§ 6. Волны в пространстве трех измерений

Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими общими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, призванные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претендуют на то, чтобы вы поняли их сразу; они должны скорее показать, как будут выглядеть все эти вещи, когда вы несколько больше познакомитесь с волнами. Мы уже записали уравнение для распространения звука в одном измерении:

здесь с — скорость того, что мы назвали волнами. Если речь идет о звуке, то это скорость звука, если о свете — то это скорость света. Мы показали, что для звуковой волны перемещения частиц должны распространяться с некоторой скоростью. Но избыточное давление, как и избыточная плотность, тоже распространяется с некоторой скоростью. Таким образом, можно ожидать, что и давление будет удовлетворять этому же уравнению.

Так оно и есть на самом деле, однако докажите это самостоятельно. Указание: ?_u пропорционально скорости изменения ? с расстоянием х. Следовательно, продифференцировав волновое уравнение по х, мы немедленно обнаружим, что ??/?x удовлетворяет тому же самому уравнению. Другими словами, ?_u удовлетворяет тому же самому уравнению. Но Р_u пропорционально ?_u, поэтому и Р_u удовлетворяет тому же самому уравнению. Таким образом, и давление, и перемещение — все описывается одним и тем же уравнением.

Обычно волновое уравнение для звука записывается через давление, а не через перемещение. Это проще, потому что давление — скаляр и не имеет никакого направления. Но перемещение есть вектор, и поэтому лучше иметь дело с давлением.

Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, относится к волновому уравнению в трехмерном пространстве. Мы знаем, что звуковая волна в одномерном пространстве описывается решением ехр[i(?t-kx)], где ?=kc_s. Кроме того, нам известно, что в трех измерениях волна описывается выражением exp[i(?t-k_xx-k_yy-k_zz)], и в этом случае ?²=k²с_s² [сокращенная запись (k_x²+k_y²+k_z²)c_S²]. Сейчас мы хотим просто угадать вид волнового уравнения в трехмерном пространстве. Естественно, что в случае звука это уравнение можно получить с помощью тех же самых динамических соображений, но уже в трехмерном пространстве. Однако мы не будем сейчас делать этого, а просто напишем ответ: уравнение для давления или перемещения (или чего-то другого) имеет вид

правильность этого уравнения может быть легко проверена подстановкой в него функции exp[i(?t-k·r)]. Ясно, что при каждом дифференцировании по х происходит умножение на -ik_x. Если мы дифференцируем дважды, то это эквивалентно умножению на -k²_x, так что для такой волны первый член получится равным -k_x²P_u. Точно таким же образом второй член окажется равным -k_у²Р_u, а третий — равным -k_z²P_u. С правой же стороны мы получим -?²/c_s²Р_u. Если мы вынесем 1 за скобку Р_и и изменим знаки всех членов, то увидим, что между k и ? как раз получится желаемое соотношение.

Возвращаясь назад, мы должны прийти к основному уравнению, соответствующему дисперсионному соотношению (48.22) для квантовомеханической волны. Если ? — амплитуда нахождения частицы в момент t в точке с координатами x, y и z, то основное уравнение квантовой механики для свободной частицы имеет вид

Прежде всего заметим, что релятивистский характер этого уравнения гарантируется появлением координат x, y, z и времени t в такой удачной комбинации, что она автоматически учитывает принцип относительности. Кроме того, это уравнение волновое. Если подставить в него плоскую волну, то как следствие мы получим равенство -k²+?²/c²=m²c²/?², которое должно выполняться в квантовой механике. В этом волновом уравнении содержится еще одна фундаментальная вещь: любая суперпозиция волн также будет его решением. Таким образом, это уравнение опирается на всю квантовую механику и всю теорию относительности, которая уже обсуждалась нами до сих пор, по крайней мере когда мы имели дело с единственной частицей в пустом пространстве без всяких потенциалов и воздействующих на нее сил!