«Солитонное» решение уравнения маятника
Общие решения нелинейного уравнения маятника можно выразить через так называемые эллиптические функции Якоби (мы их уже упоминали, когда говорили о форме нелинейных волн, (рис. 2.2).
Замечательно, однако, что движение, соответствующее сепаратрисе фазовой диаграммы, можно записать с помощью элементарных функций. Геометрический вывод этого решения приведен в Приложении, где показано, что для решения ?(t), обращающегося в нуль при t = 0, выполнено простое соотношение
Общее решение уравнения (4.6) можно получить отсюда сдвигом начала отсчета времени, т. е. заменой в формуле (4.8) t на t0. Чтобы хорошо понять это решение, выразим ? непосредственно через t:
График этой функции легко построить, вспомнив, как выглядят графики показательной функции и aгctg (рис. 4.11, 4.12). Когда t растет от -
При этом aгctg ? пробегает значения от ?/2 до 0, а ? меняется от -? до +?. Таким образом, написанное решение соответствует сепаратрисе, идущей из точки -? в точку +?.
Вспоминая, что ? удовлетворяет уравнению (4.6), после несложных тригонометрических преобразований можно найти, что
Здесь мы ввели в употребление так называемый гиперболический косинус
ch(?0t) = 1/2(e?0t + е-?0t),
часто встречающийся в теории солитонов. (Геометрическое определение этой и других гиперболических функций можно найти в Приложении.) Легко построить график этой функции (рис. 4.13).
Теперь легко получить графики ?(t) и ?'(t), описывающие особое движение маятника (рис. 4.14). Эти две замечательные и простые функции стоит как следует изучить и запомнить.