Подсчет фотонов

Любопытно, что Эйнштейн, один из основателей квантовой теории, оказался противником своего собственного творения. Тем не менее мы должны отличать оригинальную идею кванта, которая просто означала дискретную порцию энергии или другой физической величины, от полностью сформировавшейся квантовой механики, системы, которая на атомном масштабе заменяет детерминистическую классическую механику. К примеру, в описании фотоэффекта, предложенном Эйнштейном, электрон поглощает дискретное количество энергии в виде фотона, а затем использует полученное ускорение, чтобы оторваться от поверхности металла и далее двигаться в пространстве уже непрерывно (и детерминированно). Эйнштейн возражал против парадоксальной идеи о том, что электрон поглощает фотон, а затем мгновенно оказывается совершенно в другом месте. Кажущиеся дискретными случайные скачки должны иметь непрерывное, причинное объяснение в рамках более глубокой теории, полагал Эйнштейн.

Эйнштейн не видел никаких проблем со случайностью как с инструментом, но не как с фундаментальным принципом природы. Эйнштейн знал, что в статистической механике случайность необходима как способ описания совокупного поведения неисчислимого множества атомов, взаимодействующих друг с другом и с окружающей средой. Классическая механика точно описывала простые взаимодействия между парами объектов, но не справлялась с расчетом сложных систем с большим количеством компонентов. Вот где работает случай, верил Эйнштейн, — не как основополагающий закон, а скорее как способ представления хаотичных движений.

Последним крупным вкладом Эйнштейна в квантовую теорию, прежде чем он смениллагерь и превратился в самого известного из ее критиков, стала квантовая статистическая теория идеальных газов. Идеальный газ — это большое количество молекул, как правило, помещенных в некоторый сосуд, причем для простоты считается, что молекулы не взаимодействуют друг с другом. В классической статистической механике, разработанной Больцманом и другими физиками, предположение о том, что молекулы движутся случайным образом, приводит к простой зависимости между давлением, объемом и температурой, которую называют уравнением состояния идеального газа. Эйнштейн обновил стандартный формализм статистической механики, дополнив его идеей о квантовании энергии.

Стимулом к последней работе Эйнштейна в квантовой области была выдающаяся статья, которую он получил от индийского физика Шотендроната Бозе. В своей работе Возе вывел формулу Планка для излучения черного тела из квантовых статистических принципов. Эйнштейн перевел статью на немецкий язык и опубликовал в августе 1924 года в престижном научном журнале Zeitschrift f?r Physik. Бозе считал фотоны чем-то наподобие одинаковых шариков для пинг-понга в контейнере, которые переносят дискретные порции энергии, зависящие (в соответствии с формулой Планка) от их частоты. Эйнштейн обобщил идею Бозе на случай одноатомных газов. Сегодня квантовая статистика тождественных частиц определенного типа, в том числе фотонов, называется статистикой Бозе — Эйнштейна. (Вот откуда появился термин «бозон», недавно использованный для названия частицы Хиггса.)

В сентябре 1924 года состоялась одна из наиболее важных научных конференций в период между двумя мировыми войнами. Она называлась «Naturforscherversammlung» (Ежегодное совещание натуралистов) и проходила в Инсбруке, красивом австрийском городе в Альпах. Хотя Эйнштейн и не делал доклада на конференции, все же он присутствовал на всех заседаниях и кулуарно обсуждал свои идеи по квантовой статистике с ее участниками, в том числе и с Планком.

Шрёдингер также принял участие в конференции. Она была отличной возможностью встретиться с Эйнштейном и Планком — двумя наиболее уважаемыми им учеными и, конечно же, двумя самыми известными физиками в мире. Он уже бывал на лекциях Эйнштейна на Венской конференции 1913 года, когда они обменялись статьями по общей теории относительности, но до этого момента он еще ни разу с ним не беседовал — по крайней мере, содержательно.

Встреча Эйнштейна и Шрёдингера в Инсбруке не только положила начало их долгой плодотворной дружбе (начавшейся весьма формально, но со временем ставшей более близкой), но и стала ключевым моментом в истории современной физики. Последнее открытие Эйнштейна в области квантовой статистики, обсуждавшееся на конференции, вдохновило Шрёдингера вступить с ним в переписку, из которой он узнал об идее волн материи, выдвинутой французским физиком Луи де Бройлем. Это, в свою очередь, привело Шрёдингера к выводу собственного волнового уравнения, одного из ключевых столпов квантовой механики.

В Инсбруке Шрёдингер также воспользовался шансом повидаться с австрийскими коллегами (тогда он работал в Швейцарии) и подышать чистым горным воздухом. Последнее было важно, так как тремя годами ранее он перенес туберкулез и сильный бронхит. Кроме того, он много курил, что не способствовало его выздоровлению.

Последние несколько лет были очень беспокойными для Шрёдингера. После женитьбы на Энни он стал кем-то вроде странствующего ученого. Хотя ему предложили должность в Университете Вены, он с конца 1920 до конца 1921 года последовательно занимал академические посты на короткие периоды в Йене, Штутгарте и Бреслау (ныне польский город Вроцлав). Заработок заботил его очень сильно в то время, поскольку инфляция уже начала разорять Германию. Он с ужасом наблюдал, как его овдовевшая мать, некогда гордая представительница среднего класса, потеряла дом и жила после смерти отца в нищете. Она скончалась от рака в сентябре 1921 года. Эрвин решил, что займет самую прибыльную и надежную академическую должность, которую только сможет найти, надеясь обеспечить Энни максимально комфортную жизнь и избавить ее от любого риска оказаться нищей.

Такая возможность появилась в конце 1921 года, когда открылась вакансия в Университете Цюриха. Швейцария, в отличие от Германии и Австрии, предложила Эрвину и Энни стабильные мирные условия для жизни, свободной от экономических проблем и беспорядков. Заняв престижную академическую должность, справившись с вышеупомянутыми приступами бронхита и туберкулеза, Шрёдингер начал публиковать статьи, посвященные вопросам применения классических идей Больцмана в квантовой области.

Одним из вопросов, которые волновали Шрёдингера первые годы его работы в Цюрихе, было определение в квантовых терминах понятия энтропии (или меры беспорядка) для идеального газа. Больцман определял энтропию через количество уникальных микросостояний (расположений частиц) для каждого макросостояния. Однако если частицы неразличимы, например для случая квантового газа, то существует значительно меньшее количество уникальных микросостояний. Это можно представить на примере подсчета числа расстановок из нескольких монет, отчеканенных в разные годы. Если вы дифференцируете монеты по году чеканки, то из них можно составить гораздо больше уникальных наборов, чем если вы будете рассматривать их как идентичные. Таким образом, квантовая оценка энтропии отличается от классической.

До того как Бозе опубликовал свою основополагающую статью о фотонах, а Эйнштейн обобщил его идею на случай идеальных газов, многие физики совершенно не понимали, какие факторы следует включать в выражение для энтропии квантовых систем. Хорошо известное уравнение для энтропии содержало сомнительный поправочный коэффициент, природу которого никто до Бозе не мог полностью объяснить. Поправочный коэффициент был добавлен, чтобы исправить проблемы с применением формулы Больцмана к квантовым газам. Но не все считали его обоснованным. В 1924 году Шрёдингер опубликовал статью, в которой не учел поправочный коэффициент, что привело к ошибочному выражению для энтропии.

Новаторские методы Эйнштейна, встреча с ним в Инсбруке и их последующая переписка стали для Шрёдингера настоящим откровением. Благодаря идеям Эйнштейна Шрёдингер стал мыслить о квантовой статистике по-новому, отказавшись от ошибочного классического представления, что перестановка частиц всегда дает различные микросостояния, хотя на это ушло некоторое время. Сначала Шрёдингер думал, что Эйнштейн, должно быть, допустил ошибку в своих расчетах, потому что они не согласовывались с методами Больцмана. В своем первом письме Эйнштейну, в феврале 1925 года, он указал на возможную ошибку. Эйнштейн терпеливо ответил, объяснив идею Бозе, согласно которой фотоны могут занимать одинаковые квантовые состояния. Шрёдингер пересмотрел определение энтропии на основе новых представлений о статистике и представил свою работу Прусской академии наук в июле 1925 года.

Теоретик не может предвидеть, какая часть его научной статьи окажется наиболее интересной. Иногда даже вскользь упомянутая мысль может пришпорить воображение и положить начало целому циклу плодотворных идей. Ссылка на работу де Бройля в одной из статей Эйнштейна о квантовой статистике вдохновила Шрёдингера на величайшее открытие в науке — уравнение волновой механики. Как отметил физик Питер Фройнд, «без ссылки Эйнштейна на работу де Бройля уравнение Шрёдингера, возможно, было бы выведено намного позже»^{58}.