Планк с воодушевлением принимает волновое уравнение Шрёдингера

Между 1925 и 1926 годами теоретическая физика пережила период интенсивного развития. Вернер Гейзенберг и Эрвин Шрёдингер предложили две основные формулировки квантовой механики: матричную механику и волновое уравнение.

В июне 1925 года Вернер Гейзенберг, которому было всего 23 года, разработал правила рассчета атомных спектров. Макс Борн, с которым они вместе работали в Гёттингене, нашел в этих правилах сходство с матричной алгеброй, отсюда и произошло название матричной механики, которым обозначали данную теорию. Идеи Гейзенберга имеют философское концептуальное обоснование. В рамках эмпирической традиции, к которой Гейзенберг относил и Эйнштейна, имеет смысл только то, что напрямую воспринимается чувствами, то есть то, что можно измерить. Поэтому Гейзенберг решил забыть об орбитах электронов и искать правила, выводимые из того, что можно было наблюдать, — из спектров.

Гейзенберг сформулировал свою матричную механику, отталкиваясь от идеи, что только измеряемые единицы должны быть частью механики атомных систем. Спектроскописты могли измерить длину волны спектральных линий и их интенсивность. Ученый разработал правила для расчета частот этих линий и их интенсивности. Когда Гейзенберг рассказал Эйнштейну, что именно у него он взял идею использовать только наблюдаемые величины, ученый, за это время отошедший от позитивизма, очень удивился. С помощью своих правил Гейзенберг мог вычислить уровень энергии гармонического осциллятора (представляющего собой систему, которая при выведении из состояния равновесия возвращается к нему, совершая синусоидальные колебания, как в случае с грузом, подвешенным на пружине на рисунке на следующей странице).

Вольфганг Паули (1900-1958), еще один великий немецкий физик того времени, доказал, что теория Гейзенберга позволяет вычислить энергетические уровни атома водорода. Таким образом, квантовая механика наконец была заключена в рамки теоретического обоснования и обрела общие принципы для рассмотрения любой проблемы атомной физики.

k = константа эластичности пружины

m = масса подвешенного на пружине груза

y = расстояние между положением груза и положением равновесия

Гармонический осциллятор — система, которая при выведении из состояния равновесия возвращается в него, совершая синусоидальные колебания. Гейзенберг разработал систему, с помощью которой смог рассчитать энергетические уровни квантового гармонического осциллятора.

Формулировка Шрёдингера была получена совершенно другим путем. Шрёдингер был старше Гейзенберга, в 1926 году ему было 40 лет. Его отправной точкой стала концепция корпускулярно-волнового дуализма, основанная Луи де Бройлем (1892-1987) двумя годами раньше. Корни этой концепции уходили в размышления Эйнштейна об излучении черного тела, которое показывало, что свет обладает характеристиками, свойственными и волнам, и частицам. Эйнштейн доказал, что закон Планка подтверждается при волновых характеристиках на низких частотах и при корпускулярных характеристиках — на высоких частотах. Квантовая гипотеза Е = hv прокладывала мост между волновой характеристикой — частотой и корпускулярной — энергией, которая закреплялась за каждым квантом, или частицей света. Де Бройль предположил, что это отношение можно использовать в обратном порядке: с каждой частицей возможно связать одну волну материи. Де Бройль обнаружил, что между длиной волны ? и импульсом р = mv частицы наблюдалось отношение:

? = h/p.

Основываясь на концепции дуализма, разработанной французом Луи де Бройлем, согласно которой каждой частице соответствует волна материи, Бор установил, что орбиты атомов могут быть интерпретированы как такие, в длину которых укладывается целое число волн де Бройля и которые позволяют формировать стоячие (или стационарные) волны.

В рамках макроскопической физики, рассматривающей планеты, горы и песчинки, такие процессы невозможно наблюдать, потому что величина h крайне мала; так что волна, связанная с макроскопическим объектом, ничтожна. Например, для теннисного мячика, запущенного со скоростью 200 км/ч, длина волны де Бройля составляет порядка 10^-34 м, то есть она бесконечно мала по сравнению с атомным ядром. Однако у электрона атома водорода длина волны приблизительно равна размеру атома, поэтому можно полагать, что волновые эффекты не проявят себя во время партии в теннис, но будут заметны в атомной динамике. На самом деле допустимые орбиты атома по Бору имеют простое объяснение с точки зрения волнового процесса: это такие орбиты, в длину которых укладывается целое число волн де Бройля и которые позволяют, как мы видим на схеме, формировать стоячие волны.

Используя передовые физико-математические методы XIX века, Шрёдингер предложил уравнение для всех волн материи. В серии статей, опубликованных в 1926 году, ученый доказал, что волновое уравнение и его решение, функция волны, применимы к нахождению энергетических уровней гармонического осциллятора и атома водорода. Также он смог доказать математически, что его формулировка и формулировка Гейзенберга математически эквивалентны.

Эйнштейн и Планк с воодушевлением приняли уравнение Шрёдингера. Его методы были ближе к физико-математической традиции, в которой выросли Эйнштейн и Планк, чем абстрактный подход Гейзенберга и Борна. В одном из писем Планк пишет Шрёдингеру, что читает его статью «с тем же напряжением, с каким любопытный ребенок выслушивает развязку загадки, над которой он долго мучился».

После того как Планк в 1927 году ушел на пенсию и оставил Берлинский университет, он предложил в качестве своего преемника Шрёдингера, который в то время был профессором в Цюрихском университете. Шрёдингер принял это предложение, так как Цюрих не мог соперничать с Берлином ни с экономической (предлагаемое жалование было вдвое больше), ни с научной точки зрения (профессорами в Берлинском университете были Эйнштейн и Макс фон Лауэ, рядом находился институт, в котором Ган и Мейтнер занимались передовыми разработками по ядерной физике, Нернст руководил Институтом экспериментальной физики, недалеко были Борн — в Гёттингене и Гейзенберг — в Лейпциге). И все же главной причиной, побудившей Шрёдингера принять это решение, было иное. Он сам признавал в стихотворении, посвященном Планку:

«Решили всё слова. Не длинный ряд

Велеречивых просьб и увещаний.

Нет, те слова, что вы тогда сказали,

Сказали, будто вскользь:

«Я буду рад!»

Между четой Шрёдингеров и Планками возникла крепкая дружба, которая продолжалась, невзирая на войну и расстояние.