Глава 22. Исаак Ньютон (1642–4727)

«Если я видел дальше, чем другие, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов».

Изречение, приписываемое Ньютону.

Жизнь и труды Ньютона

Ньютон родился в тот год, когда умер Галилей. Еще ребенком он увлекался опытами. И подобно Галилею и Тихо Браге мастерил занимательные игрушки, вроде водяных мельниц[86], и даже измерял «силу» ветра, замечая, насколько он мог прыгнуть в длину по ветру и против него. Поступив в школу, он поначалу не проявил особых успехов в изучении основного предмета — латыни, но вскоре обнаружил необыкновенные способности в математике.

Его добровольный опекун дядя направил Исаака, когда тому исполнилось 19 лет, в университет. Там, в Кембридже, Ньютон с большим увлечением занялся логикой и изучил трактат Кеплера, посвященный оптике. Сделал он это так быстро и обстоятельно, что понял бессмысленность дальнейшего посещения лекций.

Ознакомившись с евклидовой геометрией, он счел ее детской забавой и начал изучать геометрию Декарта. Для этого ему пришлось напряженно работать, но это не смущало Ньютона — душой и телом он отдался изучению математики. Вскоре появилась его первая оригинальная работа. Будучи еще студентом, он открыл теорему, которая была впоследствии названа «Теоремой о биноме Ньютона»[87], а к тому времени, когда ему минул 21 год, он начал изучать бесконечные ряды и «флюксии» — основу дифференциального исчисления. Ньютон был слишком увлечен своей работой, а быть может, слишком скромен, но свои открытия он не публиковал — эта удивительная отрешенность, а возможно, и нелюбовь к публичным обсуждениям его трудов сохранилась на всю жизнь. Ньютон интересовался и астрономией, наблюдал гало Луны, комету.

Позднее он стал изобретать и строить свои собственные телескопы. Степень бакалавра Ньютон получил, продолжая исследования по математике и оптике, подавая зачастую профессору математики ценные советы. В последующие два года он сосредоточил свое внимание на Солнечной системе и начал размышлять о силе тяжести, распространяющейся до Луны и удерживающей ее на орбите, также как веревка удерживает вращающийся камень. Ньютону удалось получить выражение для центростремительного ускорения a = v²/R. Эта формула была ему нужна для проверки идеи о движение Луны. Он вывел эту формулу до того, как ее опубликовал Гюйгенс. Затем он применил этот подход и к планетам, предположив, что они удерживаются на своих орбитах гравитационным притяжением Солнца. Таким путем была установлена универсальность силы тяжести: притяжение между Землей и яблоком, Землей и Луной, Солнцем и Марсом, Солнцем и Землей…

На основе третьего закона Кеплера Ньютон сделал вывод, что силы притяжения должны убывать с увеличением расстояния и что притяжение должно изменяться как (расстояние)^-2. По существу он уже свершил свои великие открытия. Когда его спрашивали, каким путем он пришел к этим открытиям, Ньютон отвечал, что сделал открытия, думая о них[88]. По-видимому, это и был его метод: спокойное, постоянное обдумывание, непрерывное вынашивание мысли. Вероятно, именно таким образом родились многие великие идеи. Гений — не только терпение или «безграничная способность трудиться»; терпение и упорство должны еще сочетаться о большими способностями и мудростью, чтобы последние могли принести богатый урожай.

При проверке теории движения Луны Ньютон встретил серьезные трудности и перестал заниматься ею, отложив эту работу на несколько лет, а сам с головой ушел в оптические исследования, покупал призмы, шлифовал линзы, занимался исследованием спектра.

К 24 годам Ньютон заложил основы своих будущих великих открытий: дифференциального и интегрального исчислений, всемирного тяготения, теории света и цвета. Однако лишь немногие из полученных им результатов стали известны миру. Однажды профессор математики рассказал Ньютону о новом математическом открытии, которое обсуждалось в то время. Неожиданно Ньютон ответил, что еще несколькими годами ранее наряду с другими задачами он решил и эту задачу. Из представленных им записей следовало, что он провел более глубокое исследование и получил более общее решение. Этот случай произвел столь сильное впечатление, что, когда вскоре профессор ушел в отставку, Ньютон (ему было тогда 26 лет) был избран профессором математики одной из наиболее значительных европейских кафедр. На новом посту он читал лекции по оптике, однако все еще не публиковал своих математических трудов. В только что созданном Лондонском королевском обществе состоялась лекция Ньютона об изобретенном им отражательном телескопе. Члены Королевского общества пришли в восторг и избрали его членом общества. В дальнейших лекциях он изложил свои открытия в области учения о цвете. Именно тогда, после шестилетнего перерыва, Ньютон возвратился к работам по астрономии. Теперь он мог блестяще проверить теорию, основываясь на данных о движении Луны. Но он продолжал свою работу еще не менее двенадцати лет, не заявляя о своем открытии. Тем временем законы Кеплера ждали своего объяснения. Идея всемирного тяготения буквально витала в воздухе.

Члены рожденного недавно и процветающего Королевского общества горячо обсуждали эту идею. Им удалось доказать, что наличие некой силы, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния, может объяснить существование круговых орбит в соответствии с третьим законом Кеплера, однако эллиптические орбиты оказались для них слишком крепким орешком. Когда один из членов Королевского общества обратился к Ньютону за помощью, Ньютон спокойно ответил, что задача уже решена: он знает и может доказать, что из убывания силы тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния следует, что движение планет должно подчиняться всем трем законам Кеплера!

Затем наступило время написания, публикация (что делалось не всегда охотно) и распространения трудов Ньютона по механике, астрономии и математике, которая в них содержалась. Коллеги по Королевскому обществу просили его опубликовать свою теорию Солнечной системы. Созданная им книга оказалась более широкой по содержанию. Это был величайший трактат по механике: замечательная последовательность определений, законов, теорем и их применение к теории Солнечной системы с пояснениями, примерами и далеко идущими предсказаниями — величественное здание науки. Это были знаменитые «Принципы» Ньютона — «Математические принципы натуральной философии».

Почитатели трудов Ньютона провели его в парламент, а позднее он был назначен директором Монетного двора. Так был найден путь материально вознаградить ученого, а также отметить его заслуги. Ньютон серьезно принялся за работу и выполнил несколько исследований по металлургии, вспомнив свои ранние увлечения химией[89].

Назначение в Монетный двор и выборы в парламент в определенной мере соответствовали его стремлению стать влиятельным человеком. На шестьдесят первом году Ньютон был избран президентом Королевского общества. Он возглавлял это славное учреждение в течение 24 лет, до конца жизни. Когда Ньютону исполнилось 65 лет, его возвели в рыцарское достоинство, и он стал сэром Исааком Ньютоном. Не только соотечественники, но и жители близких и далеких континентов понимали, что среди них живет не просто великий человек, а гений, и делали все возможное, чтобы воздать ему должное, хотя в те времена ученые только начинали занимать подобающее им положение.

Ньютон умер в возрасте 85 лет. Он оставил после себя книги, посвященные законам движения, гравитации, астрономии и математике, и, кроме того, многочисленные сочинения на богословские темы. (Ньютон был искренне верующим человеком, хотя взгляды его на религию не были ортодоксальными. С блестящим успехом решив астрономические проблемы, он надеялся, что сумеет справиться также и с религиозными.) Ньютон возвысил астрономию; он дал ей совершенно новое место в науке и привел ее в порядок, использовав объяснения, в основе которых лежали созданные и проверенные им законы. Позже мы расскажем о развитии астрономии, а пока возвратимся к работам Ньютона в этой области.

Законы движения

Чтобы привести движения небесных тел в единую систему, Ньютону были необходимы законы движения. В сочинениях Галилея он нашел четкие определения силы и движения, но менее четкое понимание природы массы. Ньютон дал ясные и доступные новые формулировки определениям Галилея, тщательно проверив смысл введенных им терминов. Основные положения Принципов изложены в форме двух законов, которые используются в первой части. Затем Ньютон дополняет их и третьим законом, который сам проверяет опытным путем[90].

В этом смысле Ньютон был великим законодателем, приведшим законы в строгую систему, — своего рода Моисеем в физике. Конечно, Моисей устанавливал: законы с совершенно иных позиций, чем Ньютон, трактуя людям указания небес, тогда как Ньютон открывал законы природы и разъяснял их людям. Однако и Ньютон и Моисей познавали, систематизировали, учили. Моисей не был открывателем всех законов и правил. Он лишь собрал их воедино и обработал, чтобы сделать понятными и сообщить людям. Он был великим законодателем и великим учителем. Ньютон, подобно Моисею, был великим учителем, хотя был так застенчив и скромен, что учил скорее себя, нежели других. Многие труды Ньютон написал только для того, чтобы понять самому сущность вещей, но, увидев свет, эти труды осветили путь его современникам и ученым последующих поколений.

Был этот мир кромешной тьмой окутан

«Да будет свет!» — и вот явился Ньютон.

Ньютон излагал свои законы ясно и просто, без излишней торжественности. Но поскольку он не любил дилетантского критицизма, математическая сторона его изложения отличается строгостью и элегантностью. Во времена Ньютона латынь была тем универсальным языком, на котором объяснялись ученые, поэтому Принципы написаны на латинском языке. В трудах, которые Ньютон писал на английском языке (например, в его книге по оптике), изложение кажется нам иногда напыщенным и неясным; объясняется это тем, что со временем в английском языке произошли значительные изменения и современный Ньютону язык звучит для нас непривычно. Если бы Ньютон писал свои законы в наши дни, они были бы написаны стилистически безупречно, без вводных фраз, которые так любят адвокаты. Ниже приведены законы Ньютона в оригинальной латинской формулировке, данной в Принципах, и их перевод,

_LEX I

_{Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum ilium mutare.}

_{LEX II}

_{Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis ilia imprimitur.}

_{LEX III}

_{Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.}

Каждый закон Ньютон сопроводил комментариями и объяснениями. Пользуясь современной терминологией, им можно дать такой перевод:

ПЕРВЫЙ ЗАКОН

Всякое тело остается в состоянии покоя или движется прямолинейно с постоянной скоростью, если на него не действует сила, изменяющая скорость тела.

ВТОРОЙ ЗАКОН

Если на тело действует сила, то изменение количества движения (Mv) пропорционально величине приложенной к телу силы; изменение происходит в направлении действия силы или:

Произведение массы на ускорение пропорционально результирующей силе, причем ускорение происходит в направлении действия силы.

ТРЕТИЙ ЗАКОН

Каждому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие

или:

При взаимодействии двух тел сила, приложенная со стороны первого тела ко второму, равна силе, приложенной со стороны второго тела к первому, и противоположно направлена.

Заметим, что в переводе второго закона вначале дана его формулировка, в которой используется понятие количества движения. Она и ныне является наиболее общей формулировкой. Ко второй формулировке, где используется ускорение, часто прибегают в процессе элементарного обучения, так как она выглядит проще.

В гл. 8[91] было указано, что эти две формулировки эквивалентны. Ниже показано, как одна форма закона переходит в другую: F ~ M∙a. Скорость изменения количества движения пропорциональна силе:

Δ(Mv)/Δt ~ F, т. е. (Mv₂ — Mv₁)/Δt ~ F

M(v₂ — v₁)/Δt ~ F, если М остается постоянной.

Иначе говоря,

M∙(Δv/Δt) ~ F т. е. Ma ~ F, или F ~ М∙а.

Пользуясь изобретенным Ньютоном дифференциальным исчислением:

d(Mv)/dt = M∙(Δv/Δt) = М∙а если М — величина постоянная.

Мы предполагали, что масса остается постоянной. Если масса меняется, то справедлива первая форма закона [Δ(Mv)/Δt ~ F], и именно ее выбрал Ньютон. Он понимал, что такая форма закона приложима к движению тела с переменной массой (например, вагонетка под дождем). Но он не мог, конечно, предвидеть применения этой формы закона в современной теории относительности, где она также справедлива для случая, когда масса возрастает с увеличением скорости. Это возрастание заметно только при очень больших скоростях.

Прежние представления о движении

Природа движения давно волновала ученых.

Леонардо да Винчи (за 150 лет до Ньютона) дал следующие формулировки, заимствованные, как предполагают, из еще более ранних источников:

1) Если сила перемещает тело за данное время на определенное расстояние, то та же сила половину такого тела переместит на такое же расстояние за вдвое меньшее время.

2) или:… та же самая сила переместит половину тела на вдвое большее расстояние за то же самое время,

3) или:… вдвое меньшая сила будет перемещать половину тела на то же расстояние за то же время.

Декарт (примерно за 40 лет до Ньютона) утверждал, что

1) все тела стремятся оставаться в неизменном положении;

2) движущееся тело стремится сохранить свою скорость и направление движения. (Здесь Декарт приводит богословский довод.)

Мерой силы, создаваемой телом, служит масса (ясно не определенная Декартом) и его скорость.

Вопрос: Какие из этих формулировок кажутся верными? (По крайней мере одна из них совершенно ошибочна.)

Опираясь на эти формулировки, а также руководствуясь книгами Галилея и собственными соображениями, Ньютон сформулировал три закона движения. В наши дни мы применяем их для описания разнообразных, движений — от катящегося вниз шара до старта ракет, планет на орбитах и даже потоков электронов. Эйнштейн добавил новую формулировку, но в большинстве случаев законы Ньютона очень хорошо описывают явления природы.

Законы Ньютона: Реальность ила Определения?

Подобно любому современному ученому, Ньютон пытался дать четкие определения скорости, количества движения и силы. В науке определение не является экспериментальным фактом, рискованным предположением или умозрительной идеей. Это скорее работа, заключающаяся в пояснении — по возможности точном — смысла слова, фразы или даже идеи. Например, мы определяем ускорение как Δv/Δt, после чего всегда под словом «ускорение» понимаем отношение приращения скорости к соответствующему приращению времени, а не что-то другое, например Δv/Δs или нечто неопределенное, вроде «более быстрого движения».

Мы определили «напряженность гравитационного поля в данной точке» как «силу тяжести, действующую на единичную массу, помещенную в эту точку». Это — и описание того, что мы понимаем под напряженностью поля, и четкое указание, как ее изменить.

Законы Ньютона были четкими правилами, основанными на наблюдении механических процессов. Они предназначены для предсказания движения в других случаях. Однако это не простые утверждения того, что получалось на опыте. Законы включали определения и описания понятий и представлений (масса, количество движения); они обеспечивали непротиворечивую схему предсказаний, основанную на этих определениях. Таким образом, определения часто входят в состав теории. Например, через двести лет после Ньютона получила развитие наука о термодинамических процессах, на основе которой с помощью понятия температуры были сделаны замечательные предсказания тепловых свойств. Но температурная шкала — особая, определенная собственно в схеме термодинамики. Мы обнаружим расхождения, если сравним термодинамическую шкалу температуры (шкалу Кельвина) с другими шкалами, такими, как шкала ртутного или газового термометров. Тем не менее мы не можем сказать, что одна шкала «неверная», а другая «истинная». Все шкалы определены четко и однозначно и одинаково пригодны для точного измерения не совсем определенного ощущения жары или холода, испытываемого человеком. Имея в виду определенные задачи, иногда отдают предпочтение одной шкале как наиболее удобной; когда имеют дело с теорией — ограничиваются шкалой, которая входит в теорию.

В соответствии с законами термодинамики и выводами из них нам приходится пользоваться шкалой Кельвина. К счастью, шкала Кельвина почти не отличается от шкалы обычного ртутного термометра, так что выводы термодинамики мы можем непосредственно использовать в практических целях.

Такое тесное переплетение эксперимента и определений, образующее теорию, характерно для современной науки. Если вы критически посмотрите на законы Ньютона, то придете к заключению, что первый закон содержит объяснение понятия силы, определяет ее природу, а второй закон определяет способ измерения или силы, или массы. Так, может быть, эти законы — просто плод нашей фантазии? Нет, это не так. Оба закона соответствуют реальным явлениям природы, что подтверждает эксперимент. В них содержится твердая фактическая основа, хотя ее, быть может, нелегко извлечь логически из входящих в эти законы определений.

Спустя два столетия после того, как Ньютон сформулировал свои законы, начали возникать трудности и сомнения. Ньютон принимал «относительность Галилея». В созданной им теории не имеет значения, движется ли наблюдатель с постоянной скоростью или находится в состоянии покоя. Однако Ньютон считал, что абсолютную систему отсчета можно обнаружить по эффекту вращения. (Если бы Земля оказалась в состоянии покоя, а небесные тела вращались вокруг нее, разве могли бы мы наблюдать кривизну земной поверхности, изменение силы тяжести, поворот плоскости качания маятника Фуко?) Ньютон писал об абсолютном движении: под действием сил возникают абсолютные ускорения, а не ускорения относительно какой-то движущейся системы координат. Но где находится неподвижная, фиксированная система отсчета? Земля, Солнце, звезды — все движется. Существует ли реальная фиксированная система отсчета? Если мы не можем указать такой системы, то стоит ли включать ее в наше рассмотрение механики? Вот из таких сомнений и возникла теория относительности[92]. На первых порах, изучая теоретическую механику, разумно забыть об этих сомнениях и принять законы Ньютона как простые, надежные рабочие правила. Используя их для решения задач, помните, что это — блестяще сформулированный итог согласованных определений и экспериментальных наблюдений. Это не застывшие законы, которые нужно цитировать, чтобы все стало на свои места! Они указывают нам, как нужно обрабатывать результаты проведенных опытов и как предсказывать, что должно случиться в будущих экспериментах. В то же время они знакомят нас с такими полезными понятиями, как масса и количество движения.

Ньютон и движение планет

Ньютон сформулировал свои законы так, чтобы иметь возможность пользоваться ими. Обратившись к проблемам астрономии, он сразу же ответил на вопрос, который не могли решить греки и который поставил в тупик Кеплера и даже Галилея: «Что удерживает Луну и планеты при их движении по орбитам?» Предполагалось все — хрустальные сферы, естественное круговое движение, вращающиеся рычаги и магнитные флюиды, вихри. Ньютон понимал, что такие объяснения содержат детали, в которых нет необходимости. Сила не нужна для движения планеты (первый закон).

Предоставленные сами себе, они будут вечно двигаться прямолинейно. Сила необходима, чтобы планеты двигались по криволинейной орбите, ибо если нет силы, то движение будет прямолинейным.

Какой должна быть величина внешней силы? Откуда она может взяться? Это были новые вопросы, поставленные Ньютоном.

Если к этому движению применим второй закон, то необходима внешняя сила, равная произведению массы на ускорение. Но чему равно ускорение при движении по орбите? Ньютон исследовал равномерное движение по круговой орбите. Орбиты Луны и большинства планет близки к окружности. Он пришел к тому же результату, что и другие ученые, решавшие эту задачу: ускорение, направленное к центру орбиты по радиусу, равно v²/R, где v — скорость на орбите, a R — радиус орбиты. (См. главу 21, где вводится это ускорение. Для этого используются геометрические представления, но масса и сила не фигурируют. Ньютон получил свой результат необычным путем, рассматривая движущееся тело как снаряд и каждый элемент длины окружности как участок вблизи вершины параболы, по которому движется снаряд.) Тогда сила должна быть равна Mv²/R и направлена по радиусу к центру орбиты. Так, Луна, движущаяся по круговой орбите, всегда испытывает ускорение в сторону Земли, но никогда не приближается к ней. Это можно представлять себе как падение с касательной к окружности на окружность, причем орбита образуется в результате того, что тело начинает «падать» и достигает в нужный момент следующего участка орбиты, не приближаясь, однако, к ее центру. Если это вам покажется странным, вспомните, что любой снаряд, летящий по параболе, в ее вершине испытывает, ускорение g, однако в этой точке снаряд не опускается и не поднимается, таким образом не приближаясь к Земле. Существуют моменты времени, когда ускорение имеется, но скорость в его направлении равна нулю. Можно сказать, что лунная орбита состоит из последовательных «вершин» парабол.

И вот, наконец, Ньютону удалось объяснить, откуда берется эта сила. Он предположил, что силы, заставляющие падать тела на поверхность Земли, могут также притягивать Луну и служат причиной ее движения по орбите. Существует легенда о том, что Ньютон обдумывал эту проблему, сидя в саду, и яблоко, упавшее ему на голову, подсказало решение. Такое притяжение мы называем «гравитацией» — словом, которое означает тяжесть или подразумевает какую-то связь с весом. Во многих случаях более подходит обычное слово вес.

Фиг. 148. Земное притяжение.

Ньютон предположил, что именно вес Луны удерживает ее на орбите. Если бы Луна находилась очень близко от поверхности Земли, то ее вес обусловливал бы ее ускорение g, равное примерно 9,81 м/сек², т. е. такое же, как и у яблока, если не считать, что объем Луны больше, и это, конечно, не разрешает поставить подобный эксперимент. Будет ли Луна иметь такое же ускорение на своей орбите? Будет лила орбите Луны v²/R ~ 9,81 м/сек²?Луна совершает полный оборот по своей орбите относительно неподвижных звезд за 27,3 дня. Ньютон знал, что радиус лунной орбиты R равен 60 радиусам земного шара, т. е. 60R. Ему был также приближенно известен радиус Земли, так что он мог вычислить скорость v, разделив длину окружности лунной орбиты 2πR на время Т, равное одному месяцу, а отсюда вычислялось ускорение v²/R. В ответе получалась величина, значительно меньшая 9,81 м/сек². Если «гравитация» меняется с расстоянием, g может быть значительно меньше на лунной орбите. Ньютон нашел простое правило убывания силы притяжения — закон обратной пропорциональности квадрату расстояния. По закону обратных квадратов убывают с расстоянием сила света, интенсивность радиоволн, звука, а также сила, создаваемая магнитным полюсом или электрическим зарядом.

Закон обратных квадратов справедлив во всех случаях прямолинейного распространения из источника при отсутствии поглощения[93]. Правильная мысль пришла в голову Ньютону, когда он пытался получить третий закон Кеплера! Он попробовал применить зависимость, обратно пропорциональную квадрату расстояния. Луна находится на расстоянии шестидесяти земных радиусов, а яблоко — на расстоянии лишь одного радиуса от центра Земли, поэтому притяжение в области Луны уменьшается в 1/60² раз, или в 3600 раз. Ускорение Луны уже будет не 9,81 м/сек², а 9,81/3600 м/сек². Легко подсчитать значение v²/R для Луны и убедиться, что оно совпадает с «предсказанной» таким способом величиной. Представьте себе тот восторг, который вы бы испытали, открыв это соответствие! Это была успешная проверка соотношений F = M∙a и a = v²/R и закона обратных квадратов для силы тяжести. Вы могли бы сделать первую проверку выдающейся теории — и великое открытие принадлежало бы вам!

Однако сам Ньютон, полный нетерпения, но дальновидный, не был полностью удовлетворен этой проверкой. По непостижимым причинам он отложил все вычисления еще на несколько лет. По-видимому, он стремился решить задачу о притяжении тела шаром с распределенной равномерно в нем массой, подобным Земле. Он уменьшил величину g в 60² раз, но уменьшение от 1 до (1/60)² предполагает, что тело на поверхности Земли, для которого ускорение g = 9,81 м/сек², находится как бы на расстоянии одного земного радиуса от притягивающего центра. Притягивает ли громадный круглый земной шар яблоко так, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре на расстоянии 6300 км от поверхности? Близкие от яблока части земной массы должны притягивать его очень сильно (согласно закону обратных квадратов).

Фиг. 150. Задача Ньютона.

_{Яблоко, притягиваемое различными частями Земли (показаны четыре отдельных элемента)}

Другие части земной массы, находящиеся, например, на расстоянии 12 600 км от яблока, будут притягивать его очень слабо. Сила притяжения различных частей земной массы действует на яблоко под разными углами. Какова результирующая всех этих сил? Здесь мы сталкиваемся с очень трудной математической задачей — сложением бесконечного числа различных притяжений. Она легко решается с помощью интегрального исчисления, но этот тонкий математический аппарат в то время только создавался. Ньютон сам изобрел его для решения этой и других задач, входящих в его работу; одновременно это же сделал и немецкий математик Лейбниц. Его вычисления, связанные с движением Луны, были отложены до тех пор, пока он не убедился, пользуясь изобретенным им методом, что шар с равномерно распределенной массой притягивает тела так, как если бы вся его масса была сосредоточена в его центре, при условии, что каждый участок притягивает тела по закону обратных квадратов. «Как только Ньютон доказал эту замечательную теорему, а мы знаем по его собственным словам, что он и не мечтал получить столь замечательный результат, пока ему не удалось это сделать с помощью собственных математических исследований, весь механизм Вселенной предстал перед ним»[94]. После этого он вернулся вновь к изучению движения Луны и с помощью одного лишь расчета проверил свои законы движения, формулу v²/R и замечательную идею о законе обратной пропорциональности силы тяжести квадрату расстояния как причины движения Луны по круговой орбите. На сей раз Ньютон был удовлетворен вычислениями. Согласие было полное; необходимая сила получалась за счет уменьшения силы тяжести. Ньютону удалось раскрыть тайну движения Луны.

Объяснение Ньютона

С одной стороны, Ньютон дал объяснение проблеме, предположив, что Луну удерживает на орбите сила тяжести. С другой стороны, он ничего не объяснил. Не была объяснена сущность гравитации, не было высказано никаких соображений относительно того, что же, собственно, представляет собой сила тяжести. Ньютон лишь показал, что одна и та же причина вызывает или обусловливает и падение яблока и движение Луны. Подобное нахождение общих причин нескольких явлений и называется в науке «объяснением».

Если вы разочарованы, то примите во внимание, что такой шаг упрощает картину природы. Заметьте также, что в обычной речи слово «объяснить» означает сделать понимание явлений более простым, ясным. Это объяснение должно также содержать фундаментальные представления, но в работах Ньютона, как и в большинстве наук, основные, или первичные причины не проявляются. Эти работы показали, однако, что явления, которые казались обусловленными различными причинами, тесно связаны между собой. Несмотря на то что мы все глубже изучаем и познаем природу, находя общие связи, основной вопрос о происхождении Вселенной и о том, почему явления в ней протекают именно так, а не иначе, остается пока без ответа.

Всемирное тяготение

Итак, сила тяжести, или, точнее, значительно ослабленная сила тяжести, — вот что удерживает Луну на ее орбите. А как обстоит дело с планетами? Удерживает ли их на орбитах та же сила?

Фиг. 151. Всемирное тяготение.

Поскольку движутся они вокруг Солнца, а не вокруг Земли, то и притягивающая их сила должна исходить от Солнца, а не от Земли. Рассматривая этот вопрос, Ньютон пришел к выводу, что существует всемирное тяготение: все небесные тела испытывают взаимное притяжение, обратно пропорциональное квадрату расстояния. Последнее следовало из анализа третьего закона Кеплера, Ньютон заключил, что любая часть материи во Вселенной притягивается всеми другими телами. Он знал из опыта, что вес тел пропорционален их массе (их притягивает Земля). Следовательно, притяжение Земли изменяется пропорционально массе притягиваемого ею тела. Если, согласно третьему закону, притяжение взаимно, то из соображений симметрии нужно учитывать и М₁ — массу Земли, и М₂ — массу притягиваемого тела. Зависимость от расстояния была получена с помощью проверки закона обратных квадратов по движению Луны. Поэтому Ньютон включил в общий закон коэффициент 1/d². Вот сформулированный им закон всемирного тяготения:

F ~= M₁M₂/d², или F = (постоянная)∙M₁M₂/d², или F = G∙(M₁M₂/d²⁾,

Где G — универсальная постоянная; М₁ и М₂ — массы; d — расстояние между ними; F — сила, с которой каждое тело притягивает другое. Нужно помнить, что универсальная постоянная G имеет другой физический смысл, нежели g, — локальное значение ускорения силы тяжести[95].

Могут ли эти общие законы объяснить движение планет? Ньютон доказал, что могут. Он показал, что притяжение по выведенным им законам обусловливает движение планет по эллиптическим орбитам, причем в одном из фокусов эллипса должно находиться Солнце. Ему удалось легко вывести два других закона Кеплера, которые также вытекают из его гипотезы всемирного тяготения. (Эти законы справедливы, если учитывается только притяжение Солнцем. Но мы должны учитывать и действие на движущуюся планету других планет.) В Солнечной системе эти притяжения незначительны по сравнению с притяжением Солнца, однако в точных расчетах ими нельзя пренебречь.

Так Ньютон перенес простое представление о движении Луны на всю планетную систему. Он предположил, что любое тело притягивается другим с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. На основе этой гипотезы он создал подробную картину движения тел в Солнечной системе, свод законов, которые проверялись точными измерениями в течение двух столетий. Спутники планет подчиняются тем же законам. Даже кометы следуют общему правилу. И все эти движения определяются силой тяжести, которая хорошо известна на Земле. Ньютон объяснил небесную систему на основе единой рациональной схемы.

Это столь большое достижение, что следует специально проследить путь, которым Ньютон получил три закона Кеплера и затем использовал их в дальнейшей работе. Первое доказательство того, что движение планеты происходит по эллипсу, можно сделать либо используя изобретенное Ньютоном дифференциальное исчисление, либо опираясь на сложные и громоздкие геометрические доказательства. (Ньютон получил доказательство и геометрическим путем, чтобы убедить в своей правоте противников дифференциального исчисления.) Мы с большим сожалением опускаем это доказательство.

Выведем теперь третий закон Кеплера, а затем второй закон — закон равных площадей за равные времена. Второй закон следует из произвольной зависимости силы притяжения от расстояния, если эта сила действует по прямой, соединяющей центры планеты и Солнца. Но первому и третьему законам Кеплера удовлетворяет только закон обратной пропорциональности сил притяжения квадрату расстояния.

Третий закон Кеплера

Чтобы получить третий закон Кеплера, Ньютон просто объединил законы движения с законом всемирного тяготения. Эллиптические орбиты движения планеты получаются, если использовать методы дифференциального исчисления, учитывающего изменения радиуса и скорости планеты. В результате таких вычислений получится третий закон Кеплера.

Фиг. 152. Движение планет.

Для случая круговых орбит можно рассуждать следующим образом: пусть планета, масса которой равна m, движется со скоростью v по окружности радиуса R вокруг Солнца, масса которого равна М. Это движение может осуществляться только в том случае, если на планету действует внешняя сила mv²/R, создающая центростремительное ускорение v²/R (см. гл. 21). Предположим, что притяжение между Солнцем и планетой как раз и создает необходимую силу. Тогда

G∙(M∙m/d²) = m∙v²/R

и расстояние d между m и М равно радиусу орбиты R. Но скорость

v = ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ / ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ = 2πR/T

где Т — время, за которое планета совершает один оборот. Тогда

G∙(M∙m/R²) = [(2πR/T⁾²/R]∙m; G∙(M∙m/R²) = 4π²m∙R²/T²R

Чтобы получить третий закон Кеплера, нужно перенести все R и T в одну сторону уравнения, а все остальные величины — в другую:

R³/T² = G∙M/4π²

Если перейти теперь к другой планете, с другим радиусом орбиты R' и периодом обращения Т', то новое отношение (R')³/(T')² будет опять равно G∙M/4π²; эта величина будет одинаковой для всех планет, так как G — универсальная постоянная, а масса М — одна и та же для всех планет, вращающихся вокруг Солнца. Таким образом, величина R³/T² будет одной и той же для всех планет в согласии с третьим законом Кеплера. Для других систем, например для спутников Юпитера, величина М будет другой (в этом случае М — масса Юпитера), a R³/T² будет иметь другое значение, одинаковое для всех спутников.

Масса планеты m сокращается. Несколько планет с различными массами могли выдвигаться по одной и той же орбите. Вы могли бы об этом догадаться — ведь это знаменитый эксперимент, но в космическом масштабе.

Если закон убывания силы тяжести отличается от закона обратных квадратов, то отношение R³/T² не будет одним и тем же для всех планет. Например, если использовать закон обратной пропорциональности кубу расстояния, то для всех планет постоянной будет величина R⁴/T²; в этом случае величины R³/T² будут пропорциональны 1/R и для разных планет будут разными. В действительности, как установил Кеплер, эти величины одни и те же. Это означает, что справедлив закон обратных квадратов.

Дифференциальное исчисление позволяет получить третий закон и для эллиптических орбит, но в этом случае R — средняя величина между наибольшим и наименьшим расстоянием планеты от Солнца.

Второй закон Кеплера

Приведем приближенные вычисления, выполненные Ньютоном. Будем основываться на втором законе Ньютона: изменение количества движения равно F∙Δt. Следовательно, изменение mv — вектор, направленный по линии действия силы F и пропорциональный ее величине.

Фиг. 153. Свободное движение планеты.

_{а — планета Р движется прямолинейно о постоянной скоростью, за равные промежутки времени радиус-вектор описывает равные площади; б— свойства треугольников, которыми мы здесь пользуемся.}

Вначале предположим, что планета движется свободно, т. е. на нее не действуют силы. Мы можем провести радиусы, соединяющие планету с Солнцем, лишенным гравитации (фиг. 153). Планета Р будет двигаться с постоянной скоростью по прямой линии AF (первый закон Ньютона). Обозначим расстояния, пройденные планетой за одинаковые интервалы времени: АВ, ВС, CD и т. д. Так как скорость постоянна, то AB = BC = CD и т. д.

Рассмотрим площади, описываемые радиусом SP в процессе движения. Как сравнить треугольники SAB, SBC, SCD? У всех этих треугольников одинаковые высоты SM и одинаковые основания АВ, ВС, CD. Из этого следует, что площади треугольников равны. Радиус-вектор, проведенный из точки S, описывает одинаковые площади за равные интервалы времени, так что это простое движение подчиняется закону Кеплера.

Теперь предположим, что планета движется по орбите благодаря тому, что Солнце притягивает ее и сила притяжения направлена по радиусу PS. Чтобы упростить геометрическое рассмотрение, предположим, что притяжение действует только в точках А, В, С…. траектории, а остальное время планета движется свободно по прямой линии. Тогда траектория планеты будет выглядеть так, как показано на фиг. 154.

Фиг. 154. Движение планеты с «импульсным» притяжением.

_{В отсутствие притяжения в точке В планета Р двигалась бы по оси X.}

Предположим, что планета проходит отрезки АВ, ВС, CD и т. д. за одинаковые отрезки времени, а внешнее усилие возникает только в точках В, С, D и т. д. Планета движется равномерно вдоль АВ, затем в точке В испытывает мгновенное воздействие по направлению BS и резко изменяет свою скорость, начиная двигаться (уже с другой скоростью) вдоль ВС. Если исключить из рассмотрения точку В, то планета будет продолжать двигаться прямолинейно, как в рассмотренном выше простом примере! Продолжив прямую линию, отложим на ней отрезок ВХ, равный АВ. Если не учитывать притяжения в точке В, то планета пройдет расстояния АВ и ВХ за одинаковые отрезки времени, и радиус-вектор, проведенный из точки X, опишет одинаковые треугольники SAB и SBX. Но в действительности планета достигает вместо точки X положения С.

Повлияет ли это на равенство площадей? Если планета приходит в точку С, то нужно рассматривать треугольники SAB и SBC. Равны ли эти треугольники? Усилие действует в точке В по направлению к Солнцу вдоль прямой линии BS и изменяет направление движения. Это усилие придает планете добавочное количество движения, направленное по прямой BS, которое, складываясь с ее начальным количеством движения, обеспечивает движение планеты по прямой ВС. Начальное количество движения направлено по прямой АВ. Поэтому

НАЧАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, НАПРАВЛЕННОЕ ПО АВ + ДОБАВОЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, НАПРАВЛЕННОЕ ВДОЛЬ BS = НОВОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, НАПРАВЛЕННОЕ ПО ВС.

Из второго закона Ньютона следует, что количество движения по ВС — вектор. Поэтому суммирование необходимо проводить по законам векторного сложения (фиг. 155).

Фиг. 155. Изменение количества движения в точке В.

Так как масса планеты постоянна, то мы можем сократить ее и пользоваться для сложения скоростями:

СКОРОСТЬ ВДОЛЬ АВ + ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ ВДОЛЬ BS = СКОРОСТЬ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ВС.

Изобразим скорость планеты вдоль прямой АВ отрезком АВ. Тогда отрезок ВХ также будет равен этой скорости, а отрезок ВС будет соответствовать новой скорости планеты, направленной по прямой ВС (так как все отрезки равны расстояниям, проходимым за равные промежутки времени). Пользуясь этим масштабом, мы можем построить векторную диаграмму (фиг. 156), выражающую записанные выше уравнения.

Фиг. 156. Повторение фиг. 165 для скоростей.

_{Масштаб выбран таким, чтобы АВ или ВХ равнялись начальной скорости вдоль АВ, до ее изменения под действием силы притяжения в точке В.}

Пусть ВХ (=AВ) — начальная скорость до воздействия усилия, а ВС — конечная скорость после воздействия. Изменение скорости будет равно вектору BY, направленному по линии BS в сторону точки S. Построив параллелограмм с диагональю ВС, получим требуемый результат. Из свойств параллелограмма следует, что сторона ХС параллельна BY, так что точка С лежит на линии, параллельной BS.

Теперь рассмотрим треугольники SBC и SBX, представленные на фиг. 157.

Фиг. 157. Повторение фиг. 154, точка С лежит на прямой ХС, параллельной BY или ВS (а); треугольники одинаковой площади заштрихованы (б).

Они имеют одно и то же основание BS и находятся между параллельными прямыми, поэтому площади их равны. Площадь SBC равна площади SBX, которая в свою очередь равна площади SBА. Следовательно, треугольники SBА и SBC имеют одинаковую площадь. По аналогичным причинам треугольники SBC и SCD тоже имеют равные площади. В конечном итоге все площади треугольников равны между собой и закон Кеплера для этого движения выполняется. При этом необходимо, чтобы усилие всходило из одной и той же точки S. Если теперь чаще прикладывать усилие (но соответственно меньшее по величине), мы получим орбиту, как на фиг. 158, близкую к гладкой кривой. При этом будет соблюдаться и закон Кеплера, потому что сила направлена от планеты к Солнцу. Если прикладывать усилия еще чаще, то в пределе мы придем к случаю непрерывной силы с орбитой в виде гладкой кривой. Это и доказывает справедливость второго закона Кеплера для гладкой криволинейной орбиты.

Фиг. 158. Уменьшение равных интервалов времени от А до В, от В до С.

_{Орбита близка к гладкой кривой. Когда орбита представляет собой гладкую кривую, каждый сегмент, перекрываемый за равные времена, можно рассматривать как малый треугольник. Следовательно, у всех сегментов должна быть одинаковая площадь}

Второй закон Кеплера и момент количества движения

Ньютон пришел ко второму закону Кеплера, исходя из основных положений своей механики. Закон обратных квадратов для этого не требуется. Любое притяжение, направленное к Солнцу как центру, будет обеспечивать выполнение этого закона.

В современной механике эта задача представляет собой случай сохранения момента количества движения. Что такое момент количества движения[96] и почему мы уверены, что он сохраняется? Ниже дано краткое объяснение, слишком примитивное, чтобы быть убедительным, но имеющее целью дать общее представление об этом фундаментальном законе сохранения.

Прямолинейное движение описывается такими понятиями, как расстояние (s), скорость (v), ускоряющая сила (F)…. законами и соотношениями типа F∙Δt = Δ(Mv)…, и такими принципами, как сохранение количества движения. Когда тело вращается, не совершая поступательного движения, мы можем применить законы Ньютона к каждой его движущейся части и составить эквивалентную схему. Вместо пройденного расстояния мы будем теперь иметь угол поворота (выраженный в радианах или числе оборотов). Вместо линейной скорости мы будем иметь дело с угловой скоростью (в оборотах в минуту или в радианах в секунду). Вместо силы будет фигурировать момент силы, равный произведению силы на плечо, — причина, заставляющая тело вращаться все быстрее и быстрее. Соотношению

СИЛА∙ВРЕМЯ = ПРИРАЩЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ,

т. е. второму закону Ньютона, будет соответствовать

МОМЕНТ СИЛЫ∙ВРЕМЯ = ПРИРАЩЕНИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ.

Задумайтесь над смыслом момента количества движения, и вы, вероятно, придете к правильному заключению: подобно тому как момент силы равен произведению силы на плечо (F∙r), момент количества движения равен количеству движения, умноженному на плечо (Mv∙r).

Умножьте F и Mv на плечо относительно выбранной оси, и вы получите вариант второго закона Ньютона для случая вращательного движения. Плечо — это перпендикуляр, проведенный от оси в направлении действия вектора силы или количества движения.

Предположим, что два невращающихся тела сталкиваются и в результате одно из них начинает вращаться. Силы взаимодействия тел равны и противоположно направлены (третий закон Ньютона); плечо относительно произвольной оси для этих сил будет одними тем же. Поэтому моменты силы обоих тел относительно выбранной нами оси будут одинаковы по величине и противоположны по направлению. Приобретенный одним телом при столкновении момент количества движения будет равен по величине моменту количества движения второго тела, а их направления будут противоположными. Следовательно, полный момент обоих тел, приобретенный ими в процессе столкновения, равен нулю. Если одно тело начинает вращаться, другое тоже будет вращаться, но в противоположную сторону, вокруг той же оси. При любом столкновении или другом виде взаимодействия момент количества движения сохраняется, он может только передаваться без потерь или могут возникать равные по величине и противоположные по направлению моменты количества движения.

Фиг. 159. Вращения и столкновения.

Ввиду этого вращающееся изолированное тело (например, фигурист, вращающийся на одном коньке) не может изменить своего момента количества движения. Сумма произведений Mv∙r, относящихся к различным его частям, не может измениться. Предположим, что тело сжимается (фигурист сводит руки). Тогда величины r убывают для частей тела, приближающихся к оси вращения, и если полный момент остается постоянным, величина Mv должна возрасти — тело начнет вращаться быстрее. Понаблюдайте за фигуристом: независимо от его желания он вращается быстрее, если сводит руки или сгибает вытянутую ногу.

Фиг. 160. Момент количества движения вращающегося вокруг своей оси шара остается неизменным, если к нему не приложен момент внешней силы.

«Изолированное вращающееся тело не может изменить своего момента количества движения». Примените это положение к вращающейся Земле, к человеку на вращающемся без трения стуле. Превратитесь сами в «изолированное вращающееся тело»: начните вращаться, встав на одну пятку так, чтобы вы смогли повернуться несколько раз, прежде чем силы трения остановят ваше движение. (Еще лучше встать или сесть на табуретку, которая свободно вращается.) Возьмите тяжелую книгу и подержите ее на расстоянии вытянутой руки. Теперь, начав вращаться, прижмите книгу быстро к себе. Обратите внимание, как это отразится на вашей скорости. В этом случае момент количества движения сохраняется. Но здесь применим и второй закон Кеплера: книга — «планета», притягиваемая вами — «Солнцем» — во время ее вращения. (В этом опыте участвует ваша масса, которая имеет большую величину, поэтому вы не сможете с достаточной точностью проверить закон Кеплера.)

Для реальной планеты притяжение Солнца не создает момента силы относительно оси, проходящей через Солнце, и, следовательно, не может изменить момент количества движения планеты относительно Солнца. На самом деле последний равен Mv∙r, где r — не «рычаг» Кеплера, а отрезок перпендикуляра, опущенного из центра Солнца на касательную к орбите (линию скорости). Когда планета приближается к Солнцу, r уменьшается и, чтобы Mvr было постоянным, v должна возрастать в той же самой пропорции.

Фиг. 161. Человек на вращающейся площадке увеличивает скорость вращения, когда приближает груз к оси.

Предположим, что за очень короткое время t планета проходит небольшой участок орбиты s со скоростью v = s/t. На этом участке момент количества движения планеты относительно Солнца равен Mr∙(s/t), или Ms∙r/t. Но s∙r равно произведению высоты на основание малого треугольника, который за время t описывает радиус-вектор. Эта величина равна удвоенной площади треугольника!

Следовательно,

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТЫ = (МАССА М)∙(ДВОЙНАЯ ПЛОЩАДЬ, ОПИСЫВАЕМАЯ РАДИУСОМ-ВЕКТОРОМ) / ВРЕМЯ t

Для случая притяжения Солнцем отношение

ОПИСЫВАЕМАЯ ПЛОЩАДЬ/ВРЕМЯ

не меняется: согласно второму закону Кеплера, величина описываемой в единицу времени радиусом-вектором площади не может измениться. Следовательно, когда Кеплер открыл свой второй закон, он показал лишь, что сила притяжения планет направлена точно к Солнцу и что не существует других сил, таких, как трение, обусловленное вязким эфиром.

Закон сохранения момента количества движения столь же универсален, как и другие законы сохранения механики — сохранение массы, количества движения и т. д. В атомной физике мы называем его сокращенно законом сохранения спина и не сомневаемся в его справедливости даже в сложнейших взаимодействиях между частицами и излучением.

Фиг. 162. Момент количества движения планеты mvr = m∙(s/t)∙r = m∙(двойная площадь)/время.

Плодотворная теория

Ньютон создавал свою теорию последовательно: сформулировал законы движения как исходные пункты разумных предположений, подкрепленных соображениями, полученными из экспериментальных данных; затем получил следствия законов, такие, как законы Кеплера, а затем проверил эти выводы на опыте. В случае законов Кеплера эксперименты уже были сделаны. Наблюдения Тихо Браге были прекрасной проверкой, так что, когда Ньютон получил теоретические результаты, экспериментальная проверка теории уже была заранее готова. Не приходилось поэтому сомневаться в том, что теория «верна». Теория оказалась ценнее отдельных фактов. Она давала ясное и полное представление о движении планет, связывая его с таким привычным явлением, как падение тел. Вооруженный мощными математическими методами и руководимый великолепной интуицией, Ньютон применил свою теорию к большому числу задач, вошедших в его Принципы. Некоторые из этих задач рассмотрены ниже.

I. Определение массы Солнца и Земли

Ньютон вычислил массу Солнца, выразив ее в земных массах. [В то время масса Земли не была известна и не могла быть определена без измерений, подобных более поздним измерениям, проведенным Кавендишем (см. гл. 23)

Фиг. 163. Вычисление отношения массы Солнца к массе Земли.

Вычисления могут быть выполнены следующим путем. (Индексы С, 3 и Л относятся к Солнцу, Земле и Луне соответственно.)

Для Движения Земли по орбите вокруг Солнца.

Обратите внимание, что масса Земли М_З сократилась,

Для движения Луны по орбите вокруг Земли:

Вновь масса Луны М_Л сократилась Теперь, разделив одно уравнение на другое, получим

Зная периоды и радиусы орбит, можно вычислить отношение масс Солнца и Земли.

II. Вычисление масс планет

Ньютону удалось оценить массы Юпитера и других планет, у которых есть спутники, в единицах массы Земли или Солнца (Луна не имеет спутников, поэтому ее массу, которая сокращается в первом уравнении, определить нелегко.)

III. Величина g на экваторе

Из-за вращения Земли вокруг своей оси тело будет весить меньше на экваторе, нежели на полюсе, потому что часть его веса должна обеспечить центростремительную силу, удерживающую тело в движении по окружности вместе с поверхностью Земли. Тело, подвешенное на пружинных весах, будет удерживаться меньшей силой, чем сила, действующая на это тело со стороны Земли. Поэтому взвешивание на пружинных весах дает для веса тела меньшее значение, чем его истинный вес, на величину mv²/R. Иными словами, напряженность поля силы тяжести Земли будет казаться меньше. Ньютон вычислил эту малую поправку к величине g, которую мы ныне можем наблюдать наряду с влиянием сфероидальной формы Земли.

IV. Несферичность формы Земли

Ньютон рассчитал отклонение формы Земли от сферы, исходя из следующих соображений. Предположим, что Земля вращалась так же, как и теперь, в те времена, когда она представляла собой полужидкую тестообразную массу. Какую форму она должна была принять? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим такую схему. Трубка с водой проходит через Северный полюс к центру Земли и оттуда к экватору (фиг. 164). Каков будет уровень воды в трубке у экватора, если трубка заполнена водой так, что-уровень воды у Северного полюса совпадает с поверхностью Земли? Давление воды на дне «полярной» трубки обусловлено весом воды в этой трубке, и это давление передается через колено на дно другого колена трубки. Вес воды во втором колене заставляет воду опускаться. Но в «экваториальной» трубке обе эти силы не равны. Они должны различаться на достаточную величину, чтобы обеспечить направленную внутрь центростремительную силу, действующую на воду в трубке, когда она вращается вместе с Землей вокруг земной оси. Поэтому вес воды в этом колене должен быть больше выталкивающего усилия со стороны «полярной» трубки на величину mv²/R, а водяной столб в «экваториальной» трубке должен быть выше, чем в «полярной». «Экваториальная» трубка должна возвышаться над поверхностью Земли, чтобы в ней уместилось дополнительное количество воды. Ньютон вычислил эту дополнительную высоту, оказавшуюся равной 24 км, и пришел к выводу, что на ранней стадии существования Земли, когда она была тестообразной, на — экваторе образовалась выпуклость примерно такой величины. Спустя короткое время измерения размеров Земли подтвердили этот вывод. У Юпитера этот эффект выражен более четко.

Фиг. 164. К оценке экваториальной выпуклости Земли.

V. Прецессия

Ньютон так объяснил прецессию равноденствий: ось вращения Земли описывает конус, ибо Солнце и Луна притягивают экваториальную выпуклость Земли. Земная ось наклонена к плоскости эллиптической орбиты Земли, поэтому экваториальная выпуклость приводит к несимметричному притяжению Солнцем и Луной. Мы остановимся здесь на эффекте, связанном с притяжением Солнцем. Сферическую Землю Солнце притягивало бы равномерно, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре. Равнодействующая сила в этом случае должна быть направлена по прямой, соединяющей центры Земли и Солнца, независимо от того, вращается Земля или нет (фиг. 166, а). Сфероид с экваториальной выпуклостью подвергается дополнительным воздействиям, приложенным к выпуклости (фиг. 166, б).

Фиг. 165. Прецессия равноденствий.

_{а — шарообразная Земля не прецессировала бы даже совершая суточное вращение; б — через сотни лет Земля вращалась бы по своей орбите с тем же наклоном; в — прецессия сплющенной Земли; г — через несколько столетий ось вращения повернется по поверхности конуса прецессии.}

Фиг. 166. Прецессия.

_{а — Солнце притягивало бы сферическую Землю с силой, действующей по линии, соединяющей центры Земли и Солнца, независимо от того, вращается Земля или нет; б — Солнце притягивает неравномерно выпуклости сплющенной Земли.}

Эти малые дополнительные силы не равны — большее притяжение испытывает часть, обращенная к Солнцу (фиг. 167).

_{Эти малые дополнительные силы равноценны некоторому добавочному притяжению, направленному по линии, соединяющей центры Солнца и Земли, и небольшой добавочной силе f, которая стремится опрокинуть земную ось.}

_{Как и в любом случае вращения тела вокруг собственной оси, действие какой-либо силы, стремящейся наклонить ось вращения, сводится не к наклону оси, а к возникновению прецессии вокруг другой оси.}

Фиг. 167. Солнце притягивает ближайшую часть выпуклости сильнее, чем отдаленную.

Дополнительные силы эквивалентны среднему притяжению всей выпуклости, направленному по линии, соединяющей центры, плюс небольшая сила f, которая как бы качает земную ось. Так как земная ось наклонена, эта сила направлена от центра под углом. Угол между земной осью и дополнительной силой больше всего отличается от прямого в середине лета и в середине зимы. Когда такая сила действует на вращающееся тело, она не опрокидывает его, как можно было бы ожидать. Возникает очень интересное движение, называемое прецессией; вы можете его наблюдать, наклонив ось быстро вращающегося волчка. В этом случае сила тяжести, действующая на волчок, не опрокидывает его, а заставляет ось вращения волчка описывать конус. Ньютон показал, что притяжение Солнца и даже в большей степени Луны вызывает прецессию земной оси по конусу с углом раствора 23¹/₂° с периодом 26 009 лет (фиг. 167). Наконец было дано объяснение прецессии. Ее наблюдали еще греки, затем пытался объяснить Коперник, но явление оставалось совершенно необъяснимым до Ньютона. Это движение казалось таким непонятным, что почти не было надежды найти ему простое объяснение. Однако Ньютон показал, что это еще одно из проявлений всемирного тяготения: вращающаяся вокруг оси Земля прецессирует подобно волчку.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ

На фиг. 168 показан опыт, иллюстрирующий земную прецессию. Рама с быстро вращающимся маховиком подвешена на длинной веревке. Веревка и рама позволяют маховику свободно вращаться относительно вертикальной или горизонтальной оси. Наклоненное вращающееся колесо продолжает вращаться, не совершая каких-либо движений. Если прикрепить резиновый шнур, который тянул бы раму, опрокидывая вращающееся колесо относительно горизонтальной оси, то колесо начнет прецессировать вокруг вертикальной оси (веревки).

Фиг. 168. Опыт, иллюстрирующий прецессию Земли.

Объяснение прецессии гироскопа

Земля, вращающийся волчок и «чудесный» гироскоп — все прецессируют одинаково, по одной и той же причине (фиг. 169).

Фиг. 169. Земля, волчок и гироскоп — все прецессируют одинаково, по одной и той же причине.

_{Приведенные на рисунке слова «ось момента силы» означают, что, действуя относительно этой оси, сила стремится опрокинуть вращающееся тело.}

Прецессия кажется необъяснимой, однако это всего лишь сложный пример применения законов Ньютона к вращательному движению тел. При отсутствии нецентральных сил момент количества движения тела остается неизменным по величине и по направлению. Если существует нецентральная сила, создающая опрокидывающий момент, то, складывая моменты количества движения как векторы, можно показать, что ось будет прецессировать. Этот вопрос рассматривается во многих книгах. Здесь дается простое объяснение того, что прецессия — прямое следствие второго закона Ньютона. На фиг. 170 представлено большое велосипедное колесо с массивным ободом, подвешенное на тросе РQ и совершающее прецессию.

Фиг. 170. Прецессия как случай движения, описываемого вторым законом Ньютона.

Рассмотрим количество движения элемента колеса А. Этот элемент движется вперед, но вес, опрокидывая колесо, перемещает А вправо, сообщая А некоторое количество движения вправо. Это количество движения складывается с основным, направленным вперед, так что результирующее количество движения элемента А будет направлено вперед и немного вправо. Аналогично, элемент В в нижней части колеса будет иметь количество движения, направленное назад и немного влево. Для того чтобы элементы А и В обладали такими количествами движения, колесо должно вращаться относительно вертикальной оси, т. е. совершать прецессию. Здесь проявляется механизм прецессии, но распространить это рассмотрение на другие части колеса оказывается очень сложно.

VI. Движение Луны

Луна испытывает многочисленные возмущения, отклоняющие ее от равномерного кругового движения. Прежде всего она движется по кеплеровскому эллипсу, как любой спутник, в одном из фокусов которого находится Земля. Но эта орбита испытывает небольшие вариации за счет притяжения Солнцем[97].

При новолунии Луна находится ближе к Солнцу, чем полная Луна, появляющаяся на две недели позднее, эта причина изменяет притяжение, что ведет к замедлению и ускорению движения Луны в течение месяца. Этот эффект увеличивается, когда зимой Солнце ближе, так что наблюдаются и годовые вариации скорости движения Луны. Кроме того, изменения солнечного притяжения меняют эллиптичность лунной орбиты; лунная орбита отклоняется вверх и вниз, плоскость орбиты медленно вращается. Ньютон предвидел эти эффекты в движении Луны и по возможности делал оценки их величин. Некоторые эффекты наблюдались уже давно, в некоторых следовало еще разобраться, и Ньютон просил королевского астронома провести измерения, ряд измерений был осуществлен много позже. Эллиптическая орбита поворачивалась в собственной плоскости со скоростью 3° в месяц, а первое вычисление Ньютона давало значение только 1¹/₂°. В течение многих лет после Ньютона математики решали эту проблему, стараясь объяснить расхождение. Они пытались даже заменить закон обратных квадратов законом обратной пропорциональности третьей степени. Наконец одному из них удалось обнаружить, что Ньютон незаконно пренебрег некоторыми членами в своих выкладках и что если их учесть, то теория будет согласоваться с экспериментом. Еще позднее в бумагах Ньютона были найдены правильные вычисления; из них стало ясно, что Ньютон сам обнаружил допущенную ошибку и получил правильный результат. Таким образом, Ньютон показал, что отмеченные нерегулярности в движении Луны вызваны всемирным тяготением. Он не разработал во всех деталях вопрос о солнечном притяжении, движение Луны осталось сложной проблемой, которая разрабатывается со все возрастающими подробностями и до наших дней. Идеальный метод решения проблемы — наиболее общий: лечить болезнь, а не каждый из ее симптомов отдельно, т. е. попросту рассчитать траекторию Луны в сложном поле силы тяжести Земли и Солнца.

Это знаменитая «проблема трех тел»: три большие массы находятся в пространстве и обладают данными начальными скоростями; нужно определить их движение в дальнейшем. Эта проблема выглядит простой, если ее решать по частям, однако полное ее решение пока получить не удалось.

VII. Приливы и отливы

Океанские приливы и отливы долгое время оставались загадкой, объяснить которую, казалось, можно было бы, установив их связь с движением Луны. Однако люди считали, что такая связь реально существовать не может, и даже Галилей осмеял эту идею. Ньютон показал, что приливы и отливы обусловлены неравномерным притяжением воды в океане со стороны Луны. Центр лунной орбиты не совпадает с центром Земли. Луна и Земля вместе вращаются вокруг их общего центра масс подобно двум плохо подобранным партнерам, танцующим вальс. Этот центр масс находится на расстоянии примерно 4800 км от центра Земли, всего лишь в 1600 км от поверхности Земли. Когда Земля притягивает Луну, Луна притягивает Землю с равной и противоположно направленной силой (третий закон), благодаря чему возникает сила Mv²/r, вызывающая движение Земли вокруг общего центра масс с периодом, равным одному месяцу. Ближайшая к Луне часть океана притягивается сильнее (она ближе), вода поднимается — и возникает прилив[98]. Находящаяся на большем от Луны расстоянии часть океана притягивается слабее, чем суша, и на этой части океана также поднимается водяной горб. Поэтому за 24 часа наблюдается два прилива. Вследствие вращения Земли движется и ее поверхность, тогда как приливные горбы, создаваемые притяжением Луны и Солнца, остаются еще на месте, так что приливы поднимаются и опускаются над сушей, движущейся под ними. Вода океана движется вместе с Землей, а приливные горбы идут как волны от берега к берегу. В результате сложных процессов, вызываемых трением и инертностью водяных масс, приливные горбы задерживаются, поэтому приливной горб находится не точно под Луной, а отстает в среднем на ¹/₄ суток. Солнце тоже вызывает приливы, хотя и не столь сильные, ибо большое расстояние до Солнца сглаживает неодинаковость притяжения. Два раза в месяц, когда солнечные и лунные приливы совпадают, наблюдаются особенно большие приливы. Когда солнечный и лунный приливы приходят в противоположных фазах, наблюдаются малые «квадратурные» приливы.

Фиг. 171. Океанские приливы и отливы обусловлены притяжением Луны.

_{Более сильное притяжение ближайшей к Луне части океана вызывает прилив. Малое действие притяжения на далекие от Луны части океана создает другую приливную волну.}

Фиг. 172. Отставание приливов.

_{В действительности приливные горбы отстают от Луны из-за инерции приливного трения, эффектов, связанных с вращением. Ввиду суточного вращения Земли приливы в большинстве мест на земном шаре отстают на 6 часов от Луны.}

Мы можем оценить «приливные силы», действующие на элемент вещества в разных частях Земли. Возьмем «элемент», который весит 30 000 000 ньютон в любом месте на поверхности Земли[99]. В центре Земли 3 земное притяжение, испытываемое этим «элементом», будет равно нулю (фиг.173).

Фиг. 173. Сила, вызывающая приливы.

Лунное притяжение создает силу mv²/(радиус 3G), соответствующую месячному движению элемента. Расчет показывает, что эта сила равна 100 ньютон. Во всех других точках А, В, С… сила, действующая в направлении Луны, такая же — 100 ньютон, но лунное притяжение равно 97 ньютон, в точке А и 103 ньютон в точке С. Таким образом, радиальные притяжения, приходящиеся на элемент, будут равны:

в А: 30 000 000 + 97, эта величина обеспечивает необходимые 100 ньютон и еще остается 29 999 997 для эффективного g;

в В: 30 000 000 + Вертикальная компонента лунного притяжения, которая имеет небольшой наклон. Эта компонента составляет 4000/240 000 от 100, или около 1,5. В этом случае эффективное g равно 30 000 001,5;

в С: 30 000 000 (внутрь) и 103 (наружу), что обеспечивает необходимые 100 ньютон и еще остается (внутрь) 29 999 997 для эффективного g.

Таким образом, в точках А и С элемент «легче», чем в точке В, — на него действует приливная сила, равная 4,5 ньютон. Эта сила и порождает два горба, причем на каждые 3000 т приходится только 4,5 ньютон.

VIII. Масса Луны

Сравнивая квадратурный и сизигийный приливы, мы можем разделить и сравнить действие Солнца и Луны[100]. Это проделал Ньютон и смог таким образом оценить массу Луны по величине вызываемого ею прилива. Иными словами, у Луны имеется необычный спутник — океанский водяной горб, который мы называем приливом. В течение двух столетий непосредственно определить массу Луны было невозможно, пока человек не запустил спутники для ее изучения.

IX. Кометы

Ньютон раскрыл природу комет — этих гостей Солнечной системы, которые всегда вызывали интерес и даже священный ужас. (Довольно странно, что даже в наши дни в широкой печати кометы рассматриваются как мистические явления. Бульварная пресса не осмелится назвать затмение чудом, ибо это вызовет смех, но когда появляется видимая комета или даже слух о ней, многие газеты из этого делают сенсацию, сообщая о «чудесном событии на небесах». Это невежество сохранилось вместе с теми предрассудками, которые обеспечили астрологии существование на века.)

Тихо Браге и Кеплер показали, что кометы не «чудесные явления», а тела, пересекающие, как тогда думали, орбиты планет только один раз. Их можно видеть лишь потому, что они освещаются солнечным светом, и по той же причине их можно наблюдать, когда они находятся на небольших расстояниях от Земли. Ньютон показал, что кометы движутся по очень вытянутым эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Их движение определяется, как и движение планет, гравитацией. Но они имеют очень малую величину, и их орбиты обладают значительно большим эксцентриситетом, так что их можно видеть только тогда, когда они проходят вблизи Солнца. Кометы уходят далеко за пределы орбит самых далеких планет, все время замедляясь (второй закон Кеплера); наконец, изменив направление в «вершине» эллипса (первый закон Кеплера), они после долгого путешествия прилетают опять в нашу область, разворачиваются на максимальной скорости вокруг Солнца и снова удаляются. Эллиптическая орбита кометы может быть измерена, и время ее возвращения точно предсказано. Одна из наиболее знаменитых комет названа по имени ее открывателя — Галлея (Галлей познакомился с Принципами Ньютона, когда их еще печатали). Это первый пример удачного предсказания времени — возвращения кометы, интервал между ее «визитами» оказался равным 76 годам. Ньютон как раз вовремя указал на одну из старых записей Кеплера и предсказал время будущих возвращений. Когда кометы возвратились точно в предсказанное время, они потеряли свою таинственность, но не потеряли своей славы. Их регулярное возвращение в предсказанные сроки позволяет проверить наши наблюдения и дает еще одно подтверждение закона всемирного тяготения. Можно проследить появление комет в прошлом.

Например, комета Ньютона, которую он наблюдал в 1680 г., а возвращения которой можно ожидать в 2255 г, могла быть той самой кометой, которая, по преданиям, возвестила о гибели Юлия Цезаря.

Фиг. 174. Схема Солнечной системы и комета Галлея.

_{Открытая самой последней, планета Плутон очень мала и движется по эллиптической орбите, простирающейся от орбиты Нептуна до очень больших расстояний. (Меркурий и Венера не показаны)}

В некоторых случаях комета испытывает сильное гравитационное возмущение, проходя вблизи больших планет, и переходит на новую орбиту с другим периодом. Вот почему мы знаем, что у комет масса невелика: планеты оказывают воздействие на их движение, а кометы не влияют на движение планет, хотя и действуют на них с такой же силой.

Если комета приходит из внешнего пространства с очень большой скоростью, она обходит Солнце и уходит в новом направлении, но движется не по эллипсу, а по гиперболе и в этом случае назад не возвращается[101].

Кометы движутся так быстро и приходят так редко, что еще до сих пор ученые ждут момента, когда можно будет применить современные средства к исследованию большой кометы. Считают, что кометы состоят из камней, пыли, газа и т. д., движущихся совокупно. Приближаясь к Солнцу, они все сильнее и сильнее отражают свет и кажутся все ярче и ярче. Когда комета проходит очень близко от Солнца, он может сильно нагреться и начать испускать собственное излучение. Излучение Солнца вызывает испарение вещества некоторых комет; рассеиваемый дополнительно на парах свет делает кометы более яркими и как бы увеличивает их объем. У многих комет образуется «хвост» из яркого вещества, который следует за кометой и изгибается, отклоняясь от ее орбиты в сторону от Солнца.

Фиг. 176. Комета, движущаяся по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце, проходит через Солнечную систему.

Почему хвост не движется вместе в остальными частями кометы? Тело комет состоит из отдельных частиц, но тем не менее все они движутся по общей орбите, так как солнечное притяжение пропорционально массе (вспомните символический эксперимент). Хвост — исключение. Он не движется вместе с остальной массой кометы и даже отклоняется в сторону. Из этого можно заключить, что существует отталкивающая сила между Солнцем и кометой, причем эта сила действует на хвост сильнее, нежели на остальные части. Хвост скорее всего состоит из мельчайших частичек пыли, а может быть, только из газообразного вещества. Почему на маленькие частицы действуют относительно большие силы, чем на большие? Поверхностное натяжение, внутреннее трение жидкости и некоторые другие силы изменяются пропорционально поверхности частицы, тогда как гравитационные силы пропорциональны массе, а значит — объему. Наиболее вероятно, что «поверхностными силами», действующими на кометную пыль, являются давление света и поток ионов, испускаемый Солнцем. Уменьшение линейного размера частицы в 10 раз ведет к уменьшению ее массы в 1000 раз, а поверхность при этом становится меньше только в 100 раз, поэтому относительное значение поверхностных сил по сравнению с гравитационным притяжением массы становится в 10 раз больше. Вблизи Солнца его световое излучение очень велико, кроме того, оно испускает потоки протонов, и давление на небольшие частицы начинает играть важную роль. Вероятно, именно поэтому хвост кометы отталкивается от Солнца.

Фиг. 177. Силы, действующие на частицы хвоста кометы.

_{Влияние давления света пропорционально площади поверхности, гравитационное притяжение пропорционально массам притягивающихся тел.}

X. Сила тяжести внутри Земли

С помощью интегрального исчисления Ньютон показал, что пустая материальная оболочка сферической формы притягивает находящуюся вне ее массу так, как если бы вся масса оболочки была сосредоточена в центре сферы.

Представив себе, что Земля состоит из концентрических оболочек (даже различной плотности), Ньютон смог прийти к заключению, что и Земля притягивает другие тела так, как будто вся ее масса сосредоточена в ее центре. Ньютон также показал, что помещенное в такую оболочку тело не испытывает на себе действия сил. Этот результат не имеет большого значения для толкования земного тяготения, хотя и очень важен в теории электричества, ибо позволяет осуществить превосходную проверку закона обратных квадратов для электрических зарядов. Об этом будет сказано подробнее в гл. 33[102].

Эти два результата, полученные для сферической оболочки, дают интересную картину гравитационного поля однородного шара. Вне его поле спадает по «закону обратных квадратов»: g изменяется как 1/R², где R — расстояние от центра. Если поместить тело внутри шара, то оно окажется как бы внутри оболочки, притяжение которой на него не действует. Тело остается как бы на поверхности внутреннего шара. У него меньшая масса, но оно находится ближе к центру. В результате внутри шара g изменяется пропорционально R.

Фиг. 178. Определение величины g.

XI. Искусственные спутники

Ньютон указал, что любой снаряд является спутником Земли. Допустим, что из пушки, стоящей на вершине горы, горизонтально выпущен снаряд. Медленно летящий снаряд падает на Землю по параболе, фокус которой расположен близко к вершине. В действительности траектория снаряда представляет собой эллипс, второй фокус которого находится в центре Земли. Парабола и эллипс неразличимы на малом участке траектории, наблюдаемой, пока снаряд еще не упал (Чтобы получилась действительно парабола, нужна большая, плоская «Земля», а не шарообразная, с постоянным значением g.) Более быстрый снаряд полетит по эллипсу, но с малым эксцентриситетом. Можно придать снаряду такую скорость, что он будет вращаться вокруг Земли подобно Луне, обходя Землю по круговой орбите многократно (при условии, что стрелявший человек освободит дорогу «маленькой луне», после того как произведет выстрел). Такова картина движения искусственного спутника, полученная Ньютоном. Для спутника Земли и Луны будет справедлив третий закон Кеплера.

Если снаряд летит со скоростью, превышающей ту, которая соответствует движению по круговой орбите, то его траектория будет представлять собой эллипс, ближайшим фокусом которого является центр Земли. Если снаряд будет лететь быстрее, его траектория превратится в огромную параболу. Если его скорость еще больше возрастет, то он будет двигаться по гиперболе и покинет Землю навсегда. Скорость, необходимую для такого «бегства», можно рассчитать. Такой расчет очень важен для космических полетов и уже давно применялся при определении скорости молекул газа, покидающих атмосферу Земли.

Фиг. 179. Орбиты спутников Земли (по рисунку Ньютона).

_{Когда эллиптические орбиты проходят через Землю, они показаны так, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре. Поэтому на них как бы не распространяется уменьшение силы тяжести внутри земного шара.}

XII. Возмущения движений планет. Великое открытие

Движением планет управляет в основном Солнце, но другие планеты, подчиняющиеся закону всемирного тяготения, тоже создают небольшие силы, «возмущающие» простое движение. Ньютон изучал эти возмущения. Например, большая планета Юпитер притягивает соседний Сатурн, в результате чего наблюдаются заметные изменения орбиты Сатурна. Направление притяжения изменяется, так как Юпитер и Сатурн движутся по своим орбитам. Притяжение между ними значительно изменяется также и по величине, когда межпланетное расстояние меняется от минимального до максимального[103]. Это взаимодействие влияет на силу тяжести и вносит в движение планет изменения, которые, накапливаясь, в свою очередь несколько изменяют орбиты. Ньютон оценил этот эффект и показал, что полученные результаты соответствуют наблюдаемым особенностям движения Сатурна. Однако общее решение проблемы — весьма сложная задача, и Ньютон положил лишь начало ее исследованию.

Фиг. 180. Оставшиеся «необъясненными» возмущения Урана (в период от 1650 до 1850 г)

_{Крестиком отмечено открытие Гершелем Урана. Зная орбиту Урана, астрономы обнаружили, что Уран наблюдался и был зарегистрирован как звезда несколько раз. Эти даты обозначены полыми кружочками. Стрелкой указано минимальное расстояние между звездами, видимое невооруженным глазом.}

Исследование возмущений, движения планет на первый взгляд похоже на возню с мелкими деталями; между тем спустя столетие подобного рода исследования привели к выдающемуся успеху — открытию новой планеты. До этого первая планета, кроме пяти планет, известных еще Копернику, была открыта с помощью телескопа. В 1781 г. Гершель заметил звезду, которая была больше соседних звезд и двигалась по отношению к ним, что и доказывало, что это планета. Новую планету назвали Ураном. Она была удалена От Земли на вдвое большее расстояние по сравнению с Сатурном, а радиус ее орбиты и период обращения соответствовали третьему закону Кеплера.

Продолжавшееся изучение Урана позволило обнаружить небольшие отклонения от кеплеровской орбиты. Некоторые из них можно объяснить возмущениями, вносимыми Сатурном и Юпитером. Однако некоторая необъяснимая ошибка оставалась. По данным 1820 г. она составляла всего ¹/₁₀₀° Одни астрономы сомневались в точности закона обратных квадратов, другие высказывали предположение о существовании еще неизвестной планеты, возмущающей Уран. Это было остроумным предположением, но ставило почти неразрешимую проблему. Несмотря на это, два молодых математика, Адаме в Англии и Леверье во Франции, решили определить положение этой гипотетической планеты. Очень сложно рассчитать взаимодействие двух известных планет, а здесь была обратная задача, да еще речь шла о планете, о которой ничего не было известно, ни ее масса, ни расстояние, ни направление движения. Все это нужно было найти по незначительным отклонениям Урана от кеплеровской орбиты.

Фиг. 181. Возмущающие движение Урана силы, обусловленные Нептуном.

_{Показано положение планет в разные годы. До 1822 г притяжение Нептуна ускоряло движение Урана по его орбите, так что он приходил в точку наблюдения несколько раньше, чем это ожидалось. После 1822 г. притяжение Нептуна замедляло движение Урана.}

Адаме начал работать над этой проблемой, как только оставил студенческую скамью. Двумя годами позднее он написал королевскому астроному, сообщая ему, где следует искать новую планету. Точность вычислений Адамса лежала в пределах 2°, но королевский астроном не придал большого значения письму Адамса и запросил у него дополнительные данные. В те времена, как, впрочем, и теперь, профессиональных ученых забрасывали письмами эксцентричные энтузиасты, поэтому к такого рода письмам выработалось несерьезное отношение.

В то же время над проблемой совершенно независимо работал Леверье. Он изучил несколько гипотез и остановился на том, что существует неизвестная планета, и в конечном итоге пришел к результату, близкому к полученному Адамсом. Он тоже написал королевскому астроному, и только тогда последний начал тщательное, но медленно подвигавшееся исследование. К этому времени другие астрономы начали верить в возможность того, что «мы видим ее (планету), как Колумб видел Америку с берегов Испании». Леверье написал еще директору Берлинской обсерватории, который произвел наблюдения в указанном направлении, сравнил свои наблюдения с новой звездной картой и обнаружил новую планету. Открытие обошло весь мир и было подтверждено во всех обсерваториях. Эту новую планету, открытую на основе теоретического расчета, назвали Нептуном.

Методы Ньютона

Ньютон изложил свои астрономические исследования в Принципах. Он использовал метод дедукции для получения большого числа выводов из нескольких законов, но его трактовка существенно отличалась от дедуктивных методов греков и их последователей.

Ньютон создал свою теорию на основе предположений, вытекающих из эксперимента, затем получил из теории следствия, а уже потом проверил, насколько мог, эти следствия экспериментально. Поэтому его теория была связана с действительностью экспериментом и четкими определениями, она могла предсказывай, явления, которые в свою очередь проверялись опытом. Теория Ньютона «объясняла» множество чудес, сводя их к обычным уже известным явлениям.

Преемники Ньютона исказили его точку зрения на гравитацию. Они полагали, что Ньютон трактовал ее как «действие на расстоянии», как чудесную силу, мгновенно действующую в вакууме, в отличие от декартова пространства, заполненного вихрями, которые передают силу и движение. Ньютон попросту считал, что обратно пропорциональное квадрату расстояния силовое поле позволяет объяснить законы Кеплера и многие другие явления. Для этого ему не нужно было знать, как передается сила. Он прямо говорил о том, что причина тяготения ему неизвестна. Он предполагал, что тяготение должно быть некоторым видом воздействия, исходящего от каждого материального тела и пронизывающего каждое другое тело, но это было лишь описанием наблюдаемых свойств. Ньютон подчеркивал, что он не знает их первичной причины. «Hypotheses non fingo» — «Я не измышляю гипотез», — писал он однажды в раздражении. Он не желал вводить лишние детали в описание природы и не пытался высказывать предположения, которые не могли бы быть проверены. Однако в последних работах он высказал много остроумных догадок о природе света, строении атома и даже о механизме гравитации.

Обычно Ньютона описывают как холодного, логически мыслящего, лишенного эмоций гения, который создал стиль современной науки. Но один из его биографов, лорд Кейнес, изучивший многие рукописи Ньютона, обнаружил, что Ньютон был затворником, толковавшим природу мистически.

«Ньютон не был первым человеком века рационализма. Он был последним магом, последним из вавилонян или шумеров, последним великим умом, который взглянул на вещественный и интеллектуальный мир теми же глазами, что и люди, начинавшие создавать наше интеллектуальное наследство не менее чем 10 000 лет назад.

Исаак Ньютон, ребенок, родившийся после смерти отца, вдень Рождества Христова в 1642 г., стал любимцем богов»[104]. Ньютон сам чувствовал себя волшебником, разгадавшим божественную тайну Солнечной системы, используя записи с результатами измерений, опыты, которые должны были быть сделаны, сказания и даже просто догадки, внушенные древним авторам самим богом и содержащиеся в их трудах. Он преуспел в раскрытии тайн природы благодаря своему необычному дару упорно сосредоточиваться на интересующей его проблеме, «его сила интуиции была одной из самых замечательных, которой человек когда-либо был одарен». Не мог ли он таким же путем объяснить поведение материи и человеческого мышления, показать движение времени от сотворения мира до его конца? Этот потрясающий ум стремился, насколько его понял Кейнес, быть вместе «и Коперником и Фаустом». Все биографы, начиная от современников и кончая Кейнесом и Эйнштейном, считали Ньютона величайшим математиком из существовавших за последнее тысячелетие. Идеи Ньютона

Как творец науки Ньютон создал новый стиль, который до сих пор еще сохраняет свое значение. Как научный мыслитель он представляется выдающимся основоположником идей. Новые идеи рождались у него гораздо чаще, чем это можно было бы объяснить простой удачей. Он сформулировал законы движения, которыми мы пользуемся поныне и которые мы считаем очень точным приближением к действительности. Ньютон пришел к замечательной идее всемирного тяготения. На основании скудных данных ему удалось оценить массу Земли, хотя эту оценку в те времена проверить было невозможно. Только после опытов Кавендиша Земля была «взвешена». Для своей оценки Ньютон предположил, что плотность твердых тел не может быть меньше плотности воды. Плотность же центральных частей Земли должна быть больше, чем горных пород, находящихся на поверхности. Исходя из этого, Ньютон предположил, что средняя плотность земного вещества в 5 или 6 раз превосходит массу водяного шара такого же размера (а по современным измерениям — в 5,5 раз!).

Ньютон создал теорию световых волн, объяснявшую и свойства световых лучей, и интерференцию в тонких пленках (открытую и изученную им). Это была удивительная теория, в которой считалось, что свет состоит из частиц, сопровождаемых волнами, и которая объясняла на основе этого представления законы распространения света. Через сто лет волновая теория заменила корпускулярную и дискредитировала ее. Многие годы теория света Ньютона вызывала улыбку ученых. Теперь, двести лет спустя, наука располагает четкими доказательствами того, что свет сочетает в себе свойства и волн и корпускул. Ныне мы придерживаемся теории, удивительным образом напоминающей ньютоновскую! Еще раз возникшая у него идея оказалась правильной.

Я не думаю, что появление замечательных идей, характерное для Ньютона и других великих людей, связано с их сверхъестественной интуицией, чудесным вдохновением или сопутствующей им особой удачей. Полагаю, что появление идей у Ньютона объясняется его огромными познаниями, большой гибкостью ума, умением собирать и обрабатывать случайные данные и использовать другие явления, открытые всем, но слишком скоро забываемые рядовым человеком. Интуиция Ньютона необычайна именно потому, что он опирался на великую сокровищницу знаний и мог воспринимать и помнить то, что обыкновенный человек не воспринимает или быстро забывает. Как великий актер чувствует аудиторию, перед которой выступает, отталкиваясь в своем творчестве от прекрасного знания эмоций и поведения людей, так и Ньютон чувствовал природу и мог опираться на богатые наблюдения явлений. Выть может, именно в тонком восприятии окружающего мира — мира людей или мира предметов — и заключается величие.

Задача 1. Первая проверка закона всемирного тяготения

Ньютон не указал, почему падают яблоки. Назвав причину возникновения веса тел словом «гравитация», происходящим от латинского и французского слов «тяжелый», он ничего не объяснил. Утверждение «Земля притягивает яблоко» связывает причину притяжения с Землей, а не с небом, но ничего не дает для понимания сущности гравитации. Между тем, столкнувшись с вопросом «Что удерживает Луну и планеты на их орбитах?». Ньютон смог предложить «объяснение» в том смысле, что одно и то же свойство природы обусловливает также движение планет по орбите и падение яблок. Поэтому «объяснение» означает только объединение этих явлений, объяснение их одной общей причиной. Но уже это весьма полезно для дальнейших выводов и для упрощения наших представлений о природе.

Изучая движение Луны, Ньютон вычислил ее ускорение v²/R. Эта величина оказалась значительно меньше обычного значения g, равного 9,81 м/сек². Поэтому Луна должна была бы падать под действием силы тяжести, если бы земное притяжение не было значительно ослаблено расстоянием. Ньютон пытался рассмотреть простую форму зависимости ослабления притяжения — закон убывания силы тяжести обратно пропорционально квадрату расстояния. Он предположил, что с увеличением расстояния вдвое сила тяжести уменьшится в 4 раза, а если расстояние возрастет в 10 раз, то сила уменьшится в 100 раз и т. д.

Используя приведенные ниже данные, повторите вычисления Ньютона, определив (расчеты нужно вести с большой точностью[105]):

а) ускорение Луны в м/сек², если принять a = v²/R;

б) ожидаемое значение g на Луне в м/сек², считая, что «земное» значение g убывает по закону обратных квадратов. Нужно предположить, что Земля притягивает яблоко так, как если бы вся ее масса была бы сосредоточена в центре Земли, т. е. на расстоянии одного земного радиуса от яблока.

В связи с тем что ответ требуется дать в м/сек², величины расстояний нужно перевести в метры, а время в секунды, прежде чем подставлять данные в формулы. Впрочем, вы можете воспользоваться переходными коэффициентами и отложить перевод единиц, пока это не станет необходимым. Однако смешение километров, часов, метров, секунд может запутать вычисления.

Данные. Радиус Земли 6367 км.

Радиус лунной орбиты в 60,3 раза больше земного;

1 месяц = 27,3 дня (это абсолютный период обращения Луны по отношению к неподвижным звездам);

1 км = 1000 м; g яблока = 9,81 м/сек².

Задача 2. Третий закон Кеплера

Ньютон пришел к выводу о всеобщем характере закона, согласно которому сила притяжения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния. Мы выражаем этот закон в виде F = GM₁M₂/d². Из этого закона («принципа») он вывел (предсказал) свойства движения Луны, планетной системы, приливов и т. д.

Получите третий закон Кеплера, пользуясь приведенными ниже указаниями. Предположите, что Солнце, масса которого М, удерживает на круговой орбите планету массой m за счет гравитационного притяжения, причем радиус орбиты равен R. Предположите далее, что планета движется с заданной скоростью v, затрачивая время Т (планетный «год») на то, чтобы совершить один оборот.

а) Получите в алгебраической форме:

— ускорение планеты;

— силу, необходимую, чтобы придать планете ускорение;

— силу гравитационного притяжения, если она подчиняется закону тяготения Ньютона;

— скорость v планеты, выраженную через величины R и Т.

б) Доказательство

— напишите полученное Ньютоном алгебраическое уравнение, согласно которому искомая сила, необходимая, чтобы придать планете ускорение, равна гравитационному притяжению;

— исключите из итого уравнения v, пользуясь соотношением, выраженным через величины R и Т;

— перенесите величина, R и Т в левую часть уравнения, а все остальное в правую часть, получив таким путем новое уравнение;

— найдете ли вы R³/T² в левой части нового уравнения? (Если нет, проверьте свои выкладки.) Установили ли вы, что правая часть одинакова для всех планет, что она постоянна и не содержит m, R, Т?

— будет ли это новое уравнение справедливо с той же самой правой частью для других планет с разными массами, орбитами, периодами обращения, но с тем же Солнцем? Следует ли из соображений Ньютона третий закон Кеплера?

Задача 3. Второй закон Кеплера (Закон «равных площадей»)

а) Что утверждает этот закон? (Приведите чертеж.)

б) Ньютон показал, что этот закон должен выполняться для любого движения планет, если…(?)

в) Просмотрите геометрическое доказательство, сделанное Ньютоном, затем запишите ваш вариант доказательства и дайте рисунок. (Сделайте лучше несколько четких рисунков вместо одного, слишком подробного.)

Задача 4. Относительные массы планет

а) Используя законы движения Ньютона, a = v²/R и закон всемирного тяготения F = GM₁M₂/d², покажите, как можно получить на основе астрономических измерений отношение (масса Юпитера)/(масса Солнца). Оцените конечный результат, не ссылайтесь на алгебраический результат.

б) Определите приближенно[106] это отношение (см. данные ниже).

в) Сделайте аналогичные оценки отношения (масса Земли)/(масса Солнца).

г) — Из экспериментов, подобных опытам Кавендиша, можно оценить мaccу Земли. Ее величина около 6,6∙10²¹ т. Вычислите приблизительно из приведенного выше отношения массу Солнца в тоннах.

Данные (некоторые из них могут не потребоваться).

Радиусы орбит планет (см. табл. в гл. 18).

Продолжительность «года» планет (см. табл. в гл. 18).

Данные о спутниках Юпитера (см. гл. 19). (Не пользуйтесь величинами радиусов орбит в единицах радиуса Юпитера, а используйте величины в милях. Времена даны в часах, преобразуйте их в единицы, которые вы использовали в других вычислениях.)

Данные о Земле:

Собственный радиус ~ 6300 км.

Время обращения вокруг оси 24 часа.

Радиус орбиты ~150 млн. км.

1 год ~= 365 дней ~= 3∙10⁷ сек.

Данные о Луне:

Радиус орбиты ~ 60 земных радиусов.

Собственный радиус ~1600 км.

1 месяц = 27,3 дня. (Это абсолютный период обращения Луны по отношению к звездам.)

Задача 5. Искусственные спутники

а) Предположим, что спутник Земли описывает круговую орбиту на высоте 6300 км чад поверхностью Земли, так что он находится на расстоянии 12 600 км от, центра Земли. Используя свои знания о движении планет, оцените время, которое требуется спутнику на один оборот по орбите.

Дайте ответ без сокращений, приведенный к округленному числу, выраженному в часах, или минутах, или днях, или годах. (Используйте любые данные, полученные в предыдущих задачах. Величина G вам не потребуется.)

б) Инженеры телевидения предлагают запустить спутник, который мог бы ретранслировать коротковолновые передачи, обеспечивая Западное побережье программами из Нью-Йорка. Им хотелось бы, чтобы спутник стоял на месте, находясь, например, все время над Чикаго, не используя двигателей для поддержания заданного положения.

Опишите движение такого спутника, наблюдаемого с далекого расстояния от Земли.

Рассчитайте высоту, на которой такой спутник мог бы находиться, (Дайте ответ в буквенном выражении, а затем в километрах.)

в) Спутник совершает оборот вокруг Земли за 90 минут (относительно звезд).

Предполагая, что его орбита круговая, оцените, на какой высоте над Землей находится такой спутник.

г) Предположим, что снаряд выпущен из пушки горизонтально с такой скоростью, что он никогда не упадет на Землю, а будет вращаться над самой Землей.

Какое время потребуется, чтобы снаряд возвратился в исходную точку (сопротивлением воздуха пренебрегаем)?

Оцените скорость снаряда.

Скорость, которую требуется определить выше, равна скорости точки на экваторе, если бы Земля стала вращаться со скоростью…(?)

д) (Требуется быстрый ответ — время 15 сек, по нему можно судить о том, насколько вы усвоили прочитанное.) Какое время потребовалось бы спутнику Земли, чтобы обойти ее по круговой орбите радиусом 400 000 км?

Задача 6. Атомная модель Бора

Бор создал простейшую модель атома водорода с электроном, движущимся по круговой орбите вокруг тяжелого ядра, в которой справедлив закон обратных квадратов для электрических сил. (Эта картина атома ныне считается неверной, но она еще применяется для объяснений, и даже физики, когда им нужна грубая картина, используют эту модель для прикидок.) Квантовая теория, сформулированная Бором, устанавливала, что могут существовать только те круговые орбиты, для которых

(Импульс электрона)∙(Размер орбиты) = n∙h,

еде h — универсальная постоянная Планка, a n — целое число 1, 2, 3 и т. д.).

а) С помощью законов Кеплера и Ньютона покажите, что радиусы разрешенных орбит должны быть пропорциональны n², т. е. 1:4:9… (Так что если невозбужденный атом имеет радиус х, то атом в возбужденном состоянии будет иметь радиусы 4х, 9х и т. д)

б) Радиус атома водорода (n ~= 1) примерно равен 0,5 А° (0,5∙10^-10 м). Возбужденные атомы водорода наблюдаются в звездах с n, равным 30. Каков «размер» такого атома?