Аффинное неистовство

По иронии судьбы, примерно в тот момент, когда Эйнштейн зашел в тупик, у Шрёдингера проснулся энтузиазм. Вдохновленный тремя теоретиками, которыми он восхищался — Эйнштейном, Эддингтоном и Вейлем, — Шрёдингер тоже решил попытать счастья. Он пересмотрел некоторые из своих ранних работ по общей теории относительности и единой теории поля и начал разрабатывать собственный подход.

Поскольку Эйнштейн и Шрёдингер были относительно изолированы в своих институтах, для них было естественно вести переписку о предметах, которыми они оба интересовались. Начиная с зимы 1943 года Шрёдингер стал регулярно писать Эйнштейну о возможности такого расширения общей теории относительности, которое включало бы в себя и другие силы. В канун Нового года он послал Эйнштейну некое подобие поздравления, которое мог написать только физик-теоретик. В письме были приведены уравнения общей теории относительности, выведенные с использованием лагранжева формализма, основанного на гамильтоновом принципе наименьшего действия. В постскриптуме Шрёдингер предлагал модифицировать лагранжиан и изучить полученные полевые уравнения.

Как мы уже писали, Гамильтон разработал принцип наименьшего действия и метод Лагранжа как способы описания движения, предполагающие, что объекты выбирают среди всех возможных траекторий наиболее эффективную, подобно тому, как пионеры, заселявшие территорию Америки, пересекали горные хребты самым быстрым способом, пытаясь свести к минимуму количество спусков и подъемов. Если принять во внимание рельеф и другие факторы, то самый прямой путь на карте может оказаться не самым быстрым и удобным. Аналогично, траектория частицы, движущейся в пространстве, зависит от ландшафта пространства, задаваемого потенциальной энергией. Количественное описание такого ландшафта содержится в лагранжиане, который используется для нахождения уравнений движения.

Как показал Гильберт, уравнения общей теории относительности можно вывести с помощью лагранжиана, который состоит из произведения двух скалярных величин (инвариантов преобразований координат). Одна из них связана с метрическим тензором, который задает правило измерения расстояний между точками в пространстве, а другая — с тензором Риччи (и с тензором Эйнштейна, о котором говорилось ранее), описывающим кривизну пространства. И метрический тензор, и тензор Риччи могут быть представлены в виде матриц размером 4x4. Каждый из них имеет шестнадцать компонент. Но из-за условий симметрии только десять компонент являются независимыми (остальные шесть дублируются). В стандартной общей теории относительности десять независимых компонент тензора кривизны связаны с десятью независимыми компонентами тензора энергии-импульса, представляющего материю и энергию. Иначе говоря, материя и энергия вызывают искривление пространства-времени, причем эта связь описывается десятью независимыми уравнениями.

Кривизна, однако, является лишь одной из характеристик геометрии пространства-времени. Чтобы узнать траектории движения тела в пространстве, необходимо знать еще компоненты метрического тензора, с помощью которого определяется расстояние от одной точки до другой. Эти компоненты задают видоизмененную версию теоремы Пифагора в любой области пространства. Как я уже описывал ранее, метрический тензор — это что-то наподобие навеса над раскаленным песком пустыни, он обозначает области, где песок опускается и поднимается (показывает кривизну) из-за разбросанных по пустыне камней (распределение материи и энергии). Для навеса необходимо построить каркас, который показывает, как шесты (локальные координатные оси) изгибаются при переходе от точки к точке. Связующим звеном для каркаса является аффинная связность. В стандартной общей теории относительности у аффинной связности шестьдесят четыре компоненты, но из-за условий симметрии оказывается, что только сорок из них независимы.

Таково стандартное описание гравитации Эйнштейна. Включение в теорию дополнительных компонент, связанных с электромагнетизмом, требует модификации уравнений посредством таких действий, как увеличение размерности пространства (которое Шрёдингер всерьез не рассматривал), введение дополнительных структур, например телепараллелизма (которые Шрёдингер также не рассматривал), или ослабление требований симметрии и признание аффинной связности фундаментальной физической величиной.

Следуя путем Эддингтона, кратко описанным Эйнштейном в 1923 году, Шрёдингер решил ослабить требования симметрии и сосредоточиться на аффинной связности. Он назвал свой подход общей унитарной теорией (General Unitary Theory. Аббревиатура GUT будет позже использоваться для теории великого объединения — Grand Unified Theories, предполагающей объединение электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий).

Еще до того как Эйнштейн успел ответить на новогоднее письмо, Шрёдингер приступил к работе над новой теорией. Он начал с наиболее общих возможных наборов аффинных связностей и использовал их для построения тензора Риччи и более эластичного лагранжиана. Такая гибкость открывала возможность включения в теорию компонент электромагнитного поля. Он также надеялся добавить в теорию компоненты, отвечающие за то, что он называл мезонным полем (а мы сегодня называем сильным взаимодействием), но решил пока оставить это для будущих исследований. Затем он использовал определенные математические свойства, чтобы ограничиться рассмотрением лагранжиана специального вида, что привело его к результату, отличному от лагранжиана Гильберта. Из его уравнений получались необычные следствия. Теория предсказывала, что магнитные поля (например, Земли или Солнца) убывают с увеличением высоты гораздо быстрее, чем это предполагает обычная теория. Это ослабление обусловлено неким аналогом «космологической постоянной» для электромагнетизма, подобным слагаемому, которое Эйнштейн много лет назад ввел в теорию гравитации. После того как Шрёдингер набросал основные идеи своей новой теории, он был готов представить результаты коллегам-ученым