§ 5. Векторная алгебра
Теперь мы должны описать законы, или правила, регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы a и b задаются в какой-нибудь системе координат составляющими аx, ay, az и bx, by ,bz. Предположим, что кому-то пришло в голову составить три числа аx+bx, ay+by , аz+bz. Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешивались» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа аx+bx, аy+by, az+bz, если известно, что при изменении системы координат числа аx, ау, az переходят в а'x, а'у, a'z, а bx, bу, bz переходят в b'x, b'y, b'z? Получим ли мы после поворота координатных осей числа а'x +b'x, a'y+b'y, a'z+b'z? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11:5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к аx и bx и вычислим аx+bx то окажется, что преобразованное аx+bx есть то же самое, что и аx+bx. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор c. Мы запишем это так:
Вектор с обладает интересным свойством:
это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,
Векторы можно складывать в любом порядке.
Каков геометрический смысл a+b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим a и b с помощью стрелок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4.
Фиг. 11.4. Сложение векторов.
Мы видим, что прибавить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими a. Поскольку a и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору a. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову» вектора b, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» a на «голову» b. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор c. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.
Предположим, что мы умножили вектор a на число ?. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся понимать под этим вектор с компонентами ?аx, ?ау, ?az. Докажите сами, что это действительно вектор.
Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором -b=(-1)b. Результат будет тот же.
Вычитание векторов показано на фиг. 11.5.
Фиг. 11,5. Вычитание векторов.
На этом чертеже изображено d=a-b=a+(-b); заметим также, что, зная векторы a и b, разность a-b можно легко найти из эквивалентного соотношения a=b+d. Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и a, и вы получите a-b!
Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны x, y, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx'/dt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать очень интересно:
Постараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время ?t? Ответ: на ?r, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» — во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору ?r=r2-r1. расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6.
Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время ?t=t2-t1.
Если разделить этот вектор на промежуток времени ?t=t2-t1, то мы получим вектор «средней скорости».
Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t+?t и t, деленной на ?t при ?t, стремящемся к нулю:
Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продифференцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой-то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.