ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Получим решение уравнения (4.7) геометрически, придав показательной функции е^-?₀t, которую записывают также в виде exp(?₀t), геометрический смысл, аналогичный геометрическому смыслу тригонометрических функций.

Построим на плоскости (х, у) график гиперболы у = 1/х и обозначим буквой S площадь криволинейного треугольника ОО'А (рис. П1).

Тогда проекция точки А на ось Ох и есть x(S) = ехр(S). Это определение можно пояснить по-другому. Площадь ОО'А равна площади О'Ах(S)1, так как эти фигуры получаются вычитанием равновеликих треyгольников OAx(S) И OO'1 из одной и той же фигуры OO'Ax(S). Площадь O'Ax(S)1 по обычному определению есть натуральный логарифм: S = log_ex(S) = ln x(S), а x(S) = exp(S) — это просто обратная функция. Ясно теперь, что число е определяется условием е = x(1).

Если точка А движется по гиперболе так, что площадь S равномерно растет со временем, т. е. S = ?₀t, то x(S) = exp(?₀t), а y(S) = 1/x(S) = exp(-?₀t). С помощью этого построения легко найти производную показательной функции. Площадь ?S бесконечно малого прямоугольника x(S)AA'x(S + ?S) равна [x(S + ?S) - x(S)]y(S) = ?S, откуда следует, что

[x(S + ?S) - x(S)]1/?S = 1/y(S) = x(S),

т. е. ?(e^S)/?S = е^S. Когда S = ?₀t, то отсюда следует, что

 ?(e^S)/?t = ?x/?t = ?₀e^?₀t,

т. е. х' = ?₀х. Точно так же у' = -?₀у, и мы показали, что у = ехр (-?₀t) — решение уравнения (4.7). Самое общее решение можно получить, если взять S = ?₀(t + t₀), т. е. просто сдвинуть начало отсчета времени.

Аналогия с геометрическим определением тригонометрических функций cos(?₀t) и sin(?₀t) теперь должна быть ясной. Они определялись как проекции на координатные оси точки, движущейся по окружности единичного радиуса. Поэтому площадь сектора, «заметаемого» радиусом, также равномерно нарастала со временем: S = ?₀t.

Еще ближе аналогия тригонометрических функций с гиперболическими функциями. Построим на таком же рисунке, как и рис. П1 взаимно перпендикулярные оси ОУ и ОХ (рис. П2).

Поделенные на

Эти функции похожи на sin S и cos S. Ясно, что их легко выразить через ехр (S) и ехр (-S), но полезно знать и геометрическое определение, исходя из которого можно найти все основные свойства показательной и гиперболических функций.

Самое главное свойство показательной функции, которое можно было бы взять за определение, выражается очень просто: e^S₁+S₂ = e^S₁ • e^S₂. Доказывается оно геометрическим рассуждением, провести которое мы предлагаем читателю. Покажите также, что sh S = 1/2 (e^S - e^-S), ch S = 1/2 (e^S + e^-S).

2. Найдем теперь геометрическим построением решение уравнения (4.6). Обозначим

Отсюда очевидно, что ? = (? - ?)/4 и tg ? = exp(-S)/exp(S) = exp(-2S). Приращение площади ?S при малом смещении точки А по гиперболе можно записать как площадь малого сектора с радиусом (ОА) 

Возвращаясь к углу ?, находим, что

Чтобы получить отсюда уравнение (4.6), достаточно положить S = ??₀t. Тогда ?' = 2?₀cos(?/2), а условие tg? = exp(-2S) дает

Мы показали, что угол ?(t) зависимость которого от t определена этим уравнением, удовлетворяет уравнение (4.6). Общее решение уравнения (4.6) можно найти сдвигом начала отсчета времени, т. е. заменой в формуле (4.9) t на t + t₀. Если угол ? близок к ?, то для ? = (? - ?)/4 получим из (4.9), что ? = ехр(-?₀t) (так как tg ?

3. В заключение приведем некоторые солитонные уравнения и их простейшие решения.

Уравнение КдФ написано на с. 217, а его солитонное решение на с. 222, формулы (7.1), (7.2). Обычно это уравнение записывают для безразмерной функции u = 3y/4h от безразмерных переменных

где точка обозначает производную по Т, а штрих — производную по X. Солитонное решение в новых переменных

u = 6k/ch² [k (Х - VT)],

где k — произвольное число, а V = 1 + 4k² (сравните это с (7.1) и (7.2)). Если заменить в уравнении КдФ и u² на u^З, то получим модифицированное уравнение КдФ (или мКдФ), также часто встречающееся в приложениях. Его солитонное решение имеет простой вид

u =

Уравнение «синус-Гордона» приведено в тексте на с. 181, формула (6.11). Обычно его записывают для функции u = ? + ? от безразмерных переменных Т = ?₀t и Х = ?₀x/v₀:

Как следует из (6.5), его односолитонное решение имеет вид

Два солитона описываются решением

u = 4 aгctg [V sh (?X)/ch (?VT)],

солитон-антисолитон решением

u = 4 aгctg [V^-1 sh (?VT)/ch (?Х)],

а бризер есть

u = 4 aгctg [? sin (ЬТ)/Ь сh (?Х)], ?² + Ь² = 1.

Приведем еще солитонное решение уравнений цепочки Тоды:

где u_n — безразмерные координаты частиц в цепочке. Солитонное решение этих уравнений описывается формулами

? — произвольное число. Заметим, что дискретизованное уравнение КдФ имеет вид

а уравнения Тоды в континуальном пределе приводят к уравнению Буссинеска

которое иногда называют уравнением нелинейной струны.

Наконец, полезно знать простейшее уравнение нелинейной диффузии (Хаксли)

и его решение в виде уединенной волны

С другими уравнениями и их солитонными решениями читатель может познакомиться по книгам: Солитоны в действии/Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. — М.: Мир, 1981; Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. В этих книгах описаны и многие физические приложения теории солитонов.

4. В этой книге мы не касались математической теории солитонов. Ее основы были заложены в конце 60-х — начале 70-х годов. Развитие математической теории солитонов началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры, в которой был предложен метод решения уравнения КдФ (1967 г.). В следующем году П. Лакс существенно обобщил этот метод. В 1971 г. В. Е. Захаров и А. Б. Шабат распространили идеи ГГKM на другие типы уравнений, в частности на нелинейное уравнение Шредингера. В том же году В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев доказали полную интегрируемость уравнения КдФ, рассматривая его как бесконечномерную гамильтонову систему уравнений. Во всех этих работах разрабатывался так называемый метод «обратной задачи рассеяния», в котором решение нелинейных уравнений сводилось к решению некоторых линейных уравнений, связанных с квантово-механической теорией рассеяния. В том же году Р. Хирота предложил прямой метод построения солитонных решений различных уравнений, использующий более простой математический аппарат. С работы Абловица, Каупа, Ньюэлла и Сигура (1973 г.) началась систематизация интегрируемых уравнений и классификация различных типов солитонов, в частности была доказана полная интегрируемость уравнения «синус-Гордона» и начались поиски других солитонов. В 1974 — 1975 гг. был найден общий подход к построению точных периодических решений уравнения КдФ (С. П. Новиков и др.), опирающийся на глубокие математические результаты Римана, Абеля и Якоби. Развитие этого подхода недавно привело к установлению нетривиальных связей между математической теорией солитонов и теорией струн.

Более полный обзор истории и современного развития математической теории солитонов можно найти в книгах: Солитоны/Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. — М.: Мир, 1983; Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.

В книге Ньюэлла отражены современные взгляды на теорию солитонов, согласно которым наиболее интересны не отдельные солитонные решения нелинейных уравнений и даже не сами эти уравнения. Наибольший интерес представляют связи между различными на первый взгляд классами солитонов, их глубокое внутреннее родство. Изучение этих связей выявляет удивительную универсальность и глубину идей и методов теории солитонов. Последовательное изложение математической теории солитонов, доступное читателям с хорошей математической подготовкой, можно найти в книгах: Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. — М.: Наука, 1980; Тахтаджян, Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Наука, 1986.