Дисперсия волн на воде

Вода примером служит нам, примером...

В. Мюллер

Дисперсия играет огромную роль в жизни солитонов. Поэтому нам нужно познакомиться и с другими ее видами. Особенно ярко проявляются зависимость скорости распространения волн от их длины для волн на поверхности воды. Это было известно уже Ньютону. Теорема 37 третьей книги «Начал» гласит: «Скорость волн пропорциональна корню квадратному из длины их». После этого Ньютон в задаче 10 вычисляет скорость волны, сопоставляя вертикальным колебаниям частиц воды качания маятника с длиной l = ??. За время одного качания Т волна сдвигается на расстояние ?, откуда v = (?/Т) = 

С точностью до числовых множителей эти формулы можно получить из соображений размерности и простых физических представлений о природе распространения волны. Скорость v может зависеть от g, ?, h, а также от плотности жидкости ? и от амплитуды волны. Так как размерность массы содержится только в ?, то сразу ясно, что скорость не зависит от плотности. (Это можно также понять, просто вспомнив, что возвращающая сила, действующая на частичку воды, пропорциональна ее массе. В уравнении движения Ньютона эта масса сокращается, как и в случае маятника.)

Простейшие наблюдения указывают на то, что скорость не зависит от амплитуды. Положив поэтому v = dg^??^bh^c и сравнивая размерности левой и правой частей, находим

v = d

Здесь показатель с и число d соображениями размерности не определяются. Однако мы знаем, что при распространении колебаний в движение вовлекаются лишь слои воды, расположенные на глубине, меньшей длины волны (амплитуду считаем малой). Это значит, что при достаточно большом расстоянии h от поверхности до дна величина h не играет никакой роли, т. е. надо положить с = 0. В противоположном предельном случае, когда h 

В точной теории можно получить формулу, пригодную при любом соотношении между h и ?. Из нее следует, что при возрастании длины волны скорость сначала растет, но при ? 

Зависимость скорости от длины волны для длинных волн на мелкой воде удивительно напоминает соотношение между v и ? для длинных волн в решетке атомов. Действительно, воспользовавшись тем, что при малых ? можно приближенно положить sin ?

Отсюда ясно, что дисперсия волн на мелкой воде такая же, как для волн в решетке атомов, причем, глубина h играет роль расстояния между атомами.

Термин «мелкая вода» весьма условен. Для длинных волн, возникающих при землетрясениях в океане, средняя глубина океана (около 5 км) уже оказывается достаточно малой, можно сказать, что для них океан мелкий. Такие волны, известные под названием «цунами», можно считать весьма типичными и чрезвычайно опасными солитонами. Мы познакомимся с ними в следующей части, а сейчас только отметим, что диапазон реально наблюдаемых скоростей волн очень велик. В океане при длине волны

Чтобы понять роль поверхностного натяжения, предположим, что влиянием силы тяжести можно пренебречь. Тогда возвращающая сила определяется только поверхностным натяжением. Какой будет скорость таких волн? Обратимся к испытанному средству — размерностям. Поверхностное натяжение определяют энергией, которую нужно затратить для увеличения площади поверхности на единицу. Эту величину обозначают буквой Т (от англ. tension — натяжение). Для чистой воды Т

Наличие поверхностного натяжения приводит, как показал Кельвин, к очень интересному следствию — волны на глубокой воде не могут распространяться с очень малой скоростью, иными словами, существует нижняя граница для v (?). Это можно понять с помощью довольно простых рассуждений. Легко подметить, что квадрат скорости волны пропорционален возвращающей силе (коэффициенту упругости k для пружин, натяжению F для струны и т. д.).

Если на частичку воды действуют одновременно две возвращающие силы — тяжести и поверхностного натяжения, то надо просто сложить их.

При этом скорость волны с учетом обеих сил определяется выражением

График зависимости v от ? изображен на рис. 5.8. Скорость v(?) минимальна, когда сила тяжести уравновешивается поверхностным натяжением, т. е. когда оба слагаемых в написанном выражении для v² равны. Из этого условия находим ?_мин = 2?

Капиллярные волны в виде мелкой ряби на поверхности воды хорошо всем знакомы. Их можно наблюдать в тазу, наполненном водой, пуская с небольшой высоты капли воды из пипетки. При увеличении высоты длина волны возникающих волн увеличивается. Можно убедиться, что короткие волны чисто капиллярные, а длинные — нет. Для этого добавьте в воду немного мыла. Поверхностное натяжение уменьшится, а с ним уменьшится и скорость коротких волн. Скорость же длинных волн останется прежней.