66. Зри в корень

Найти хотя бы один корень уравнения (x + 1) (x + 3) ? (x + 5) (x + 7) = 945.

Варианты ответов

1. 2.

2. 4.

3. –10.

Правильный ответ: 1, 3

Приглядимся к уравнению: в левой части четыре множителя, каждый из которых отличается от соседнего на 2. Если разложить 945 на четыре таких множителя, то решение, можно считать, уже у нас в руках. Раскладываем: разумеется, 945 делится на 5; разделили, получили 189, сумма цифр дает 18, значит, оно делится еще и на 3; поделили, получили 63, а это 7 и 9, в итоге имеем 945 = 3 ? 5 ? 7 ? 9, и x = 2 очевидно является решением. Но также решением является и –10: (–9) ? (–7) ? (–5) ? (–3) снова равно 945 (минус на минус на минус на минус дает плюс). А есть ли еще решения? Заменим x на y = x + 4, тогда уравнение будет выглядеть так: (y – 3)(y – 1)(y + 1)(y + 3) = 945. Вспоминая, что (y – a)(y + a) = y? – a?, преобразуем уравнение к виду (y?–1)(y?–9) = 945. Заменим еще одно обозначение y? = z и получим квадратное уравнение на z: z? – 10z – 936 = 0 (мы просто раскрыли скобки и перенесли все из правой части уравнения в левую). У этого уравнения есть два корня: 36 и ?26. С первым все понятно: подставляя z = (x + 4)?, мы как раз получим уже известные нам первые два решения. А как быть со вторым? Ну, тут история позаковыристее, нужно взять квадратный корень из отрицательного числа. Кто-то скажет, что таких не бывает, а мы скажем: бывает, это же просто i ? ?26, где i = ??1 – мнимая единица. Таким образом, оставшиеся два корня уравнения – это 4 ± i ? ?26.