§ 3. Скорость как производная

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин ? и x было придумано специальное обозначение: ? обозначается как ?t, а х — как ?s. Величина ?t означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок ? ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sin? не означает s·i·n·?. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок ? напоминает нам о его особом характере. Ну, а если ? не множитель, то его нельзя сократить в отношении ?s/?t. Это все равно, что в выражении sin?/sin2? сократить все буквы и получить 1/2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения ?s/?t при ?t, стремящемся к нулю, т. е.

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. ?s=v?t. Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала ?t, а это, вообще говоря, происходит, только когда ?t достаточно мало. В таких случаях обычно пишут ds=vdt, где под dt подразумевают интервал времени ?t при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал ?t достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение ?s=v?t будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s по t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того, дифференцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t², или просто производную от 5t². Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение s=At³+Bt+C, которое может описывать движение точки. Буквы A, B, C, так же как и в обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t+?t, причем к s прибавится некоторая добавка ?s, и найдем, как выражается ?s через ?t. Поскольку

а

то

Но нам нужна не сама величина ?s, а отношение ?s/?t. После деления на ?t получим выражение

которое после устремления ?t к нулю превратится в

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (?t)² или (?t)³ или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем ?t устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3.

Таблица 8.3 НЕКОТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

s, u, v, w — произвольные функции;

a, b, с, n — произвольные постоянные.