из книги автора

Глава 2 Время свершенийСегодня много говорят о получении энергии с помощью Солнца, ветра, морских волн, об извлечении энергии из недр, за счет использования внутреннего тепла Земли, о приручении морских приливов и о выведении электростанций за пределы атмосферы. Но пока…


Глава 1

Из книги автора

Глава 1 Вопрос 1.а. Какой цвет у солнца, если смотреть на него из космоса?б. Почему небо синее? Объясните.Вопрос 2.Как высоко над землей находится облако, на котором построен Миртильвиль? Укажите принципы атмосферной динамики, подтверждающие ваш ответ.Вопрос 3.…Первая


Глава 9

Из книги автора

Глава 9 Миртиль и Том, молча слушавшие разговор взрослых, повернулись к Буакару.— В атмосфере? Пожалуй, нет, господин полковник, — отозвался тот. — На востоке и вправду проплыли несколько подозрительных белых облачков, но я единственный, кто их видел. А вы не хуже меня


Глава 10

Из книги автора

Глава 10 Еще задолго до того, как маленькая Миртиль начала что-то понимать, жители городка изо дня в день говорили ей, что она принцесса. Со временем, объясняли девочке, она станет королевой и будет управлять целой страной; тогда, хотя территория Северных Облаков и невелика,


Глава 11

Из книги автора

Глава 11 Дверь открылась, и Миртиль застыла на месте. У нее перехватило дыхание. Перед ней стояла такая красивая женщина, какой она еще никогда не видела. Черты г-жи Дрейк были поразительно тонкими: ветерок, овевавший ее прекрасное лицо, и тот, казалось, прикасался к нему с


Глава 12

Из книги автора

Глава 12 Г-жа Дрейк сидела напротив принцессы. Ноздри Миртиль щекотал сладковатый запах настоя, курившегося в чашках. Вдыхая ароматы далеких стран, она, никогда не покидавшая Миртильвиль, как будто перенеслась в неведомые края и мчалась по воздуху над огненно-алыми


Глава 13

Из книги автора

Глава 13 Над городком занималось тихое утро следующего дня. Небо ярко синело; однако было видно, что погода меняется: весь голубой свод усеяли тончайшие волокна просвечивающих облаков. Солнце только что поднялось на высоту Миртильвиля, и теперь его лучи блестели на


Глава 14

Из книги автора

Глава 14 Незаметно махнув рукой Тому, Тристам занял свое обычное место в последнем ряду. Миртиль бросила беглый взгляд на его руку: вчерашний ожог зажил. Джерри, сидевший рядом с Томом, был вне себя от ярости. Опять этот Тристам дешево отделался! Безобразие! Давно пора


Глава 15

Из книги автора

Глава 15 — Мне совсем не хочется идти к директрисе, — сказал Тристам, как только они с Томом оказались в коридоре.— Раньше нужно было думать, — возразил Том. — Теперь ничего не поделаешь. Придется идти!И друзья поплелись к директорскому кабинету. Тристам не замечал, что


Глава 3

Из книги автора

Глава 3 — Дамы и господа, мои дорогие губернаторы, — начал он пугающим и вместе с тем бесстрастным голосом, — я хочу оказать вам высокую честь. Вы будете присутствовать при казни, которая заставит хорошенько задуматься всех, кто продолжает поддерживать бунтовщиков.По


Глава 7

Из книги автора

Глава 7 — Ты знаешь что-нибудь про аэродинамику? — спросил Вакинг.— Ароэ… что?В наушниках послышался тяжелый вздох Тома, летевшего вместе с Робом. Их машину отделяло от ласточки Вакинга несколько километров.— Это наука о свойствах воздуха, обтекающего самолеты, ракеты


Глава 14

Из книги автора

Глава 14 До земли оставалось метров сто. Тристам смотрел, как быстро она приближается. Удастся ли им приземлиться?Они летели над редким лесом, впереди был виден холм с проплешиной на отлогом склоне. Потихоньку дергая за стропы, Тристам решил, что сможет управлять


Глава 15

Из книги автора

Глава 15 Они шли долго, может быть, несколько часов. Тристам молча шагал за Вакингом и Миртиль, улавливая обрывки их разговора. Так, он услышал, что большинство летчиков из Белой Столицы, по мнению лейтенанта, должны были спастись и даже не слишком пострадать: все они были


Глава 16

Из книги автора

Глава 16 Они шли по лесу, и Миртиль рассказывала Тристаму обо всем, что с ней приключилось: о встрече с тираном, о тропическом циклоне и о том, какой выбор предложил ей этот человек, не скрывавший своего безумия.— Ты выбрала смерть? — спросил потрясенный Тристам.— Да. И