Возвышенные облака чистой геометрии
Краска едва успела высохнуть на шедевре Эйнштейна, а он уже начал замечать его недостатки. Две стороны его полевых уравнений выглядели несбалансированно. Слева находилось тонкое представление геометрического рисунка гравитации. Справа все виды материи и энергии, включая энергетические эффекты электромагнитного поля, были перемешаны в тензоре энергии-импульса. Эйнштейн придавал большое значение уравнениям Максвелла для электромагнитного поля, и ему не нравилось видеть их на вторых ролях. Он пришел к мысли, что электромагнитные поля должны быть описаны на языке геометрии точно также, как и гравитация, а не включены в тензор энергии-импульса. Воспоминания о его первых шагах в геометрии в юности и любовь к геометрии, возникшая во время сотрудничества с Гроссманом и другими учеными, побудили его попытаться описать все законы природы на основании геометрических принципов.
Эйнштейн считал, что следом за специальной и общей теорий относительности необходим третий прорыв, позволивший бы завершить трансформацию законов природы и объединить электромагнетизм с гравитацией. Тогда уравнения Максвелла и теория гравитации стали бы частными случаями некоторой единой теории поля, построенной полностью на геометрических соотношениях.
Шрёдингер был согласен с Эйнштейном в том, что общая теория относительности неполна, поскольку электромагнетизм не представлен на геометрической стороне. «Мы находимся в исключительной необходимости полевых уравнений для электромагнитного поля, — писал Шрёдингер, — уравнений, которые можно было бы рассматривать как чисто геометрические ограничения структуры пространства-времени. Теория 1915 года этого не дает, за исключением случая чисто гравитационного взаимодействия»{42}.
Поскольку Эйнштейн сконцентрировался на чистой геометрии вместо геометрии, задаваемой материальными эффектами, его интерес к экспериментальным данным уменьшился. В его статьях и докладах по общей теории относительности подчеркивалась необходимость экспериментальных проверок — через смещение перигелия Меркурия, искривление лучей света, гравитационное красное смещение, — однако из-за движения в направлении единой теории поля в его риторике стали преобладать более абстрактные аргументы. Есть некая ирония в том, что студент, который обожал лабораторию и прогуливал лекции по высшей математике, поскольку они казались ему не важными, стал сторонником математической строгости и красоты при построении теорий. Как он сказал в своей лекции «О методе в теоретической физике», «опыт остается, конечно, единственным критерием физической полезности для математических конструкций. Но творческие принципы принадлежат математике. В определенном смысле именно поэтому я убежден в том, что чистая мысль может познать реальность, о чем мечтали философы еще в античности»{43}.
Исследователи, связанные с гёттингенской научной школой, в которой преобладал геометрический подход, помогли направить растущий интерес Эйнштейна в русло абстрактных математических конструкций. Эренфест, друг и соратник, который был Эйнштейпу почти братом, оказал на него сильное влияние. Эренфест учился в Гёттингене и посещал лекции Клейна. Он и его жена Татьяна (тоже математик), с которой он познакомился на лекциях Клейна, очень интересовались связью геометрии с физикой. Они предложили свой дом в голландском городке Лейдене в качестве убежища, куда Эйнштейн мог бы приехать из Берлина, чтобы отдохнуть от теоретических изысканий и помузицировать в тесном кругу (Эйнштейн играл на скрипке, а Эренфест — на фортепиано). Ценитель острых вопросов, которые вскрывают суть проблем, Эренфест стал для Эйнштейна, пытавшегося встроить электромагнетизм в общую теорию относительности, внимательным и критически настроенным слушателем.
Сам Клейн, хотя и был уже в отставке, проявлял интерес к концепции гравитационной энергии и импульса в общей теории относительности. Как и Шрёдингер в своей первой статье 1917года, Клейн считал, что эти величины следует определять таким способом, который не зависит от выбора координат. Все наблюдатели, утверждал он, должны измерять одинаковые значения гравитационной энергии и импульса. Клейн переписывался с Эйнштейном по этому вопросу в 1918 году. Хотя Эйнштейн не изменил свое определение, комментарии Клейна, вероятно, сподвигли его попытаться унифицировать описание гравитации и электромагнетизма. Разные определения энергии и импульса для двух взаимодействий могли рассматриваться как временная заплатка, но не как удовлетворительное фундаментальное решение.
Гильберт, лауреат премии Клейна и, без сомнения, величайший систематизатор геометрии со времен Евклида, определенно оказал значительное влияние на Эйнштейна{44}. Эйнштейн отмечал, что формулировка общей теории относительности, предложенная Гильбертом, направлена на объединение электромагнетизма и гравитации в соответствии с идеями германского физика Густава Ми, представлявшего электрон как устойчивый пузырь в электромагнитном поле. Вслед за Ми Гильберт утверждал, что материя не существует независимо, а скорее представляет собой результат сгущения энергетических полей. Эти поля, в свою очередь, могут быть описаны геометрически. Эйнштейн поначалу отвергал аргументы Гильберта, но постепенно пришел к мнению, что геометрия более фундаментальна, чем материя.
Рассмотрение электрона и других материальных частиц как следствия геометрии похоже на объяснение веревочных узлов через изучение того, как их вязать. Представьте себе девочку, нашедшую хитро завязанный узел на клубке пряжи и считающую узел чем-то отдельным от нити. Она просит у мамы коробочку с узлами, чтобы поиграть. Мама, которая работает профессором в Гёттингене, терпеливо объясняет ей, что узлы — это не отдельные предметы, и показывает, как завязать узел, используя нить. Нить является фундаментальной, а узлы — нет. Схожим образом Гильберт и Ми предполагали, что на первом плане должна стоять геометрия полей, а их скручивания проявляют себя как частицы.
Одним из наиболее одаренных студентов Гильберта был Герман Вейль (известный друзьям как «Питер»), защитивший докторскую диссертацию в Гёттингене в 1908 году. После хабилитации в 1913 году Вейль занял пост в ЕТН в Цюрихе и на короткое время стал коллегой Эйнштейна, что дало им возможность познакомиться. В 1918 году Вейль опубликовал свой грандиозный обзор общей теории относительности и ее перспектив, названный «Пространство, время, материя», который он впоследствии несколько раз редактировал в соответствии с развитием своих идей. Он отправил одну из первых копий Эйнштейну, который назвал этот обзор «симфоническим шедевром»{45}.
Ободренный похвалой Эйнштейна, Вейль надеялся, что новая статья под названием «Гравитация и электричество», которую он уже написал, также будет воспринята с энтузиазмом. В статье предлагался способ тонкой подстройки общей теории относительности, позволяющий включить уравнения Максвеллав качестве следствий. Он послал Эйнштейну рукопись, надеясь, что тот порекомендует ее к публикации.
Хотя поначалу Эйнштейн обрадовался тому, что Вейль, казалось, нашел способ провести тайком электромагнетизм в театр гравитации, он изменил свое мнение, когда увидел, что это вторжение испортит все представление. Идея Вейля основывалась на модификации способа параллельного переноса (процесса, при котором вектор перемещается от точки к точке, сохраняя свое направление). В стандартной общей теории относительности аффинная связность, которая определяет правила преобразования компонент векторов, и метрический тензор, который определяет интервалы в пространстве-времени (четырехмерные расстояния), связаны друг с другом определенным математическим соотношением. В нашей аналогии с навесом в пустыне роль этого соотношения играет связь между каркасом и навесом. Вейль изменил эту связь, добавив дополнительный фактор, который назвал калибровкой. Так же, как железные дороги в разных странах (к примеру, в России и Польше) могут иметь различный размер колеи, Вейль предложил изменять единицу измерения четырехмерного расстояния от точки к точке. В качестве бонуса дополнительный калибровочный фактор приводил к эффекту, эквивалентному электромагнитному полю. Однако Эйнштейн считал изменение единицы измерения нефизическим, поэтому он и не мог дать добро на такую радикальную перестройку своей теории. Вейль был очень огорчен тем, что Эйнштейн отверг его идею.
Будучи так и не использованной в общей теории относительности, идея калибровки Вейля позже нашла очень успешное применение в другой области — физике элементарных частиц. В своей современной форме калибровка, вместо реального пространства, производится в некотором абстрактном пространстве. Интерес к бозону Хиггса, необходимому для объяснения значений масс некоторых частиц, во многом связан с вейлевской концепцией калибровки.