§ 5. Алгебра четырехвекторов

Четырехвекторы обозначаются иначе, чем тривекторы. Например, тривектор импульса обозначают р. Если хотят дать более детальную запись, то говорят о трех компонентах р_x, p_у, р_z; можно писать и короче р_i, оговаривая, что i принимает три значения x, y и z. Для четырехвекторов мы будем применять похожее обозначение: будем писать р_?, а ? пусть заменяет собой четыре направления t, x, у, z.

Конечно, можно пользоваться любыми обозначениями. Не улыбайтесь, что мы так много говорим об обозначениях; учитесь изобретать их: в них вся сила. Ведь и сама математика в значительной степени состоит в изобретении лучших обозначений. Идея четырехвектора — это тоже усовершенствование обозначений с таким расчетом, чтобы преобразования было легче запомнить.

Итак, A_? — это общий четырехвектор, р_? — четырехимпульс, p_t — энергия, р_x— импульс в направлении х, р_y— в направлении у, p_z— в направлении z. Складывая четырехвекторы, складывают их соответствующие компоненты.

Если четырехвекторы связаны каким-то уравнением, то это значит, что уравнение выполняется для любой компоненты. Например, если закон сохранения тривектора импульса соблюдается в столкновении частиц, т. е. сумма импульсов множества взаимодействующих или сталкивающихся частиц постоянна, то это означает, что сумма всех компонент импульсов постоянна и в направлении х, и в направлении у, и в направлении z. Сам по себе такой закон в теории относительности невозможен: он неполон; это все равно, что говорить только о двух компонентах тривектора. Неполон он потому, что при повороте осей разные компоненты смешиваются, значит, в закон сохранения должны войти все три компоненты. Таким образом, в теории относительности нужно дополнить закон сохранения импульса, включив в него сохранение временной компоненты. Абсолютно необходимо, чтобы сохранение первых трех компонент сопровождалось сохранением четвертой, иначе не получится релятивистской инвариантности. Четвертое уравнение — это как раз сохранение энергии; оно должно сопровождать сохранение импульса для того, чтобы четырехвекторные соотношения в геометрии пространства-времени были справедливы.

Итак, закон сохранения энергии и импульса в четырехмерном обозначении таков:

или в чуть измененных обозначениях:

где i=1, 2,... относится к сталкивающимся частицам, j=1, 2,... — к частицам, возникающим при столкновении, а ?=x, у, z или t. Вы спросите: «А что по осям координат?» Это неважно. Закон верен для любых компонент, при любых осях.

В векторном анализе нам встретилось одно понятие — скалярное произведение двух векторов. Что соответствует ему в пространстве-времени? При обычных вращениях неизменной остается величина x²+y²+z². В четырехмерном мире таким свойством при преобразованиях обладает величина t²-х²-у²-z² [уравнение (17.3)]. Как можно это записать? Можно было бы, например, пользоваться значком наподобие A_?<·>B_?, но обычно пишут

Штрих при ? напоминает, что первый, «временной» член положителен, а остальные три отрицательны. Эта величина одна и та же в любой системе координат, и можно назвать ее квадратом длины четырехвектора. Чему равен, например, квадрат длины четырехвектора импульса отдельной частицы? Ответ: р²_t-р²_x-Р²_у-p²_z, или, иначе, E²-р², потому что p_t это и есть Е. Чему равно Е² -р²? Должно по условию получиться что-то, что одинаково в любой системе координат, в частности и в системе координат, которая движется вместе с частицей, так что частица в этой системе покоится. Но если частица неподвижна, значит, у нее нет импульса. Значит, у нее остается только энергия, совпадающая в этом случае с ее массой. Итак, E²-р²=m²₀, т. е. квадрат длины четырехвектора импульса равен m²₀.

Пользуясь выражением для квадрата вектора, легко изобрести скалярное произведение двух четырехвекторов: если один из них а_?, а другой b_?, то скалярное произведение определяется так:

Это выражение не меняется при преобразовании системы координат.

Следует еще упомянуть о частицах с нулевой массой покоя, например о фотоне — частице света. Фотон похож на частицу тем, что он переносит энергию и импульс. Энергия фотона равна произведению некоторой постоянной (постоянная Планка) на частоту света: E=hv. Такой фотон несет с собой и импульс, который (как у всякой частицы) равен постоянной h, деленной на длину волны света: p=h/?. Но у фотона связь между частотой и длиной волны вполне определенна: v=c/?. (Количество волн, проходящих за 1 сек, помноженное на их длину, даст расстояние, проходимое светом в 1 сек, т. е. с.) Мы сходу получаем, что энергия фотона равна его импульсу, умноженному на с, и, далее, полагая с=1, что энергия равна импульсу. Но это и значит, что масса покоя равна нулю. Давайте вдумаемся в это любопытное обстоятельство. Если фотон — частица с нулевой массой покоя, то что с ним бывает, когда он останавливается? Но он никогда не останавливается! Он всегда движется со скоростью с. Обычная формула для энергии — это m₀/?(1-v²). Можно ли утверждать, что при m₀=0 и v=1 энергия фотона равна нулю? Нет, нельзя; на самом деле фотон может обладать (и обладает) энергией, хоть и не имеет массы покоя, за счет того, что всегда движется со скоростью света!

Мы знаем также, что импульс любой частицы равен произведению полной энергии на скорость: p=vE при с=1, или, в обычных единицах, p=vE/c². Для любой частицы, движущейся со скоростью света, р=Е, если с=1. Формулы для энергии фотона в движущейся системе даются по-прежнему уравнением (17.12), но вместо импульса туда нужно подставить энергию, умноженную на с (на 1). Изменение энергии при преобразовании означает изменение частоты света. Это явление называется эффектом Допплера; формулу для него легко получить из уравнения (17.12), положив Е=р и E=hv.

Как сказал Минковский: «Пространство само по себе и время само по себе погрузятся в реку забвенья, а останется жить лишь своеобразный их союз».