§ 5. Энергия световой волны

Как мы видели, мнимая часть показателя преломления характеризует поглощение. Попробуем теперь вычислить энергию, переносимую световой волной. Мы высказали соображения в пользу того, что энергия световой волны пропорциональна ^—Е², среднему по времени от квадрата электрического поля волны. Ослабление электрического поля за счет поглощения волны должно приводить к потере энергии, переходящей в какое-то трение электронов и в конечном счете, как нетрудно догадаться, в тепло.

Взяв часть световой волны, падающую на единичную площадку, например на квадратный сантиметр поверхности нашей пластинки на фиг. 31.1, можно записать энергетический баланс в следующей форме (мы предполагаем, что энергия сохраняется!):

Вместо первого члена можно написать ?^—Е_s², где ? — коэффициент пропорциональности, связывающий среднее значение ^—Е² с энергией, переносимой волной. Во втором члене необходимо включить поле излучения атомов среды, т. е. мы должны записать ?^—(Е_s+E_a)² или (раскладывая квадрат суммы) ?(^—E_s²+^—2E_sE_a+^—Е_а²).

Все наши вычисления проводились в предположении, что толщина слоя материала мала и показатель преломления его незначительно отличается от единицы, тогда Е_а оказывается много меньше E_s (это было сделано с единственной целью — упростить вычисления). В рамках нашего приближения член ^—Е_а² следует опустить, пренебрегая им по сравнению с ^—E_sE_a. Вы можете на это возразить: «Тогда нужно отбросить и ^—E_sE_a, потому что этот член много меньше ^—Е_s²». Действительно, ^—E_sE_a много меньше ^—Е_s², но если мы выбросим этот член, то получим приближение, в котором эффекты среды не учитываются совсем! Правильность наших вычислений в рамках сделанного приближения проверяется тем, что мы всюду оставляли члены, пропорциональные N?z (плотности атомов в среде), но выбрасывали члены порядка (N?z)² и более высоких степеней по N?z. Наше приближение можно было бы назвать «приближением малой плотности».

Заметим, кстати, что наше уравнение баланса энергии не содержит энергии отраженной волны. Но так и должно быть, потому что амплитуда отраженной волны пропорциональна N?z, а энергия пропорциональна (N?z)².

Чтобы найти последний член в (31.23), нужно вычислить работу, совершаемую падающей волной над электронами за 1 сек. Работа, как известно, равна силе, умноженной на расстояние; отсюда работа в единицу времени (называемая также мощностью) дается произведением силы на скорость. Точнее, она равна F·v, но в нашем случае сила и скорость имеют одинаковое направление, поэтому произведение векторов сводится к обычному (с точностью до знака). Итак, работа, совершаемая в 1 сек над каждым атомом, равна q_e^—E_sv. Поскольку на единичную площадку приходится N?z атомов, последний член в уравнении (31.23) оказывается равным N?zq_e^—E_sv. Уравнение баланса энергии принимает вид

Члены ?^—E_s² сокращаются, и мы получаем

Возвращаясь к уравнению (30.19), находим Е_а для больших z:

(напомним, что ?=N?z). Подставляя (31.26) в левую часть равенства (31.25), получаем

Ho E_s (в точке z) равно E_s (в точке атома) с запаздыванием на z/c. Поскольку среднее значение не зависит от времени, оно не изменится, если временной аргумент запаздывает на z/c, т. е. оно равно ^—E_s (в точке атома)·v, но точно такое же среднее значение стоит и в правой части (31.25). Обе части (31.25) будут равны, если выполняется соотношение

Таким образом, если справедлив закон сохранения энергии, то количество энергии электрической волны, приходящееся на единичную площадку в единицу времени (то, что мы называем интенсивностью), должно быть равно ?₀с^—Е². Обозначив интенсивность через ^—S, получим

где черта означает среднее по времени. Из нашей теории показателя преломления получился замечательный результат!