Как измерили скорость звука

До конца XVIII в. думали, что звук в твердых телах передается мгновенно. Первое измерение скорости звука в твердых телах по отношению к скорости в воздухе выполнил в 1797 г. немецкий ученый Эрнст Хладни (1756—1827). Он же провел первые точные и тщательные измерения скорости звука в различных газах, пользуясь для этой цели органными трубами. Хладни получил юридическое образование, а естественные науки изучал самостоятельно. Под влиянием чтения сочинений Бернулли и Эйлера он заинтересовался акустикой и начал изучать звучащие пластинки, в результате чего открыл прославившие его «звуковые фигуры» *). Фигуры Хладни образуются на посыпанных песком колеблющихся пластинках (песок собирается в узлах стоячих волн).

_{*) Первым сумел сделать звуковые колебания «видимыми» Галилей. Он поместил бокал в воду так, чтобы края его немного выступали над поверхностью. При возбуждении в бокале звуковых колебаний около него на поверхности образуется радиальная рябь поверхностных волн.}

Хладни также открыл продольные и вращательные колебания в стержнях, открыл и изучил многие акустические колебательные явления, изобрел несколько музыкальных инструментов, на которых сам играл. Его опыты, всегда отличавшиеся изобретательностью и остроумием, заложили основы экспериментальной акустики, и ему принадлежит первое систематическое изложение акустики, выпущенное в свет в 1802 г. Под впечатлением обаяния личности Хладни, его лекций и опытов, Наполеон выделил 6000 франков для перевода его «Акустики» на французский язык.

Скорость распространения звуковых волн можно оценить и просто из соображений размерности. Так как механизм распространения волн нам уже достаточно понятен, нетрудно сообразить, что скорость звука в стержне зависит лишь от модуля Юнга Е, плотности ? и, может быть, от длины волны ?: v = d•Е^а?^Ь?^с. Так как [Е] = ML^-1Т^-2, [?] = ML^-3, [?] = L и [v] = LТ^-1, то а = -b = 1/2, с = 0, т. е. v = d

, где d — неизвестное число (как показано выше, из формулы (5.14) следует, что d = 1).

Любопытно, что простые соображения размерности показали, что скорость звука не может быть пропорциональна какой-нибудь степени. Это значит, что дисперсию (т. е. зависимость скорости от длины волны) из простых соображений размерности получить нельзя. Заметим также, что мы не учли зависимость v от амплитуды колебаний. Это представляется разумным для малых амплитуд, когда эффектами нелинейности можно пренебречь (ср. с формулой (4.1)).

_{При отсутствии дисперсии из соображений размерности следует независимость скорости звука от амплитуды. Проверьте это, предположив, что в формуле размерности для v показатель с = 0, но введя зависимость от амплитуды.}

_{Точно так же можно оценить скорость звука в жидкостях, например в воде. Только в этом случае вместо модуля Юнга надо взять модуль объемной упругости жидкости К. Он определяется соотношением ?p = K (?V/V), где ?p — приращение давления, необходимое для того, чтобы уменьшить объем V на величину ?V. Эта формула совершенно аналогична соотношению F/S = E(?l/l) для стержня, и мы сразу можем найти скорость звука в жидкостях:}

_{. для воды ? = 1 г/см³ , К}_{2,13•10¹⁰ г/(cм•c²), так что v}_{1460 м/с. Заметьте, что скорость звука зависит от плотности, а значит, несколько меняется с температурой.}

Между прочим, до начала XIX в. распространение звука в жидкостях считалось невозможным. Хладни придерживался противоположного мнения, но попыток измерить скорость звука в жидкостях не делал. Первое измерение было выполнено в год смерти Хладни швейцарскими учеными Жаном Колладоном и Жаном Штурмом, получившими значение v = 1435 м/с при температуре 8 ⁰С.

Читатель легко найдет и скорость распространения поперечных волн в натянутой струне. В этом случае возвращающая сила пропорциональна силе натяжения струны F, и при малом изгибе и растяжении струны не зависит от ее упругости. Предполагая, что v = dF^a?_l^Ь, где ?_l — линейная плотность струны, покажите, что

; из опыта и из более полной теории следует, что d = 1. Это соотношение в равной степени применимо к металлической струне, нитке и рыболовной леске.

Опыты удобнее всего делать с леской. Изменяя ее натяжение, можно менять частоту основного тона, который можно отождествить с одной из нот, извлекаемых на фортепиано. Нота «ля» первой октавы обычно настраивается с помощью камертона на частоту

= 440 Гц. Частоты

, соответствующие другим нотам, определяются соотношением log(

) = (n/12)log2. Для «ля» во второй октаве n = 12 и частота равна 2

. При ходе от

на октаву ниже n = -12 и частота равна

/2.

Определяя частоты с помощью фортепиано или другого музыкального инструмента, можно найти скорость распространения волны по формуле v = ?

, так как длина волны основной моды для струны с закрепленными концами равна удвоенной длине струны. Пользуясь этой простой идеей, Хладни и определил на опыте скорости звука в газах и твердых телах, только частоты он определял не на фортепиано, а на монохорде. Хорда в переводе с древнегреческого — струна, и монохорд можно назвать «однострунником». Это просто струна на резонаторе, длину звучащей части которой можно менять. Монохорд, вероятно, изобрел Пифагор. Он же первым открыл простые соотношения между музыкальными интервалами.

Легко найти и скорость звука в газах. Аналог модуля упругости в этом случае — давление. Действительно, из закона Бойля—Мариотта pV = const следует, что V•?p + p•?V = 0, т. е. ?p = -p(?V/V). Подставляя в формулу для скорости звука в жидкости вместо модуля объемной упругости давление, находим

. Эту формулу получил Ньютон, который пользовался описанной в начале этой главы дискретной моделью. Рассуждения Ньютона были весьма сложны и стали понятны лишь после работ Бернулли, Эйлера и Лагранжа. Лагранж писал: «эта теория одними почиталась за непонятную, другие находят ее противоречивой, в сущности же, если она и обладает каким недостатком, то тем, что она слишком частная, но вместе с тем она содержит зачаток истинной теории, открытой лишь в последнее время при помощи анализа».

Кроме того, величина v, полученная Ньютоном, сильно расходилась с наблюдаемым значением *). Это было известно Ньютону, но его объяснение этого расхождения нельзя признать ни понятным, ни убедительным. Эта трудность только усилилась после опытов Хладни, который выяснил, что формула Ньютона сильно расходится с опытом и для других газов. Bычислим по формуле Ньютона скорость v для воздуха. Так как р/? = гT, где г — газовая постоянная, а Т — температура, то для воздуха при Т = 273 К = 0 ⁰С получаем v

280 м/с вместо 332 м/с.

_{*) Первое точное измерение скорости звука в воздухе было сделано в коллективной работе членов Парижской академии наук в 1738 г. Измерялось время, за которое звук пушечного выстрела проходит 30 км. Чтобы исключить влияние ветра, выстрелы производились одновременно из двух пушек, удаленных друг от друга на 30 км.}

Правильное объяснение этому расхождению нашел Лаплас, заметивший, что при прохождении звуковой волны температура воздуха в местах сгущения и разрежения различна, и законом Бойля—Мариотта пользоваться нельзя. Вместо этого Лаплас предположил, что изменения состояния газа в звуковой волне происходят столь быстро, что тепло не успевает передаваться от нагревшихся сжатых участков к охладившимся разреженным, т. е. процесс происходит адиабатически **). Правильность его объяснения оспаривалась еще лет тридцать. Тем не менее общая теория волновых процессов уже в начале века твердо стояла на ногах и быстро завоевывала новые области для своих приложений.

_{**) См. книгу: Смородинский Я. А. Температура. — 2-e изд.— М.: Наука, 1987. — Библиотечка «Квант», вып. 12.}

Особенно важно это было для волновой теории света. В работах Френеля волновая теория была настолько основательно разработана, что успешно объясняла не только явления, известные до ее победы, но и подсказывала новые. Единственная неудача постигла волновую теорию в объяснении явлений дисперсии света. Как и в теории звука, в оптике Френеля скорость волны могла изменяться в разных средах, но зависимости скорости от длины волны в одной среде не получалось. Пуассон даже после описанных в ч. 1 опытов сомневался в правильности теории Френеля. Его главное возражение как раз было связано с проблемой дисперсии. В ответе Пуассону Френель указал на молекулярную структуру вещества как на возможный источник дисперсии. К сожалению, ранняя смерть не позволила Френелю развить эту идею, но ее подхватил Коши.