§ 1. Комплексные числа и гармоническое движение

Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая — ординатой. Комплексное число а можно записать в виде a=a_r+ia_i; при такой записи индекс r отмечает действительную часть а, а индекс i — мнимую. Взглянув на фиг. 23.1, легко сообразить, что комплексное число a=x+iy можно записать и так: x+iy=rexp(i?), где r²=x²+y²=(x+iy)(x-iy)=aa^* (а^* — это комплексно сопряженное к а число; оно получается из а изменением знака i).

Фиг. 23.1. Комплексное число, изображенное точкой на «комплексной плоскости».

Итак, комплексное число можно представить двумя способами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем r и фазовым углом ?. Если заданы r и ?, то х и у равны rcos? и rsin?, и, наоборот, исходя из числа x+iy, можно найти r=?(x²+y²)и угол ?; tg? равен у/х (т. е. отношению мнимой и действительной частей).

Чтобы применить комплексные числа к решению физических задач, проделаем такой трюк. Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной cos?t. Такую силу F=F₀cos?t можно рассматривать как действительную часть комплексного числа F=F₀exp(i?t), потому что exp(i?t)=cos?t+isin?t. Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся к осциллятору функции рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функций. Найденное нами комплексное число F, разумеется, не настоящая сила, ибо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действительную часть, а мнимой части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» F₀exp(i?t), хотя надо помнить, что речь идет лишь о действительной ее части.

Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусоидальную волну, фаза которой сдвинулась на ?? Конечно, как действительную часть F₀exp[i((?t-?₂)]; экспоненту в этом случае можно записать в виде exp[i(?t-?)]=exp(i?t)exp(^-i?). Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так:

Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комплексным числом, т. е.

Однако пора начать решать уравнения, используя комплексные числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные числа в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение

где F — действующая на осциллятор сила, а х — его смещение. Хотя это и абсурдно, предположим, что х и F — комплексные числа. Тогда х состоит из действительной части и умноженной на i мнимой части; то же самое касается и F. Уравнение (23.2) в этом случае означает

или

Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная, часть х удовлетворяет уравнению, в правой части которого стоит действительная часть силы. Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих х лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравнение содержало член ?х², то, сделав подстановку x_r+ix_i, мы получили бы ?(x_r+ix_i)², и выделение действительной и мнимой частей привело бы нас к ?(х_r²-x_i²) и 2i?x_rx_i. Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член -?x_i². Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.

Попытаемся применить наш метод к уже решенной задаче о вынужденных колебаниях осциллятора, т. е. об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Как и раньше, мы хотим решить уравнение (23.2), но давайте начнем с уравнения

где ^Fe^i?t — комплексное число. Конечно, х — тоже комплексное число, но запомним правило: чтобы найти интересующие нас величины, надо взять действительную часть х. Найдем решение (23.3), описывающее вынужденные колебания. О других решениях поговорим потом. Это решение имеет ту же частоту, что и внешняя (приложенная) сила. Колебание, кроме того, характеризуется амплитудой и фазой, поэтому если представить смещение числом ^x, то модуль его скажет нам о размахе колебаний, а фаза комплексного числа — о временной задержке колебания. Воспользуемся теперь замечательным свойством экспоненты: (d/dt)[^xexp(i?t)]=i?^xexp(i?t). Дифференцируя экспоненциальную функцию, мы опускаем вниз экспоненту, делая ее простым множителем. Дифференцируя еще раз, мы снова приписываем такой же множитель, поэтому очень просто написать уравнение для ^x: каждое дифференцирование по времени надо заменить умножением на i?. (Дифференцирование становится теперь столь же простым, как и умножение! Идея использовать экспоненциальные функции в линейных дифференциальных уравнениях почти столь же грандиозна, как изобретение логарифмов, которые заменили умножение сложением. Здесь дифференцирование заменяется умножением.) Таким образом, мы получаем уравнение

[Мы опустили общий множитель e^i?t.] Смотрите, как все просто! Дифференциальное уравнение немедленно сводится к чисто алгебраическому; сразу же можно написать его решение

поскольку (i?)²=-?². Решение можно несколько упростить, подставив k/m=?²₀, тогда

Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами получено ранее. Поскольку m(?²₀-?²) — действительное число, то фазовые углы ^F и ^х совпадают (или отличаются на 180°, если (?²>?²₀). Об этом тоже уже говорилось. Модуль ^х, который определяет размах колебаний, связан с модулем ^F множителем 1/m(?²₀-?²); этот множитель становится очень большим, если ? приближается к ?₀. Таким образом, можно достичь очень сильного отклика, если приложить к осциллографу нужную частоту ? (если с нужной частотой толкать подвешенный на веревочке маятник, то он поднимается очень высоко).